4.1 De eerste wet van Newton
Uitwerkingen opgave 1
Het ruimteschip beweegt met constante snelheid.
Er werkt op het ruimteschip dus geen resulterende kracht.
Er is geen voortstuwing door de motoren nodig.
Uitwerkingen opgave 2
a Op de parachutist werken de zwaartekracht en de luchtweerstandskracht.
b De snelheid van de parachutist is niet constant.
De eerste wet van Newton geldt dus niet.
c De snelheid van de parachutist is nu wel constant.
De eerste wet van Newton geldt dus nu wel.
d De resulterende kracht op de parachutist is nul.
De zwaartekracht en de luchtweerstandskracht zijn even groot maar tegengesteld gericht.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2
Fzw = 65 × 9,81 = 637,65 N Afgerond: Fzw = 6,4·102 N Fwr = 6,4·102 N
Uitwerkingen opgave 3
a De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2
Fzw = 72 × 9,81 = 706,3 N
De lengte van de pijl volgt uit de schaalfactor: 706,3 3, 5 cm 200
=
Zie figuur 4.1.
Figuur 4.1 b Zie figuur 4.1.
c De lengte van Flangs is 1,6 cm.
De schaalfactor is 1,0 cm 200 N Flangs = 1,6 × 200 = 320 N
Afgerond: Flangs = 3,2·102 N d De lengte van Floodrecht is 3,1 cm
De schaalfactor is 1,0 cm 200 N Floodrecht = 3,1 × 200 = 620 N
= ˆ
= ˆ
Uitwerkingen opgave 4
a De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g
m = 0,80 g = 8,0·10−4 kg (Aanpassen eenheden) g = 9,81 m/s2
Fzw = 8,0·10−4 × 9,81 = 7,848·10−3 N Kies als schaalfactor: 1,0 cm 2,0·10−3 N De lengte van de pijl volgt uit de schaalfactor:
3 3
7,843 10
3,9 cm 2,0 10
−
−
⋅ =
⋅ Zie figuur 4.2.
Figuur 4.2 b Zie figuur 4.2.
De spin is in evenwicht.
De resulterende kracht op de spin is dus nul.
De totale spankracht in beide spindraden samen is daarom even groot als Fzw. Ontbind Fspan langs beide spandraden.
De grootte Fspan,1 bepaal je door de lengte op te meten en te vermenigvuldigen met de schaalfactor.
De lengte van de pijl van F is 3,9 cm.
De schaalfactor is 1,0 cm 2,0·10−3 N.
Fspan,1 = 3,9 × 2,0·10−3 = 7,8·10−3 N.
Op grond van symmetrie geldt: Fspan,1 = Fspan,2
Uitwerkingen opgave 5
a De zwaartekracht op het bord bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
De schaalfactor is de grootte van de kracht, weergegeven door een pijl met een lengte van 1,0 cm.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2 m = 0,83 kg
= ˆ
= ˆ
Fzw = 8,14 N
De lengte van Fzw is 4,1 cm (Opmeten in figuur 4.3) 1,0 cm ˆ= 2,0 N
b De totale spankracht in beide kettingen is even groot als, maar tegengesteld gericht, aan de resulterende kracht van de wind en de zwaartekracht. Zie figuur 4.3.
Opmeten van de lengte van Fspan,totaal geeft 4,8 cm.
De schaalfactor is 1,0 cm ˆ= 2,0 N.
Fspan, totaal = 4,8 × 2,0 = 9,6 N
In één ketting is de spankracht half zo groot.
Fspan = 4,8 N.
Figuur 4.3
4.2 De tweede wet van Newton
Uitwerkingen opgave 6
a Op alle voorwerpen op aarde werkt de zwaartekracht.
Die zorgt hier dus voor de versnelling van de fietser.
b Zie figuur 4.4
Figuur 4.4
De component van de zwaartekracht evenwijdig aan de weg bepaal je met een constructietekening.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2 m = 75 kg Fzw = 735,75 N
Maak een constructietekening met als schaalfactor 1,0 cm ˆ= 100 N.
Zie figuur 4.3.
Opmeten van de lengte van Fzw,// : 2,9 cm.
Schaalfactor 1,0 cm ˆ= 100 N Fzw,// = 2,9·102 N
c De rolweerstand zorgt voor een kracht die omhoog langs de helling is gericht.
De rolweerstandskracht bereken je met de tweede wet van Newton.
Fwr = m · a m = 75 kg a = 2,5 m/s2 Fwr = 187,5 N
Afgerond: Fwr = 1,9·102 N
d Er is ook sprake van een luchtweerstandskracht.
Naarmate de snelheid groter wordt, wordt luchtweerstandskracht ook steeds groter.
De versnelling neemt daardoor af.
De snelheid neemt daardoor ook steeds minder toe en wordt uiteindelijk constant.
e Als de snelheid niet meer verandert, is de versnelling gelijk aan nul.
De totale wrijvingskracht is dan gelijk aan de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de weg.
Er geldt dan: Fwr,totaal = Fzw,//
Fwr,totaal = 2,9·102 N
Uitwerkingen opgave 7
a De kracht die voor de versnelling zorgt, is de zwaartekracht.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2
m = 10,0 g = 10,0 × 10-3 kg (Aanpassing eenheden) Fzw = 9,81 × 10-2 N
b Er worden twee massa’s versneld.
De totale massa is mtotaal = m + M = 210 g.
c De versnelling bereken je met de tweede wet van Newton.
De totale massa moet worden versneld.
F = m · a F = 9,81 × 10-2 N
m = 210 g = 0,210 kg (Aanpassen eenheden) a = 0,4671 m/s2
Afgerond: a = 0,467 m/s2
Uitwerkingen opgave 8
a Volgens de tweede wet van Newton wordt de versnelling bepaald door de grootte van de kracht én door de grootte van de massa.
Is de massa erg klein zoals bij het elektron, dan kan zelfs bij een kleine kracht de versnelling erg groot zijn.
b De massa bereken je met de tweede wet van Newton.
F = m · a F = 2,0 × 10-16 N a = 2,2⋅1014 m/s2 m = 9,090 × 10-31 kg Afgerond: m = 9,1 × 10-31 kg
Uitwerkingen opgave 9
a Het gevolg van een constante resulterende kracht is een constante versnelling.
Een constante versnelling betekent dat de snelheid regelmatig toeneemt, of (bij een vertraging) regelmatig afneemt.
In een (v,t)-diagram komt dat tot uitdrukking in een schuine, rechte grafieklijn.
Het (v,t)-diagram van de figuur geeft deze rechte lijnen.
De kracht heeft dus gedurende elk tijdsinterval een constante waarde.
b De kracht bereken je met de tweede wet van Newton.
De vertraging bereken je uit de verandering van de snelheid en de tijdsduur.
Periode 1 (0 ≤ t ≤ 15 s)
1 1
1 2 1
1
1
3, 0 0, 0
0, 20 m/s 15
0, 30 N 1, 5 kg F m a a v
t F m
= ⋅
∆ −
= = =
∆
=
=
Periode 2 (15 ≤ t ≤ 30 s)
2 2
2 2 2
2
2
9 3 0, 40 m/s 30 15
1,5 kg 0, 60 N F m a a v
t m F
= ⋅
∆ −
= = =
∆ −
=
=
Periode 3 (30 ≤ t ≤ 40 s)
3 3
2 3
3
0 m/s 0 N F m a a F
= ⋅
=
=
Periode 4 (40 ≤ t ≤ 60 s)
4 4
4 2 4
4
4
0 9 0, 45 m/s 60 40
1,5 kg 0, 68 N F m a a v
t m F
= ⋅
∆ −
= = = −
∆ −
=
= −
c In de eerste twee perioden neemt de snelheid toe.
De resulterende kracht werkt dus in de bewegingsrichting.
In de vierde periode neemt de snelheid af tot 0 m/s.
Er is sprake van afremming.
De kracht is dan tegengesteld gericht aan de snelheid en de bewegingsrichting.
d De afgelegde weg is de oppervlakte onder het (v,t)-diagram.
Figuur 4.5
De totale afstand die het karretje heeft afgelegd. is gelijk aan de oppervlakte onder het (v,t)-diagram.
Zie figuur 4.5.
Periode 1 (0 ≤ t ≤ 15 s)
∆x1 = A1 = 1
2× 15 × 3 = 22,5 m
Periode 2 (15 ≤ t ≤ 30 s)
∆x2 = A2 + A3
A2 = 1
2× (30 – 15) × (9 – 3) = 45 m A3 = (30 – 15) × (9 – 3) = 45 m
∆x2 = 45 + 45 = 90 m Periode 3 (30 ≤ t ≤ 40 s)
∆x3 = A4 = (40 – 30) × 9 = 90 m Periode 4 (40 ≤ t ≤ 60 s)
∆x4 = A5 = 1
2× (60 – 40) × 9 = 90 m
Totale verplaatsing s = ∆x1 + ∆x2 + ∆x3 + ∆x4
s = 2,9·102 m
4.3 Valbeweging met luchtweerstand
Uitwerkingen opgave 10
a Naarmate de snelheid groter wordt, wordt ook de luchtweerstandskracht steeds groter.
De versnelling neemt daardoor af.
De snelheid neemt daardoor ook steeds minder toe en wordt uiteindelijk constant.
b Zie figuur 4.6.
De zwaartekracht is constant, dus een horizontale lijn.
Als de snelheid constant wordt, dan is ook de luchtweerstandskracht constant geworden.
De luchtweerstandskracht wordt dan uiteindelijk gelijk aan de zwaartekracht.
c Zie figuur 4.6.
De zwaartekracht is naar beneden gericht.
De luchtweerstandskracht is omhoog gericht.
De resulterende kracht is het verschil van de blauwe en de groene curve.
Figuur 4.6
Uitwerkingen opgave 11
a De versnelling is de steilheid van de grafieklijn in het (v,t)-diagram.
2 grafieklijn
138 9,86 m/s 14
a v t
∆
= = =
∆
Afgerond: a = 9,9 m/s2.
b Als de eindsnelheid is bereikt, dan is de zwaartekracht gelijk aan de luchtweerstandskracht op de skydiver.
De luchtweerstandskracht is evenredig met de eindsnelheid in het kwadraat.
De eindsnelheid is het grootst voor skydiver 1.
De luchtweerstandskracht is dus ook het grootst voor skydiver 1.
De zwaartekracht is dus ook het grootst op skydiver 1.
Skydiver 1 heeft de grootste massa.
Uitwerkingen opgave 12
a Als de luchtweerstandskracht te verwaarlozen is, dan blijft de zwaartekracht als enige kracht over.
De zwaartekracht zorgt voor een versnelling van 9,81 m/s2. De versnelling is de helling van de raaklijn.
Figuur 4.7
Teken de raaklijn in het punt t = 0. Zie figuur 4.7.
Er geldt: 2
raaklijn
50 9,80 m/s 5,1
a v t
∆
= = =
∆
Dit komt binnen de afleesfout overeen met de valversnelling g.
Conclusie: In de eerste seconde is de luchtweerstandskracht te verwaarlozen.
b De afstand is de oppervlakte onder het (v,t)-diagram.
Aflezen uit figuur 4.9: v10-12 = 5,5 m/s.
Afgelegde afstand = 5,5 × (12 – 10) = 11 m.
4.4 Momenten
Uitwerkingen opgave 13
Zolang de bedoelde moer nog vastzit, is het moment van de kracht die de moer vasthoudt gelijk aan het moment van Liannes kracht. Moment = kracht × arm.
Door de pijp te gebruiken wordt de arm van Liannes kracht groter.
Bij gelijkblijvende kracht wordt dus het moment van Liannes kracht groter.
Als Liannes moment groter wordt dan het moment van de kracht die de moer vasthoudt, kan de moer loskomen.
Uitwerkingen opgave 14
a Het scharnierpunt is het punt waar het voorwerp om kan/gaat draaien.
b Zie figuur 4.8: punt S.
c Het aangrijpingspunt is de plaats waar de kracht op het voorwerp wordt uitgeoefend, aangegeven door het begin van de krachtvector.
d Zie figuur 3.8: punt A.
e De oneindig lange lijn die door de krachtvector gaat.
f Zie figuur 3.8: lijnstuk l.
g De loodrechte (dus kortste) afstand tussen het scharnierpunt en de werklijn van de kracht.
h Zie figuur 3.8: lijnstuk d.
Figuur 4.8
Uitwerkingen opgave 15 a Zie figuur 4.9.
Draairichting van het moment ‘tegen de wijzers van de klok in’: plusteken.
Draairichting van het moment ‘met de wijzers van de klok mee’: minteken.
M = F · d en d ⊥ F
M1 = + (F1 · d1) M1 = +(20 × 4) = +80 Nm
M2 = F2 · d2 M2 = 0 Nm (de werklijn van F2 gaat door P) M3 = –(F3 · d3) M3 = –(20 × 2) = –40 Nm
M4 = F4 · d4 M4 = 0 Nm (de werklijn van F4 gaat door P) M5 = +(F5 · d5) M5 = +(15 × 1) = +15 Nm
M6 = –(F6 · d6) M6 = –(10 × 2,5) = –25 Nm b Mtotaal = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 + M6
Mtotaal = +30 Nm
Figuur 4.9
4.5 De hefboomwet
Uitwerkingen opgave 16 Opgave 46
a Er werken twee krachten: Fzw en Fn.
b Door het karton opzij te trekken, trek je ook het zwaartepunt wat opzij.
De werklijn van Fzw loopt dan niet meer door het ophangpunt, dus heeft Fzw een moment ten opzichte van het ophangpunt.
Fn werkt in het ophangpunt en levert geen moment, want de arm is 0.
Het karton zal gaan draaien totdat het moment ten gevolge van de zwaartekracht nul is.
c Het moment linksom moet gelijk zijn aan het moment rechtsom.
Omdat het moment van de normaalkracht altijd nul is, moet het moment van de zwaartekracht ook nul zijn.
Fzw · d = 0 Fzw ≠ 0 d = 0
De zwaartekracht wijst loodrecht naar beneden.
Het zwaartepunt ligt dus recht onder het ophangpunt.
Uitwerkingen opgave 17 a Zie figuur 4.10
Figuur 4.10
b BS is de arm van FB ten opzichte van het draaipunt S.
Die arm bereken je uit het moment van FB. MB bereken je met de hefboomwet.
Voor de berekening van de momenten moet je eerst FA en FB berekenen.
FA en FB bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
FA = 63,6 × 9,81 = 623,9 N FA = 90,9 × 9,81 = 891,7 N MA = MB
MA = 623,9 × 1,80 = 1123 Nm MB = 891,7 × BS
BS = 1,259 m
Afgerond: BS = 1,26 m
c Op de wip werken drie krachten naar beneden.
Dat zijn FA , FB.en Fzw,wip.
Fzw,wip bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
De plaats van de wip verandert niet, dus moet er nog een vierde kracht omhoog zijn, die evenwicht maakt met de drie krachten naar beneden.
Deze kracht Fas wordt geleverd door de draaias.
Je berekent deze kracht met de eerste wet van Newton.
Fzw,wip = 71,0 × 9,81 = 696,5 N Fres = 0
Fas – Fzw,wip – FA – FB = 0 Fas = 2212,1 N
Afgerond: Fas = 2,12·103 N
Uitwerkingen opgave 18
De gevraagde kracht bereken je met de hefboomwet.
Daarvoor bereken je eerst de krachten en de momentarmen.
De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt en bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g g = 9,81 m/s2 m = 23,0 kg Fzw = 225,63 N Zie figuur 4.11.
rzw = 0,80 m rB = 1,10 m
Neem S als draaipunt.
Mlinksom = Mrechtsom Fzw · rzw = FB · rB
225,63 × 0,80 = FB × 1,10 FB = 164,09 N
De minimale kracht waarmee uiteinde B naar beneden gedrukt moet worden om de balk in evenwicht te houden is 164 N.
Figuur 4.11
Uitwerkingen opgave 19
Figuur 4.12
a Zie figuur 4.12. Alle afmetingen zijn in cm.
Het zwaartepunt van de balk ligt in het midden.
AB = 450 cm.
AZ = BZ = 225 cm.
ZS = 225 – 50 = 175 cm.
b De breedte van het contragewicht is 30 cm.
Het zwaartepunt C van het contragewicht ligt dus op 15 cm van B.
SC = 50 – 15 = 35 cm.
c De gevraagde massa bereken je met de hefboomwet.
Daarvoor bereken je eerst de krachten en de momentarmen.
De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt en bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw,balk = mbalk · g g = 9,81 m/s2 mbalk = 16 kg Fzw,balk = 156,96 N Neem S als draaipunt.
Mbalk = Mcontra
Fzw,balk · ZS = Fzw,contra · CS 156,96 × 1,75 = Fzw,contra × 0,35 Fzw,contra = 784,80 N
Fzw,balk = mcontra · g g = 9,81 m/s2 mcontra = 80,00 kg Afgerond: mcontra = 80 kg
Uitwerkingen opgave 20
De gevraagde afstand bereken je met de hefboomwet.
Daarvoor bereken je eerst de krachten en de momentarmen.
Noem Antons krachtarm x.
Je kunt dan Barts krachtarm ook uitdrukken in x.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Figuur 4.13
Zie figuur 4.13.
De zwaartekracht op Anton Fzw,A Fzw,A = mAnton · g
mAnton = 45 kg g = 9,81 m/s2 Fzw,A = 441,45 N
De zwaartekracht op Bart Fzw,B
Fzw,B = mBart · g mBart = 35 kg g = 9,81 m/s2 Fzw,B = 343,35 N
Noem Antons krachtarm AS: x Barts arm BS = 3,2 – x Neem S als draaipunt.
MAnton = MBart
Fzw,A · AS = Fzw,B · BS
441,45 · x = 343,35 · (3,2 – x) 441,45 · x = 1098,72 – 343,35 · x 784,80 · x = 1098,72
x = 1,400 m Afgerond: x = 1,4 m
4.6 Momenten in het menselijk lichaam
Uitwerkingen opgave 21 a Zie figuur 4.14.
Figuur 4.14
b Je berekent Fn,handen met de hefboomwet.
Daarvoor bereken je eerst de krachten en de momentarmen.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
Fzw = m · g m = 68 kg g = 9,81 m/s2 Fzw = 667,08 N
Neem je tenen als draaipunt.
Mlinksom = Mrechtsom
Fzw · 0,95 = Fn,handen · 1,50 Fzw = 667,08 N
Fn,handen = 422,48 N Fn,hand = 1
2
⋅ Fn,handen Fn,hand = 211,24 N
Afgerond: Fn,hand = 2,1·102 N
c Je berekent Fn,tenen met de de eerste wet van Newton.
Er is evenwicht, dus de resulterende kracht is nul.
Fn,handen – Fzw + Fn,tenen = 0 Fn,handen = 422,48 N Fzw = 667,08 N Fn,tenen = 244,60 N Fn,voet = 1
2
⋅ Fn,tenen Fn,voet = 122,30 N
Afgerond: Fn,voet = 1,2·102 N
Uitwerkingen opgave 22 a Zie figuur 4.15.
De momentarm is de kortse afstand tussen de werklijn van de kracht (de streeplijn) en het draaipunt (S)
Figuur 4.15
b Je berekent Fb met de hefboomwet.
Daarvoor bereken je eerst de krachten en de momentarmen.
De zwaartekracht bereken je met de formule voor de zwaartekracht.
De tekening is op schaal.
Je mag de momentarmen dus opmeten.
Zie figuur 4.15 S is het draaipunt.
ST = 8,0 cm SQ = 1,7 cm Fbal = mbal · g mbal = 8,0 kg g = 9,81 m/s2 Fbal = 78,48 N Mlinksom = Mrechtsom Mb = Mbal
Fb · SQ = Fbal · ST ST = 8,0 cm SQ = 1,7 cm Fbal = 78,48 N Fb = 369,32 N
Afgerond: Fb = 3,7·102 N
c Als Jochem de onderarm verder buigt, wordt de momentarm van Fbal kleiner.
De momentarm van Fb blijft gelijk.
Conclusie: de vereiste kracht van de biceps is kleiner.
Uitwerkingen opgave 23
a De kauwspier trekt de onderkaak omhoog.
De tanden oefenen daardoor op de pinda een kracht omhoog uit.
Volgens de derde wet van Newton, oefent de pinda dan een kracht omlaag uit op de onderkaak.
b Je berekent Fpinda met de hefboomwet.
Daarvoor bepaal je eerst de momentarmen.
De tekening is op schaal.
Je mag de momentarmen dus opmeten.
Figuur 4.16
Zie figuur 4.16 S is het draaipunt.
rpinda = 4,0 cm rkauwspier = 1,1 cm Mlinksom = Mrechtsom Mpinda = Mkauwspier
Fpinda · rpinda = Fkauwspier · rkauwspier
rpinda = 4,0 cm rkauwspier = 1,1 cm Fkauwspier = 600 N Fpinda = 165 N
Afgerond: Fb = 1,7·102 N
c De momentarm van de kracht op de pinda is groot als je met je voortanden bijt.
De kracht op de pinda wordt daardoor een stuk kleiner dan de kauwkracht. Zie opgave b.
Door met je kiezen te bijten, verklein je de momentarm van de kracht op de pinda.
De kracht op de pinda wordt daardoor een stuk groter.
