Differenti¨ eren in R

(1)

Analyse: van R naar R

ⁿ

hoorcollege

Differenti¨eren in Rⁿ(15)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Differenti¨ eren in R

ⁿ

Voor een functie R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f⁰(a) := lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h ,

indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van R^k naar R^`. Voor een functie R → R^` is er geen probleem: f = (f1, . . . , f`)^>, waar iedere fi

een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken

f⁰(a) =





 f₁⁰(a)

... f_`⁰(a)





.

Voor een functie R^k → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x¹, . . . , xk). We kunnen nu bijv. x2, . . . , xk vast nemen en kijken naar

g (t) = f (t, x2, . . . , xk).

Dan is g : R → R en kunnen we naar g⁰(x1) kijken.

Parti¨ ele afgeleides

Bekijk f : R²→ R. We nemen x²= a2vast en bekijken g (t) = f (t, a2). Dan defini¨eren we

D1f (a1, a2) := g⁰(a1) = lim

h→0

f (a1+ h, a2) − f (a1, a2)

h ,

departi¨ele afgeleidevan f naar de eerste co¨ordinaat. Zo ook D2f (a1, a2) := lim

h→0

f (a1, a2+ h) − f (a1, a2)

h .

In vectornotatie, met ~ei de i -de standaardbasisvector:

Dif (~a) = lim

h→0

f (~a + h~ei) − f (~a)

h .

Parti¨ele afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1, x2) = x1+ x₂²+ x1x2, dan is

D1f (~a) = 1 + a2, D2f (~a) = 2a2+ a1.

Richtingsafgeleide

Definitie

Voor f : R^k → R defini¨eren we Dif (~a) = lim

h→0

f (~a + h~ei) − f (~a)

h ,

departi¨ele afgeleidevan f naar de i -de co¨ordinaat.

We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook algemener voor ~u ∈ R^k en defini¨eren

D~uf (~a) = lim

h→0

f (~a + h~u) − f (~a)

h ,

derichtingsafgeleidein de richting ~u. Merk op dat Dif = D~e_if .

(2)

Voorbeeld

Definitie

Voor f : R^k→ R defini¨eren we D_~_uf (~a) = lim

h→0

f (~a + h~u) − f (~a)

h ,

derichtingsafgeleidein de richting ~u.

Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x , y ) = xy²

x²+ y⁴, voor (x , y ) 6= (0, 0).

Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1f (0, 0) = 0 = D2f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x , y ) dat

D~uf (~0) = lim

h→0

f (hx , hy )

h = lim

h→0

xy² x²+ h²y⁴ =

(0 als x = 0 y²/x anders.

Dus alle richtingsafgeleiden bestaan.

Terug naar R

Voor een functie R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f⁰(a) := lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h ,

Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f⁰(a) dan en slechts dan als 0 = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h − f⁰(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) − f⁰(a)h

h .

Oftewel: f (a + h) − f (a) − f⁰(a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h)

h = 0. Een functie is dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven

f (a + h) − f (a) = f⁰(a)h + r (h), met lim

h→0

r (h) h = 0.

Of in o-notatie:

f (a + h) − f (a) = f⁰(a)h + o(h) voor h → 0.

Differenti¨ eren: van R naar R

ⁿ

Definitie

Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0.

We schrijven dan f⁰(a) voor L, de afgeleide in a.

Bekijk nu f : R^k→ R^` en ~a ∈ R^k. We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat

f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0.

Hier is L nu een lineaire afbeelding R^k→ R^`, die correspondeert met een l × k matrix.

We schrijven dan f⁰(~a) of Df (~a) voor L. Bovenstaande betekent dus dat

~lim

h→0

f (~a + ~h) − f (~a) − L~h

k~hk = 0.

Differenti¨ eren in R

ⁿ

Definitie

Een functie f : R^k → R^` is differentieerbaar in ~a ∈ R^k als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(R^k, R^`) bestaat zodat

f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0.

We schrijven dan f⁰(~a) voor L, de(totale) afgeleidein ~a.

Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x₁²+ 2x₂². Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1+ h1)²+ 2(a2+ h2)²− a²₁− 2a²₂

= 2a1h1+ 4a2h2+ h²₁+ 2h₂²

= [2a14a2]h₁ h2

+ h²₁+ 2h²₂,

en we hebben ^h²¹^+2h²²

k~hk ≤ ^k~hk²^+2k~^hk²

k~hk = 3k~hk → 0, dus f is differentieerbaar met afgeleide f⁰(~a) = [2a1, 4a2].

(3)

Uniciteit van de afgeleide

Definitie

Een functie f : R^k → R^`is differentieerbaar in ~a ∈ R^k als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(R^k, R^`) bestaat zodat

f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0.

We schrijven dan f⁰(~a) voor L, de(totale) afgeleidein ~a.

Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:

f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K~h + o(~h).

Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus

0 = lim

~h→0

(L − K )~h

k~hk ⇒ 0 = lim

t↓0

(L − K )t~x kt~xk = lim

t↓0

(L − K )~x

k~xk = (L − K )~x k~xk voor ~x 6= ~0 en t > 0. Dus is L~x = K~x voor alle ~x.