§2.3 en §2.4 Herinnering

§2.3 en §2.4 Herinnering

Regels voor het differenti¨eren

Als de functies f en g differentieerbaar zijn in x dan geldt:

1. de functie f + g is differentieerbaar in x en (f + g)⁰(x) = f⁰(x) + g⁰(x),

2. de functie c.f is differentieerbaar in x en (c f )⁰(x) = c · f⁰(x),

3. de functie f · g is differentieerbaar in x en (f · g)⁰(x) = f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x),

§2.3 en §2.4 Herinnering

Regels voor het differenti¨eren (vervolg) 4. is g(x) 6= 0 dan is de functie f

g differentieerbaar in x en

 f g

0

(x) = f⁰(x) · g(x) − f (x) · g⁰(x)

{g(x)}² .

Kettingregel

Als g differentieerbaar is in x en f is differentieerbaar in y = g(x) dan is de functie f ◦ g differentieerbaar in x en (f ◦ g)⁰(x) = f⁰(y) · g⁰(x) = f⁰(g(x)) · g⁰(x).

Impliciet differenti¨ eren

Gegeven is de cirkel met als vergelijking x² + y² = 1.

Wat is een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in

1 2,

√3 2

!

?

Gegeven is de cardio¨ıde met als vergelijking

x² + y² = (2x² + 2y² − x)² . Wat is een vergelijking van de raaklijn in

 0,1

2



?

Stelling

Twee krommen C₁ en C₂ snijden elkaar loodrecht in (x₀, y0) als

1. de raaklijn aan C₁ in (x₀, y₀) horizontaal is en de raaklijn aan C2 in (x0, y0) vertikaal of omgekeerd of 2. als het product van de richtingsco¨effici¨ent van de

raaklijn aan C₁ in (x₀, y₀) en de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn aan C2 in (x0, y0) gelijk is aan -1.

Inverse functies

Definitie

Laat f : D → B.

De functie f heet een bijectieve functie als bij iedere y ∈ B precies ´e´en x ∈ D bestaat zodat f (x) = y.

Als f : D → B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B → D met de eigenschap dat

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x.

De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f⁻¹. Dus f (x) = y ⇐⇒ f⁻¹(y) = x.

§3.5 De functie arcsinus

f (x) = sin(x) en f⁻¹(x) = arcsin(x).

De functie arccosinus

f (x) = cos(x) en f⁻¹(x) = arccos(x).

De functie arctangens

f (x) = tan(x) en f⁻¹(x) = arctan(x).

Precieser:

Als f : [−π 2, π

2] → [−1, 1] gegeven wordt door

f (x) = sin(x) dan bestaat de inverse functie van f en f⁻¹: [−1, 1] → [−π

2, π

2] wordt gegeven door f⁻¹(x) = arcsin(x).

Als f : [0, π] → [−1, 1] gegeven wordt door

f (x) = cos(x) dan bestaat de inverse functie van f en f⁻¹: [−1, 1] → [0, π] wordt gegeven door

f⁻¹(x) = arccos(x).

Als f : (−π 2, π

2) → R gegeven wordt door

f (x) = tan(x) dan bestaat de inverse functie van f en f⁻¹: R → (−π

2, π

2) wordt gegeven door f⁻¹(x) = arctan(x).

Als f : [−π 2, π

2] → R gegeven wordt door

f (x) = tan(x) dan bestaat de inverse functie van f en f⁻¹: R → [−π

2, π

2] wordt gegeven door f⁻¹(x) = arctan(x).

Stelling

Als f : D → B een differentieerbare inverteerbare functie is op een open interval D dan is f⁻¹ een differentieerbare functie op B en

(f⁻¹)⁰(x) = 1 f⁰(f⁻¹(x))

Domein f (x) f⁰(x)

R xⁿ n xⁿ⁻¹ (n > 0)

R\{0} xⁿ n xⁿ⁻¹ (n < 0)

R e^x e^x

R sin x cos x

R cos x − sin x

R\{π

2 + kπ | k ∈ Z} tan x 1 (cos x)²

Domein f (x) f⁰(x)

R\{0} ln |x| 1

x ( −1, 1 ) arcsin x 1

√ 1 − x² ( −1, 1 ) arccos x − 1

√ 1 − x²

R arctan x 1

1 + x²

§3.6 De hyperbolische functies

f (x) = e^x g(x) = e^−x h(x) = e^x + e^−x

2

h heet de cosinushyperbolicus, h(x) = cosh(x).

f (x) = e^x g(x) = −e^−x h(x) = e^x − e^−x

2

h heet de sinushyperbolicus, h(x) = sinh(x).

f (x) = e^x g(x) = e^−x h(x) = e^x − e^−x

e^x + e^−x

h heet de tangenshyperbolicus, h(x) = tanh(x).

Eigenschappen Voor x, , y ∈ R geldt:

(cosh x)² − (sinh x)² = 1

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

Domein f (x) f⁰(x)

R sinh x cosh x

R cosh x sinh x

R tanh x 1

(cosh x)²