a
1 30 /120 =14 uur en dus 15 minuten. Daar komt nog 5 minuten bij voor het tanken, totaal dus 20 minuten.
b Als de snelheid twee keer zo groot wordt, wordt de reistijd niet gehalveerd. c Een mogelijke formule is u� =1800u� + 5.
d 25 =1800u� + 5.
e 1800u� = 20 en dus (vergelijken met62 = 3) u� = 180020 = 90 km/uur. a
2 1920u� + 5 = 25
b Gebruik het analogierekenen. Zie afleiding: 1920 u� + 5 = 25 beide zijden −5 1920 u� = 20 vergelijken met 6 /2 = 3 u� = 192020 = 91 Je rijdt dus 91 km/uur. a
3 0,04 +10u� = 0,06
b Gebruik het analogierekenen. Zie afleiding: 0,04 +10u� = 0,06 beide zijden −0,04 10 u� = 0,02 vergelijken met 6 /2 = 3 u� = 0,0210 = 500
Dus bij 500 folders bedragen de kosten €0,06 per stuk. a
4 Bij de stap waar je met u� vermenigvuldigt. Maar gelukkig kun je hier rustig aannemen dat de snelheden groter zijn dan 0.
b Omdat je dan altijd 0 = 0 overhoudt. En dan is er geen variabele meer over om uit te rekenen, elke waarde voor de variabele voldoet hier aan.
c Zie afleiding: 9000 u� + 12 = 100 beide zijden −12 9000 u� = 88
beide zijden ⋅u�
9000 = 88u�
beide zijden /88
u� = 900088 ≈ 102,3 Je rijdt dus ongeveer 102,3 km/h. a
5 Met de balansmethode vind je 1u� = 4 en dus 4u� = 1 zodat u� = 0,25. b Analogierekenen geeft 2u� − 3 = 50 /10 = 5 en dus u� = 4.
c Eerst beide zijden met u� vermenigvuldigen (aanname u� ≠ 0) geeft 6 + u�2= 5u� en dus u�2− 5u� + 6 = 0. Dit kun je oplossen door ontbinden in factoren: (u� − 2)(u� − 3) = 0. Je krijgt u� = 2 ∨ u� = 3. Controleer dat beide waarden aan de vergelijking voldoen.
d Eerst beide zijden met 2u� vermenigvuldigen (aanname u� ≠ 0) geeft 5 = 20u� en dus u� = 5 /20 = 0,25 . Controleer dat deze waarde aan de vergelijking voldoet.
a
6 Eerst beide zijden met u� vermenigvuldigen (aanname u� ≠ 0) geeft 6 + u�2= 5u� en dus u�2− 5u� + 6 = 0. Dit kun je oplossen door ontbinden in factoren: (u� − 2)(u� − 3) = 0. Je krijgt u� = 2 ∨ u� = 3. Controleer dat beide waarden aan de vergelijking voldoen.
b Eerst beide zijden met 2u� vermenigvuldigen (aanname u� ≠ 0) geeft 5 = 20u� en dus u� = 5 /20 = 0,25 . Controleer dat deze waarde aan de vergelijking voldoet.
a
7 Aan de linkerzijde van het isgelijkteken deel je dan door 0 en dat is onmogelijk.
b 6 = u�2− 5u� kun je herleiden tot u�2− 5u� − 6 = 0. Door ontbinden in factoren vind je (u� + 1)(u� − 6) = 0. En dat levert de twee u�-waarden van de oplossing op.
c Vul eerst u� = −1 in en je vindt aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde antwoord −1. Vul daarna u� = 6 in en je vindt aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde antwoord 1. 8 Als u� ≠ 0 mag je links en rechts met 2u� vermenigvuldigen.
Je krijgt dan 10 = 2u�2− 3. En dit kun je herleiden tot 2u�2= 13 en dus u�2= 6,5. Je vindt als oplossing u� = ±√6,5.
a
9 200u� = 0,4 geeft u� = 200 /0,4 = 500
b Beide zijden met u� vermenigvuldigen en op 0 herleiden geeft u�2− 2u� − 8 = 0. Ontbinden in factoren geeft u� = 4 ∨ u� = −2. Ga na dat beide waarden aan de vergelijking voldoen.
c Beide zijden −20 en × − 1 geeft u�−245 = 15. Dit betekent u� − 2 = 4515= 3 zodat u� = 5. d Analogierekenen geeft u�2+ 4 = 600 /50 = 12 . En dan vind je u� = ±√8.
a
10 Beide zijden met 2u� vermenigvuldigen geeft 6 = 4u� − 4 en dus u� = 2,5.
b Beide zijden met 3u� vermenigvuldigen geeft 9 + u�2 = 10u�. Op 0 herleiden en ontbinden en je vindt u� = 1 ∨ u� = 9.
a
11 240u� + 0,06 = 0,10
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > VERGELIJKINGEN
c Meer dan 6000 kopieën.
12 Noem Willem’s snelheid u�. Dan geldt (denk om het omrekenen naar uren):
18
u� =182u�+ 0,5
Vermenigvuldigen met 6u� levert een vergelijking op zonder breuken. Je vindt uiteindelijk u� = 18 km/h. a
13 𝑉 = 0,002 ⋅ 1,5 ⋅ 106= 3000 volt.
b Noem de weerstand van de eerste stroomdraad 𝑅, die van de tweede is dan 2𝑅. Uit de tekst volgt dan24𝑅 − 10 = 2𝑅24.
Dit geeft 𝑅 = 1,2 Ω. a
14 101 +1u�=14
b Door beide zijden van het isgelijkteken te vermenigvuldigen met 20u�, het kgv van de drie noemers. c Door beide zijden van het isgelijkteken te vermenigvuldigen met 20u�, krijg je 2u� + 20 = 5u�. En dit
levert op: u� =203. d u� = 12
e TIP: vermenigvuldig links en rechts met u�u�u�. Je vindt: u� = u�−u�u�u� .
3.6 Totaalbeeld
a
1 Om u�1= u�3en u�2= 6 − u�. De invoervariabele is u�.
b Je schat eerst welke u�-waarde het snijpunt van beide grafieken heeft, want in het snijpunt hebben beide formules dezelfde uitkomst. Vervolgens ga je nauwkeurige tabellen maken rond die u�-waarde. c Maak een inklemtabel. Je vindt u� ≈ 1,63.
d Je krijgt vaak geen exacte oplossing. En een nog veel groter nadeel is dat je vaak niet zeker weet of je ook echt alle waarden hebt gevonden die bij de oplossing horen. Er kunnen wel snijpunten zijn die in jouw figuur niet te zien zijn.
a
2 Om u�1 = −0,01(u� − 40)2+ 1,5 en u�2= 1. Je schets is een bergparabool met een lijn erdoor die even-wijdig is aan de u�-as.
b Een bergparabool met top (40; 1,5) en de lijn u�2= 1 hebben twee snijpunten.
c Maak voor het overzicht een rekenschema en een terugrekenschema. De oplossing van de vergelijking wordt u� = 40 ± √50.
d Ja, dat kan. Maar het kost waarschijnlijk meer tijd en bovendien moet je daarna weer een kwadraat afsplitsen dus weer haakjes laten ontstaan...
a
3 Omdat de onbekende zowel links als rechts van het isgelijkteken voorkomt.
b Maak voor het overzicht uitgebreide uitwerking waarbij je bij elke stap omschrijft wat je doet. De oplossing van de vergelijking wordt u� = 11,2.
a
4 Omdat de de vergelijking al bestaat uit een product van twee factoren waar 0 uit komt. En dan kun je de vergelijking direct splitsen in twee eenvoudiger vergelijkingen.
b De oplossing van de vergelijking wordt u� = 20 ∨ u� = 30.
c Omdat de de vergelijking nu niet bestaat uit een product van twee factoren waar 0 uit komt. En daarom kun je de vergelijking niet nu direct splitsen in twee eenvoudiger vergelijkingen.
d Na uitwerken van de haakjes en het gebruiken van de balansmethode vind je u�2 − 50u� = 0. Deze vergelijking kun je dan weer oplossen door ontbinden in factoren of door een kwadraat af te splitsen. De oplossing van de vergelijking wordt u� = 0 ∨ u� = 50.
5 Schrijf ook nu een uitgebreide uitwerking als voorbeeld voor jezelf op. Begin met haakjes uitwerken en op 0 herleiden. Daarna moet je ontbinden met de som-product-methode (of een kwadraat afsplitsen). De oplossing van de vergelijking wordt u� = 10 ∨ u� = 15.
a
6 Door aan beide zijden van het isgelijkteken met u� te vermenigvuldigen. LET OP: Dat mag alleen zolang u� ≠ 0.
b Na de vermenigvuldiging met u� krijg je 4 + u�2= 6u� − u�2. Dit kun je verder oplossen door op 0 herleiden en ontbinden.
De oplossing van de vergelijking wordt u� = 1 ∨ u� = 2.
c Bij het vermenigvuldigen heb je aangenomen dat u� ≠ 0. Je moet nog wel even nagaan dat je beide oplossingen hieraan voldoen. En dat is hier ook zo.
a
7 0,5u�4= u� + 3
b Maak voor elk snijpunt een inklemtabel. (−1,3; 1,7) en (1,8; 4,8) a 8 u� = −4 ∨ u� = 1 b u� = −4 ∨ u� = 6 c u� = −10 ∨ u� = 0 d u� = 6 ± √22 e u� = −2,5 ∨ u� = 3 f u� = 0 ∨ u� = 0,5 g u� = ±√43 h u� = −23 a
9 Beide zijden vermenigvuldigen met 12 (het kgv van de noemers) geeft u� = −22. b Beide zijden vermenigvuldigen met 6u� (het kgv van de noemers) geeft u� = −112. c Beide zijden vermenigvuldigen met 12u� (het kgv van de noemers) geeft u� = −221. a
10 u�2= (u� + 40)(u� − 30)
b Haakjes uitwerken geeft u� = 120. Dus de totale oppervlakte van het bij de ruil betrtokken land is 2 ⋅ 1202= 28800 m2en dat is 2,88 ha.
a
11 𝑅u�=107 Ω.
b Neem 𝑅1= u�, dan vind je 13 =1u�+2u�1. Deze vergelijking oplossen geeft 𝑅1= u� = 4,5 Ω.
c Beide zijden van het isgelijkteken vermenigvuldigen met 𝑅u�𝑅1𝑅2geeft 𝑅1𝑅2= 𝑅u�𝑅2+ 𝑅u�𝑅1en 𝑅1𝑅2= 𝑅u�(𝑅2+ 𝑅1). Hieruit volgt 𝑅u�= 𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2.
12 Maak een schets van de situatie. Neem voor de grootste rechthoekszijde u�, dan is de andere recht-hoekszijde u� − 1 en de hypothenusa u� + 8.
De stelling van Pythagoras geeft u�2+ (u� − 1)2= (u� + 8)2.
Deze vergelijking kun je oplossen door haakjes uitwerken en ontbinden in factoren. Je vindt dan u� = 21. En dan kun je de vraag beantwoorden...
13 Maak een schets van de situatie en kies voor de straal van de cirkel de variabele u�. Ga vervolgens op zoek naar een rechthoekige driehoek.
Δ𝑀𝐴𝐶 is rechthoekig met ∠𝐶 = 90∘. Verder is 𝑀𝐶 = 6 − u�. En dus geldt: (6 − u�)2+ 32= u�2