• No results found

Tentamen, 21 december 2015, 9:00 -12:00 uur

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Tentamen, 21 december 2015, 9:00 -12:00 uur"

Copied!
1
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Herkansing Elementaire Getaltheorie (WISB321)

Tentamen, 21 december 2015, 9:00 -12:00 uur

Bij dit tentamen is gebruik van boeken, dictaat of aantekeningen niet toegestaan. Als reken- hulp kun je een eenvoudige calculator gebruiken (dus geen GR of smartphone). Als je een onderdeel mist mag je wel het resultaat ervan in de volgende onderdelen gebruiken.

Motiveer je antwoorden!

Veel succes!

1. (a) (1 pt) Bepaal de kleinste x ∈ N z´o dat

3x ≡ 7 (mod 35), 4x ≡ 31 (mod 45), x ≡ 28 (mod 63)

(b) (1 pt) Zij a1, a2 ∈ Z en m1, m2 ∈ N. Bewijs dat het stelsel congruetievergelijkingen x ≡ a1(mod m1) x ≡ a2(mod m2)

een oplossing heeft dan en slechts dan als ggd(m1, m2) een deler is van a1− a2. 2. (a) (1 pt) Bepaal een primitieve wortel modulo 23.

(b) (1 pt) Zij q een priemgetal van de vorm q = 2p + 1 met p oneven priem. Zij a ∈ Z met a 6= 0, ±1(mod q). Bewijs dat

a is primitieve wortel modulo q ⇐⇒ −a is g´e´en primitieve wortel modulo q.

3. Zij gegeven a, m ∈ N.

(a) (1 pt) Bepaal de oplossing van x2− 14y2 = 1 in x, y ∈ N met minimale y.

(b) (1 pt) Bepaal α ∈ R z´o dat α de zuiver periodieke kettingbreuk [3, 1, 2] heeft.

4. (2 pt) Geef met P (n) de grootste priemdeler van n aan. Zij A ∈ N. Neem aan dat het abc-vermoeden waar is. Bewijs dat P (x2+ a) naar ∞ gaat als x ∈ N naar ∞ gaat.

Beschouw eerst het geval ggd(x2, a) = 1 (3/2 pt) en daarna het algemene geval.

5. In de volgende opgaven mag je de priemgetalstelling gebruiken.

(a) (1 pt) Bewijs dat er een A > 0 en een n1 > 0 bestaat z´o dat kgv(1, 2, 3, . . . , n) < An voor alle n > n1. (b) (1 pt) Bewijs dat er een B > 1 en een n2 > 0 bestaat z´o dat

kgv(1, 2, 3, . . . , n) > Bn voor alle n > n2.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Moderator: Henrik Stein, Head of Group Audit, DZ Bank AG Michel Le Masson, Inspecteur Général, Crédit Agricole Nicola Rimmer, Director, Barclays Internal Audit Ranieri

• Geef niet alleen antwoorden, maar laat bij elke (deel)opgave duidelijk zien hoe je aan je antwoorden komt en bewijs al je beweringen.. • Ook als je een onderdeel van een opgave

Copyright © 2019 ProDemos - Huis voor democratie en rechtsstaat, Alle rechten voorbehouden. Onze

[r]

Brie, noten en gekarameliseerde peer €12,50 Gerookte zalm, rode ui, rucola. en roomkaas

Staat open voor Kandidaten Wsw / Wajong / doelgroepregister / Participatiewet Bedrijf UW - Bekijk ook het filmpje Werken en leren bij UW Schoonmaak?. Plaats Diverse locaties

Overeenkomsten (uitgezonderd koop en verkoop tegen contante betaling) welke al dan niet door bemiddeling van tussenpersonen zijn aangegaan, worden eerst door schriftelijke

aansprakelijk voor betaling van huur voor de geboekte apparatuur. Drive in shows annuleren kan niet meer kosteloos binnen 14 dagen voor aanvang show. Van 10 tot 100 % van de kosten