Een intern model voor de levensverzekeraar op basis van Solvency II wetgeving

(1)

Een intern model voor de

levensverzekeraar op basis van

Solvency II wetgeving

Henri¨

ette Banga

Doctoraalscriptie, 5 maart 2006 Econometrie en Operationele Research Rijksuniversiteit Groningen

Faculteit der Economische Wetenschappen

Begeleiding:

(2)

(3)

Samenvatting

Voor de beoordeling van de financile positie van een verzekeraar, moet een toereikendheidstoets uitgevoerd worden om aan te tonen dat de getroffen voorzieningen toereikend zijn. Daarnaast moet een minimaal solvabiliteitsvermogen aanhouden. Deze regels bestaan sinds enkele tientallen jaren. In een door de Europese Commissie gestart project, Solvency II, wordt gewerkt aan nieuwe richtlijnen om de solvabiliteitsvereisten beter te laten aansluiten op de werkelijke risico’s die een verzekeringsmaatschappij kan lopen. De kerngedachte is dat verzekeraars op basis van interne risi-comodellen zelf bepalen welke risico’s gelopen kunnen worden zodat het minimaal vereiste kapitaal (buffer) afgestemd kan worden.

In deze scriptie wordt voor een levensverzekeraar een basis model beschreven welke dient als intern model op basis van Solvency II wetgeving. In een intern model wordt de kansverdeling van het eigen vermogen op marktwaarde gemodelleerd voor een horizon van n jaar. Deze modellering is gebaseerd op de kenmerkende eigenschappen van de waarde ontwikkeling van de betzittingen en verplichtingen in hun onderlinge samenhang.

De bezittingen bestaan uit de voorzieningen, een stroom van verwachten verdisconteerde kas-stromen welke geassocieerd worden met verkochte polissen bepaald door onder andere sterfte. De overlevingskansen worden verkregen via een tweedimensionale overlevingstabel waar toekomstige overlevingskansen met behulp van reductiefactoren verkregen zijn. De trendmatige daling van de sterftekansen, afhankelijk van de leeftijd van de verzekerde n het toekomstige tijdstip, wordt zo meegenomen in de berekeningen van de voorzieningen. Wat betreft de beleggingen is onderzoek gedaan naar een schatting voor het kwantiel van de verdeling van jaarrendementen voor het vol-gende jaar. Hierbij is verondersteld dat de portefeuille bestaat uit aandelen en obligaties.

Het basis model is toe te passen voor elke instelling door de specifieke risico’s van de instel-ling in het interne model op te nemen. Omdat de uiteindelijke vorm van Solvency II allerminst definitief is, wordt uitgegaan van het Financieel Toetsingskader uit Nederland daar wij voorop lijken te lopen met de toezichtmethode.

(4)

Inhoudsopgave

Samenvatting ii 1 Inleiding 1 2 Een levensverzekeraar 3 2.1 Soorten levensverzekeringen . . . 3 2.2 Balans levensverzekeraar . . . 5 2.3 Risico’s levensverzekeraar . . . 7

3 Een intern model voor solvabiliteit 10 3.1 Model FTK . . . 10

3.2 Model Solvency II . . . 13

3.2.1 FTK als basis voor Solvency II model . . . 14

3.2.2 FTK als basis voor Solvency II model met SST . . . 14

4 Het modelleren van de voorzieningen 16 4.1 Sterfterisico . . . 16

4.1.1 Overlevingstafel . . . 17

4.1.2 Toekomstige sterftekansen met reductiefactoren . . . 18

4.2 Afkooprisico . . . 21

4.3 Vaststellen VVP . . . 21

5 Een kwantielschatting van de verdeling van rendementen 23 5.1 Data beschrijving . . . 24

5.2 Empirische verdeling . . . 24

6 Analyse solvabiliteitsvereisten 28 6.1 Analyse rentetermijnstructuur . . . 28

6.2 Analyse opslagfactor b0 . . . 29

6.3 Analyse eigen vermogen EV0 . . . 32

7 Conclusie 36

(5)

Hoofdstuk 1

Inleiding

Verzekeraars moeten met het oog op de beoordeling van hun financi¨ele positie een toereikend-heidstoets uitvoeren om aan te tonen dat de door hen getroffen voorzieningen toereikend zijn. Daarnaast moeten zij een minimaal solvabiliteitsvermogen aanhouden. De regels op basis waar-van dit solvabiliteitsvermogen wordt beoordeeld bestaan sinds enkele tientallen jaren, deze regels houden echter geen rekening met alle risico’s die de verzekeraar loopt. Daarnaast zijn de normen nooit ge¨ındexeerd, waardoor de solvabiliteitseisen ten opzichte van het verleden relatief lichter zijn geworden.

In maart 2002 heeft de Europese Commissie nieuwe richtlijnen gepubliceerd om de bestaande richtlijnen van de solvabiliteitsbeoordeling van verzekeraars aan te scherpen. Deze Solvency I richtlijnen voor alle EU-landen leidde tot aanpassingen van de huidige solvabiliteitsberekening en uitbereiding van de bevoegdheden van de Pensioen- en Verzekeringskamer (PVK)1 in het solvabi-liteitstoezicht.

In een tweede door de Europese Commissie gestart project, Solvency II, wordt gewerkt aan nieuwe richtlijnen om de solvabiliteitsvereisten beter te laten aansluiten op de w´erkelijke risico’s die een verzekeringsmaatschappij kan lopen. De kerngedachte is dat verzekeraars op basis van interne risicomodellen zelf bepalen welke risico’s gelopen worden. De toezichthouder stemt het minimaal vereiste kapitaal (buffer) op het inzicht van de verzekeraar af. Het basis principe van Solvency II is de marktwaarde benadering voor zowel de bezittingen als de verplichtingen. Deze benadering wordt gecombineerd met een minimaal vereist kapitaal dat risicogebaseerd is. Het aanhouden van een buffer ten behoeve van de vereiste solvabiliteit is voor de verzekeraar nadelig; het kost geld doordat er bijvoorbeeld geen beleggingen mee gedaan kunnen worden. Deze kosten worden meege-nomen in de premiestelling of de waardering van de verzekeringsportfolio. Als men op grond van kwaliteit van het eigen risico managementsysteem een lagere solvabiliteitsmarge mag aanhouden, kan dit een positieve invloed hebben op de premiestelling en dus op de concurrentiepositie op de verzekeringsmarkt.

Op dit moment zijn de ontwikkelingen binnen Solvency II in volle gang. Er zijn nog veel onbekend-heden rond Solvency II, echter een goede voorbereiding voor verzekeraars ligt in het ontwikkelen

1

(6)

van interne modellen zodat er meer begrip en beter inzicht komt in het risico management van de instelling.

Een onderzoek naar de Solvency II regelgeving is relevant voor de verzekeraars in hun voorbe-reiding hierop. Het doel van deze scriptie is het ontwikkelen van een intern model voor een verze-keringsmaatschappij. Met dit interne model kunnen de solvabiliteitsvereisten afgeleid worden. In deze scriptie wordt het onderzoek afgebakend tot een intern model voor de levensverzekeraar en is gebaseerd op een database van een levensverzekeringsmaatschappij welke binnen Ernst & Young Actuarissen aanwezig is. Het bestand bevat 2 verschillende typen lijfrenten en 3 verschillende typen kapitaalverzekeringen. De hoofdvraag waar in deze scriptie een antwoord op gegeven zal worden, luidt:

Hoe ziet een intern model voor een levensverzekeraar er uit, waar de

solvabiliteitsvereisten op basis van Solvency II wetgeving afgeleid kunnen worden? Om deze vraag te beantwoorden zullen er een aantal deelvragen beantwoord moeten worden: Wel-ke risico’s kan een levensverzeWel-keraar lopen? Wat is een intern model? Hoe ziet een intern model voor solvabiliteitsvereisten er uit? Hoe worden de stochastische risico’s gemodelleerd? Wat is het gevolg voor de buffer wanneer wordt over gegaan op marktwaarde benadering?

Om meer inzicht in de wereld van een levensverzekeraar te verkrijgen wordt het tweede hoofdstuk gewijd aan de verschillende verzekeringsvormen, de balans en de risico’s van een levensverzekeraar. In het derde hoofdstuk wordt nader ingegaan op het begrip solvabiliteit, een intern model en Solvency II. Vanwege alle onbekendheden rond de Solvency II regelgeving zal in deze scriptie uit-gegaan worden van de toezichtmethode van Nederland (Financieel Toetsings Kader (FTK)) daar wij hierin voorop lijken te lopen. Ook de Swiss Solvency Test (SST) uit Zwitserland komt aan bod. Deze methoden sluiten aan op de Solvency II regelgeving. Eerst wordt een algemeen kansmodel opgesteld waar uit de solvabiliteitvereisten op basis van het FTK af te leiden zijn. Hierna volgt een intern model voor Solvency II gebaseerd op het FTK kansmodel. De laatste paragraaf wordt geweid aan een invulling volgens SST voor een onderdeel van het interne model.

Hoofdstuk 4 gaat in op het modelleren van de verplichtingen van een levensverzekeraar. Het sterfterisico zal besproken worden aan de hand van een tweedimensionale overlevingstabel. Hoofd-stuk 5 geeft een beschrijving van de beleggingsportefeuille, er wordt beschreven hoe een verdeling en de bijbehorenden kwantiel-schatter van jaarrendementen verkregen wordt. Wanneer alle on-derdelen van het interne model gemodelleerd zijn kan het risico gebaseerde kapitaal vast gesteld worden in hoofdstuk 6 met behulp van het software pakket S-Plus Professional Edition Versie 6.0.2. Er zal in dit hoofdstuk ingegaan worden op de verschillende parameters van het interne model. Met de invoering van Solvency II wordt overgegaan op de marktwaarde benadering. Omdat deze benadering op zijn vroegst in 2009 ingevoerd zal worden, wordt ook naar het effect op de buffer van deze nieuwe waarderingsmethode gekeken.

(7)

Hoofdstuk 2

Een levensverzekeraar

Om meer inzicht in de wereld van een levensverzekeraar te verkrijgen wordt in dit hoofdstuk ingegaan op de verschillende verzekeringsvormen en de balans van een levensverzekeraar. Uit deze informatie zijn de risico’s waaraan een levensverzekeraar blootgesteld wordt af te leiden. Deze risico’s dienen meegenomen te worden in het interne model om zo de solvabiliteitsvereisten beter te laten aansluiten op de werkelijke risico’s van een levensverzekeraar.

2.1 Soorten levensverzekeringen

Een levensverzekering is een verzekering die afhankelijk van het leven of de dood van de verzekerde persoon een geldelijke uitkering of uitkeringen doet1. Er zijn verschillende soorten levensverzeke-ringen afhankelijk van het doel waarvoor een verzekering wordt afgesloten. Het verschil zit in het tijdstip en de manier van uitkeren. De ene soort keert uit bij overlijden en de ander bij leven op een bepaalde datum, bovendien zijn er ook combinaties mogelijk. De uitkering kan in termij-nen of ineens zijn. Er zijn vier hoofdvormen van levensverzekering welke hieronder beschreven en gedefinieerd zullen worden, daarvoor zijn de volgende symbolen benodigd, Gerber (1997):

U : uitkering aan (nabestaande van) polishouder

tpx : kans dat x-jarige minstens t jaren overleeft tqx : kans dat x-jarige binnen t jaren overlijdt

i : interestperunage

v = 1

1 + i, disconteringsfactor K : aantal nog te leven gehele jaren

K is een discrete stochast welke het aantal nog te leven gehele jaren van een x-jarige weergeeft. In hoofdstuk 4 wordt nader ingegaan op deze stochast. De contante waarde van de uitbetaling(en) wordt aangegeven met Z voor een kapitaalverzekering en Y voor een lijfrente. Z en Y zijn sto-chasten omdat ze afhankelijk zijn van de toekomstige levensduur van een x-jarige. De verwachte contante waarde van de uitbetaling(en) wordt weergegeven door E(Z) respectievelijk E(Y ).

(8)

Verzekering bij overlijden Hier zijn twee vormen van:

• Tijdelijke verzekering: deze keert aan het einde van het jaar van overlijden van de verzekerde uit indien de verzekerde voor het ne verzekeringsjaar overlijdt. Deze verzekering wordt in de praktijk ook wel risicoverzekering genoemd.

Z = U × vK+1 als K = 0, 1, . . . , n − 1 0 als K = n, n + 1, . . . E(Z) = U n−1 X k=0 vk+1 kpx 1qx+k

• Levenslange verzekering: deze keert aan het einde van het jaar van overlijden een bedrag uit, ongeacht wanneer dat overlijden plaatsvindt. Deze verzekering staat ook bekend als uitvaartverzekering. Z = U × vK+1 E(Z) = U ∞ X k=0 vk+1 kpx 1qx+k

Verzekering bij leven

De verzekering bij leven keert uit bij in leven zijn van verzekerde op het overeengekomen tijdstip n. Bij deze verzekering kan het bedrag ineens uitgekeerd worden (kapitaalverzekering) of periodiek (lijfrente). Z = 0 als K < n U × vn als K ≥ n E(Z) = U vn npx Gemengde verzekering

Wanneer een uitkering bij overlijden en een uitkering bij in leven zijn in ´e´en verzekering zijn samengevoegd, is er sprake van een gemengde verzekering. Voor de hoogte van de uitkering Ui

wordt vaak bij overlijden een ander uitkeringsbedrag afgesproken dan bij leven.

(9)

Lijfrenteverzekering

Een lijfrente is te beschouwen als een reeks van betalingen bij het in leven zijn van de polishouder. Vanaf een vooraf afgesproken bereikte einddatum zal deze verzekering periodieke uitkeringen doen gedurende een afgesproken periode. Zo wordt er een inkomen gecre¨eerd voor een wenselijke termijn. Jaarlijkse uitbetalingen van grootte U worden op tijdstippen 0, 1, . . . , K uitgekeerd, nu is de con-tante waarde van deze uitbetalingen:

Y = U × 1 + v + v2+ . . . + vK = U × ¨a_{K + 1} E(Y ) = U × ∞ X k=0 ¨ ak+1 kpx 1qx+k !

De uitgestelde verzekering kan voorkomen bij de bovenstaande verzekeringsvormen. Bij deze ver-zekering vinden de uitkeringen op een afgesproken tijdstip in de toekomst plaats.

2.2 Balans levensverzekeraar

De balans is een onderdeel van de jaarrekening waarop alle bezittingen en schulden (activa en passiva) van de onderneming staan vermeld. Het eigen vermogen (EV) wordt gedefinieerd als het verschil tussen de waarde van de bezittingen en de waarde van de verplichtingen. Het gaat hier om de marktwaarde van de bezittingen en de Voorziening Verzekeringsverplichtingen (VVP). Het EV is weer opgedeeld in een vereist vermogen en een vrij eigen vermogen. Het vereiste vermo-gen is het kapitaal dat de verzekeraar dient aan te houden om aan de voorgeschreven wettelijke solvabiliteitseisen te voldoen.

Activa Passiva

Bezittingen EV VVP

Tabel 2.1: Balans levensverzekeraar Activa

De bezittingen van een levensverzekeraar zijn de beleggingen die aangekocht zijn met de premie- of koopsombetalingen van de polishouders. Door middel van deze beleggingen behaalt een instelling rendement, met dit rendement ´en met de premie inkomsten moet de verzekeringsmaatschappij aan zijn verplichtingen kunnen voldoen.

(10)

A0 : marktwaarde van bezittingen op dit moment

A1 : marktwaarde van bezittingen over een jaar; tijdstip 1

R(0,1) : rendement op bezittingen behaald gedurende jaar (0, 1),

U_(0,1) : uitkeringen aan polishouders gedurende jaar (0, 1).

In deze scriptie wordt de volgende (boekhoud)vergelijking verondersteld:

A1 = A0 1 + R(0,1) − U(0,1). (2.1)

Alle andere geldstromen, zoals kosten, worden hier buiten beschouwing gelaten.

Het behaalde rendement R(0,1) is vaak onzeker en zal beschreven moeten worden in termen van

onzekerheden op t = 0. Het rendement is dus een stochast. Terwijl A0, de bezittingen op dit

moment, bekend verondersteld zijn. A1 is een stochast omdat het rendement en de uitkeringen

gedurende de periode (0, 1) stochasten zijn.

Er worden enkele veronderstellingen gemaakt voor de periode (0, 1); er worden geen nieuwe con-tracten afgesloten, het aantal polishouders kan dus alleen maar afnemen doordat er mensen kunnen overlijden en doordat er contracten aflopen. Er vinden geen premiebetalingen plaats omdat alle verzekeringen afgesloten zijn middels een koopsom. Deze koopsommen zijn al ondergebracht in het vermogen A0, waardoor de verandering in A1 afhankelijk is van het rendement en de uitkeringen,

vergelijking (2.1). De uitkeringen aan de polishouders vinden aan het einde van het jaar plaats, dit is het tijdstip waarop bekend is welke polishouders zijn overleden.

Passiva

Het bedrag wat de verzekeraar op de balans moet hebben om in de toekomst aan zijn verplich-tingen te kunnen voldoen is de VVP. De voorziening wordt berekend als de contante waarde van de verwachtte toekomstige uitkeringen (rekening houdend met sterftekansen) verminderd met de contante waarde van de nog te ontvangen premies, Pinkse en Bruins (2000).

Definieer nu:

L0 : marktwaarde van VVP op dit moment

L1 : marktwaarde van VVP over een jaar; tijdstip 1.

L0 is bekend; de voorzieningen kunnen verkregen worden via de gegevens uit de database van de

levensverzekeraar. L1 is een stochast omdat onbekend is wat er in het tussenliggende jaar (0, 1)

(11)

Activa Passiva A0 EV0 L0 Activa Passiva A1 EV1 L1

Tabel 2.2: Balans levensverzekeraar op tijdstippen 0 en 1

De balansposten zijn vastgesteld op marktwaarde2_{, het gaat hier om de waardering van}

kasstro-men. Deze kasstromen zijn onder te verdelen in vaste en variabele kasstrokasstro-men. Vast betekent dat de kasstromen vooraf vastliggen in nominale termen; ze hangen niet af van rente of aandelen-rendementen. Deze kasstromen kunnen met de rentetermijnstructuur contant gemaakt worden. Variabele kasstromen zullen met stochastische technieken gewaardeerd moeten worden.

2.3 Risico’s levensverzekeraar

De hoogte van het benodigde kapitaal van een levensverzekeraar om aan de verplichtingen te kun-nen voldoen, hangt af van de risico’s waar de verzekeraar aan blootgesteld wordt. Hoe groter de onzekerheden rond de risico’s zijn, hoe meer kapitaal er nodig is om deze onzekerheden op te kun-nen vangen. Alle verschillende risico’s be¨ınvloeden het benodigde kapitaal op een andere manier. In het algemeen wordt risico, een stochast X, gedefinieerd als het netto verlies van een porte-feuille of instelling op een toekomstige dag, Mierzejewski (2005). Een risico wordt gekarakteriseerd door zijn kansdichtheidsfunctie FX(x) = Pr[X ≤ x], x ∈ R.

De risico’s die betrekking hebben op een levensverzekeraar zijn zowel aan de passiva als aan de acti-va zijde acti-van de balans te vinden. In de literatuur worden verschillende risicoclassificaties genoemd.3 Bovenstaande stochast X is een samenstelling van alle afzonderlijke risico’s, zodanig dat X gelijk is aan de som van alle individuele risico’s Xi:

X = X1+ X2+ . . . + Xn.

De marginale verdelingen (FX1, . . . , FXn) worden bekend verondersteld, de afhankelijkheid

tus-sen de afzonderlijke risico’s wordt verkregen via de covariantiematrix of met behulp van copula’s. Wanneer de marginale verdelingen onafhankelijk zijn van elkaar wordt de gezamenlijk verdeling verkregen via het product van de marginale verdelingen. Wanneer de marginale verdelingen af-hankelijk zijn kan met de hulp van copula’s4 de gezamenlijke verdeling vastgesteld worden.

2_{Ook wel actuele waarde genoemd. “Onder de actuele waarde van activa of passiva wordt verstaan de waarde die}

is gebaseerd op actuele marktprijzen of op gegevens die op de datum van waardering geacht kunnen worden relevant te zijn voor de waarde.”, Staatsblad van het Koninkrijk der Nederlanden, Besluit van 14 juni 2005.

3

Deze risicoclassificatie is deels gebaseerd op een onderverdeling welke binnen Ernst&Young gebruikt wordt en deels op de onderverdeling van het KPMG rapport, KPMG (2002). Bovendien is voor de uitleg van de risico’s gebruik gemaakt van het Consultatiedocument FTK, PVK (2004).

(12)

Alle individuele risico’s waar een levensverzekeraar aan blootgesteld kan worden zullen hieron-der besproken worden.

Verzekeringstechnische risico’s

Door het afsluiten van verzekeringscontracten neemt een instelling verzekeringsrisico’s. Deze risi-co’s houden verband met de specifieke kenmerken van datgene wat verzekerd is, in dit geval leven. De duur van levensverzekeringscontracten is doorgaans voor zeer lange perioden. De aannames die gemaakt worden bij het vaststellen van de premies bij aanvang zijn beslissend voor de hoogte van de voorzieningen. De aannames bij het verzekeren zijn daarom van groot belang voor het succes van de maatschappij en voor de toekomstige solvabiliteit.

Het pure verzekeringsrisico is het risico dat de werkelijke voorzieningen voortkomend uit contracten zullen verschillen van de verwachte hoeveelheden voortkomend wanneer de contracten geprijsd en bijgeschreven zijn. Het voornaamste risico is dat de verzekeraar te weinig premies heeft ontvangen voor de vooraf bepaalde risico’s om de uitkeringen uit te betalen. De verzekeringstechnische risi-co’s komen naar voren in de balanspost L aan de passiva zijde van de balans. Deze zaken worden veroorzaakt door:

Sterfterisico

Sterfterisico is het risico voor een verzekeraar wanneer er een negatief resultaat ontstaat als een gevolg van sterfte welke gemiddeld meer of minder dan verwacht is. De verzekeraar verkrijgt de sterfteverwachting via overlevingstafels. Op deze tafel wordt in hoofdstuk 4 verder ingegaan. Kapitaalverzekeringen bij overlijden kunnen aangeduid worden als positief overlijdensrisico aange-zien de risicokapitalen, en daarmee de risicopremies, allemaal groter of gelijk aan nul zijn. In dit geval loopt de verzekeraar kortleven risico: als de verzekerde eerder overlijdt, dus korter leeft dan de veronderstelde keuze van de sterftekansen, dan levert dit voor de verzekeraar verlies op. De lijfrenten en kapitaalverzekeringen bij leven zijn verzekeringen met negatieve risicopremies; negatief overlijdensrisico. Als de verzekerde langer leeft dan verondersteld moet er langer uitge-keerd worden door de verzekeraar en is er sprake van langleven risico.

Afkooprisico

Dit is het risico wanneer een polishouder de polis voor de vervaldatum annuleert waardoor de voorziening afneemt, dit kan tot problemen leiden voor de vaste kosten van de verzekeraar. Operationeel risico

(13)

Beleggingsrisico’s

Om aan de verplichtingen te kunnen voldoen zal de levensverzekeraar moeten beleggen om hier-mee rendement te behalen. Het beleggen brengt risico met zich hier-mee welke naar voren komen in de balanspost A.

Marktrisico

Marktrisico wordt gelopen door het blootstaan aan veranderingen van het niveau en de volatiliteit van financi¨ele waarden. Fluctuaties in marktprijzen (volatiliteit) vormen vooral een risico als ze niet of slechts gedeeltelijk samenvallen met fluctuaties in de waarde van de verplichtingen van de verzekeraar. De volgende risico’s zijn voor de levensverzekeraar te onderscheiden:

Renterisico

Renterisico is het risico door wijzigingen in de rentetermijnstructuur. Bij waarderen tegen markt-waarde in plaats van een vaste rekenrente is de rentetermijnstructuur belangrijk en vormt het renterisico een belangrijk risico voor een levensverzekeraar. Dit risico wordt verder besproken in hoofdstuk 6.

Valutarisico

Valutarisico is het risico door wijzigingen in de wisselkoers. Het valutarisico is alleen een risico voor de levensverzekeraar wanneer de instelling ook in andere landen belegt. In deze scriptie wordt dit risico buiten beschouwing gelaten.

Kredietrisico

(14)

Hoofdstuk 3

Een intern model voor solvabiliteit

Solvabiliteit is het vermogen om op langere termijn aan alle financi¨ele verplichtingen te kunnen voldoen. Als de bezittingen onvoldoende zijn om aan de afgesproken uitkeringen van de polishou-ders te voldoen is een verzekeraar insolvabel. Om als verzekeringsmaatschappij solvabel te zijn op tijdstip t, moet de volgende kans zeer klein zijn:

Pr[EVt≤ 0] = Pr[At− Lt≤ 0]

In dit hoofdstuk wordt een model ten behoeve van het FTK opgesteld waarmee bekeken kan worden hoeveel vermogen er aan gehouden moet worden zodat de verzekeraar aan zijn verplichtingen kan voldoen en dus solvabel is. Hierna kan een model opgesteld worden volgens de Solvency II regelgeving gebaseerd op het FTK model. Vanwege de vele onbekendheden rond Solvency II kunnen de details van dit model op verschillende manieren gedefinieerd worden. Vandaar dat ook gekeken wordt naar een mogelijke invulling van een onderdeel van het interne model met behulp van de SST van Zwitserland.

3.1 Model FTK

Het FTK moet een instrument bieden om de financiële positie en het financiële beleid van ver-zekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen te beoordelen, PVK (2004). De grondgedachte van het FTK is dat instellingen voor de toetsing van de huidige en toekomstige financiële positie en het bepalen van het gewenste kapitaal beslag, een gestandaardiseerde of interne methode gebruiken. Zowel de verplichtingen als de beleggingen worden in het FTK gewaardeerd op marktwaarde. Deze waardegrondslag geeft een beter inzicht in de feitelijke positie van een instelling.

(15)

Minimumtoets

De minimumtoets is een momentopname waarbij het criterium is dat de solvabiliteitsmarge min-stens 100% moet zijn. De relatie met de balans van tabel 2.2 is als volgt:

A0

L0

≥ 1 ⇒ A0 ≥ L0

Solvabiliteitstoets

De solvabiliteitstoets bepaalt of een instelling met een hoge mate van zekerheid risico’s over een periode van één jaar voldoende op kan vangen. DNB beoordeelt of op de balansdatum sprake is van een adequate financiële positie uitgaande van een volledige benadering van de instelling. Hierbij wordt rekening gehouden met de risico’s over de periode van één jaar gerekend vanaf de balansdatum. De relatie met de balans van tabel 2.2 is als volgt:

Pr A1 L1 > 1 ≥ 1 − α ⇒ Pr[A1≥ L1] ≥ 1 − α Continu¨ıteitstoets

De continu¨ıteitstoets brengt de toekomstige solvabiliteitsontwikkeling voor de lange termijn, 3-5 jaren, (op basis van continu¨ıteit) in beeld. Er wordt gekeken of voldoende middelen zijn om op lange termijn genoeg solvabiliteitkapitaal te hebben en te houden. In deze scriptie wordt niet ingegaan op de continu¨ıteitstoets; het onderzoek richt zich alleen op het eerste jaar.

Het FTK toetst of de door de verzekeringsmaatschappij getroffen voorzieningen toereikend zijn. Hieronder volgt een model waarmee bekeken kan worden hoeveel vermogen er aan gehouden moet worden zodat de levensverzekeraar ”slaagt” voor de toets.

Gedurende de ontwikkeling van het FTK heeft een integratie plaats gevonden tussen de mini-mumtoets en de solvabiliteitstoets; de minimini-mumtoets maakt nu deel uit van de solvabiliteitstoets als eerste stap om de uitgangspositie van een instelling te bepalen. In de tweede stap beoordeelt de instelling welke risico’s zij loopt en welke financiële buffers daar bij horen, gerelateerd aan risico’s over de termijn van één jaar.

Voor verzekeraars geldt de solvabiliteitstoets als ijkpunt voor het risicogebaseerde toezicht; de toets is geen aanvulling op de wettelijke solvabiliteitseisen maar een uitwerking van de eis van goed risicobeheer. De toets brengt in beeld of de financi¨ele positie van een verzekeraar adequaat is. Hiermee wordt bedoeld dat de instelling op rapportagedatum voldoet aan twee voorwaarden, PVK (2004):

(16)

• Het eigen vermogen op actuele waarde binnen de gegeven zekerheidsmaat is toereikend om ´

e´en jaar na rapportagedatum nog altijd te voldoen aan de eerste voorwaarde, gegeven de aard en omvang van de aanwezige risico’s. De mate van betrouwbaarheid is voor verzeke-ringsmaatschappijen op 99, 5% gesteld.

Het volgende model zal moeten vaststelen wat de grootte van het vermogen van de verzekeraar nu moet zijn om met 99, 5% zekerheid volgend jaar nog een minimale dekking van k% te behalen. Voor pensioenfondsen is deze solvabiliteitsmarge op 5% gesteld, waar dit voor levensverzekeraars op dit moment voor het FTK nog onbekend is.

A∗₀ = arg min_A₀( Pr[A1 ≥ (1 + k) × L1|A0 ≥ L0] ≥ 0, 995 ) (3.1)

In bovenstaande vergelijking staat A∗₀ voor de marktwaarde van de benodigde bezittingen voor de verzekeraar op tijdstip 0; het gaat om het benodigde vermogen om te slagen voor de solvabiliteits-toets van het FTK. Er moet gelden A0> A∗0.

Op tijdstip 0, zal een buffer aangehouden moeten worden. De vraag is nu hoe groot deze buf-fer moet zijn; hoeveel groter moet A∗₀ zijn dan L0? Er zal naar een opslagfactor b0 voor de buffer

gezocht moeten worden waarvoor geldt A∗₀ = (1+b0)×L0. Model 3.1 kan als volgt geherformuleerd

worden:

b∗₀ = arg min_b₀( Pr[A1 ≥ (1 + k) × L1|A0= (1 + b0) × L0] ≥ 0, 995 ) (3.2)

Om te bepalen hoe groot het vermogen van een verzekeraar op tijdstip 0 moet zijn, zal de factor b0, de keuzevariabele, bepaald moeten worden. Hiertoe kan model (3.2) herschreven worden:

b∗₀ = arg min_b₀( Pr[A1≥ (1 + k) × L1|A0= (1 + b0) × L0] ≥ 0, 995 )

= arg min_b₀ Pr[A0× (1 + R(0,1)) − U(0,1) ≥ (1 + k) × L1|A0 = (1 + b0) × L0] ≤ 0, 005

= arg min_b₀ Pr[(1 + b0) × L0× (1 + R(0,1)) − U(0,1) ≥ (1 + k) × L1] ≤ 0, 005 = arg min_b₀ Pr R(0,1) ≥ (1 + k) × L1+ U(0,1) (1 + b0) × L0 − 1 ≤ 0, 005 = arg min_b₀ Z ∞ 0 Z ∞ 0 PrR(0,1) ≥ η L₁ = l, U_(0,1)= u fL1(l) fU(0,1)(u) dl du ≤ 0, 005 = arg min_b₀ Z ∞ 0 Z ∞ 0 FR(0,1)(η) fL1(l) fU(0,1)(u) dl du ≤ 0, 005 , (3.3) met η =(1+k)×L_((1+b 1+U(0,1)

0)×L0) −1. Model (3.3) is met behulp van het 0, 005

e_{-kwantiel van R}

(0,1)numeriek

(17)

3.2 Model Solvency II

Solvency II gaat uit van een marktwaardebenadering (in literatuur ook wel fair value genoemd) gecombineerd met een risico gedreven kapitaaleis, die door middel van correlatieveronderstellingen gecombineerd wordt tot het vereist EV.

Het Solvency II systeem zal bestaan uit drie pijlers1_:

• Pijler I: minimale kapitaaleisen; • Pijler II: toezichtproces;

• Pijler III: vereiste publicaties;

Voor de invulling van Pijler I en II wordt de relatie gelegd met de balans van tabel 2.2 uit hoofdstuk 2. Het EV op de balans wordt onder de Solvency II regelgeving opgedeeld in drie stukken, dit is weergeven in tabel 3.1. Activa Passiva A V V SCR M CR₊ EV L

Tabel 3.1: Balans levensverzekeraar Solvency II

Het EV wordt het risico gebaseerde kapitaal (RBC) genoemd en bestaat uit het minimaal beno-digde kapitaal (MCR), het vereiste kapitaal voor solvabiliteit (SCR) en een surplus (VV).

MCR is een statutaire marge; wanneer de marge van een instelling onder de MCR waarde komt is een direct ingrijpen van de toezichthouder vereist. De Insurance Commission van de EU wil een simpele formule voor het bepalen van deze waarde, ongeveer gelijk aan de nu geldende minimale kapitaaleis formule van Solvency I2.

SCR geeft de benodigde hoeveelheid extra kapitaal weer om met 99, 5% zekerheid te zeggen dat de instelling over één jaar niet insolvabel is. De MCR en de SCR samen vormen het totaal vereis-te kapitaal. Het overige kapitaal (sluitpost) van het EV is het surplus VV; het vrij eigen vermogen. Nederland (met het FTK) en Zwitserland (met de SST) lopen voorop met hun toezichtmethoden ter beoordeling van de financiële gezondheid van verzekeringsmaatschappijen. De minimumtoets en de solvabiliteitstoets van het FTK kan gezien worden als een invulling van de kwantitatieve eisen en een risicogevoelige solvabiliteitseis van de Pijlers I en II.

Vanaf nu wordt het FTK als basis voor Solvency II verondersteld.

1

Voor een uigebreide beschrijving van Solvency II wordt verwezen naar bijlage ??

(18)

3.2.1 FTK als basis voor Solvency II model

Om te beoordelen of het EV op actuele waarde toereikend is om ´e´en jaar na rapportagedatum nog altijd te voldoen aan een adequate kapitaaldekking van de VVP, gegeven de aard en omvang van de aanwezige risico’s, worden drie varianten door DNB gegeven: de vereenvoudigde methode, de gestandaardiseerde methode en de interne modellen methode.3

Volgens de regelgeving van Solvency II dient een instelling een intern model op te stellen. Een in-tern model moet de kansverdeling van het EV op marktwaarde modelleren op een horizon van ´e´en jaar na rapportagedatum. Deze modellering moet gebaseerd zijn op de kenmerkende stochastische eigenschappen van de waarde ontwikkeling van activa en passiva in hun onderlinge samenhang. Verzekeraars moeten het gewenste EV bepalen op basis van een waarschijnlijkheidsniveau van 99.5%.

Het interne model gebaseerd op de voorwaarden van solvency II met als basis het FTK, dus gebruikmakend van model (3.2), ziet er als volgt uit:

EV₀∗ = arg min_EV₀( Pr[A1≥ (1 + k) × L1|A∗0 = EV0+ L0] ≥ 0, 995 )

Dit model kan op dezelfde manier herschreven worden als model (3.2) voor de numerieke imple-mentatie in S-Plus aan de hand van het 0, 005e-kwantiel van R(0,1):

EV₀∗ = arg min_EV₀ Pr R_(0,1)≥ (1 + k) × L1+ U(0,1) (EV0+ L0) − 1 ≤ 0, 005 = arg min_EV₀ Z ∞ 0 Z ∞ 0 PrR(0,1)≥ λ L₁ = l, U_(0,1) = u fL1(l) fU(0,1)(u) dl du ≤ 0, 005 = arg min_EV₀ Z ∞ 0 Z ∞ 0 FR(0,1)(λ) fL1(l) fU(0,1)(u) dl du ≤ 0, 005 (3.4) met λ =(1+k)×L1+U(0,1)

(EV0+L0) − 1. Voor het surplus geldt dus V V0 = A0− A

∗ 0.

Wanneer EV0 bepaald is, is het interessant om te onderzoeken hoe de buffer is opgebouwd. In het

FTK worden de uitkomsten van het interne model gerelateerd aan de uitkomsten van de gestan-daardiseerde methode. In de volgende paragraaf wordt beschreven hoe het SCR gedeelte berekend wordt in de SST van Zwitserland.4

3.2.2 FTK als basis voor Solvency II model met SST

In de SST wordt voor het solvabiliteitkapitaal een opsplitsing gemaakt tussen minimale solvabi-liteit en het Target Capital (TC). De minimale solvabisolvabi-liteit is gebaseerd op wettelijk opgelegde

3_{Voor een beschrijving van deze methoden wordt verwezen naar PVK (2004).} 4

(19)

berekeningen (Solvency I) en het TC is gebaseerd op de risico’s en is te vergelijken met de SCR van Solvency II, SFOPI (2005). Het TC wordt gedefinieerd als de expected shortfall (ES) van het verschil in EV.

De ES is een andere naam voor Tail Value-at-Risk (TVaR). Value-at-risk (VaR) is het maxi-maal mogelijke verlies over een gegeven risico horizon en onder normale marktomstandigheden binnen een gegeven betrouwbaarheidsinterval, zie figuur 3.1. TVaR geeft een indicatie hoe groot dit verlies, op basis van verwachting, is.

ESα(X) = E[X|X > VaRα(X)]

VaRα(X) = inf{x|Pr[X > x] ≤ 1 − α}

Figuur 3.1: VaR en TVaR

Nu kan het TC als volgt gedefinieerd worden:5

T C = ESα EV1 (1 + i)− EV0 .

(20)

Hoofdstuk 4

Het modelleren van de voorzieningen

Een essentieel probleem in het risicomanagement van een levensverzekeraar is het vaststellen van de voorzieningen. De voorzieningen vatten een stroom van verwachte verdisconteerde kasstromen samen. Deze kasstromen worden geassocieerd met verkochte polissen en worden bepaald door onder andere sterfte en afkoop. Ondanks dat de verplichtingen van verkochte polissen deel uit maken van onzekerheden in de toekomst en dus stochastisch gemodelleerd moeten worden, wordt de voorziening slechts in een enkel getal weergegeven op de balans, dit verbergt de dynamische structuur van het onderliggende proces.

Bij levensverzekeringen vinden de betalingen niet met zekerheid plaats. Bij verzekeringen op één leven betreft die onzekerheid het tijdstip van overlijden, oftewel de toekomstige levensduur van de verzekerde. Dit tijdstip bepaalt de periode van discontering én de hoogte van de betaling(en), afhankelijk van de soort verzekering.

Een zeer belangrijk aspect in het modelleren is dus de resterende levensduur van de verzekerde. Deze toekomstige levensduur wordt als een stochastische variabele beschouwd; een x-jarige per-soon heeft een bijbehorende stochastische resterende levensduur T met een kansverdeling F (t) = Pr[T ≤ t] = tqx, t > 0. De verzekerde overlijdt dus op tijdstip x + T .

In Nederland wordt in de praktijk echter veel gewerkt met de discrete kansverdeling van de sto-chastische variabele K, het aantal nog te leven gehele jaren, hiervoor geldt:

Pr[K = k] = Pr[k < T ≤ k + 1] = FT(k + 1) − FT(k)

= k+1qx− kqx=kpx 1qx+k, k = 0, 1, . . .

4.1 Sterfterisico

(21)

Veel verzekeraars houden rekening met (mogelijk dalende) toekomstige sterftekansen door een leeftijd terugstelling toe te passen op de meest recente AG-tafels. Een overlevingstafel is een statistisch overzicht met betrekking tot de sterftekans per leeftijd van een groep personen, zoals alle mannen in de bevolking van Nederland. De meest recente Nederlandse overlevingstafel is de tafel Gehele Bevolking Mannen/Vrouwen (GBM/V) in Nederland over de waarnemingsperiode 1995-2000. Deze overlevingstabel is vastgesteld door het Actuarieel Genootschap en wordt daarom aangeduid als AG-tafel.1

Het lijkt echter beter om gebruik te maken van tweedimensionale overlevingstabellen, dit is een tabel waaruit per leeftijd x (rijen) de (verwachte) eenjarige overlevingskansen voor een toekomstig jaar t (kolommen) kunnen worden afgeleid voor mannen en vrouwen afzonderlijk. Zo wordt de toekomstige dalende sterftetrend bij het berekenen van de voorzieningen meegenomen, bestaande overlevingstafels nemen deze trend niet mee. Om dit doel te bereiken wordt gebruik gemaakt van reductiefactoren.

Deze paragraaf behandelt eerst verschillende aspecten uit een overlevingstafel, daarna wordt inge-gaan op een methode om de toekomstige sterftekansen te modelleren met behulp van reductiefac-toren.

4.1.1 Overlevingstafel

Bij levensverzekeringen gaat het om overeenkomsten met een toekomstkarakter. Wat betreft de verwachtingen omtrent sterfte heeft de verzekeraar slechts beperkte steun aan bevolkingstafels, omdat de sterfte onder verzekerden vaak afwijkt van de bevolkingssterfte. Door het AG worden diverse soorten overlevingstafels geconstrueerd zodat overlevingstafels verschillen per onderschei-den groep op basis van verschillende kenmerken als sexe, roken etc. De gekozen overlevingstafel bepaalt in belangrijke mate de premiehoogte. De verzekerde bepaalt, met inachtname van zijn gezondheidstoestand, zelf de keuze van de soort, duur en hoogte van de verzekering.

Een overlevingstafel geeft in het kader van het stochastisch model, uitgaande van een groot aantal levenden van bijvoorbeeld leeftijd 0, voor iedere gehele leeftijd het verwachte aantal nog in leven zijnde personen. Vaak worden andere grootheden toegevoegd als ´e´enjarige sterftekansen en de resterende levensverwachting. Het verwachte aantal levenden bij leeftijd x wordt genoteerd als lx

en het verwachte aantal overledenen tussen leeftijd x en x + 1 als dx, zodat dx = lx− lx+1, zie

tabel 4.1. Binnen het traditionele deterministische model zijn lx en dx exacte aantallen.

Als nu een geschikte overlevingstafel als uitgangspunt genomen wordt voor de bepaling van de verdeling van stochast K en gerelateerde één- en meerjarige kansen, dan volgen de éénjarige kansen als volgt uit de overlevingsfunctie lx:

1px = lx+1 lx en 1qx = 1 − 1px= dx lx .

(22)

x lx dx 0 10.000.000 58.395 1 9.941.605 4.967 2 9.936.638 3.780 3 9.932.858 2.463 4 9.930.395 . . . .

Tabel 4.1: Deel van overlevingstafel GBM 1995-2000

Meerjarige overlevingskansen volgen dan als product van ´e´enjarige overlevingskansen; npx = 1px 1px+1 . . . 1px+n−1. Nu kan de verdeling van K voor iedere x bepaald worden uit de

overlevings-tafel. Binnen het stochastische model worden naast de verwachtingswaarde ook andere momenten onderscheiden.

4.1.2 Toekomstige sterftekansen met reductiefactoren

Het is algemeen bekend dat de levensverwachting in het verleden een stijgende trend vertoonde. Tot nu toe blijft deze ontwikkeling zich voor doen. Het ligt daarom voor de hand om te veron-derstellen dat de trendmatige daling van de sterftekansen zich in de toekomst zal voortzetten. De snelheid waarmee de sterftekansen dalen is onzeker en vormt het trendrisico. De omvang van dit risico is van belang bij de waardering van de VVP.

Hieronder volgt het model waarin de toekomstige sterftekansen afhankelijk zijn van zowel de leef-tijd van de verzekerde ´en de tijd. De sterftekans bij een bepaalde bereikte leeftijd hangt af van het jaar waarin deze leeftijd wordt bereikt. Daarom wordt de sterftekans weergegeven met twee indices; de bereikte leeftijd x in jaar t.

De sterftekans voor een persoon die in toekomstig jaar t, x jaar oud is, wordt gegeven door2:

qx,t= RFx× qx,t−1× exp (x,t) (4.1)

In (4.1) is RFx de jaarlijkse leeftijdsafhankelijke reductiefactor waarmee de

bevolkingssterftekan-sen afnemen. De restrictie 0 < RFx≤ 1 geldt voor de reductiefactor.

Bovendien is x,t de storingsterm in jaar t met E[x,t] = 0 en Var[x,t] = σ2, en qx,0 wordt

gelijk-gesteld aan de sterftekans volgens de meest recente AG-tafel (GBM/V 1995-2000). Als basisjaar, t = 0, wordt het centrale jaar 1998 van deze tafel gekozen.

Wanneer verondersteld wordt dat de storingstermen onderling ongecorreleerd zijn, geeft verge-lijking (4.1) voor de ontwikkeling van de bevolkingssterfte in de toekomst een random walk. Een random walk met drift log(RFx) geeft de voorspelling weer.

2

(23)

log(qx,t) = log(RFx) + log(qx,t−1) + x,t

yx,t = log(RFx) + yx,t−1+ x,t, met yx,t= log(qx,t)

yx,t = log(RFx) + [log(RFx) + yx,t−2+ x,t−1] + x,t yx,t = t × log(RFx) + yx,0+ t X j=1 x,j

De r-staps voorspelling van yx,r is gelijk aan de geconditioneerde verwachting:

E[yx,r|yx,0] = r × log( ˆRFx) + yx,0 (4.2)

De drift log( ˆRFx) kan geschat worden door het gemiddelde te nemen van de waargenomen jaarlijkse

verandering in de y-waarden. Deze trend is gebaseerd op de AG-tafels 1980-1985, 1985-1990, 1990-1995 en 1990-1995-2000. In onderstaande vergelijking staat T voor het aantal beschikbare waarnemingen voor de sterftetrend: log( ˆRFx) = 1 T − 1 T −1 X t=1 (yx,t− yx,t−1) Varhlog( ˆRFx) i = 1 (T − 1)2 × Var "_{T −1} X t=1 x,t # = σ 2 T − 1

De voorspelfout is het verschil tussen de realisatie en de voorspelling. Er geldt voor de variantie van de voorspelfout

Var [yx,r − E[yx,r|yx,0]] = Var

 r ×log(RFx) − log( ˆRFx) + r X j=1 x,j  

= r2× Varhlog(RFx) − log( ˆRFx)

i + Var   r X j=1 x,j   = r2× Varhlog( ˆRFx) i + r × σ2

Nu geldt voor een 90% betrouwbaarheidsinterval (BI) voor de voorspeller:

(24)

Voor het BI rond de voorspelling voor qx,r geldt de e-macht van bovenstaand BI. Met de

verwach-ting van qx,r kunnen de voorzieningen worden uitgerekend:

E[qx,r] = exp E[yx,r] + 1 2σ 2

Met bovenstaande kansen en formule 4.2 volgt de tweedimensionale overlevingstabel 4.2. Bij prog-noseberekeningen moet gerekend worden met de diagonalen van linksboven naar rechtsonder, te beginnen in de kolom gehorend bij het startjaar voor de prognoses en de rij behorend bij de leeftijd in dat jaar.

Tabel 4.2 is de geconstrueerde tweedimensionale sterftetabel voor mannen. Het AG hanteerd verschillende overlevingstafels voor mannen en vrouwen omdat vrouwen gemiddeld langer leven dan mannen. In dit onderzoek zijn de sterftekansen voor zowel mannen als vrouwen op deze zelfde tabel gebaseerd. 1998 1999 2000 2001 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 . . . x = 30 q30,0 q30,1 q30,2 q30,3 x = 31 q31,0 q31,1 q31,2 q31,3 x = 32 q32,0 q32,1 q32,2 q32,3 x = 33 q33,0 q33,1 q33,2 q33,3 . . .

Tabel 4.2: Tweedimensionale overlevingstabel qx,r

In figuur 4.1 worden de sterftekansen voor een persoon van 30 jaar en een persoon van 35 jaar gegeven, er is een duidelijk de afname in de sterftekansen te zien. Deze vrij snelle daling van de sterftekansen ligt in het feit dat er te weinig datapunten beschikbaar zijn om de trend te schatten. Bovenstaande methode kent slechts 1 parameter, de overlevingstafels gekozen als startpunt voor de bepaling van de trend. De uitkomsten zijn sterk gevoelig voor de keuze hiervan. De belangrijkste reden voor de keuze van de tafels is dat dit de meest recente tafels zijn. De meer recentere trends zijn het meest aannemelijk voor de toekomst.

(25)

Figuur 4.1: Dalende sterftekansen 30- en 35-jarig persoon

4.2 Afkooprisico

Polishouders hebben verschillende redenen voor het be¨eindigen van hun polissen. Dit heeft echter gevolgen voor de voorziening van een verzekeraar; de voorziening zal dalen als een gevolg van afkoop. Om een nauwkeurigere schatting voor de voorziening te krijgen zal het afkooprisico on-derzocht moeten worden.

Voor lijfrenten geldt dat deze contracten niet afgekocht mogen worden, dus van afkooprisico is geen sprake. Ook voor kapitaalverzekeringen bij leven komt afkoop niet vaak voor. Daarom wordt dit risico buiten beschouwing gelaten. Het zal slechts een zeer klein effect op de buffer van de verzekeraar tot gevolg hebben.

4.3 Vaststellen VVP

(26)

• ingegaan levenslange lijfrente (lijf28) • ingegaan tijdelijke lijfrente (lijf29)

• uitkering bij leven of restitutie van een deel van de inleg (koop80) • uitkering bij leven of teruggave van de opgerente inleg (koop88) • uitkering bij leven (koop90)

verzekeringstype x d u lijf28 65,42 - 1806,82 lijf29 62,30 3,40 3314,31 koop80 54,79 5,40 15912,21 koop88 53,25 6,43 13345,69 koop90 54,08 6,48 14095,96

Eenvoudigheidshalve is aangenomen dat alle polissen zijn ingegaan op 1 januari en dat alle lijfrenten postnumerando op jaarbasis worden uitgekeerd. Bovendien zijn de leeftijden van de verzekerden en de duur van de verzekeringen afgerond op gehele getallen.

Voor de duidelijkheid volgt hieronder een voorbeeld voor de berekening van de VVP voor de ingegaan tijdelijke lijfrente met duur d, voor een x-jarige:

Llijf 29(t) = U × 1px,t v1+ . . . +dpx,t vd = U × d X i=1 ipx,t vi

(27)

Hoofdstuk 5

Een kwantielschatting van de

verdeling van rendementen

Veronderstel dat er n verschillende assets aanwezig zijn, hiervan kan een portfolio gevormd worden met wi,Pn_i=1wi = 1, het gewicht van asset i in de portefeuille. Wanneer Ri het rendement van

asset i is, wordt het gehele rendement van de portefeuille gedefinieerd als: R =Pn

i=1wiRi. Vaak

is de behaalde hoeveelheid geld bij verkoop van een asset onzeker op het moment van de aanschaf. Het rendement zal beschreven moeten worden in termen van waarschijnlijkheden; R is een stochast. Om vergelijkingen (3.3) en (3.4) op te lossen is het 0, 005e kwantiel nodig van de verdeling van R(0,1). Het pe-kwantiel van F wordt weergegeven door xp = F←(p). Hier is

F←(p) = inf{x ∈ R : F (x) ≥ p}, 0 < p < 1

de gegeneraliseerde inverse van de verdelingsfunctie F . Het 0, 005e kwantiel bevindt zich in de (linker) staart van de verdeling. Wanneer sprake is van financi¨ele data gaat het bijna altijd om dikke staarten. Er bestaat geen algemene definitie van dikke staarten. Vaak wordt gesproken over dikke staarten of dunne staarten als de staarten dikker respectievelijk dunner zijn dan de staarten van een normale verdeling. Men spreekt ook van dunne staarten wanneer deze exponentieel snel naar nul gaan.

Twee kerngetallen die soms bekeken worden bij de vergelijking met de normale verdeling zijn de scheefheidscoëfficiënt en kurtosis. De scheefheidscoëfficiënt meet de symmetrie van de verde-ling; indien de gegevens uit een normale verdeling komen moet de scheefheidscoëfficiënt nul zijn. Wanneer deze coëfficiënt bijvoorbeeld drie is, duidt dit op een asymmetrie naar rechts, bijvoorbeeld een langere staart naar rechts. De kurtosis meet de zwaarte van de staarten van een verdeling. Een kurtosis van drie stelt dat de staarten even zwaar zijn als die van een normale verdeling. Wanneer de kurtosis groter is dan drie betekent dit dat de staarten (een stuk) zwaarder zijn dan die van de normale verdeling.

(28)

5.1 Data beschrijving

In deze scriptie wordt verondersteld dat de portefeuille van de levensverzekeraar bestaat uit twee verschillende assets; de verzekeraar belegt alleen in aandelen en obligaties. Het rendement van de portefeuille ziet er als volgt uit; R(0,1) = w × Ra+ (1 − w) × Ro, met Ra de aandelenrendementen

en Ro de obligatierendementen.

Er wordt gebruik gemaakt van de MSCI World Index voor het rendement van aandelen van 31-01-1985 tot en met 30-09-2005 en CGBI WGBI NL All Maturities1 van 31-01-1985 tot en met 30-09-2005 voor de obligatierendementen. Beide indices zijn inclusief herbelegde dividenden/coupon betalingen.

Neem van beide index-reeksen het logaritme, nu wordt het logaritmische rendement weergege-ven door Y . Laat nu Y1, . . . , Yn de rendementen voor maand 1, 2, . . . , n. Vanwege onderstaande

uitkomsten, welke de autocorrelatie op maandbasis voor beide rendementen weergeeft, worden de maandrendementen onderling onafhankelijk verondersteld.

Aandelen Obligaties

Autocorrelatie 0,044 0,230

Om een indruk te krijgen van het verloop van de originele waarden van beide reeksen volgt figuur 5.1 met de maandelijkse log-rendementen en tabel 5.1 met de verwachting, variantie en kurtosis van de rendementen.

Aandelen Obligaties

Gemiddelde 0,007 0,006

Variantie 0,002 0,0001

Kurtosis 4,925 5,016

Tabel 5.1: Samenvatting historische maandrendementen

Er zijn verschillende methoden om het 0, 005e kwantiel van R(0,1) te bepalen. In onderstaande

paragraaf wordt de methode met de empirische verdelingsfunctie beschreven.

5.2 Empirische verdeling

In deze methode wordt in S-Plus aan de hand van de empirische verdeling de verdeling voor R(0,1)

geschat. Op basis van de geschatte verdeling kan het bijbehorende kwantiel vastgesteld worden. De empirische verdelingsfunctie Fn van de rendementen Y1, . . . , Ynwordt gedefinieerd als

1

(29)

Figuur 5.1: Verloop aandelen- en obligatierendementen Fn(y) = 1 n n X i=1 I_(−∞,y](Yi), x ∈ R.

Wanneer de waarden van de rendementen vervolgens gesorteerd worden van klein naar groot, Y₍₁₎ < Y(2) < . . . < Y(n), dan is Y(j) de je orde statistiek. Er geldt Y(1)= min(Yj) en Y(n)= max(Yj).

Nu geldt voor de empirische kwantielfunctie F_n←:

F_n←(Y(k)) =

k

n, k = 1, . . . , n.

(30)

Fn(t) =              Y1 t ∈ (0,_n1], Yk t ∈ ((k+1)_n ,k_n], k = 2, . . . , n − 1, Yn t ∈ ((n−1)_n , 1).

Voor elk scenario wordt (met teruglegging) 12 maandrendementen getrokken uit de historische observaties; voor elke maand van het volgende jaar een rendement. Met behulp van chainlink wordt het jaarrendement voor aandelen en obligaties afzonderlijk bepaald:

Rjaar = (1 + Rmaand1) × (1 + Rmaand2) × . . . × (1 + Rmaand12).

Nu kan een jaarrendement van de gehele portefeuille bepaald worden voor verschillende beleggings-mixen.

Wanneer bovenstaand scenario 1000 keer uitgevoerd wordt, kan een verdeling voor R(0,1)

ver-ondersteld worden, figuur 5.2. Het is nu mogelijk om het bijbehorende 0, 005e-kwantiel te bepalen. De vaststelling van dit kwantiel is echter een schatting omdat hij afhankelijk is de trekkingen van de maandelijkse rendementen.

Bij het herhalen van bovenstaand proces kan de verwachting, variantie en BI van het 0, 005e -kwantiel vastgesteld worden. Voor verschillende beleggingsmixen volgt voor het 0, 005e-kwantiel van R(0,1):

0.005e-kwantiel 30% aandelen 50% aandelen 70% aandelen 70% obligaties 50% obligaties 30% obligaties

Gemiddelde -0,0566 -0,1213 -0,1888

Variantie 0,0001 0,0002 0,0003

Kurtosis 3,4193 2,7158 2,7069

Tabel 5.2: Samenvatting 0, 005e_{-kwantiel van R} (0,1)

Een andere methode voor het vaststellen van het 0, 005e-kwantiel van R(0,1) is volgens de

(31)

(32)

Hoofdstuk 6

Analyse solvabiliteitsvereisten

In dit hoofdstuk zal het vereiste solvabiliteitsvermogen, welke voortvloeit uit het interne model, bestudeerd worden. Er zal een gevoeligheids analyse plaatsvinden voor verschillende onderdelen van het interne model. In elke paragraaf zal een analyse beschreven worden waarna de resultaten en een interpretatie van de resultaten volgen.

6.1 Analyse rentetermijnstructuur

In de eerste analyse worden de voorzieningen berekend op basis van een vaste 4% rekenrente, ver-geleken met de voorzieningen berekend aan de hand van de ge¨extrapoleerde rentetermijnstructuur. De berekening met een vaste rekenrente is de berekening volgens de klassieke methode terwijl de berekeingingen aan de hand van een rentetermijnstructuur, en dus op marktwaarde, voldoen aan de Solvency II normen. In bijlage ?? volgt een beschrijving van deze rentetermijnstructuur. In onderstaande tabel zijn de resultaten van de analyse in euro’s weergegeven weergegeven: Voorziening o.b.v. Voorziening o.b.v. procentuele toename 4% vaste rekenrente rentetermijnstructuur

Lijf28 3.227.867 3.314.681 2, 6895% Lijf29 9.767.486 9.996.234 2, 3419% Koop80 98.281.645 101.161.564 2, 9303% Koop88 131.876.922 135.693.479 2, 8940% Koop90 22.239.148 22.909.573 3, 0146% Lijfrenten 12.995.354 13.310.915 2, 4283% Koopsommen 252.397.714 259.764.616 2, 9188% Totaal 265.393.068 273.075.531 2, 8947%

In de kolommen “4% vaste rekenrente” en “rentetermijnstructuur” worden voor de lijfrenten en de koopsommen uit de database de berekende voorzieningen weergegeven met een vaste rekenrente van 4% en rentetermijnstructuur respectievelijk.

(33)

rente-termijnstructuur hoger dan berekend op basis van een vaste rekenrente van 4%. Dit komt doordat de rentetermijnstructuur vaak een rente toe past van minder dan 4%, zie bijlage ??.

De procentuele toename van de voorziening ligt bij de kapitaalverzekeringen hoger dan bij de lijfrenten. De marktwaarde benadering heeft dus als gevolg dat voor kapitaalverzekeringen een grotere voorziening, in vergelijking met klassieke benadering, aangehouden moet worden dan voor lijfrenten. Kapitaalverzekeringen zijn rentegevoeliger vanwege het feit dat kapitaalverzekeringen doorgaans een langere looptijd hebben dan lijfrenten. Waneer de gemiddelde duur van de contrac-ten in de database bekeken wordt is inderdaad de duur van de tijdelijke lijfrente gemiddeld 3,40 jaar en de duur van de kapitaalverzekeringen ligt rond de 6 jaar.

6.2 Analyse opslagfactor b

0

In deze analyse zal de opslagfactor b0 uit model (3.3) bestudeerd worden. Er wordt gekeken naar

verschillende beleggingsmixen en verschillende solvabiliteitsmarges. Bovendien wordt ook onder-scheidt gemaakt tussen berekeningen op basis van 4% vaste rekenrente en de rentetermijnstructuur.

4% vaste rekenrente rentetermijnstructuur

blijf₀ 0,1344 0,1272

bkoop₀ -0,0710 -0,0702

btotaal₀ -0,0609 -0,0605

Tabel 6.1: Resultaten b0; 30% aandelen en 70% obligaties

blijf₀ 0,2181 0,2104

bkoop₀ -0,0024 -0,0015

btotaal₀ 0,0084 0,0088

blijf₀ 0,3197 0,3113

bkoop₀ 0,0808 0,0818

btotaal₀ 0,0925 0,0929

(34)

In de tabellen 6.1, 6.2 en 6.3 worden de waarden van opslagfactor b0 voor k = 4% en verschillende

beleggingsmixen weergegeven. Ook het onderscheidt in berekeningen op basis van 4% vaste reken-rente en de reken-rentetermijnstructuur is af te lezen.

De opslagfactor b0 = 0, 1344 uit tabel 6.1 betekent dat de verzekeraar 13, 44% van de VVP als

buffer aan moet houden om volgend jaar met 99, 5% zekerheid een solvabiliteitsmarge van 5% te kunnen behalen. Dit bij een berekening op basis van 4% rekenrente en een beleggingsmix van 30% in aandelen en 70% in obliaties.

In de tabellen 6.4, 6.5 en 6.6 worden de waarden van opslagfactor b0 voor k = 5% en verschillende

beleggingsmixen weergegeven. Ook hier wordt onderscheidt gemaakt tussen berekeningen op basis van 4% vaste rekenrente en de rentetermijnstructuur.

blijf₀ 0,1421 0,1349

bkoop₀ -0,0621 -0,0613

btotaal₀ -0,0521 -0,0517

blijf₀ 0,2265 0,2188

bkoop₀ 0,0072 0,0081

btotaal₀ 0,0179 0,0183

blijf₀ 0,3287 0,3204

bkoop₀ 0,0912 0,0921

btotaal₀ 0,1028 0,1032

Voor zowel k = 4% als voor k = 5% geldt dat wanneer meer belegd wordt in aandelen, de op-slagfactor b0 groter wordt. Dit is logisch, immers aandelen zijn risicovoller dan obligaties en dus

(35)

Uit voorgaande tabellen volgt tevens dat verzekeraars voor lijfrenten aanzienlijk grotere buffers moeten aanhouden in vergelijking met kapitaalverzekeringen. Lijfrenten staan voor verzekeraars dan ook bekend als dure producten, er moet immers elke periode een bedrag uitgekeerd worden. Dit bedrag moet ook gereserveerd worden; de voorzieningen. De voorzieningen voor lijfrenten nemen gedurende de periode (0, 1) met ongeveer 26% af. Dit betekent dat dit potje voorzieningen over vier jaar nul euro bedraagt wanneer er geen nieuwe contracten worden afgesloten. Voor kapi-taalverzekeringen gaat dit minder snel.

Voor kapitaalverzekeringen hoeft in het geval van 30% of 50% beleggingen in aandelen niet eens een buffer aangehouden te worden. Dit is te verklaren door het volgende: de gemiddelde expiraties na het eerste jaar is voor de drie typen kapitaalverzekeringen ongeveer 16, 5%. Dit betekent dat voor ongeveer 16, 5% van de polishouders met een kapitaalverzekering het contract is afgelopen. Voor deze personen hoeft dus geen voorziening meer aangehouden te worden. Van de overige 83, 5% kunnen polishouders overlijden, vóór er uitgekeerd moet worden door de verzekeringsmaatschap-pij. Bij overlijden vóór de afgesproken einddatum wordt “slechts” de (opgerente/deel/geen) inleg uitgekeerd aan de nabestaanden, dit is veel minder dan de afgesproken uitkering bij leven. Voor de verzekeraar wordt dus een positief resultaat geboekt wanneer de verzekerde vóór de afgesproken einddatum overlijdt. Wanneer dit positieve resultaat gereserveerd wordt voor het behalen van de solvabiliteitsmarge van het volgende jaar, hoeft op dit moment niet een (grote) buffer aangehouden te worden.

De tabellen 6.7, 6.8 en 6.9 geven de procentuele verandering in b0 weer tussen de 4% vaste

re-kenrente en de rentetermijnstructuur voor k = 4% en k = 5%.

k = 4 k = 5

% verandering tussen rekenrente % verandering tussen rekenrente en rentetermijnstructuur en rentetermijnstructuur

blijf₀ -5,4315 % -5,0669 %

bkoop₀ 1,1268 % 1,2882 %

btotaal₀ 0,6569 % 0,7678 %

Tabel 6.7: Procentuele veranderingen; 30% aandelen en 70% obligaties

k = 4 k = 5

blijf₀ -3,5305 % -3,3996 %

bkoop₀ 37,5000 % 12,5000 %

btotaal₀ 4,7619 % 2,2346 %

(36)

k = 4 k = 5 % verandering tussen rekenrente % verandering tussen rekenrente en rentetermijnstructuur en rentetermijnstructuur

blijf₀ -2,6275 % -2,5251 %

bkoop₀ 1,2376 % 0,9868 %

btotaal₀ 0,4324 % 0,3891 %

Voor lijfrenten is b0 groter met behulp van vaste rekenrente, terwijl voor kapitaalverzekeringen

en de totale b0 geldt dat de rentetermijnstructuur een grotere opslagfactor geeft dan bij de vaste

rekenrente. Dit heeft weer te maken met de duur van het type verzekeringen en het verloop van de rentetermijnstructuur. Wanneer figuur ?? bestudeerd wordt is af te lezen dat de eerste jaren de rente onder de 4% ligt, dit brengt een hogere waarden met zich mee (zie resultaten analyse 1). De duur van lijfrenten is gemiddeld 3,4 jaar waardoor gerekend wordt met een rente van minder dan 4%.

De procentuele veranderingen tussen de vaste rekenrente en de rentetermijnstructuur zijn bij een k van 4% of 5% steeds ongeveer even groot. De 37.5% en 12.5% uit tabel 6.8 lijkt een grote ver-andering, echter uit de tabellen 6.2 en 6.5 blijkt dat het en zeer kleine absolute verandering betreft. Enkele kanttekeningen die gemaakt dienen te worden ten aanzien van de uitkomsten: de database betreft een levensverzekeraar met een totale voorziening van ongeveer 265 miljoen euro terwijl er ook verzekeraars zijn met een voorziening van rond de 13 miljard. De database heeft betrekking op een “kleine” verzekeraar. De grootte van de database heeft er wel voor gezorgd dat het een werkbaar model is geworden. Bovendien duurt gemiddeld genomen een lijfrente 10-15 jaar. In de database is de duur van de tijdelijke lijfrenten slechts 4 jaar. Dit betekent dat uit de simulaties een zeer hoge waarde voor de opslagfactor voor de lijfrenten komt. De leeftijden van de polishouders en de duur van de contracten zijn afgerond op gehele getallen. Hierdoor is het expiraties (gemiddeld 16, 5) misschien iets hoger en zijn de uitkomsten iets minder nauwkeurig.

6.3 Analyse eigen vermogen EV

0

In deze analyse wordt gekeken naar EV0 uit model (3.4). Er wordt gekeken naar verschillende

(37)

In de tabellen 6.10, 6.11 en 6.12 worden de waarden van EV0 voor k = 4% en verschillende

beleggingsmixen weergegeven. Bovendien wordt ook onderscheidt gemaakt tussen berekeningen op basis van 4% vaste rekenrente en de rentetermijnstructuur.

EV₀lijf 1.745.953 1.692.530

EV₀koop -17.911.118 -18.223004

EV totaal₀ -16.165.166 -16.530.474

Tabel 6.10: Resultaten EV0; 30% aandelen en 70% obligaties

EV₀lijf 2.834.509 2.800.444

EV₀koop -595.698 -386.614

EV totaal₀ 2.238.811 2.413.831

EV₀lijf 4.154.292 4.143.697

EV₀koop 20.397.791 21.238.508

EV totaal₀ 24.552.083 25.382.204

(38)

In de tabellen 6.13, 6.14 en 6.15 worden de waarden van EV0 voor k = 5% en verschillende

beleggingsmixen weergegeven. Ook hier wordt onderscheidt gemaakt tussen berekeningen op basis van 4% vaste rekenrente en de rentetermijnstructuur.

EV₀lijf 1.847.162 1.796.261

EV₀koop -15.668.715 -15.912.765

EV totaal₀ -13.821.553 -14.116.504

EV₀lijf 2.943.193 2.911.834

EV₀koop 1.812.293 2.094.223

EV totaal₀ 4.755.486 5.006.058

EV₀lijf 4.272.037 4.264.374

EV₀koop 23.006.543 23.926.180

EV totaal₀ 27.278.580 28.190.553

(39)

De tabellen 6.18, 6.17 en 6.16 geven de procentuele verandering in EV0 weer tussen de 4% vaste

rekenrente en de rentetermijnstructuur voor k = 4% en k = 5%.

k = 4 k = 5

EV₀lijf -3.0598 % -1.2018 %

EV₀koop -1.7413 % 1.2882 %

EV totaal₀ -2.2598 % 0.7678 %

k = 4 k = 5

EV₀lijf -1.2018 % -2.7556 %

EV₀koop 35.0990 % 15.5565 %

EV totaal₀ 7.8175 % 5.2691 %

k = 4 k = 5

EV₀lijf -0.2550 % -0.1794 %

EV₀koop 4.1216 % 3.9973 %

EV totaal₀ 3.3811 % 3.3432 %

Voor het verklaren van de resultaten van deze analyse kunnen vrijwel dezelfde conclusies weer-gegeven worden als bij de ananlyse van de opslagfactor b0. Het verschil in beide modellen zit in

de definitie van het vermogen. Voor het interne model op basis van het FTK, model 3.3, geldt A = (1+b0)×L0. Voor het interne model op basis voor Solvency II, model 3.4, geldt A = EV0+L0.

(40)

Hoofdstuk 7

Conclusie

Een intern model moet de kansverdeling van het eigen vermogen op marktwaarde modelleren voor een horizon van 1 jaar. Deze modellering moet gebaseerd zijn op kenmerkende stochastische ei-genschappen van de waarde ontwikkeling van passiva en activa in hun onderlinge samenhang. Uit dit onderzoek blijkt dat het analytisch mogelijk is een intern model op te stellen voor een levens-verzekeraar.

De levensverzekeraar wordt blootgesteld aan een aantal risico’s: interest-, sterfte- en afkoopri-sico zijn mogelijke riafkoopri-sico’s die meegenomen moeten worden in het interne model. Het sterfteriafkoopri-sico kan bijvoorbeeld gemodelleerd worden aan de hand van een twee-dimensionale overlevingstabel waar toekomstige overlevingskansen met behulp van reductiefactoren verkregen zijn.

Uit het interne model kunnen de solvabiliteitsvereisten volgens Solvency II wetgeving verkregen worden, deze numerieke reslutaten zijn goed te weerleggen: Wanneer de voorzieningen op twee verschillende manieren berekend worden, op basis van een 4% vaste rekenrente of aan de hand van de rentetermijnstructuur volgens Solvency II normen, valt op dat zowel voor lijfrenten als kapi-taalverzekeringen de voorziening op basis van een rentetermijnstructuur hoger is dan berekend op basis van een vaste rekenrente van 4%. Dit komt doordat de rentetermijnstructuur vaak een rente toepast van minder dan 4%. Bovendien heeft de marktwaarde benadering tot gevolg dat voor kapitaalverzekeringen een grotere voorziening aangehouden moet worden dan voor lijfrenten, dit ligt aan de langere looptijd van de kapitaalverzekeringen. Voor lijfrenten moeten aanzienlijk gro-tere buffers aangehouden worden dan voor kapitaalverzekeringen. Lijfrenten zijn dure producten omdat elk jaar een bedrag uitgekeerd moet worden, dit bedrag dient gereserveerd te worden. Voor kapitaalverzekeringen hoeft niets of bijna niets aangehouden te worden in het geval van 30% en 50% beleggingen in aandelen: er wordt een positief resultaat geboekt door de verzekeraar wanneer een polishouder overlijdt v´o´or afgesproken einddatum. Wanneer dit resultaat gereserveerd wordt voor het behalen van de solvabiliteitsmarge van het volgende jaar hoeft op dit moment geen buffer aangehouden te worden.

(41)

(42)

Hoofdstuk 8

Wiskundige symbolen

tpx kans dat x-jarige minstens t jaren overleeft tqx kans dat x-jarige binnen t jaren overlijdt

A0 marktwaarde van bezittingen op dit moment

A∗₀ marktwaarde van benodigde bezittingen op dit moment L0 marktwaarde van VVP op dit moment

R(0,1) rendement op bezittingen behaald gedurende jaar (0, 1)

U_(0,1) uitkeringen aan polishouders gedurende jaar (0, 1) k minimale solvabiliteitsmarge

b0 opslagfactor voor de buffer

b∗₀ benodigde opslagfactor voor de buffer EV0 eigen vermogen op dit moment

EV₀∗ benodigde eigen vermogen op dit moment lx verwachte aantal levenden bij leeftijd x

dx verwachte aantal overledenen tussen leeftijd x en x + 1

RFx jaarlijkse leeftijdsafhankelijke reductiefactor

(43)

Bibliografie

DNB. De uitgangspunten voor een financieel toetsingskader. Technisch rapport, DNB, Apeldoorn, 2002.

H.U. Gerber. Life Insurance Mathematics. Swiss Association of Actuaries, Springer, Z¨urich, 1997. KPMG. Study into the methodologies to assess the overall financial position of an insurance under-taking from the perspective of prudential supervision. Technisch rapport, European Commission, 2002.

R.D. Lee en L. Carter. Modelling and forecasting the time series of u.s. mortality. Journal of the American Statistical Association, 87 659–671, 1992.

F. Mierzejewski. Dealing with bankruptcy and agency costs when allocating economic capital in banking and inrurance. Working paper, 2005.

R.B. Nelsen. An introduction to copula’s. Springer, New York, 1999.

C.C.W. Pinkse en H.G.W.K. Bruins. Levensverzekeringswiskunde. Wolters-Noordhoff, Groningen, 2000.

PVK. Informatie over de wet toezicht verzekeringsbedrijf 1993. Technisch rapport, DNB, 2002. PVK. Consultatiedocument ftk. Technisch rapport, DNB, Apeldoorn, 2004.

J. Rank. Copulas in financial risk management. Technisch rapport, Department for Continuing Education, University of Oxford, 2000.

A. Sandstr¨om. Solvency; Models, Assessment and Regulation. Chapman & Hall, Boca Raton, 2006.