ConstructieMechanica 3 Hoofdstuk 4, Toelichting Voorbeeld 3
Ir J.W. (Hans) Welleman maart 2009
De stijfheidsrelatie voor het buigzame deel van de ligger kan met vergeet-mij-nietjes worden bepaald.
Als eerste wordt gekeken naar de horizontale verplaatsing en de rotatie van punt B t.g.v. de horizontale krachten in B en C.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
3 3 2 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
5
3 3 2 24 48
3
2 2 8 8
B C C B C
B
B C C B C
B
H l H l H l l H l H l
u EI EI EI EI EI
H l H l H l l H l H l
EI EI EI EI EI
ϕ
× × × × ×
= + + = +
× × × × ×
= − − − = − −
De horizontale verplaatsing in C kan worden bepaald door BC als een, onder een hoek ingeklemde, uitkragende ligger te beschouwen. Aangezien de rotatie in B bekend is kan deze als kwispeleffect worden meegenomen:
( )
( )
1 3
2 1
2
3 3 2
3 1 2
2 1
2
3 3
3
5 3
24 48 3 8 8
16 5
48 48
C
C B B
C C C
B B
C
C B
C
H l
u u l
EI
H l
H l H l
H l H l
u l
EI EI EI EI EI
H l u H l
EI EI
ϕ
= + − ×
⎛ × × ⎞
= + + − −⎜ − ⎟×
⎝ ⎠
= +
De relatie tussen de verplaatsing en de belasting kan nu kort worden geschreven als:
3 3
3 3
5
24 48
16 5
48 48
C B
B
C B
C
H l H l
u EI EI
H l u H l
EI EI
×
= × +
= +
of:
3 2 5
5 16 48
B B
C C
u l H
u EI H
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Opvallend is dat de horizontale verplaatsing in B t.g.v. een last in C gelijk is aan de horizontale verplaatsing in C t.g.v. een last in B. Dit komt tot uitdrukking in de gevonden matrix die symmetrisch blijkt te zijn. Deze eigenschap staat bekend als de wederkerigheid van Maxwell waar dieper op wordt ingegaan bij CT3109 ConstructieMechanica 4.
De inverse relatie die het verband legt tussen de krachten en de verplaatsing is nu eenvoudig te bepalen:
3
3
3
16 5
48 1
met: 2 16 (5) (5) 7
5 2
16 5
48
5 2
7
768 240
240 96 7
B B
C C
B B
C C
B B
C C
H EI u
H l Det u Det
H EI u
H l u
H EI u
H l u
⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎡ ⎤
= × = × − × =
⎢ ⎥ ⎢⎣− ⎥⎦⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎡ ⎤
= ⇔
⎢ ⎥ ⎢⎣− ⎥⎦⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢⎣− ⎥⎦⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Deze laatste uitkomst staat in het dictaat in formule (4.10) vermeld en kan beschouwd worden als de horizontale stijfheidsrelatie van de buigzame staaf.
