Wiskunde voor 3 havo

(1)

Wiskunde voor

3 havo

deel 1, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

1 Algebra 2

1.1 Rekenen met variabelen 2 1.2 Breuken 5

1.3 Haakjes 7 1.4 Machten 10 1.5 Wortels 12 1.6 Totaalbeeld 15

2 Vlakke meetkunde 18 2.1 Gelijk of gelijkvormig 18 2.2 Rekenen in driehoeken 22 2.3 Bijzondere lijnen 25 2.4 Vlakke ﬁguren 26 2.5 Vergrotingsfactoren 28 2.6 Totaalbeeld 30

3 Vergelijkingen 32 3.1 Basishandelingen 32 3.2 Terugrekenen 34 3.3 De balansmethode 36 3.4 Ontbinden 41

3.5 Breuken in vergelijkingen 44 3.6 Totaalbeeld 46

4 Lineaire verbanden 49 4.1 Recht evenredig 49 4.2 Lineaire functies 51 4.3 Het hellingsgetal 52 4.4 Lineaire modellen 55 4.5 Totaalbeeld 57

5 Goniometrie 61 5.1 Vectoren 61

5.2 Sinus en cosinus 65 5.3 Hoeken berekenen 67 5.4 Helling en tangens 69 5.5 Rekenen in driehoeken 71 5.6 Totaalbeeld 74

(4)

1 ^Algebra

1.1 Rekenen met variabelen

a

1 De omtrek is 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 2 = 24 cm.

b De oppervlakte is 2 ⋅ 2 = 4 cm²(voor het kleine vierkantje) en 6 ⋅ 4 = 24 cm²voor de rechthoek.

Totaal dus 28 cm².

c De omtrek is dan 6 ⋅ 5 + 4 ⋅ 4 = 46 cm.

De oppervlakte is dan 5²+ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 = 105 cm². d De omtrek is 6 ⋅ u� + 4 ⋅ u� cm.

De oppervlakte is u�²+ 4 ⋅ u� ⋅ u� = 69 cm². a

2 8 en 3 cm.

b Maak een tabel. Je vindt 8 en 3 cm.

(5)

a

3 Figuur I: 4u� + 2u� + u� + u� + u� + u� = 6u� + 4u�

Figuur II: 4u� + 4u�

Figuur III: 3u� + u� + 3u� + 3u� = 6u� + 4u�

b Figuur I: 6 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 38 cm.

Figuur II: 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 29 cm.

Figuur III: 38 cm, want even grote omtrek als ﬁguur I.

c Je hebt dan minder rekenwerk bij het invullen van getallen voor de variabelen.

d Figuur I: u� ⋅ u� + 3 ⋅ u� ⋅ u� = u�²+ 3u�u�

Figuur II: u� ⋅ u� + u� ⋅ u� = u�²+ u�²

Figuur III: 2 ⋅ u� ⋅ u� + u� ⋅ u� + u� ⋅ u� = 2u�²+ u�u� + u�² e Figuur I: 3²+ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 54 cm².

Figuur II: 3²+ 5²= 34 cm².

Figuur II: 2 ⋅ 3²+ 3 ⋅ 5 + 5²= 58 cm². a

4 2u� = u� + u� en 5u� = u� + u� + u� + u� + u�. Als je dit optelt krijg je u� + u� + u� + u� + u� + u� + u� = 7u�.

b Eerst de wisseleigenschap toepassen: 2u� + 5u� + 3u� + 4u� = 2u� + 3u� + 5u� + 4u�. Dan gelijksoortige termen samennemen: 2u� + 3u� = 5u� en 5u� + 4u� = 9u� = u�.

c 18u� + 6u� + 10u� + 4u� = 28u� + 10u�

d 12u� + 6u� + 10u� + 4u� = 26u� + 6u�

e u� + 3u� + 5u� + 8u� + 7u� = 9u� + 8u�

f u�u� + u�²+ 3u�u� + u�²= 4u�u� + 2u�² a

5 3u� + 12u� + 2u� + 4u� = 7u� + 16u�

b 8u� + u� + 2u� + u� = 10u� + 2u�

c 9u� + 3u�

d 7u� + 5u�

a

6 4u� ⋅ 3u� = 12u�u�

b 4u� ⋅ 3u� + 5u� ⋅ 2u� = 12u�u� + 10u�u� = 22u�u�

c 4u� ⋅ 3u� + 5u� ⋅ 2u� = 12u�u� + 10u�² d 6u� ⋅ 2u� + 4u� ⋅ u� = 12u�u� + 4u�u� = 16u�u�

a

7 Zie ﬁguur.

b Je ziet het verschil meteen in de ﬁguren. Bovendien is u�²u� = u�u�u� en u�u�²= u�u�u�.

c De oppervlakte van beide rechthoeken is hetzelfde.

a

8 7u� + u� = 8u�

(6)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA

b 2u�u�u� + 8u�u�u� + u�u�u� = 11u�u�u�

c 12u� ⋅ 4u� + 3u�u� = 51u�u�

d 3u�u�²+ 2u�²u� + u�²u� + 4u�u�²= 7u�u�²+ 3u�²u�

e 4u� ⋅ 3u� + 2u� ⋅ u� + u� ⋅ 2u� = 14u�u� + 2u�² f 2u� ⋅ u� + u� + 4u�²+ 5u� = 6u�²+ 6u�

a

9 −7u� + −5u� = −12u�

b 3u� + 2u� + −5u� + 7u� = 5u� + 2u�

c 3 + −7 + 2u� + −5u� = −4 − 3u�

a 10 35u�²

b 4u� ⋅ 2u� − 3u� ⋅ −7u� = 8u�u� − −21u�u� = 29u�u�

c 3u�u� − 5u� ⋅ 2u� + u�u� = 3u�u� + −10u�u� + u�u� = −6u�u�

11 Doen, ga door tot je (vrijwel) geen fouten meer maakt.

a

12 6u� ⋅ 3u� − 3u� ⋅ −4u� = 18u�u� + 12u�u� = 30u�u�

b −5u�u� − 3u� ⋅ −2u� = −5u�u� + 6u�u� = u�u�

c −3 ⋅ −2u� − 6 ⋅ −8u� = 6u� + 48u� = 54u�

d -3−2p−6−8p=-3+-6+-2p+-8p=-9+-10p=-9−10p

e 4abb−ab2b−3aba+2a3b2=4ab2−2ab2+6ab2−3a2b=8ab2−3a2b f abc+2bac−3abc=1abc+2abc−3abc=0

a

13 Je kunt aan beide zijden delen door 2. Dat levert op u� + u� = 11.

b Doen.

c Omdat er bij het vermenigvuldigen van twee gehele getallen minder mogelijkheden zijn, dan bij het optellen van twee getallen.

d 3 en 8.

e Dan moet je gaan inklemmen met behulp van de tabel.

14 Je vindt u� + u� = 76 en u� − u� = 76.

Je kunt nu systematisch gaan zoeken met een tabel.

Maar misschien zie je wel dat uit deze twee formules volgt 2u� = 98. Je vindt dan u� = 49 cm en u� = 17 cm.

a

15 Figuur I:

De omtrek is 6u� + 6u� en de oppervlakte is 2u�²+ 6u�u�.

Figuur II:

De omtrek is 6u� + 6u� en de oppervlakte is 2u�²+ 2u�u� + 2u�². b Figuur I:

De omtrek is 66 cm en de oppervlakte is 176 cm². Figuur II:

De omtrek is 66 cm en de oppervlakte is 186 cm². a

16 7u� + 20u� = 27u�

b 7u� ⋅ 20u� = 140u�² c 7u� ⋅ 20u� = 140u�u�

d 6u� − u� = 5u�

e 6u� ⋅ −10u�u� = −60u�²u�

f 6u� ⋅ −20u� − 15u� ⋅ −10u� = −120u�²+ 150u�²= 30u�² g −u� ⋅ 5u� + 3u� ⋅ 2u� = −5u�u� + 6u�u� = u�u�

h −u� ⋅ 5u� + 3u� ⋅ 2u� = −5u�u� + 6u�u� = u�u�

(7)

a

17 Eerst herleiden tot −2u�u� en dan substitueren. Je vindt −100.

b Eerst herleiden tot −15u�u�u� en dan substitueren. Je vindt 1500.

c Eerst herleiden tot 9u�u�u� en dan substitueren. Je vindt −900.

d Eerst herleiden tot −26u�u�² en dan substitueren. Je vindt −1040.

e Eerst herleiden tot 3u� en dan substitueren. Je vindt 30.

f Eerst herleiden tot 0 en dan ben je meteen klaar.

18 Je vindt u� ⋅ u� = 104 en u� − u� = 5.

Je kunt nu systematisch gaan zoeken met een tabel. Je vindt u� = 13 en u� = 5.

19 Je vindt u� + u� = 118 en u� − u� = 16.

Je vindt dat Kees 67 jaar en Jochum 51 jaar oud is.

a

20 40

b u� = 4u�

c Vanaf nummer 251.

a

21 220

b u� = u� ⋅ (2u� + 2) of u� = 2u�²+ 2u�.

c Maak een tabel. Je vindt dat dit vanaf nummer 22 het geval is.

a

22 130

b u� = u� ⋅ (u� + 3) of u� = u�²+ 3u�.

c Maak een tabel. Je vindt dat dit vanaf nummer 31 het geval is.

1.2 Breuken

a

1 Maak beide breuken eerst gelijknamig.

5

6+³₄ =¹⁰₁₂+₁₂⁹ = ²¹₁₂. b ⁵₆−³₄ =¹⁰₁₂−₁₂⁹ = ₁₂¹.

c ⁵₆×³₄ =⁵₈ (teller en noemer delen door 3).

d Maak beide breuken eerst gelijknamig.

5

6/³₄ =¹⁰₁₂/₁₂⁹ =¹⁰₉. a

2 Maak beide breuken eerst gelijknamig.

5

u�+³_u�=^5u�_u�u�+^3u�_u�u�=^3u�+5u�_u�u�

b ⁵_u�−³_u�=^5u�_u�u�−^3u�_u�u�=^{5u�−3u�}_u�u�

c ⁵_u�×³_u�=¹⁵_u�u�

d Maak beide breuken eerst gelijknamig.

5

u�/³_u�= ^5u�_u�u�/^3u�_u�u�=^5u�_3u�

e Door 0 delen heeft geen betekenis.

a

3 Het KGV van beide noemers is u�u�, dus je krijgt ^2u�_u�u�en ^3u�_u�u�.

b ²_u�+³_u�=^2u�_u�u�+_u�u�^3u� =^2u�+3u�_u�u� , ²_u�−³_u�=_u�u�^2u�−^3u�_u�u�=^{2u�−3u�}_u�u� en ²_u�/_u�³ =^2u�_u�u�/^3u�_u�u�=^2u�_3u�. c ²_u�⋅_u�³ =_u�u�⁶ .

a

4 Het KGV van beide noemers is 15u�, dus je krijgt _15u�¹⁰ en _15u�⁹ .

b _3u�² +_5u�³ =_15u�¹⁰ +_15u�⁹ =_15u�¹⁹, _3u�² −_5u�³ =_15u�¹⁰ −_15u�⁹ =_15u�¹ en _3u�² /_5u�³ =_15u�¹⁰/_15u�⁹ =¹⁰₉ . c _3u�² ⋅_5u�³ = _15u�⁶2 =_5u�²2.

(8)

a

5 _2u�u�^4u� = ²_u�.

b ²_u�+_3u�⁵ =_3u�u�^6u� +_3u�u�^5u� =^6u�+5u�_3u�u� . c ²_u�⋅_3u�⁵ =_3u�u�¹⁰.

a

6 _2u�³ +⁵_u� =_2u�u�^3u� +^10u�_2u�u� =^10u�+3u�_2u�u�

3

2u�⋅⁵_u�= _2u�u�¹⁵

b _2u�³ /⁵_u�=_2u�u�^3u�/_2u�u�^10u�=_10u�^3u�

c ²₃u� +_2u�¹ =^2u�₃ +_2u�¹ =^4u�_6u�²+_6u�³ =^4u�_6u�²⁺³

2

3u� ⋅_2u�¹ =^2u�₃ ⋅_2u�¹ =^2u�_6u� =¹₃ (je vereenvoudigt de breuk door teller en noemer door u� te delen) d ²₃u� /_2u�¹ =^2u�₃/_2u�¹ =^4u�_6u�²/_6u�³ =^4u�₃²

a

7 _4u�u�^2u� +_3u�⁶ =_2u�¹ +²_u�= _2u�¹ +_2u�⁴ =_2u�⁵ b ^−3u�_u�u� /^2u�_u�2 =⁻³_u� /²_u�= −1,5

c ^2u�u�_u� −^15u�₃ = 2u� − 5u�

d ^4u�u�_2u� ⋅^6u�₃ = 2u� ⋅ 2u� = 4u�u�

8 Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

a

9 Doen.

b Eerst aan beide zijden van het isgelijkteken door 2 delen geeft u� + u� = 10,7. Vervolgens trek je aan beide zijden van het isgelijkteken u� af en je krijgt u� = 10,7 − u�.

c Aan beide zijden van het isgelijkteken delen door u�. Maar dan moet wel u� ≠ 0.

d Van de variabele u�, omdat je de formules zo hebt geschreven dat je u� makkelijk kunt uitrekenen door waarden van u� in te vullen.

e Maak tabellen en een graﬁek. Met inklemmen vind je een snijpunt als u� = 3,2 en dan is u� = 7,5.

a

10 Beide zijden −3u� geeft 2u� = 8 − 3u�.

Beide zijden delen door 2 geeft u� = 4 − 1,5u�.

b Beide zijden −3u� geeft −2u�u� = 8 − 3u�.

Beide zijden delen door −2u� geeft u� =^8−3u�_−2u�. Dit kun je nog verder herleiden: u� = ^8−3u�_−2u� =_−2u�⁸ −_−2u�^3u� =

−4 u� + 1,5.

c Eerst de linkerzijde herleiden: 3u�u� = 9. Dan beide zijden delen door 3u� en je krijgt u� =_3u�⁹ =³_u�. d Beide zijden maal 3u� geeft u� = 27u�. Nu beide zijden verwisselen en delen door 27 en je krijgt u� =₂₇^u� =

1 27u�.

11 Neem aan dat de twee diagonalen lengtes hebben van u� cm en u� cm. Vanwege de gegeven oppervlakte is dan u� ⋅ u� = 30 en 2u� + 2u� = 23.

Herschrijf beide formules naar u� = ³⁰_u� en u� = 11,5 − u� en teken bijpassende graﬁeken. Bepaal de snijpunten van beide graﬁeken.

Je vindt u� = 4 en u� = 7,5 of omgekeerd.

a

12 ^2u�_u� +_3u�^u� =^6u�_3u�+_3u�^u� =^7u�_3u�

2u�

u� ·_3u�^u� =^2u�_3u�²2

b ^2u�_u� −_3u�^u� =^6u�_3u�−_3u�^u� =^5u�_3u�

2u�

u� /_3u�^u� =^6u�_3u�/_3u�^u� = 6

c ^2u�_u� +_3u�^u� =_3u�u�^6u�²+_3u�u�^u�² = ^6u�_3u�u�²^+u�²

2u�

u� ·_3u�^u� =^2u�u�_3u�u� =²₃ a

13 _2u�¹ +³_u�=_2u�u�^u� +_2u�u�^6u� =^6u�+u�_2u�u�

(9)

b ^15u�u�_3u� −^12u�_4u�² = 5u� − 3u� = 2u�

c _4u�^u� ·^2u�_3u�² =^u�₆ =¹₆u�

d ¹_u�−²_u�=_u�u�^u� −^2u�_u�u�=^u�−2u�_u�u�

e ⁶_u�/_2u�¹ =¹²_2u�/_2u�¹ = 12 f ¹_u�+^u�₂ =_2u�² +_2u�^u�² =^2+u�_2u�² a

14 Eerst herleiden tot_u�u�^6u�⋅_3u�^5u�= ¹⁰_3u�. Dan beide getallen invullen geeft ¹⁰₉ . b Eerst herleiden:_3u�⁴ −¹_u�=_3u�¹.

Dan beide getallen invullen geeft: ⁻¹₁₂.

c Meteen maar de getallen invullen:¹₃−¹₂ = −¹₆. d Eerst herleiden tot_u�u�^2u�/⁶_u�= ¹₃.

Nu hoef je niet eens meer de getallen in te vullen!

a

15 u� =_3u�⁶ =²_u�

b u� = 2 −¹₃u�

c 3u� = ¹_u�⋅ 2u�²= 2u� geeft u� = ²₃u�.

d ¹_u�= 2 −¹_u�=^2u�−1_u� geeft na gelijknamig maken_u�u�û� = ^{u�(2u�−1)}_u�u� en dus u� = u� (2u� − 1) zodat u� = _2u�−1û� . 16 De formules worden u� − u� = 14 enû�_u� = 5.

Deze formules kun je schrijven als u� = u� + 14 en u� = 5u�. Hierbij kun je twee graﬁeken in één ﬁguur maken. Maar je kunt ook oplossen 5u� = u� + 14. Je vindt u� = 3,5 en u� = 17,5.

a

17 De afstand die heen is gevlogen bedraagt u� km. De terugreis is even lang, ook u� km. Heen doe je daar

u�

900 uur over, terug₉₆₀^u� .

Over 2u� km doe je dus₉₀₀^u� +₉₆₀^u� uur.

Je gemiddelde snelheid is u�^2u�

900+₉₆₀û� km/uur. Dat kun je herleiden tot 2u� /(₉₀₀û� +₉₆₀û� ) = 2u�/ (₁₄₄₀₀^16u� +₁₄₄₀₀^15u� ) = 2u� /(₁₄₄₀₀^31u� ) = (^28800u�₁₄₄₀₀)/ (₁₄₄₀₀^31u� ) = ^28800u�_31u� ≈ 929 km/uur.

b Neem aan dat de lengte van de rit u� km is. Heen doe je daar ₁₀₀û� uur over, terug ₁₂₀û� . Over 2u� km doe je dus₁₀₀û� +₁₂₀û� uur.

Je gemiddelde snelheid is u�^2u�

100+₁₂₀û� km/uur. Dat kun je herleiden tot 2u� /(₁₀₀û� +₁₂₀û� ) = 2u�/ (₆₀₀^6u� +₆₀₀^5u�) = 2u� /(^11u�₆₀₀) =¹²⁰⁰₁₁ ≈ 109 km/uur.

Zijn daarentegen de tijdsduren van zowel heenreis als terugreis u� uur, dan leg je op de heenreis 120u�

km af en op de terugreis 100u� km. In 2u� uur heb je dan 220u� km afgelegd, dus de gemiddelde snelheid is 220u� /2u� = 110 km/uur.

1.3 Haakjes

a

1 De oppervlakte van een rechthoek van 2 bij 3 + 7 is 2 ⋅ (3 + 7).

Diezelfde rechthoek is te verdelen in twee kleinere, één met een oppervlakte van 2 ⋅ 3 en één met een oppervlakte van 2 ⋅ 7.

Beide oppervlaktes zijn uiteraard hetzelfde.

b Maak een rechthoek van 2 bij 7, waar een rechthoek van 2 bij 3 overheen ligt (met drie zijden op de zijden van de rechthoek van 2 bij 7). Redeneer nu ook met oppervlaktes.

c Doen.

(10)

a

2 De oppervlakte van een rechthoek van 2 + 5 bij 3 + 7 is (2 + 5) ⋅ (3 + 7) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 + 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7.

Diezelfde rechthoek is te verdelen in vier kleinere, oppervlaktes van 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 7, 5 ⋅ 3 en 5 ⋅ 7.

Beide oppervlaktes zijn uiteraard hetzelfde.

b Maak een rechthoek van 5 bij 7, waar een rechthoek van 2 bij 3 overheen ligt (met twee zijden op de zijden van de rechthoek van 5 bij 7). Redeneer weer met oppervlaktes. Denk er om dat de twee rechthoeken van 2 ⋅ 7 en 5 ⋅ 3 elkaar overlappen!

c Doen.

a

3 Doen.

b Doen.

c u�(u� + 3) = u�²+ 3u�

d u�(2u� − 3) = u�(2u� + −3) = 2u�²+ −3u� = 2u�²− 3u�

e (u� + 5)(2u� − 3) = 2u�²− 3u� + 10u� − 15 = 2u�²+ 7u� − 15 f −(u� − 3) = −1 ⋅ (u� − 3) = −1 ⋅ u� − −1 ⋅ 3 = −u� + 3 a

4 5(u� + 2u�) = 5u� + 10u�

b 5u�(u� − 2u�) = 5u�²− 10u�u�

c (u� + 4)(u� + 5) = u�²+ 9u� + 20 d (2u� − 4)(u� − 5) = 2u�²− 14u� + 20

e 3(2u� + 4) + 5(4 − u�) = 6u� + 12 + 20 − 5u� = u� + 32 f 3(2u� + 4) − (4 − u�) = 6u� + 12 − 4 + u� = 7u� + 8 a

5 De GGD van beide termen is 3.

De ontbinding wordt daarom: 6u� + 9 = 3 ⋅ 2u� + 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ (2u� + 3) = 3(2u� + 3).

b De GGD van beide termen is 2u�.

De ontbinding wordt daarom: 8u� − 6u�²= 2u� ⋅ 4 − 2u� ⋅ 3u� = 2u�(4 − 3u�).

c De GGD van alle termen is 2.

De ontbinding wordt daarom: 2u�²− 6u� + 12 = 2 ⋅ u�²− 2 ⋅ 3u� + 2 ⋅ 6 = 2(u�²− 3u� + 6).

d Nee, er is geen GGD van alle termen, dus ontbinden door die GGD buiten haakjes te halen lukt hier niet.

(Nou ja, je kunt een 1 buiten haakjes halen, maar dat is wel erg ﬂauw.)

Je kunt laten zien dat u�²+ 5u� + 6 = (u� + 2)(u� + 3) door links van het isgelijkteken de haakjes uit te werken, of door een rechthoek te tekenen van u� + 2 bij u� + 3.

a

6 2u� + 3(4 − u�) = 2u� + 12 − 3u� = −u� + 12

b (2u� + 3)(u� + 4) = 2u�²+ 8u� + 3u� + 12 = 2u�²+ 11u� + 12 c 4u�(u� − u� + 5) = 4u�²− 4u�u� + 20u�

d 3(2u� − 1)(4 − u�) = 3(8u� − 2u�²− 4 + u�) = 3(−2u�²+ 9u� − 4) = −6u�²+ 27u� − 12 e 2(u�²− 3u�) − u�(2 − u�) = 2u�²− 6u� − 2u� + u�²= 3u�²− 8u�

f (6 − u�) ⋅ −u� + 2(u� − 3) = −6u� + u�²+ 2u� − 6 = u�²− 4u� − 6 a

7 (u� + u�)(u� − u�) = u� ⋅ u� − u� ⋅ u� + u� ⋅ u� − u� ⋅ u� = u�²− u�²

b (u� + u�)²= (u� + u�)(u� + u�) = u� ⋅ u� + u� ⋅ u� + u� ⋅ u� + u� ⋅ u� = u�²+ 2u�u� + u�² c (u� − 5)(u� + 5) = u�²− 25

d (u� + 10)²= u�²+ 10u� + 100 e (3u� + 1)(1 − 3u�) = 1 − 9u�² f (2u� − 3)²= 4u�²− 12u� + 9

g (u� + 2)²− (u� − 2)²= u�²+ 4u� + 4 − (u�²− 4u� + 4) = 8u�

h u�(5u� − 4) − (u� − 2)(u� + 2) = 5u�²− 4u� − (u�²− 4) = 4u�²− 4u� + 4

(11)

a

9 u�(u� + 1)

b ¹_u�+_u�+1¹ =_u�(u�+1)^u�+1 +_u�(u�+1)^u� =_u�(u�+1)^2u�+1 c ¹_u�+_u�+1¹ =^2u�+1_u�2+u�

a

10 Ja, je kunt altijd zelf kiezen hoe je met mintekens omgaat. Soms ziet het er ‘mooier’ uit als je ze buiten haakjes haalt, soms ook niet.

b Door bij de gevonden uitdrukking met haakjes de haakjes weer uit te werken. Ga dat bij de ontbindingen in het voorbeeld zelf na.

a

11 6u� + 8u� = 2 ⋅ 3u� + 2 ⋅ 4u� = 2(3u� + 4u�) b 14u�²− 21u� = 7u� ⋅ 2u� − 7u� ⋅ 3 = 7u�(2u� − 3) c −4u�u� − 12u�²+ 6u� = −2u�(2u� + 6u� − 3) d u�²− u� = u�(u� − 1)

e 3u�²+ 16u�u� = u�(3u� + 16u�)

f −12u�²− 6u� + 18 = −6(2u�²+ u� − 3)

a

13 De GGD van alle drie de termen is 1 en dat getal buiten haakjes halen is zinloos, het maakt de uitdrukking alleen ingewikkelder.

b 2 en 4.

c u�²+ 6u� + 8 = (u� + 2)(u� + 4) d Doen.

a

14 u�²+ 7u� + 12 = (u� + 3)(u� + 4) b u�²+ 12u� + 20 = (u� + 2)(u� + 10) c u�²+ 12u� + 13 = (u� + 1)(u� + 12) d u�²+ 2u� + 1 = (u� + 1)(u� + 1) = (u� + 1)²

e u�²+ 19u� + 90 = (u� + 9)(u� + 10)

f u�²+ 18u� + 81 = (u� + 9)(u� + 9) = (u� + 2)² a

15 Je kunt dit gemakkelijk laten zien door de haakjes weer uit te werken.

In de tabel zie je alle mogelijkheden om met twee getallen het product −6 te maken. Alleen bij de getallen 6 en −1 is de som 5.

b u�²− 5u� − 6 = (u� − 6)(u� + 1) c u�²− 1u� − 6 = (u� − 3)(u� + 2)

d Voor het product heb je dan maar een beperkt aantal mogelijkheden, voor de som niet.

e u�²− 2u� − 8 = (u� − 4)(u� + 2) f u� = u� + u� en u� = u� ⋅ u�.

g Als p = 0, dan is u� + u� = 0 en dus b = −u�. Nu heb je wel mintekens nodig.

Voorbeeld: u�²+ 0u� − 4 = (u� + 2)(u� − 2).

Als q = 0, dan is u� ⋅ u� = 0 en dus a = 0 of b = 0.

Voorbeeld: u�²+ 5u� + 0 = (u� + 5)(u� + 0). (Hier kon je gemakkelijker een u� buiten haakjes halen.) a

16 u�²− 7u� + 12 = (u� − 3)(u� − 4) b u�²+ 2u� − 48 = (u� + 8)(u� − 6) c u�²− 9 = (u� + 3)(u� − 3) d u�²− 2u� = u�(u� − 9)

e 2u�²+ 16u� + 24 = 2(u�²+ 8u� + 12) = 2(u� + 2)(u� + 6) f 3u�²− 48 = 3(u�²− 16) = 3(u� − 4)(u� + 4)

a

17 2u�(u� + 5) = 2u�²+ 10u�

(12)

b 2u� − (u� + 5) = u� − 5

c (2u� − 1)(u� + 5) = 2u�²+ 9u� − 5 d 3(2u� − 1) − 4(u� + 5) = 2u� − 23

e (u� + 5)²= u�²+ 10u� + 25

f (2u� − 1)²− (u� − 5)(u� + 5) = 3u�²− 4u� + 26 g (2u� + u�)(u� + 5) + 2u�(5 − u�) = u�²+ 20u� + 5u�

h (2u� + u�)²− (u� + 5)²= 4u�²+ 4u�u� − 10u� − 25 a

18 _u�−2² +³_u�= _{u�(u�−2)}^2u� +_{u�(u�−2)}^3(u�−2)= _u�^5u�−62−2u�

b _u�−2³ +_u�+2² =(u�−2)(u�+2)^3(u�+2) +(u�−2)(u�+2)^2(u�−2) =^5u�+2_u�2−4

a

19 14u� + 21u� = 7(2u� + 3u�) b 3u�²− 6u�u� = 3u�(u� − 2u�) c −4u�²u� − 4u�u� = −4u�u�(u� + 1) d u�³− 3u�²− u� = u�(u�²− 3u� − 1)

a

20 u�²+ 17u� + 30 = (u� + 2)(u� + 15) b u�²− u� − 12 = (u� − 4)(u� + 3)

c 16 − 10u� + u�²= u�²− 10u� + 16 = (u� − 2)(u� − 8) d u�²− 100 = (u� − 10)(u� + 10)

a

21 12u�²− 8u� = 4u�(3u� − 2) b 6u� − 16 + u�²= (u� + 8)(u� − 2)

c ¹₂u�²− 8 =¹₂(u�²− 16) =¹₂(u� − 4)(u� + 4) d 3u�²− 6u� − 9 = 3(u� − 3)(u� + 1)

e −4u�u� + 8u�u�²= −4u�u�(1 − 2u�)

f 8u� − 16 − u�²= −(u�²− 8u� + 16) = −(u� − 4)²

a

23 u�²m².

b De breedte wordt u� − 3 m en de lengte wordt u� + 3 m.

c Na aanleg van het ﬁetspad wordt de oppervlakte (u� + 3)(u� − 3) = u�²− 9 m.

d De boer raakt 9 m²land kwijt.

1.4 Machten

a

1 Elk van jouw vijf vrienden stuurt ook weer vijf brieven.

5³= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 is het aantal brieven dat de vrienden van jouw vrienden versturen.

b 5⁴= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625

c 5⁴⋅ 5²= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5⁶

d 5⁶/5²= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5/ (5 ⋅ 5) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5 5 = 5⁴ a

2 In de vierde ronde 5⁴en in de achtste ronde 5⁸.

b Je bent in de achtste ronde precies twee keer zoveel rondes verder dan in de vierde ronde.

Uitschrijven kan ook: (5⁴)²= (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5)²= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5⁸. c (5⁴)⁶= 5²⁴

a

3 5¹⁰= 9765625, dus bijna 9,8 miljoen euro voor je goede doel!

(13)

b Al in de tiende ronde heb je alle Nederlanders en alle Belgen wel gehad. En zelfs als je de hele wereldbevolking mee wilt laten doen is het al vrij snel gebeurd.

c 5¹⁰≈ 9,76 ⋅ 10⁶

d 5¹⁴≈ 6.1 ⋅ 10⁹ en de wereldbevolking is ongeveer 7 miljard mensen. Dus in ronde 14, want in ronde 15 heb je alweer vijf keer zoveel.

a

4 5²⁰⁰/5¹⁹⁸= 5^200−198= 5²= 25 b ¹⁹¹²¹^⋅(19⁵⁰⁾

2

19²²⁰ =¹⁹¹²¹₁₉^⋅19220¹⁰⁰ =¹⁹₁₉²²¹220 = 19¹= 19 c 5⁰= 5³⁻³= ⁵₅³3 = 1

d 3⁻⁶= 3⁰⁻⁶=³₃⁰6 =₃¹6

e (15¹⁴)¹⁰⋅ 15¹⁰⁸/15²⁵⁰= 15¹⁴⁰⋅ 15¹⁰⁸/ 15²⁵⁰= 15²⁴⁸/15²⁵⁰= 15⁻²=₂₂₅¹ a

5 u�⁵⋅ u�²= u�⁵⁺²= u�⁷ b 3u�⁵⋅ 4u�²= 12u�³ c 3u�⁵/4u�²=³₄u�³ d (3u�⁵)⁴= 81u�²⁰

e (−2u�³)⁴⋅ u�³/(−2u�⁵)³= 16u�¹⁵/ (−8u�¹⁵) = 2 a

6 4 ⋅ 10⁷m.

b 1 ⋅ 10⁻⁹m.

c _1⋅10^4⋅10−9⁷ = 4 ⋅ 10⁷⁻⁻⁹= 4 ⋅ 10¹⁶ a

7 6u�⁵u�²⋅ 2u�³u� = 12u�⁸u�⁴ b ^6u�_2u�⁵3^u�u�²= 3u�²u�

c (4u�)²− 4u�²= 16u�²− 4u�²= 12u�² d u�³⋅ 2u� + 2(u�u�)²= 2u�³u� + 2u�²u�²

e 8u�³⋅ 2u�u�²− (2u�²u�)²= 16u�⁴u�²− 4u�⁴u�²= 12u�⁴u�² f ^{2u�⋅(−2u�)}_u�2⋅4u�u�³= ^{−16u�u�}_4u�u�3³= −4

a

8 2u�³(1 − 6u�²) = 2u�³− 12u�⁵

b (u�²− 4)(u�²+ 1) = u�⁴+ u�²− 4u�²− 1 = u�⁴− 3u�²− 1 c (u�³− 2)²= u�⁶− 4u�³+ 4

d 4u�²(u� + 3) − 2u�(u�²− 4) = 4u�³+ 12u�²− 4u�³+ 8u� = 12u�³+ 8u�

e (4 + 3u�²)²− (u�²− 1)(u�²+ 1) = 16 + 24u�²+ 9u�⁴− u�⁴+ 1 = 8u�⁴+ 24u�²+ 17 f (u� + 1)³= (u� + 1)²(u� + 1) = (u�²+ 2u� + 1)(u� + 1) = u�³+ 3u�²+ 3u� + 1 a

9 2u�⁴+ 6u�³= 2u�³(u� + 3)

b u�²u�³− 4u�³u�⁵= u�²u�³(1 − 4u�u�²)

c Nu kun je (nadat je de GGD buiten haakjes hebt gehaald) ook nog de som-en-productmethode toepassen.

u�³− 4u� = u�(u�²− 4) = u�(u� − 2)(u� + 2)

d 24u�²− 8u�³+ 2u�⁴= 2u�²(12 − 4u� + u�²) = 2u�²(u�²− 4u� + 12) = 2u�²(u� − 6)(u� + 2) a

10 Loop nu de oplossing van de vier voorbeelden na. Bekijk vooral het werken met de machten van 10.

b u� ⋅ u� = 3,6 ⋅ 10¹³⋅ 9,0 ⋅ 10⁻⁷= 32,4 ⋅ 10⁶= 3,24 ⋅ 10⁷

c u� − u� = 3,6 ⋅ 10¹³− 1,2 ⋅ 10¹²= 3,6 ⋅ 10¹³− 0,12 ⋅ 10¹³= 3,48 ⋅ 10¹³ d u�³= (1,2 ⋅ 10¹²)³= 1,728 ⋅ 10³⁹

e Omdat u� ten opzichte van u� verwaarloosbaar klein is.

a

11 _1,5⋅10¹ 8 =²₃⋅ 10⁻⁸≈ 6,7 ⋅ 10⁻⁹AE. (Denk er om dat je antwoorden ook in de wetenschappelijke notatie moeten staan en dat veel decimalen of exacte waarden nu onzinnig zijn.)

(14)

b 5,2 ⋅ 1,5 ⋅ 10⁸= 7,8 ⋅ 10⁸ c ^5,9⋅10_1,5⋅10⁹8 ≈ 3,9 ⋅ 10 = 39 AE.

d Het licht legt in een jaar ongeveer 365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 3 ⋅ 10⁵≈ 9,46 ⋅ 10¹²km af. Dat is ongeveer 63072 AE.

12 ⁸⁶⁰₄^⋅2192²⁰⁰ =⁽²³⁾

60⋅2²⁰⁰

(2²)¹⁹² =²₂³⁸⁰384= 2⁻⁴=₂¹4 =₁₆¹ a

13 3u�²u�³⋅ −2u�u�²= −6u�³u�⁵ b _−2u�u�^3u�²^u�³2= −1,5u�u�

c (3u�²)³+ 2u�²⋅ u�³− 2u�²⋅ 5u�⁴= 17u�⁶+ 2u�⁵

d 3u�²(u�u�²− 2u�) − 2u�u�(u�²u� − u�) = 3u�³u�²− 6u�²u� − 2u�³u�²+ 2u�²u� = u�³u�²− 4u�²u�

e (u�³+ 5)²− u�²⋅ u�⁴= 10u�³+ 25 f ^2u�²^{u�+3u�u�}_2u�u� ² =^2u�_2u�u�²^u�+^3u�u�_2u�u�² = u� + 1,5u�

g u�⁵(u�²− 4)(u�²+ 1) = u�⁵(u�⁴− 3u�²− 4) = u�⁹− 3u�⁷− 4u�⁵ h 2u�(3u�²)³− 2u�u� ⋅ u�⁵= 52u�u�⁶

a

14 12u�⁶− 18u�³= 6u�³(2u�³− 3)

b 4u�u�³+ 12u�²u� − 4u�u� = 4u�u�(u�²+ 3u� − 1)

c u�⁵− u�⁴− 2u�³= u�³(u�²− u� − 2) = u�³(u� − 2)(u� + 1) d 4u� − 8u�²+ 4u�³= 4u�(u�²− 2u� + 1) = 4u�(u� − 1)²

a

15 12 ⋅ 1,66 ⋅ 10⁻²⁴= 19,92 ⋅ 10⁻²⁴≈ 1,99 ⋅ 10⁻²³gram.

b Uit ongeveer _1,99⋅10¹²−23≈ 6,02 ⋅ 10²³atomen. (Dit getal is deconstante van Avogadro.) c Allebei ongeveer 6,02 ⋅ 10²³atomen.

d Ongeveer _{18⋅1,66⋅10}¹⁰³ −24 ≈ 3,35 ⋅ 10²⁵.

a

17 2⁹= 512 b 2⁶³.

c Ongeveer 9,22 ⋅ 10¹⁸.

d Ongeveer 0,065 ⋅ 9,22 ⋅ 10¹⁸= 0,5993 ⋅ 10¹⁸≈ 5,99 ⋅ 10¹⁷gram en dat is ongeveer 5,99 ⋅ 10¹⁴kg.

e Je moet er dan 9,22⋅10¹⁶cm³graan in kwijt kunnen. De hoogte wordt dan 9,22⋅10¹⁶/25 = 3,60 ⋅ 10¹⁵ cm en dat is 3,60 ⋅ 10¹⁰km oftwel 36 miljard km.

a

18 1 + 2 + 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶+ 2⁷+ 2⁸+ 2⁹= 1023 b Daar komt ook 1023 uit.

c Stel u� = 1 + 2 + 2²+ 2³+ ... + 2⁶²+ 2⁶³, dan is 2u� = 2 + 2²+ 2³+ ... + 2⁶²+ 2⁶³+ 2⁶⁴. Daaruit volgt u� = 2u� − u� = 2⁶⁴− 1.

1.5 Wortels

a

1 √10 en dat is ongeveer 3,16.

b De oppervlakte van het vierkant is 40 en dus is elke zijde √40. Maar elke zijde is ook 2√10.

c De oppervlakte van deze rechthoek is √40 ⋅ √10 en die oppervlakte is ook 20 = √400 roosterhokjes.

d Dit is de omtrek van rechthoek 𝐴𝐸𝐹𝐷 op twee manieren opgeschreven.

a

2 √10 en dat is ongeveer 2,15.³

b De inhoud van de kubus is 80 en dus is elke zijde √80. Maar elke zijde is ook 2 ⋅³ √10.³ c De inhoud van deze balk is √80 ⋅³ √10 ⋅³ √10 en die inhoud is ook 20 =³ √8000.³

(15)

a

3 √64 = 4, want 4³ ³= 64.

b √−343 = −4, want (−7)³ ³= −343.

c √16 = 2, want 2⁴ ⁴= 16.

d √−16 bestaat niet, want er is geen getal waarvan de vierde macht −16 is.⁴ e √243 = 3, want 3⁵ ⁵= 243.

a

4 Omdat hij hoort bij het terugrekenen vanuit een kwadraat, dus een tweede macht.

b Als je bijvoorbeeld u� = −2 neemt, dan zou √4 = −2 en dan krijg je de vervelende situatie dat een vierkant met oppervlakte 4 een zijde van −2 zou kunnen hebben.

c 5√15 − √3 ⋅ √5 = 5√15 − √15 = 4√15 d ^4√42

2√3 + 2√2 ⋅ √7 = 2√14 + 2√14 = 4√14 e √48 = √16 ⋅ 3 = 4√3

a

5 Omdat derde machten ook negatief kunnen zijn. Bijvoorbeeld √−64 = −4 omdat (−4)³ ³= −64.

b √u�³ ⁶=√u�³ ³⋅√u�³ ³= u� ⋅ u� = u�²

c 5 ⋅√15 −³ √3 ⋅³ √5 = 5 ⋅³ √15 −³ √15 = 4 ⋅³ √15³

d ⁴

3√42

2³√3 + 2√2 ⋅³ √7 = 2³ √14 + 2³ √14 = 4³ √14³ e √128 =³ √64 ⋅ 2 = 4³ √2³

a

6 √12 − √3 = √4 ⋅ 3 − √3 = 2√3 − √3 = √3

b √128 + 2√98 = √64 ⋅ 2 + 2√49 ⋅ 2 = 8√2 + 14√2 = 22√2 c u� ≥ 0

d 3√u�²u� − u�√u� + √2u�²= 3u�√u� − u�√u� + u�√2 = 2u�√u� + u�√2 e √108 − 2³ √32 =³ √27 ⋅ 4 − 2³ √8 ⋅ 4 = 3³ √4 − 4³ √4 = −³ √4³

f √72u�³ ³−√3u� ⋅³ √3u�³ ²= √8u�³ ³⋅ 9 −√u�³ ³⋅ 9 = 2u�√9 − u�³ √9 = u�³ √9³ a

7 Volgens de stelling van Pythagoras is de hypothenusa √4²+ 4²= √4²⋅ 2 = 4√2.

b Volgens de stelling van Pythagoras is de hypothenusa √u�²+ u�²= √2u�²= √u�²⋅ 2 = u�√2.

c Elke zijde van de gelijkzijdige driehoek heeft een lengte van 2 ⋅ 4 = 8 en met de stelling van Pythagoras vind je dan voor de langste rechthoekszijde √(2 ⋅ 4)²− 4²= √3 ⋅ 4²= 4√3.

d Elke zijde van de gelijkzijdige driehoek heeft een lengte van 2u� en met de stelling van Pythagoras vind je dan voor de langste rechthoekszijde √(2u�)²− u�²= √3u�²= u�√3.

a

8 Elk zijvlak is een vierkant van 4 bij 4, dus een diagonaal is √4²+ 4²= √4²⋅ 2 = 4√2.

b Elk zijvlak is een vierkant van u� bij u�, dus een diagonaal is √u�²+ u�²= √2u�²= √u�²⋅ 2 = u�√2.

c Elk zijvlaksdiagonaal heeft een lengte van 4√2 dus een lichaamsdiagonaal is √(4√2)²+ 4² =

√2 ⋅ 4²+ 4²= √3 ⋅ 4²= 4√3.

d Elk zijvlaksdiagonaal heeft een lengte van u�√2 dus een lichaamsdiagonaal is √(u�√2)²+ u�² =

√2u�²+ u�²= √3u�²= u�√3.

a

9 De noemer wordt daardoor een geheel getal, want √2 ⋅ √2 = √4 = 2.

b Bij delen door 2 houd je de helft van de wortel over.

c ^u�

√u�= ^{u�⋅√u�}

√u�⋅√u�=^{u�⋅√u�}_u� = √u�

a

10 ²

√3= ^2⋅√3

√3⋅√3 =^2√3₃ =²₃√3 b √2 ⋅ √5 + ⁵

2√10 = √10 +_{2√10⋅√10}^5⋅√10 = √10 +^5√10₂₀ = √10 + 0,25√10 = 1,25√10 c ^2u�

√u�− √¹4u� = ^{2u�⋅√u�}

√u�⋅√u�−¹₂√u� =^2u�√u�u� −¹₂√u� = 2√u� −¹2√u� = 1¹2√u�

d u�√⁴u�+ √^u�4 = u� ⋅ ²

√u�+^√u�₂ = ^{2u�⋅√u�}

√u�⋅√u�+¹₂√u� = 2√u� +¹₂√u� = 2¹₂√u�

(16)

e 3^2u�

√u� = ^2u�⋅

3√u�²

√u�⋅3 ³√u�²= ^2u�

3√u�²

u� = 2√u�³ ² f 4^u�

√u�³+√u� =⁴ ^u�⋅

4√u�

4√u�³⋅⁴√u�+√u� =⁴ ^u�

4√u�

u� +√u� =⁴ √u� +⁴ √u� = 2⁴ √u�⁴

a

12 √1024 = 32 want 32²= 1024.

b √1024 = 4 want 4⁵ ⁵= 1024 c ¹⁰√1024 = 2 want 2¹⁰= 1024 a

13 √27 +³ √4 ⋅³ √16 = 3 +³ √64 = 3 + 4 = 7³ b √28 + 2√63 = 2√7 + 6√7 = 8√7 c (√6 − 1)²= 6 − 2√6 + 1 = 7 − 2√6 d (√10)⁴ ⁸= (√10)⁴ ⁴⋅ (√10)⁴ ⁴= 10 ⋅ 10 = 100

e ¹⁰

√5− √5 = ^10√5₅ − √5 = 2√5 − √5 = √5 f √³4+ √12 =¹₂√3 + 2√3 = 2¹₂√3

g ^√5

2−√5= ^√5(2+√5)

(2−√5)(2+√5)=^2√5+5₋₁ = −2√5 − 5 h 3²

√4−√2 =³ ^2⋅

3√16

4 −√2 =³ ¹₂√8 ⋅ 2 −³ √2 =³ √2 −³ √2 = 0³ a

14 √³4u�²+¹₂u�√3 = ¹₂u�√3 +¹₂u�√3 = u�√3 b ^3u�²

√u� − u�√u� = 3u�√u� − u�√u� = 2u�√u�

c √u�⁴ ²u� ⋅√16u�⁴ ²u�³= √16u�⁴ ⁴u�⁴= 2u�u�

a

15 Er zijn twee zijvlakken van u� bij 2u� cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn √u�²+ (2u�)² = u�√5 cm.

Er zijn twee zijvlakken van u� bij 3u� cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn √u�²+ (3u�)² = u�√10 cm.

Er zijn twee zijvlakken van 2u� bij 3u� cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn √(2u�)²+ (3u�)²= u�√13 cm.

b √u�²+ (2u�)²+ (3u�)²= u�√14 a

16 8, 8 en 8√2 cm.

b 8√2, 8√2 en 16 cm.

c ¹₂√2, ¹₂√2 en 1 cm.

d 4, 8 en 4√3 cm.

e 10, 5 en 5√3 cm.

f 1,¹₂ en¹₂√3 cm.

g 6, 2√3 en 4√3 cm.

a

17 Bereken alle zijden met behulp van de twee tekendriehoeken. Je vindt 𝐵𝐷 = 4√2, 𝐶𝐷 = 4√2, 𝐴𝐷 =

4

3√6 en 𝐴𝐶 =⁸₃√6. De totale omtrek is daarom 8 + 4√2 + 4√6.

b ¹₂(4√2 +⁴₃√6) ⋅ 4√2 = 16 +⁸₃√12 = 16 +¹⁶₃ √3

c Ga na dat de oppervlakte die is gegeven precies₁₆⁹ deel is van de oppervlakte die je bij b hebt gevonden.

Dit betekent dat alle lengtes van deze ﬁguur √16⁹ = ³₄ deel van de lengtes van de driehoek bij a en b zijn.

Daarom is 𝐵𝐶 = 6.

(17)

1.6 Totaalbeeld

a

1 5u� + 2u� − 3u� − u� = 2u� + u�

b 5u� ⋅ 2u� − 3u� ⋅ −u� = 10u�u� + 3u�u� = 13u�u�

c _2u�¹ +²_u� =^4u�+u�_2u�u�

d _2u�¹ −_u�+1² =_{2u�(u�+1)}^u�+1 −_{2u�(u�+1)}^4u� =_2u�^1−3u�2+2u�

e (u� + 2)(u� + 1) − u�(u� + 1) = u�²+ 3u� + 2 − u�²− u� = 2u� + 2 f 4 − (u� + 2)²= 4 − (u�²+ 4u� + 4) = −u�²− u�

g u�²⋅ (2u�)³− 2u�²⋅ 4u�³= 8u�⁵− 8u�⁵= 0

h (u�³− 2)²− u�⁴(u�²+ 1) = u�⁶− 4u�³+ 4 − u�⁶+ u�⁴= u�⁴− 4u�³+ 4 a

2 Eerst vereenvoudigen:^4u�u�_3u�u�³ =^4u�₃². En nu u� = −6 invullen levert 48 op.

b Eerst haakjes uitwerken en samennemen: 2u�(u� − 1) − 2u�(u� − 1) = 2u�u� − 2u� − 2u�u� + 2u� = −2u� + 2u�.

En nu invullen geeft −20.

c Eerst de breuken optellen: _2u�u�¹ +_u�u�³ =_2u�u�¹ +_2u�u�⁶ =_2u�u�⁷ . Nu invullen geeft −₄₈⁷ .

d Eerst haakjes uitwerken en samennemen: (u� + u�)²− (u� − u�)²= 4u�u�.

Invullen geeft −96.

a

3 Dit wordt 4u� − 7 = 2u� en dus u� = 2u� − 3,5

b Eerst haakjes uitwerken geeft u�u� − 2u� = 5 en dat wordt u�u� = 2u� + 5 zodat u� =^2u�+5_u� = 2 +⁵_u�. c ¹_u�= 2 −¹_u� =^2u�−1_u� geeft u� = _2u�−1^u� .

d 2u� = 4(u� + 1) geeft u� = 2u� + 2.

a

4 12u�³u� − 16u�u�²= 4u�u�(3u�²− 4u�) b 12u�³− 4u� = 4u�(3u�²− 1)

c u�²− 2u� − 80 = (u� − 10)(u� + 8)

d 32 + u�²+ 12u� = u�²+ 12u� + 32 = (u� + 4)(u� + 8) e 84 − 2u� − 2u�²= −2(u�²+ u� − 42) = −2(u� + 7)(u� − 6)

f 4u�²− 1 = (2u� − 1)(2u� + 1) a

5 5,4 ⋅ 10⁹+ 3,1 ⋅ 10⁸= 5,4 ⋅ 10⁹+ 0,31 ⋅ 10⁹= 5,71 ⋅ 10⁹ b 5,4 ⋅ 10⁹⋅ 3,1 ⋅ 10⁸= 16,74 ⋅ 10¹⁷= 1,674 ⋅ 10¹⁸ c 5,4 ⋅ 10⁹⋅ 1,4 ⋅ 10⁻⁵= 7,56 ⋅ 10⁴

d _5,4⋅10¹ 9 ≈ 0,185 ⋅ 10⁻⁹= 1,85 ⋅ 10⁻¹⁰ a

6 2√21 + 2√3 ⋅ 3√7 = 2√21 + 6√21 = 8√21 b √³²⁷64= ³₄

c √96 − √24 = 4√6 − 2√6 = 2√6 d ^4√2

√3 + √2 ⋅ √3 =⁴₃√6 + √6 =⁷₃√6 e √10⁵ ²− 7³= √−243 = −3⁵

a

7 5u�²+ 6u� − u�(u� + 3) = 4u�²+ 3u�

b (u�²− 4)(u�²+ 4) − u�³(u� + 1) = 16 − u�³

c 4u�u�²− 2u�²u� + 6u�u� ⋅ 4u� − 6u�u� ⋅ 4u� = 22u�²u� − 20u�u�² d 4u� − (8 − 4u�) = 8u� − 8

e (u� − 1)²− (u� − 1)(u� + 1) = 2 − 2u�

f (−2u�)³⋅ 3u�²− 6u�u� ⋅ −u�²u� = 0