4 Lineaire verbanden
5.4 Helling en tangens
1 Probeer zelf een oplossing te verzinnen. In de ?Uitleg? zie je een handige manier. a
2 Uit 𝑂𝐴 ⋅ u�u�u�(40) = 100 volgt 𝑂𝐴 ≈ 130,54. Dan is 𝐴𝐵 = 130,54 ⋅ u�u�u�(40) ≈ 83,9.
Nu hoef je hierbij alleen nog de hoogte van Jan’s oog boven de grond op te tellen.
b Doen.
c Die wordt ook groter, tot hij 90∘wordt, dan is er opeens geen helling!
d Dan is de tangens van de hellingshoek 0,10. Bij een centrale component van 1 hoort een zijwaartse component van 0,10.
3 u�u�u�(31) =50ℎ geeft ℎ = 50 ⋅ u�u�u�(31) ≈ 30. De hoogte van de koeltoren is ongeveer 31,50 m. 4 u�u�u�(38) = ℎ1
800 geeft ℎ1= 800 ⋅ u�u�u�(38) ≈ 625 m. u�u�u�(45) = ℎ2
800 geeft ℎ2= 800 ⋅ u�u�u�(45) ≈ 800 m. De weerballon is ongeveer 175 m gestegen.
5 Nu is u�u�u�(41∘) = 12u�. Dus u� = 12 ⋅ u�u�u�(41∘) ≈ 10,43 cm. De omtrek is ongeveer 44,9 cm.
6 u�u�u�(44∘) =10ℎ geeft ℎ = 10 ⋅ u�u�u�(44∘) ≈ 9,66 m.
De boom is ongeveer 9,66 m hoog, dus dat gaat net goed. 7 u�u�u�(44∘) =10ℎ geeft ℎ = 10 ⋅ u�u�u�(44∘) ≈ 9,66 m.
De boom is ongeveer 9,66 m hoog, dus dat gaat net goed. a
8 De verticale (zijwaartse) component is 40 − 1,80 = 33,20 en de horizontale (centrale) component is u� genoemd in de figuur.
b Doen. Denk aan analogierekenen: omdat 3 =62 is 2 =63. 9 u�u�u�(47∘) =10s. Dus u� = 10 /u�u�u�(47∘) ≈ 9,33 m.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > GONIOMETRIE
a
10 𝐴𝐵 = √132− 12= √168
b De helling is gelijk aan de verticale component gedeeld door de horizontale component. Als je de uitkomst met 100 vermenigvuldigt, krijg je het hellingspercentage.
c Op je rekenmachine moet je zoiets als u�u�u�u�u�u�(0.077) of u�u�u�−1(0.077) invoeren. a
11 u�u�u�(𝛼) = 0,10 geeft 𝛼 ≈ 5,7∘. De hellingshoek is dus ongeveer 5,7∘. b 3000 ⋅ u�u�u�(5,7∘) ≈ 298 m.
c u�u�u�(5,7∘) =100u� geeft u� =u�u�u�(5,7100∘)≈ 1002 m. a
12 Je ziet ziet in de figuur dat de vector tegen de hoofdrichting in schuin omhoog loopt. Omdat dit tegen de centrale richting in is, wordt de helling met een negatief getal aangeduid.
b Uit u�u�u�(120∘) =5u� volgt u� = u�u�u�(1205 ∘) ≈ −2,89.
Het negatiefteken betekent dat de centrale component tegen de hoofdrichting in gaat en dat klopt met de figuur. 13 𝐵𝐶 = 60 ⋅ u�u�u�(22) ≈ 24,2. 𝐷𝐸 ⋅ u�u�u�(40) = 35 geeft 𝐷𝐸 ≈ 41,7. u�u�u�(∠𝐼) = 6870geeft ∠𝐼 ≈ 44∘. u�u�u�(∠𝐾) =6010 geeft ∠𝐾 ≈ 81∘. u�u�u�(∠𝑃) =106 geeft ∠𝑃 ≈ 37∘.
14 Het punt waar de ladder de muur raakt zit ℎ = 1,50 ⋅ u�u�u�(72) ≈ 4,62 boven de grond.
De lengte van de ladder kun je nu uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Je vindt ongeveer 4,85 m.
15 Noem de afstanden tot de schepen u�1en u�2. Dan is u�1⋅ u�u�u�(22) = 40 en u�2⋅ u�u�u�(16) = 40. Hieruit volgt dat u�1≈ 99 m en u�2≈ 139 m. Hun onderlinge afstand is daarom ongeveer 40 m. a
16 Noem de hellingshoek 𝛼. u�u�u�(𝛼) = 1.23 geeft 𝛼 ≈ 51∘. b Noem de lengte van de trap u�.
u� ⋅ u�u�u�(50,9) ≈ 80 geeft u� ≈ 103 m. a
17 Noem deze hoek 𝛼.
u�u�u�(𝛼) =15060 geeft 𝛼 ≈ 22∘. b Noem deze hoek 𝛽.
u�u�u�(𝛼) = 150
150√2 =12√2 geeft 𝛽 ≈ 35∘. a
18 Met de stelling van Pythagoras bereken je dat 𝐴𝑆 = 5 cm u�u�u�(∠𝑆𝐴𝑇) =125 geeft ∠𝑆𝐴𝑇 ≈ 67∘.
b Als 𝑀 het midden van 𝐴𝐵 is, dan bereken je met de stelling van Pythagoras dat 𝑇𝑀 = √153 cm u�u�u�(∠𝐵𝐴𝑇) = √1534 geeft ∠𝐵𝐴𝑇 ≈ 72∘.
a
19 Doen.
b De vector van 𝐴 naar 𝐵 met hellingshoek 𝛼 ligt als een richtingsvector op de lijn en heeft een horizon-tale component van 1 en een verticale component van u�.
En dus is u�u�u�(𝛼) =u�1 = u�. c u�u�u�(𝛼) = 2 geeft 𝛼 ≈ 63∘. d u�u�u�(𝛼) = −0,25 geeft 𝛼 ≈ −14∘.
a
b Voor lijn u� geldt: u�u�u�(𝛼) = 3 en dus 𝛼 ≈ 71,6∘. Voor lijn u� geldt: u�u�u�(𝛽) = 0,5 en dus 𝛽 ≈ 26,6∘. c Je trekt beide hellingshoeken van elkaar af.
De gevraagde hoek tussen u� en u� is 45∘.
d Voor lijn u� geldt: u�u�u�(𝛾) = −0,5 en dus 𝛾 ≈ −26,6∘. De gevraagde hoek tussen u� en u� is ongeveer 103,2∘.
(Hoewel we nu liever 180∘− 103,2∘ = 76,9∘ als antwoord geven. Twee lijnen maken immers twee verschillende hoeken met elkaar.)
5.5 Rekenen in driehoeken
a
1 Vat hypothenusa 𝐴𝐶 op als vector 𝐴𝐶→←→met centrale richting 𝐴𝐵→←→. Dan is u� = u� ⋅ u�u�u�(𝛼), u� = u� ⋅ u�u�u�(𝛼) en u�u�u�(𝛼) =u�u�.
b u�u�u�(𝛾) = u�u�, u�u�u�(𝛾) =u�u� en u�u�u�(𝛾) =u�u�.
c Als je nu 𝐵𝐶 opvat als vector 𝐵𝐶→←→met centrale richting 𝐵𝐴→←→, dan is de zijwaartse component u� = u�⋅u�u�u�(𝛽) en de centrale component 0 = u� ⋅ u�u�u�(𝛽), terwijl u�u�u�(𝛽) = 10. Dus u�u�u�(90∘) = 1, u�u�u�(90∘) = 0 en u�u�u�(90∘) bestaat niet.
a
2 𝐴𝐵 is de aanliggende rechthoekszijde en 𝐵𝐶 is de overstaande rechthoekszijde. b u�u�u�(𝛼) =135, u�u�u�(𝛼) =1213 en u�u�u�(𝛼) =125.
c Je vindt drie keer 𝛼 ≈ 22,6∘.
d Dat is zijde 𝐵𝐶. Dus is u�u�u�(𝛾) = 135 en 𝛾 ≈ 77,4∘. a
3 Omdat ∠𝐴 gegeven is en je de overstaande rechthoekszijde van ∠𝐴 wilt berekenen, terwijl de aanlig-gende rechthoekszijde gegeven is.
b u�u�u�(41) =𝐵𝐶12, dus 𝐵𝐶 = 12 ⋅ u�u�u�(41) ≈ 10,4. c u�u�u�(49) =𝐵𝐶12, dus 𝐵𝐶 = 12 /u�u�u�(49) ≈ 10,4 . a
4 Zijde 𝐴𝐶 is de schuine zijde van de driehoek en zijde 𝐴𝐵 is de aanliggende rechthoekszijde van ∠𝐴. Je werkt daarom met de cosinus van deze hoek.
Je ziet dat u�u�u�(60∘) =𝐴𝐵5 . Dus 𝐴𝐵 = 5 /u�u�u�(60∘) ≈ 10 .
b De gegeven rechthoekige driehoek is een bijzondere driehoek, namelijk de helft van een gelijkzijdige driehoek. En daarvan is de langste zijde (de hypothenusa) twee keer zo groot dan de kortste zijde 𝐴𝐵. c Bijvoorbeeld 𝐵𝐶 = 5 ⋅ u�u�u�(60) ≈ 8,66 en 𝐵𝐶 = √102− 52= √75 = 5√3 ≈ 8,66. Maar je kunt dit ook
meteen afleiden uit de twee tekendriehoeken die je eerder hebt gezien. 5 u�u�u�(40) =𝐾𝐿7,1 geeft 𝐾𝐿 = 7.1 ⋅ u�u�u�(40) ≈ 6,0 cm.
6 u�u�u�(∠𝑃) =58 geeft ∠𝑃 ≈ 51∘. a
7 Omdat de andere hoogtelijnen altijd of een gegeven zijde, of de gegeven hoek in twee onbekende stukken verdelen. Bovendien loopt 𝐶𝐷 netjes verticaal, zodat je de rechthoekige driehoeken die nu ontstaan goed kunt zien.
b 𝐴𝐷 = 8 ⋅ u�u�u�(55) ≈ 4,59 en 𝐶𝐷 = 8 ⋅ u�u�u�(55) ≈ 6,55.
Je neemt twee decimalen omdat de omtrek en de oppervlakte in één decimaal nauwkeurig moeten worden gegeven.
c Doen.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > GONIOMETRIE
De oppervlakte is 12⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 ≈ 59,2 cm2.
8 Teken de driehoek en zet er (om goniometrie te kunnen gebruiken) de hoogtelijn 𝑀𝑁 in. 𝐾𝑁 = 16 ⋅ u�u�u�(34) ≈ 13,26 en 𝑀𝑁 = 16 ⋅ u�u�u�(34) ≈ 8,95.
𝐿𝑁 = √102− 8,952≈ 4,47.
De omtrek van de driehoek is ongeveer 43,7 cm. Verder is u�u�u�(∠𝐿) ≈4,4710 zodat ∠𝐿 ≈ 63∘.
9 Teken de driehoek en zet er de hoogtelijn 𝐶𝐷 in. Deze hoogtelijn ligt buiten de driehoek! ∠𝐷𝐶𝐵 = 90∘− 23∘− 46∘= 21∘.
Uit u�u�u�(21) =𝐵𝐷5 volgt 𝐵𝐷 = 5 ⋅ u�u�u�(21) ≈ 1,92. Uit u�u�u�(67) =𝐴𝐷5 volgt 𝐴𝐷 = 5 ⋅ u�u�u�(67) ≈ 11,78.
De oppervlakte van de driehoek is 12⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 ≈ 12⋅ (11,78 − 1,92) ⋅ 5 ≈ 24,7 cm2. 10 𝐵𝐶 = 5 ⋅ u�u�u�(10) ≈ 0,9. 𝐴𝐵 ≈ √52+ 0,882≈ 5,1 𝐷𝐹 = 12 ⋅ u�u�u�(72) ≈ 3,7. 𝐹𝐸 = 12 ⋅ u�u�u�(72) ≈ 11,4. 𝐻𝐼 = 10 /u�u�u�(37) ≈ ~13,3 . 𝐻𝐺 ≈ √102+ 13,272≈ 16,6. Hoogtelijn 𝑀𝑁 tekenen. 𝑀𝑁 = 14 ⋅ u�u�u�(27) ≈ 6,36 en 𝐿𝑁 = 14 ⋅ u�u�u�(27) ≈ 12,47. 𝐾𝑁 ≈ √72− 6,362≈ 2,56, dus 𝐾𝐿 ≈ 12,47 + 2,56 ≈ 13,0. 11 u�u�u�(∠𝐵) = 37 geeft ∠𝐵 ≈ 23∘. En dus is ∠𝐶 ≈ 67∘.
u�u�u�(∠𝐸) = 175 geeft ∠𝐸 ≈ 73∘. En dus is ∠𝐷 ≈ 17∘. 𝐾𝐼 = 3 (stelling van Pythagoras).
u�u�u�(∠𝐻) = 45 geeft ∠𝐵 ≈ 37∘. u�u�u�(∠𝐺) = 67 geeft ∠𝐺 ≈ 59∘. ∠𝐼 ≈ 180∘− 59∘− 37∘= 84∘. 12 Noem de hellingshoek 𝛼.
u�u�u�(𝛼) =1400525 geeft 𝛼 ≈ 22∘.
13 Teken de rechthoek en zet de gegevens er in. Maak er een rechthoekige driehoek in. De breedte van de rechthoek is 16 ⋅ u�u�u�(20∘) ≈ 5,47.
De lengte van de rechthoek is 16 ⋅ u�u�u�(20∘) ≈ 15,03. De oppervlakte is ongeveer 82,2 cm2.
14 Teken de situatie en zet de gegevens er in. Maak een rechthoekige driehoek. Als 𝛼 de gevraagde hoek is, dan is u�u�u�(𝛼) = 8082en daaruit volgt 𝛼 ≈ 77,3∘. a
15 Teken de situatie en zet de gegevens er in.
De hoogte van het driehoekje dat het zijaanzicht van de ‘hoofdsteun’ van de iPad voorstelt bereken je met de stelling van Pythagoras: ℎ = √4,32− 2,82≈ 3,26.
Voor de gevraagde hellingshoek 𝛼 geldt: u�u�u�(𝛼) =3,2618,5, zodat 𝛼 ≈ 10∘. b Zie figuur.
De gevraagde hoek is twee keer de grootte van 𝛽 en u�u�u�(𝛽) = 2,84,3. Dus is de gevraagde hoek ongeveer 81∘.
De bovenrand van de tablet zit dan 18,5 ⋅ u�u�u�(81,3∘) ≈ 18,3 cm boven tafel. a
16 5
b Eaecuten tophoek van 360∘/5 = 72∘ en twee basishoeken van 54∘. c De hoogte is u�u�u�(36∘) en de basis is 2 ⋅ u�u�u�(36∘).
De oppervlakte is daarom u�u�u�(36∘) ⋅ u�u�u�(36∘) ≈ 0,475. d 5 ⋅ u�u�u�(36∘) ⋅ u�u�u�(36∘) ≈ 2,378 a 17 6 ⋅ u�u�u�(30∘) ⋅ u�u�u�(30∘) ≈ 2,598 b 8 ⋅ u�u�u�(22,5∘) ⋅ u�u�u�(22,5∘) ≈ 2,828 c 10 ⋅ u�u�u�(18∘) ⋅ u�u�u�(18∘) ≈ 2,939 d 100 ⋅ u�u�u�(1,8∘) ⋅ u�u�u�(1,8∘) ≈ 3,140 e Het getal 𝜋.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > GONIOMETRIE
5.6 Totaalbeeld
1 Zie figuur.
Van de bovenste windvector is de component in de fietsrichting 16 ⋅ u�u�u�(31∘) ≈ 13,7 m/s en de com-ponent daar loodrecht op is 16 ⋅ u�u�u�(31∘) ≈ 8,2 m/s.
Van de onderste windvector is de component in de fietsrichting 12 ⋅ u�u�u�(128∘) ≈ −7,4 m/s en de component daar loodrecht op is 12 ⋅ u�u�u�(128∘) ≈ 9,5 m/s.
2 Je kunt twee verschillende situaties tekenen. Teken ze beide.
Omdat de component van de windvector in de fietsrichting −6 m/s bedraagt, kun je de gevraagde hoek berekenen vanuit 16 ⋅ u�u�u�(𝛼) ≈ −6.
Daarbij passen de hoeken 𝛼 ≈ 112∘en 𝛼 ≈ 248∘. 3 𝐴𝐶 = 15 ⋅ u�u�u�(20) ≈ 5,5.
Uit 15 = 𝐴𝐵 ⋅ u�u�u�(20) volgt 𝐴𝐵 ≈ 16,0. Hoogtelijn 𝐹𝑃 tekenen. 𝐹𝑃 = 15 ⋅ u�u�u�(20) ≈ 5,13 en 𝐷𝑃 = 15 ⋅ u�u�u�(20) ≈ 15,96. 𝑃𝐸 ≈ 21 − 15,96 = 5,04. 𝐸𝐹 ≈ √5,132+ 5,042≈ 7,2. 𝐺𝐻 = 25 ⋅ u�u�u�(52) ≈ 19,7. 𝐼𝐻 = 25 ⋅ u�u�u�(52) ≈ 15,4. 𝐾𝑀 = 10 /u�u�u�(71) ≈ 10,6 . 𝐾𝐿 = 10 /u�u�u�(71) ≈ 3,4 .
4 Uit u�u�u�(∠𝐵) = 135 volgt ∠𝐵 ≈ 21∘. Hoogtelijn 𝐹𝑃 tekenen.
𝐹𝑃 = 16 ⋅ u�u�u�(35) ≈ 9,18 en 𝐷𝑃 = 16 ⋅ u�u�u�(35) ≈ 13,11. 𝑃𝐸 ≈ 21 − 13,11 = 7,89. Uit u�u�u�(∠𝐸) ≈ 9,187,89 volgt ∠𝐸 ≈ 49∘.
∠𝐷𝐹𝑃 = 90∘− 35∘= 55∘en ∠𝑃𝐹𝐸 = 90∘− 49∘= 41∘geeft ∠𝐹 ≈ 55∘+ 41∘= 96∘ Uit u�u�u�(∠𝐼) =1220 volgt ∠𝐼 ≈ 37∘.
a
5 u�u�u�(𝛼) ≈ 0,15 geeft 𝛼 ≈ 8,5∘.
b 2,3 ⋅ u�u�u�(8,5) ≈ 0,340 dus ongeveer 340 m. a
6 u�u�u�(𝛼) ≈ 0,15 geeft 𝛼 ≈ 8,5∘.
b 2,3 ⋅ u�u�u�(8,5) ≈ 0,340 dus ongeveer 340 m. a
7 De gevraagde hoek is ∠𝑆𝑇𝑃 = 𝛼. Deze hoek zit in een rechthoekige driehoek met een hypothenusa van 150 cm.
b Teken hoogtelijn 𝑃𝑄 van Δ𝑆𝑃𝑇.
𝑃𝑄 = 60⋅u�u�u�(70,5) ≈ 56,6 cm en 𝑇𝑄 = 60⋅u�u�u�(70,5) ≈ 20,0 cm. En dan is 𝑄𝑆 ≈ √752− 56,62≈ 49,2. Dit betekent dat punt 𝑆 ongeveer 250 − 20,0 − 49,2 ≈ 181 cm boven de grond zit.
8 Maak een schets van de situatie: punt 𝑆 als startpunt, punt 𝐴 daar 8 km boven (eerste koerscorrectie), punt 𝐵 als punt van het afstoten van het deel dat terugkeert op Aarde met punt 𝐷 op Aarde daar recht onder, tenslotte punt 𝐶 als plek van neerstorten van het afgestoten deel. Je wilt de lengte van 𝑆𝐶 berekenen.
𝑆𝐷 = 5 ⋅ u�u�u�(40) ≈ 3,214 en 𝐵𝐷 = 8 + 5 ⋅ u�u�u�(40) ≈ 11,830. 𝐷𝐶 ≈ 11,830 ⋅ u�u�u�(20) ≈ 4,306.
Het afgestoten deel komt ongeveer 3,214 + 4,306 ≈ 7,62 km van het startpunt in zee. 9 De component van de windvector in haar fietsrichting is 12 ⋅ u�u�u�(220) ≈ −9,2 km/uur.
Ze zal dus nog 8,8 km/uur vooruit gaan. 10 Teken lijnstuk 𝐵𝑃 loodrecht op 𝐷𝐶.
𝐴𝐷 = 𝐵𝑃 = 10 ⋅ u�u�u�(50) ≈ 7,7 en 𝐴𝐵 = 𝐷𝑃 = 10 − 10 ⋅ u�u�u�(50) ≈ 3.6. Teken hoogtelijn 𝐹𝑄.
𝐹𝑄 = 10 ⋅ u�u�u�(30) = 5 en dus is u�u�u�(∠𝐺) = 125 zodat ∠𝐺 ≈ 25∘. Teken lijnstuk 𝐾𝑀. Het snijpunt van 𝐾𝑀 en 𝑁𝐿 is 𝑆.
u�u�u�(∠𝑁𝑀𝑆) =104 zodat ∠𝑀 = 2 ⋅ ∠𝑁𝑀𝑆 ≈ 47∘. a
11 Teken hoogtelijn 𝐶𝐷.
𝐶𝐷 = 12 ⋅ u�u�u�(40) ≈ 7,713, dus de oppervlakte is ongeveer12 ⋅ 20 ⋅ 7,713 ≈ 77,1. b Nu is12⋅ 20 ⋅ 𝐶𝐷 = 80, zodat 𝐶𝐷 = 8.
En dan is u�u�u�(𝛼) =128 zodat 𝛼 ≈ 41,8∘.
12 Noem die hoogte ℎ, dan is 100 =u�u�u�(10)ℎ−1,70 −u�u�u�(15)ℎ−1,70. Hieruit volgt ℎ ≈ 53,3. 13 Noem de lengte u� en de breedte u�, dan is u� = 10 − u�.
Verder is u�u�u�(20) = u�u� = 10−u�u� . Hieruit volgt u� ≈ 2,67 en dus is u� ≈ 7,33. De oppervlakte is ongeveer 19,6.
a
14 In de figuur is 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 3 en 𝐸𝐹 = 𝐹𝐺 = 𝐺𝐻 = 𝐻𝐴 = 2,5. Verder zijn er twee hoeken gegeven.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > GONIOMETRIE
b 𝐻𝐼 = 2,5 ⋅ u�u�u�(65) ≈ 2,266 𝐴𝐼 = 2,5 ⋅ u�u�u�(65) ≈ 1,057
Als 𝐾 het snijpunt is van 𝐻𝐹 en 𝐺𝐶, dan is 𝐻𝐾 ≈ 3 − 1,057 = 1,943. 𝐺𝐾 ≈ √2,52− 1,9432≈ 1,57.
De gevraagde hoogte is 𝐶𝐺 ≈ 3 + 2,27 + 1,57 = 6,84 m.
c De hellingshoek is ∠𝐹𝐻𝐺 en er u�u�u�(∠𝐹𝐻𝐺) ≈ 1,9432,5 zodat ∠𝐹𝐻𝐺 ≈ 39∘, dus versteviging is niet nodig. a
15 Cirkel met middelpunt 𝑀 en straal 1 tekenen en dan bij 𝑀 vijf gelijke hoeken van 360 /5 = 72∘ tekenen. De snijpunten van de benen van die hoeken met de cirkel moet je nog met elkaar verbinden.
b Werk in Δ𝑀𝐴𝐵 en teken daarin hoogtelijn 𝑀𝑃.
Dan is 𝑀𝑃 = u�u�u�(36) en 𝐴𝑃 = u�u�u�(36). De zijden van de vijfhoek hebben een lengte van 2 ⋅ u�u�u�(36) ≈ 1,176 m, dus 1176 mm.
e 𝐶𝐹 = 2 ⋅ u�u�u�(36) ⋅ u�u�u�(36) ≈ 0,951 𝐷𝐹 = 2 ⋅ u�u�u�(36) ⋅ u�u�u�(36) ≈ 0,691
∠𝐶𝐷𝐷 = 180∘− 2 ⋅ 36∘= 108∘, dus ∠𝐹𝐺𝐷 = 72∘. 𝐹𝐺 = 𝐷𝐹 /u�u�u�(72) ≈ 0,225
De éne lengte is 2 ⋅ 𝐹𝐺 ≈ 0,449 m en de andere is 𝐺𝐶 ≈ 0,951 − 0,225 = 0,726 m. a
16 Doen. Je krijgt nu twee rechthoekige driehoeken waarin je de goniometrische verhoudingen kunt toe-passen.
b Je moet dan een andere hoogtelijn tekenen, bijvoorbeeld hoogtelijn 𝐵𝐸. Dan is 𝐵𝐸 = u� ⋅ u�u�u�(𝛼) en ook 𝐵𝐸 = u� ⋅ u�u�u�(𝛾). Daar kun je de rest van de sinusregel uit afleiden.
c u�u�u�(70)5 =u�u�u�(50)u� geeft u� = 5⋅u�u�u�(50)u�u�u�(70) ≈ 4,1 cm. d Teken de driehoek met passer en liniaal.
e u�u�u�(70)5 =u�u�u�(𝛽)4 geeft u�u�u�(𝛽) =4⋅u�u�u�(70)5 ≈ 0,751 en dus 𝛽 ≈ 49∘. a
17 Doen. Begin met ∠𝐴 = 40∘en pas dan 𝐴𝐶 = 6 cm af. Nu kun je 𝐶𝐵 = 4 cm omcirkelen met de passer. Die cirkel gaat op twee plaatsen door het andere been van ∠𝐴 = 40∘.
b u�u�u�(40)4 =u�u�u�(𝛽)6 geeft u�u�u�(𝛽) =6⋅u�u�u�(40)4 ≈ 0,964 en dus 𝛽 ≈ 75∘of 𝛽 = 180∘− 75∘= 105∘. c Doen, werk met passer en liniaal.
d Je kunt niet met de sinusregel de hoeken van een driehoek berekenen als er nog geen enkele bekend is, omdat hij uit drie breuken bestaat die dan alle drie onbekend zijn. In de cosinusregel komen zowel de drie zijden van de driehoek als één van de hoeken voor. Als de zijden gegeven zijn, kun je dus die éne hoek uitrekenen. Daarna bereken je met de sinusregel de overige hoeken.
Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat u kunt vinden op de website www.math4all.nl.
De volgorde van de onderwerpen in dit boek is bepaald door de auteurs van Math4All. Indien u in uw klas een andere volgorde wilt hanteren, maar een boek nog steeds op prijsstelt nodigen we u uit om gebruik te maken van de Math4All maatwerkdienst waarmee u zelf boeken kunt genereren.