Tentamen CTB2210 ConstructieMechanica 3 29 februari 2xxx van 09:00 – 12:00 uur

Subfaculteit Civiele Techniek Vermeld op bladen van uw werk:

Constructiemechanica STUDIENUMMER :

NAAM :

Tentamen CTB2210 ConstructieMechanica 3

29 februari 2xxx van 09:00 – 12:00 uur

Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven.

Als de kandidaat niet voldoet aan de eisen tot deelname wordt het werk niet beoordeeld.

Werk de opgaven uit op het antwoordformulier en lever alleen deze bladen in. Al uw kladpapier wordt ook

ingenomen en vernietigd.

Vermeld op elk blad rechtsboven uw naam en studienummer

In de beoordeling van het werk wordt ook de netheid van de presentatie betrokken

Het gebruik van een grafische rekenmachine zonder pdf weergave en/of internetverbinding is toegestaan

Het gebruik van mobiele telefoons en/of tablets of pda’s met of zonder internetverbinding is tijdens het tentamen is niet toegestaan, dus uitzetten en van tafel verwijderen !

Let op de aangegeven tijd per vraagstuk

Tenzij anders vermeld speelt het eigen gewicht geen rol en zijn katrollen en scharnierende verbindingen wrijvingsloos.

Voor de valversnelling

g

OPGAVE 1 : Krachtenmethode ( ca 30 min )

In het hieronder weergegeven raamwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI.

Vervorming door normaalkracht wordt verwaarloosd. In knoop C komen drie staven samen die hier momentvast aan elkaar verbonden zijn.

Gegeven : EI = 1000 kNm² a=1,0 m F=16 kN Vragen :

a) Teken de te verwachte vervormde constructie en geef daarbij de vervormingstekens aan.

b) Bepaal de krachtsverdeling in deze constructie m.b.v. hoekveranderingsvergelijkingen.

c) Teken voor de gehele constructie de momentenlijn en de dwarskrachtenlijn. Vermeld daarbij alle relevante waarden en de vervormingstekens.

Controleer vervolgens met dit resultaat het antwoord op vraag a).

d) Bepaal de oplegreacties

F

5a 3a

4a

Alle staven EI

B

A C

D

x

z

OPGAVE 2 : Krachtenmethode (vervolg) ( ca 40 min )

De constructie uit de vorige opgave is een klein beetje gemodificeerd. De vaste ondersteuning in A is een horizontale rol geworden. Overige gegevens zijn identiek aan de vorige opgave.

Gegeven : EI = 1000 kN/m² a=1,0 m F=16 kN

Vragen :

a) Teken de vervormde constructie. Wat verandert er in de berekeningsmethodiek t.o.v.

het vorige vraagstuk ?

Voor de berekening van de krachtsverdeling wordt een scharnier aangebracht in staaf AC, direct links van C. Er ontstaat dan een statisch bepaald hoofdsysteem waarbij de inklemming in B wordt gehandhaafd.

b) Teken dit statisch bepaalde hoofdsysteem en geef daarbij de statisch onbepaalde(n) aan.

c) Formuleer de vormveranderingsvoorwaarde(n).

d) Los de statisch onbepaalde(n) op.

e) Teken voor de gehele constructie de momentenlijn.

f) Bepaal de verplaatsing van punt D.

F

5a 3a

4a

Alle staven EI

B

A C

D

x

z

OPGAVE 3 : Elasticiteitstheorie (ca 40 min)

Van een plaat in een homogene isotrope vlakspanningstoestand zijn van de randen AF en BC de spanningen bekend en in de onderstaande figuur aangegeven in N/mm².

Gegevens: E=30000 N/mm ;² ν =0, 25; f_y =50 N/mm²

Vragen:

a) Wat is een dwarscontractie-coëfficiënt en zijn er eisen gesteld aan deze parameter?

b) Teken de cirkel van Mohr voor de spanningen en geef duidelijk het richtingencentrum en de hoofdrichtingen aan. Er mag bij het tekenen afgerond worden naar het dichts bij zijnde rasterpunt.

c) Bepaal met behulp van de cirkel van Mohr de spanningstensor in het x-z-assenstelsel en geef het resultaat hieronder weer.

d) Bepaal met de cirkel van Mohr de ontbrekende spanningen van het proefstuk en geef in een figuur de spanningen weer zoals ze op alle vlakjes van het proefstuk werken, schrijf de waarden erbij!

e) Bepaal de deviatorische spanningen in het 1-2-3-vlak.

f) Bepaal de hoofdrekken.

g) Controleer de veiligheid van de gegeven spanningssituatie op basis van de vloeivoorwaarde van von Mises.

OPGAVE 4 : Stabiliteit van de verend ondersteunde buigzame staaf ( ca 30 min )

In de aanwezige handboeken op het ingenieursbureau ontbreekt een basis-knikformule voor het onderstaande knikprobleem. U offert uw lunch op om hier een oplossing voor te zoeken.

a) Teken op basis van uw kennis over standaard-knikgevallen de uitbuigingsvormen waartussen de uitbuigingsvorm van het bovenstaande probleem zal moeten liggen en geef daarbij aan tussen welke waarden de kniklengte zal moeten liggen.

b) Toon aan dat voor dit knikprobleem de onderstaande transcedente vergelijking moet worden opgelost :

( )

EI kl l l

l

3 3

: met

tan = − ρ =

ρ α α

α (1)

Van het knikprobleem zijn de volgende gegevens bekend : EI = 3200 kNm²; k = 150 kN/m; l = 4,0 m

Tevens is er een grafische weergave gegeven van de transcedente vergelijking voor verschillende waarden van ρ. Hierdoor is het mogelijk de volgende vragen te beantwoorden :

c) Bepaal de knikkracht en de kniklengte voor de hierboven vermelde gegevens.

d) Laat zien dat de bovenstaande uitdrukking (1) tot de juiste oplossingen leidt voor de uitersten die u onder a) heeft beschreven.

F

k

l EI

4

= 1

ρ

=3 ρ

=10 ρ

=25 ρ

=100 ρ

αl l y =α

OPGAVE 5 : Bezwijken door instabiliteit ( ca 40 min )

Van de onderstaande constructie zijn de beide stijlen oneindig stijf. De regels hebben een buigstijfheid EI. Staaf BD is scharnierend verbonden met de beide regels, staaf AC heeft een volplastisch moment M_p. De afmetingen en de belastingen zijn in de onderstaande figuur weergegeven.

Gegevens : a = 3,0 m; EI = 2250 kNm2; M_p = 63 kNm; F = 200 kN; H = 15 kN;

Vragen:

a) Bepaal de evenwichtsvergelijking voor deze constructie voor zowel de elastische als de plastische fase.

b) Bepaal de kniklast.

c) Bepaal de eerste orde verplaatsing van punt B voor H = 15 kN.

d) Bepaal de eerste orde bezwijkbelasting Hp en de verplaatsing up waarbij de regel AC plastisch wordt.

e) Bepaal de tweede orde verplaatsing van punt B voor de gegeven H en F.

f) Bepaal de kritieke belasting Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

g) Teken voor H=15 kN het last-verplaatsingsdiagram voor de horizontale verplaatsing van punt B en geef alle relevante punten en waarden hierin aan. Geef ook aan hoe deze lijn zich verhoudt tot de kniklast.

EI

EI, Mp

star star

2a

a

F

F

H

a B

D

A C

E

u

FORMULEBLAD

(scheur dit blad en verder los van het werk)

Spanningen en rekken :

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

1 of met

1 2(1 )

2 2

xx xx yy

xx xx yy

yy yy xx yy yy xx

xy xy xy

xy

E E

E E

E G

G G

σ ε νε

ε σ νσ

ν

ε σ νσ σ ε νε

ν ν

σ σ ε

ε

 

= +

= −

  −

 

 

= − = + =

 

− +

 

=

 

 = 



¹

2 ^{i j} voor , ,

ij

u u

i j x y

j i

ε = ^^∂ +^{∂ } =

∂ ∂

 

von Mises : ¹6^

(

) (

) (

)

Tresca : straal van de maatgevende cirkel van Mohr is bepalend

FORMULEBLAD (vervolg)

Eulerse knikvergelijking: Mechanica relaties:

2 2

k

k l

F π EI

= ϕ κ

κ

ϕ M EI

dx d dx

dw = =

−

=

Enkelzijdig verend ingeklemde knikstaaf: Differentiaalvergelijkingen:

2 2

1 2

2 2

2 k

k

2

1 2 3 4

2 3

'' 0 met:

algemene oplossing:

( ) cos sin

:

1 1 1 10 '''' '' 0 met:

4

en ( ) ' '

4

met: algemene oplossing:

( ) cos sin

dus:

( ) sin

z

w w F

EI

w x C x C x

Of

w w F

l l EI

r EI

F l l rl S x M Fw

EI w x C C x C x C x

x C C

α α

α α

α α

π ρ

ρ

α α

ϕ α α

+ = =

= +

+ = =

= + = +

⇒ = −

=

= + + +

= − + ₄

2 2

3 4

2

cos

( ) cos sin

z( )

x C x

M x EI C x C x

S x F C

α α

α α α α

−

 

= × + 

= − ×

Ongeschoorde aan twee zijden verend ingeklemde knikstaaf:

( )

( )

EI l r EI

l r

l F EI

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 1 2 1

2 2 1 k

10 ; 4

10 ; 4 :

4 met = + =

= +

=

− × +

= +

ρ ρ η

ρ ρ π η

η η η η

η η

Geschoorde aan twee zijden verend ingeklemde knikstaaf:

( )( )

( )( )

EI l r EI

l r

l F_k EI

2 2 1 1

2 2

2 1

2 1

: met

5 . 5

2 5 2 5

=

= + +

+

= +

ρ ρ

π ρ ρ

ρ ρ

Regel van Merchant:

=1 +

p c k c

H H F F

“Vrije” kromming t.g.v lineair temperatuurs- verloop over de hoogte h van de doorsnede:

T T

h κ =α^∆

FORMULE BLAD

Eulerse knikvergelijking: Mechanica relaties:

2 2

k

k l

F ₌π EI ϕ κ ϕ M EIκ

dx d dx

dw = =

−

=

Enkelzijdig verend ingeklemde knikstaaf: Differentiaalvergelijkingen:

EI rl l

l l

EI l

F r

= +

=

⇒ +

=

ρ π ρ

: met

4 10

4 1 1 1

k 2

2 k

[ ]

2

2 4 2

3

4 3

2

4 3

2 1

2 2

. ) (

sin cos

) (

cos sin

) (

: dus

sin cos

) (

: oplossing algemene

' ' ) ( en

: met 0 '' '' ''

C F x S

x C

x C

EI x M

x C

x C

C x

x C

x C

x C C x w

Fw M x S

EI w F

w

z z

−

=

+

×

=

− +

−

=

+ +

+

=

−

=

=

= +

α α α

α

α α α

α ϕ

α α

α α

Ongeschoorde aan twee zijden verend ingeklemde knikstaaf:

( )

( )

EI l r EI

l r

l F EI

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 1 2 1

2 2 1 k

10 ; 4

10 ; 4 :

4 met = + =

= +

=

− × +

= +

ρ ρ η

ρ ρ π η

η η η η

η η

Geschoorde aan twee zijden verend ingeklemde knikstaaf:

( )( )

( )( )

EI l r EI

l r

l F_k EI

2 2 1 1

2 2

2 1

2 1

: met

5 . 5

2 5 2 5

=

= + +

+

= +

ρ ρ

π ρ ρ

ρ ρ

Regel van Merchant:

=1 +

p c k c

H H F F

Gonio uitkomsten:

7 , 49 0 , 4

tanαl =αl ⇒ αl ≅ ≅ π

BEKNOPTE UITWERKING

OPGAVE 1 : Krachtenmethode

a) De vervormde constructie is hieronder getekend.

De vervormingstekens van de staafdelen zijn aangegeven. Duidelijk is te zien dat de knopen niet verplaatsen.

b) De constructie is tweevoudig statisch onbepaald. Het statisch bepaalde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. De kracht F in D wordt vervangen door een koppel 3Fa en een kracht F op C. Deze laatste speelt voor de bepaling van de momentenverdeling geen rol (!) en is weggelaten.

Als statisch onbepaalde worden gekozen : - het moment in B

- Het moment in staaf BC in C

Opmerking : De richting van de momenten wordt gekozen a.h.v. de geschetste vervormingstekens.

Voor het oplossen van de statisch onbepaalden zijn twee vormveranderingsvoorwaarden nodig :

=0

= _C^CB _B^BC

CA

C ϕ ϕ

ϕ

Let op: Er kunnen slechts twee statisch onbepaalden gekozen worden !

Knoop C moet in evenwicht zijn, van de aangegeven momenten is er hier dus slechts één onbekend !

CA C MC

CB

MC

Fa 3

B

A C

CA

MC

CB

MC 5a

4a

MB

x

z

F

5a 3a

4a

Alle staven EI

B

A C

D

Uitwerken van de v.v.v. levert :

3 0 4 6

4

6 4 3

4 3

5

=

−

+

−

=

−

EI a M EI

a M

EI a M EI

a M EI

a M

B CB

C

B CB

C CA

C

Uit het knoopevenwicht volgt :

M_C^CA +M_C^CB −3Fa=0 ⇒ M_C^CA =3Fa−M_C^CB Dit invullen in de bovenstaande v.v.v. levert :

kNm 15

kNm 16 30

30

2

1 =

=

=

=

CB C B

CB C

M M

Fa M

Uit het evenwicht van knoop C volgt:

kNm

=18

CA

MC

De gevonden antwoorden zijn allen positief, de aangenomen richting van de momenten was dus juist.

c) Invullen van de gegevens en verder uitwerken levert de onderstaande M-lijn en V-lijn.

Merk op dat de vervormingstekens overeenkomen met die van vraag a).

d) De oplegreacties, zoals ze in werkelijkheid werken, zijn hieronder weergegeven:

kNm 0 , 15

kN 6 , 19

kN 25 , 11

kN 6 , 3

kN 25 , 11

=

↑

=

→

=

↓

=

←

=

T V H V H

B B B A A

Merk op dat de kracht F in knoop C nu wel meegenomen moet worden bij de bepaling van de verticale oplegreactie in B !

15,0 48,0 18,0

M-lijn in kNm

11,25 16,0

3,6

V-lijn in kN

OPGAVE 2 : Krachtenmethode (vervolg)

a) Door de rol in A kan de constructie naar rechts verplaatsen. We spreken dus nu van een constructie met verplaatsbare knopen. De nog onbekende horizontale verplaatsing u is een extra onbekende t.o.v. het probleem in de voorgaande opgave. De vervormde constructie is hieronder weergegeven.

b) Het statisch bepaalde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. Staaf AC kan horizontaal verplaatsen. Deze verplaatsing u moet ook staaf CB in C ondergaan. In knoop C moeten de staafdelen AC en BC ook dezelfde rotatie ondergaan. Immers deze staven zitten momentvast aan elkaar verbonden. Uiteraard geldt ook hier dat knoop C in evenwicht moet zijn. Er is dus in C één moment onbekend.

B A’

CA C MC

CB

MC

Fa 3

CA

MC

CB

MC 5a

4a

A

u u

F

5a 3a

4a

Alle staven EI

B

A C

D u

c) Met behulp van de vergeet-mij-nietjes op het formuleblad kan nu de krachtsverdeling worden bepaald :

EI a M EI

a

M_C^CA _C^CB

CB C CA C

4 3 5 =

=ϕ ϕ

Knoopevenwicht van C levert : Fa M

M_C^CA + _C^CB =3 d) Hieruit volgt :

17 kNm 36 17 kNm 15

Fa M

Fa M

CA C

CB C

=

=

De horizontale verplaatsing in C kan worden bepaald met een vergeet-mij-nietje :

( )

120 2

4 ^{2 3}

=

=

= EI

Fa EI

a u M

CB C C

e) De momentenlijn voor de gehele constructie is hieronder weergegeven :

f) Voor het bepalen van de verplaatsingen van knoop D kan gebruik worden gemaakt van de gereduceerde momentenlijn. Deze is in dit geval gelijkvormig aan de geschetste M- lijn, zie hiervoor ook de stof van het 1^e jaar.

m 313 , 9 0

17 2 180

* 3

*

m 113 , 17 0

2 120

*

3 3

2 1

3 1

= +

= +

=

=

=

=

EI Fa EI

a Fa a

w

EI a Fa

u

D D

θ θ

θ

Deze oplossing kan ook gevonden worden m.b.v. vergeet-mij-nietjes maar let er dan wel op dat voor de verticale verplaatsing het kwispeleffect niet wordt vergeten !

14,12 48,0 33,88

M-lijn in kNm

14,12/EI 48,0/EI 33,88/EI

gereduceerde M-lijn in 1/m

θ1

θ2

Een alternatief voor deze berekening is de aanpak met behulp van de gemengde methode waarbij door het aanbrengen van scharnieren in de knopen er een mechanisme ontstaat met één vrijheidsgraad θ.

Het systeem heeft 2 onbekende momenten en één onbekende verplaatsing, θ. Om deze drie onbekenden op te lossen zijn er twee hoekveranderingsvergelijkingen nodig en één

evenwichtsvergelijking : de virtuele arbeidsvergelijking voor het mechanisme. Let er daarbij op dat de starre rotatie θ van staaf BC in de hoekveranderingsvergelijkingen moet worden verwerkt.

0 0

0 )

3

3 0 4 6

0 4 )

2

6 4 3

4 3

) 5 1

B CB

C CA

C

B CB

C B

B CB

C CA

C BC

C AC C

=

× +

× +

×

=

=

× −

× −

=

× −

× +

−

× =

−

=

δθ δθ

δ

θ ϕ

θ ϕ

ϕ

M M

M A

EI a M EI

a M

EI a M EI

a M

EI a M

Uit het knoopevenwicht volgt :

CB C CA

C CB

C CA

C M 3Fa 0 M 3Fa M

M + − = ⇒ = −

Hiermee kan (1) en (2) worden herschreven tot:

Fa M

M

a EI M

M

a EI F M

M

30 12

22

/ 6

8 4

/ 6

30 4

18

B CB

C

B CB

C

B CB

C

=

−

× +

=

−

×

−

=

−

θ θ

Uit (3) volgt:

B CB

C M

M =−

Hiermee wordt uiteindelijk dezelfde krachtsverdeling en de verplaatsing gevonden :

m 113 , 0 4

rad 028 , 1000 0 6

12 , 14 12 6

12

kNm 88 , 33

kNm 12 , 14

kNm 12 , 24 14

30

B CA C

CB C B

=

×

=

× =

= ×

−

=

=

=

−

=

−

=

θ θ

a u

EI M M

M M Fa

B A’

CA

MC

CB

MC

5a 4a

A

u u

CA C MC

CB

MC

Fa 3

BC

MB

θ

+

OPGAVE 3 : Elasticiteitstheorie

a) Zie dictaat over de theorie. De helft van de punten voor een correcte uitleg en de helft van de punten voor de juiste range waarbinnen de waarde van deze parameter moet liggen. Onzinnige antwoorden kunnen aanleiding zijn om geen punten toe te kennen.

b) Cirkel heeft als middelpunt 12 N/mm². Hoofdspanningen zijn 32 en -8 N/mm². Het RC ligt linksonder in de cirkel. Cirkel goed maar RC niet op de juiste plaats is helft van de punten, kleine onnauwkeurigheden levert 75% van de punten.

c) Spanningstensor netjes uit de cirkel afleiden m.b.v. RC:

30 8

8 6

σ _{= }^{ − }_

− −

  (niet symmetrische tensor is een blunder!) d) Zie voorbeeld dictaat en simulatie m.b.v. computerprogramma.

e) Splits de hoofdspanningstensor in een isotroop en deviatorisch deel, zie theorie dictaat en sheets. Merk op dat de hoofdruimte in 3D wordt afgebeeld!

f) Hoofdrekken op basis van hoofdspanningen, zie dictaat.

g) Let op kwadratisch criterium van von Mises m.b.t. de hoofdspanningen 32, 0 en -8 N/mm². De veiligheidsmarge is 1,36.

OPGAVE 4 : Stabiliteit van de verend ondersteunde buigzame staaf a) Standaard gevallen (a) voor k=0 en (d) voor k=oneindig

b) Oplossen m.b.v. de D.V. en de r.v.w : 0 ) ( ) 4 ) 0 ( . )

0 ( ) 2

0 ) ( ) 3 0

) 0 ( ) 1

=

=

=

=

=

l w

k H S

l w M

z ϕ

Uitwerken (zie formuleblad) levert:

0 cos )

4 )

2

0 sin )

3 0 )

1

4 2 1

2

4 2 1 3

2

= +

=

−

= +

+

=

l C C kC

FC

l C l C C C

EI

α α

α α

Dit levert het homogene stelsel:







=



 



 



 



 −

⇒

= +

= +



 



 −

0 0 cos

1

sin 0

cos

0 sin

4 2

4 2

4 2

C C l l l

l C

C

l C k C

l F k

F

α α

α α

α

α

Een niet-triviale oplossing kan alleen gevonden worden indien de determinant nul is:

( ) ( )

ρ α α α

ρ α

α α

α α α α α

α α

3

3 3

3

2

tan

: stel tan

: met tan

0 sin cos

l l l

EI kl kl

l EI l l

EI F k

l F l l

k l l F

−

=

=

×

−

=

=

−

⇒ =

=

−



 



 −

c) De knikkracht kan worden bepaald door voor ρ = 3,0 uit de grafiek de αl af te lezen :

( )

m 7 , 5 43 , 2 1 , 2

kN 968 2

, 2 2

, 2 0

,

3 ²

2 2

3

=

=

=

=

= ⇒

=

≅ ⇒

=

=

l l

l

EI F l l F

EI l kl

k

k k

π

α α

ρ

d) De twee gevallen die gecontroleerd kunnen worden zijn :

l l l

l k

l l

l l

l k

k k

2 0

tan 0

7 , 7 0

, 49 0 , 4 tan

2

1 =

=

= ⇒

=

=

=

=

= ⇒

∞

=

π α α

α π α

α

OPGAVE 5 : Bezwijken door instabiliteit

a) De algemene evenwichtsvergelijking wordt gevonden uit de e.v. in de verplaatste stand voor de linker en de rechter (vrijgemaakte) stijl:

0 . 2

: 2 0

. .

. :

1 Fu+H a−M −Sa= deel Fu−M +Sa=

deel _{A C}

Hieruit volgt met : u

a EI a

M EI M

M_{A C} 6 6 ₂

=

=

=

= θ

Voor de elastische fase : Voor de plastische fase : 12 0

. .

3 + − ₂ u=

a a EI H u

F (1) 3F.u+H.a−2M_p =0 (2) b) Voor H=0 wordt de kniklast gevonden : 4 1000kN

k = 2 =

a F EI

c) De eerste orde verplaatsing van punt B wordt gevonden met (1) voor F=0:

m 015 , 2250 0 12

27 15

1 =

×

= × u

d) De eerste orde bezwijkbelasting wordt gevonden met (2) voor F=0 : m

042 , 6 0

en kN

2 42 _p ²

p p

p = = = =

EI a u M

a H M

e) De tweede orde verplaatsing voor F=200 kN en H=15 kN : m 01875 , 0 200 9 3

2250 12

3 15 12 3

.

2

2 =

×

× −

= ×

−

= a F

EI a u H

controle : 15 18,75mm

4 5 1 ¹

2 = × =

= − u

n

u n , klopt !

f) De kritieke belasting waar voor H=15 kN bezwijken door instabiliteit optreedt : kN

857 , 042 642

, 0 3

3 15 63

2 =

×

×

−

= × Fc

controle : 0,357 0,643 1,0

1000 857 , 642 42

1 ⇒ 15 + = + =

= +

k c

p F

F H

H , klopt !

g) Zie onderstaande figuur

1000

500

40 30 20 10 643

200

Kniklast, neutraal

labiel stabiel

H=15 kN

Horizontale verplaatsing van punt B in mm F [kN]