Bijlage A
Solvency II
Het toezicht op verzekeraars wordt in steeds grotere mate be¨ınvloed door regelgeving uit Brussel. De Europeese Commissie is van plan het huidige toezichtskader te verbeteren door invoering van nieuwe regelgeving: Solvency II. Solvency II is een verzameling eisen van toezichtshouders aan verzekeraars. De eisen vormen een geheel van kwantitatieve eisen met betrekking tot minimaal aan te houden solvabiliteit en kwalitatieve eisen met betrekking tot de uitvoering en inrichting van de risicomanagementfunctie.
De kerngedacht achter Solvency II is dat verzekeraars op basis van interne risicomodellen zelf bepalen welke risico’s gelopen worden en dat de toezichthouder het minimaal vereiste vermogen op dit inzicht afstemt. Solvency II zal grote invloed hebben op de verzekeringsmarkt. De veranderende minimale kapitaalvereisten zullen de kostenstructuur van verzekeraars be¨ınvloeden. Verzekeraars moeten zich strategisch aanpassen aan de gevolgen van het invoeren van een risicogebaseerd ma-nagement. Dit risicomanagement zal aangepast moeten worden aan de veranderende eisen. De verzekeringsbranche dient zich voor te bereiden op de omvangrijke veranderingen rond het invoeren van Solvency II. Tijdige en effectieve aanpassingen aan de veranderende regelgeving brengt een strategisch voordeel met zich mee op de concurrentie.
Solvency II is gestart in 2000 toen de Europeese Commissie begon met een fundamenteel en breed onderzoek naar de overkoepelende financi¨ele positie van verzekeraars in Europa. Dit resulteerde tot de publicatie van “Study into the methodologies to assess the overall financial position of an insurance undertaking from the perspective of prudential supervision”, ?, in mei 2002. In mei 2003 is de tweede fase begonnen met als eerste doel de publicatie van een voorlopig akkoord medio 2006. In de uitwerking van de conclusies uit het rapport is geconcludeerd dat ter beoordeling van de solvabiliteit een 3-pijler model dient te worden ge¨ıntroduceerd. Dit model is gebaseerd op de-zelfde uitgangspunten als het pijler-model conform Basel II voor banken. In de bancaire sector is vanaf 1 januari 2008 het Basel II akkoord van kracht. Solvency II en Basel II vertonen veel overeenkomsten, ze zijn beide gebaseerd op minimale solvabiliteitsvereisten en minimale eisen aan de risicomanagementfunctie.
De minimale kapitaaleisen dienen te worden bepaald op basis van de daartoe opgestelde risicomodellen. Er zijn twee nieuwe regulatorische kapitaalvereisten: Solvency Capital Re-quirement (SCR) en de Minimum Capital ReRe-quirement (MCR).
Het MCR is een statutaire marge: wanneer de marge van een instelling onder de MCR komt is een direct ingrijpen van de toezichthouder vereist. Er moet een simpele formule voor het bepalen van deze waarde komen ongeveer gelijk aan de nu geldende minimale kapitaaleis van Solvency I.
De SCR geeft de benodigde hoeveelheid extra kapitaal weer om met 99, 5% zekerheid te zeggen dat de instelling over ´e´en jaar nog solvabel is. SCR bevat extra kapitaal voor de werkelijke risico’s van de instelling.
• Pijler 2: Toezichtproces.
In pijler 2 wordt ingegaan op het gedragstoezicht door de toezichthouder. De doelstelling is hier vast te stellen of de instelling interne processen heeft ge¨ımplementeerd die er toe leiden dat het kapitaal in overeenstemming is met de werkelijke risico’s van de onderneming. • Pijler 3: Vereiste publicaties.
Er wordt ingegaan op de marktdiscipline waarbij eveneens eisen worden gesteld aan de toe-lichting in de jaarrekening. De markt moet transparanter worden door de uniformering van de methoden om risico’s te meten en de vermeerderde verslaglegging.
De invoering van Solvency II heeft voordelen voor het functioneren van verzekeringsbranche; de rechten van verzekerden worden beter beschermd. Voor risicovolle polissen zal meer kapitaal aan-ghouden moeten worden om eventuele onverwachte verliezen op te kunnen vangen. Ook voor de toezichthouder en de verzekeraar heeft Solvency II voordelen. De interne controle en beheersing van verzekeraars wordt verbeterd door verplichte invoering van risicomanagementtechnieken. Boven-dien wordt de relatie tussen de verzekeringsbranche en de toezichthoudende instanties effectiever door de gerichte controle. Doordat het risicorendementprofiel van een verzekeraar inzichtelijker wordt hebben aandeelhouders een beter inzicht in het te lopen risico om rendement te behalen. De markt wordt transparanter.
Bijlage B
Extreme waarden theorie
EVT modellen fitten de extreme kwantielen beter dan de gebruikelijke aanpakken van data met dikke staarten, ?.
In het geval van het 0, 005e kwantiel gaat het om de linker staart van de verdeling van rende-menten en dus ligt de interesse bij de kleinste observaties; het gaat om negatieve uitschieters in de rendementen. De theorie wordt uitgelegd aan de hand van maxima in plaats van minima, hiertoe dienen de historische rendementen met −1 vermenigvuldigd te worden.
Wanneer er interesse is in extremen van data dan is er erg veel interesse voor de grootste ob-servatie: Mn = max(Y1, . . . , Yn). Bij het modeleren van maxima van stochasten speelt de EVT
dezelfde fundamentele rol als de centrale limiet theorie speelt bij het modelleren van de som van stochasten. In beide gevallen vertelt de theorie wat de limiet verdelingen zijn.
In het algemeen zijn er twee manieren om extreme waarden te identificeren; via block-maxima of via het overschrijden van een threshold u. Aan de linkerkant van figuur B.1 wordt per periode (maand, jaar) het maximum bepaald. Deze geselecteerde observaties vormen samen de extreme gebeurtenissen, de block-maxima. Aan de rechterkant vormen de observaties die de treshold u overschrijden de extreme gebeurtenissen (ook wel de “peak over treshold” (POT) genoemd).
B.0.1 Verdeling van de maxima (GEV)
Voor block-maxima geldt bij het fitten van jaarlijkse maxima:
Y1 = max(Y11, . . . , Y1S)
Y1 = max(Y21, . . . , Y2S)
.. .
YT = max(YT 1, . . . , YT S)
Figuur B.1: (links) block-maxima en (rechts) overschrijding van threshold u.
Fisher-Tippett Theorie
Laat (Yn) een rij i.i.d. stochasten zijn. Als een constante cn> 0, dn∈ R en een niet-gedegenereerde
verdelingsfunctie H bestaan zodanig dat
Mn− dn
cn d
→ H,
dan behoort H tot een van de volgende drie verdelingsfuncties (de standaard extreme waarde ver-delingen): Fr´echet: Φα(y) = 0 y ≤ 0 exp(−y−α) y > 0 α > 0, Weibull: Ψα(y) = exp(−(−y)α) y ≤ 0 1 y > 0 α > 0, Gumbel: Λ(y) = exp(−exp−y), y ∈ R,
met α de staart-index die het gewicht van de staart van de verdeling van de oorspronkelijke stochast Y weergeeft.
van de Fr´echet, Weibull en Gumbel functies zijn te zien in figuur B.2.
Figuur B.2: Verdeling voor Fr´echet, Weibull en Gumbel functies.
De stochast Y behoort tot het maximum domain of attraction (MDA) van de extreme waarden verdeling H als de Fisher-Tippett theorie geldt. Dit wordt geschreven als Y ∈ MDA(H). Er wordt verondersteld dat de maandelijkse rendementen tot het MDA van H behoren. Dit is een plausibele aanname omdat het (financi¨ele) data met dikke staarten betreft.
De drie standaard extreme waarden verdelingen kunnen weergegeven worden in de gegenerali-seerde extreme waarden verdeling (GEV):
Hξ(y) =
exp(−(1 + ξy)−1ξ) als ξ 6= 0
Deze 1-parameter representatie (Jenkinson & Von Mises) met y zodanig dat 1 + ξy > 0, wordt verkregen door:
ξ = α1 > 0 voor de Fr´echet verdeling, ξ = −α1 < 0 voor de Weibull verdeling, ξ = 0 voor de Gumbel verdeling.
Wanneer een verschuiving optreedt volgt
Hξ; µ,ψ(y) = exp(−(1 + ξ x−µψ )−1ξ), 1 + ξy−µ ψ > 0 als ξ 6= 0
exp(−exp(−y−µψ )) als ξ = 0,
met vormparameter ξ = α1, locatieparameter µ (voor de verschuiving) en schaalparameter ψ. Nu volgt Hξ; µ,ψ← (y) = µ − ψξ 1 − (−log(y))−ξ if ξ 6= 0 µ − ψ log(−log(y)) if ξ = 0.
De parameters ξ, µ en ψ kunnen met verschillende methoden geschat worden: onder andere de momentenmethode, de maximum-likelihoodmethode en de kleinste kwadratenmethode. Onder-staand wordt de maximum-likelihoodmethode beschreven.
Maximum-likelihood schatting
Wanneer Y1, . . . , Yniid uit Hθ, wordt aangenomen dat Hθ dichtheid hθ heeft. De likelihoodfunctie
gebaseerd op de (maandelijkse) data Y = (Y1, . . . , Yn) wordt gegeven door
L(θ; Y ) = n Y i=1 hθ(Yi) I{1+ξ (Yi−µ) ψ >0}
en volgt voor de log-likelihood functie:
l(θ; Y ) = log (L(θ; Y )) .
De maximum likelihood schatter (MLE) voor θ is gelijk aan
ˆ
Deze methode geeft voor de historische maandelijkse rendementen de volgende schatting voor de maximum likelihood schatters en de bijbehorende standaard fouten:
ML Schatting Standaard fout ˆ µ -0,0159 0,0014 ˆ ψ 0,0205 0,0010 ˆ ξ -0,1466 0,0297 Kwantiel schatting
Gegeven elke p ∈ (0, 1), wordt het pe-kwantiel gedefini¨eerd volgens de definitie van een kwantiel als:
yp = Hξ;µ,ψ← (p) = Hθ←(y).
De natuurlijke schatter voor yp is gelijk aan
ˆ yp = Hθˆ←(p) = µ −ˆ ψˆ ˆ ξ 1 − (−log(p))− ˆξ.
zodat volgt voor de kwantiel-schatter: ˆy0,005= −0, 0597
B.0.2 Hill-schatter
Een schatting van ξ =α1 voor F ∈ M DA(Hξ) kan met behulp van de Hill-schatter. Hill kwam met
een methode voor het schatten van de staart-index waar niet een parametrische verdelingsfunctie wordt aangenomen, maar waar de focus alleen op het staartgedrag ligt. Echter de conditie ξ > 0 geldt hier wel.
Veronderstel dat Y1, . . . , Yn iid met verdelingsfunctie F ∈ M DA(Φα) dan ziet de Hill-schatter
voor α gebaseerd op de k grootste orde statistieken er als volgt uit:
ˆ α(H) = ˆα(H)(k) = 1 k k X j=1 log Y(n−j+1) − log Y(n−k+1)−1 .
Het is lastig het juiste aantal voor k te kiezen. In de praktijk wordt ˆα(H)(k) tegen k geplot, waarna gezocht moet worden naar het gebied waar de plot zich op een bepaald niveau stabiliseert om zo de correcte orde statistiek te bepalen.
ˆ y(H)p = n k(1 − p) −1/ ˆα(H) (k) Y(n−k+1)
Een eigenschap van de Hill-schatter is asymptotische normaliteit: √
kαˆ(H)− α→ N (0, α2).
Vanwege de uitkomsten van de schattingen voor de parameters in tabel ??, ξ < 0, wordt deze methode niet verder uitgewerkt.
B.0.3 Pickands-schatter
De tweede mogelijkheid voor het schatten van ξ = α1 voor F ∈ M DA(Hξ) is aan de hand van de
Pickands-schatter. Ook bij deze methode wordt geen verdeling verondersteld voor de extremen en voor ξ geldt ξ ∈ R.
De Pickands-schatter wordt gedefinieerd als:
ˆ ξ(n−k+1)(P ) = ˆξ(P )= 1 log(2) log Y (n−k+1)− Y(n−2k+1) Y(n−2k+1)− Y(n−4k+1) .
Ook hier moet naar de juiste orde statistiek k gezocht worden; daar waar de plot zich stabiliseert. Uit figuur B.3 blijkt dat k = 23 een juiste schatting zou kunnen zijn.
De bijbehorende kwantiel-schatter is nu:
ˆ yp(P )= Y(n−k+1)+ k (n+1)p ξˆ(P ) − 1 1 − 2− ˆξ(P ) × Y(n−k+1)− Y(n−2k+1)
Voor het construeren van betrouwbaarheidsintervallen rond de kwantiel-schatter is een handige eigenschap van de Pickands-schatter:
Bijlage C
Rentetermijnstructuur
Hieronder wordt beschreven hoe voor het FTK de rentetermijnstructuur geconstrueerd wordt op basis van de swapcurve, ?. Deze methodiek is gebaseerd op gangbare technieken en inzichten uit de financi¨ele theorie en praktijk. De dagelijks gepubliceerde Europese swaprentes uit de databron Bloomberg wordt gebruikt voor de looptijdpunten 1 tot en met 10 jaar, 12, 15, 20, 25, 30, 40 en 50 jaar (jaarintervallen). Bij deze renteswaps wordt 6-maands EURIBOR uitgeruild tegen een vaste rente. Niet-beschikbare looptijdpunten worden geschat door tussenliggende forward rentes constant te veronderstellen.
Een renteswap is het gemakkelijkst te analyseren als een long positie in een vastrentende obli-gatie gecombineerd met een short positie in een variabel rentende obliobli-gatie, of andersom. Een marktconforme renteswap wordt zo geconstrueerd dat bij aanvang geen betalingen hoeven plaats te vinden; de marktwaarde is nihil. Omdat de onderliggende variabel rentende obligatie op mo-ment van uitgifte per definitie a pari handelt, moet de onderliggende obligatie dat ook doen. Dit betekent dat in de markt geobserveerde rentes par yields zijn.1
Definieer de volgende jaarlijks samengesteld rentes:
rt = (par)swaprente bij een looptijd t
zt = spot zero-coupon swaprente bij een looptijd t
ft1,t2 = forwardrente van looptijd t1 tot t2
De waarde van de swap op moment van aangaan is 1 (100%) waardoor de onderliggende vastren-tende obligatie van een t-jaars swap de volgende cashflows heeft:
tijdstip 1 2 . . . t − 1 t cashflow rt rt . . . rt 1 + rt
De zero-coupon rente wordt van de par swap afgeleid doormiddel van bootstrapping, te beginnen bij de 1-jaars swap. Uit (1+r1)
cashflow van de 2-jaars swap (alleen vastrentende gedeelte) contant te maken tegen de 1- en de 2-jaars zero rente en de contante waarde gelijk te stellen aan 1. Omdat de 1-jaars rente dan al bekend is resteert een vergelijking met 1 onbekende (de 2-jaars zero):
r2 1 + z1 + 1 + rt (1 + z2)2 = 1 waaruit volgt z2 = s 1 + r2 1 − r2 1+z1 − 1.
z3 tot en met z10 worden op dezelfde manier gevonden. De 1-jaars forward over een jaar wordt
afgeleid via (1 + z2)2= (1 + z1)(1 + f1,2) en dus
f1,2 =
(1 + z2)2
(1 + z1)
− 1
Uit de looptijdenpunten van 12, 15, 20, 25, 30, 40 en 50 jaar worden tussenliggende rentes afge-leid. Voor bijvoorbeeld de 21-jaars zero-couponrente wordt verondersteld dat de 1-jaars forward tussen 20 en 25 jaar constant is. Deze veronderstelling is redelijk omdat de forward in feite een voorspelling van de 1-jaars rente 20, 21, etc. jaar vooruit is. Er is weinig reden om aan te nemen dat de markt een wezenlijk andere visie op de 1-jaars rente over 20 jaar dan over 21 jaar zal hebben. Gebruikmakend van de veronderstelling dat f20,21 = f21,22 = f22,23 = f23,24 = f24,25 = f20,25
kunnen de 21, 22, 23, 24 en 25-jaars zero als volgt geschreven worden:
(1 + z21)21 = (1 + z20)20(1 + f20,21) = (1 + z20)20(1 + f20,25),
(1 + z22)22 = (1 + z21)21(1 + f21,22) = (1 + z20)20(1 + f20,25)2,
(1 + z23)23 = (1 + z22)22(1 + f22,23) = (1 + z20)20(1 + f20,25)3,
(1 + z24)24 = (1 + z23)23(1 + f23,24) = (1 + z20)20(1 + f20,25)4,
(1 + z25)25 = (1 + z24)24(1 + f24,25) = (1 + z20)20(1 + f20,25)5.
Met behulp van een numerieke procedure is f20,25 te vinden. Door deze te substitueren in
boven-staande vergelijkingen worden z21 tot en met z25 gevonden.
Op deze wijze zijn de berekeningen tot en met 50 jaar berekend, de constant veronderstelde forward is ook bruikbaar voor het extrapoleren voorbij 50 jaar. Het verloop van de rentetermijnstructuur is te zien in figuur C.1.
In het onderzoek wordt geen renterisico meegenomen. Er wordt voor de simulatie op tijdstip 1 uitgegaan van de ge¨extrapoleerde rentetermijnstructuur van tijdstip 0.
