CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel 1 : Theorie

(1)

Deel 1 : Theorie

December 2016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman

(2)

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB2210

MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT

COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN

Civiele Techniek TU-Delft

December 2016

(3)

(4)

Voorwoord

Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB2210 ConstructieMechanica 3.

De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie bestudeerd kan worden.

Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier worden verkregen. Deze site is te vinden op:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/index.shtml

Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica.

Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/SAs/Overons/

Ten opzichte van de vorige versie van dit dictaat zijn er alleen kleine oneffenheden verwijderd. Naast dit theorie-deel is er een tweede bundel met opgaven verkrijgbaar. In dit tweede deel is tevens een leeswijzer opgenomen voor studenten die CTB2210 volgen.

Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en onduidelijkheden worden gemeld.

De auteurs,

Coen Hartsuijker en Hans Welleman,

December 2016

(5)

Inhoudsopgave

1. Stabiliteit van het evenwicht ... 1

1.1 Betrouwbaar en onbetrouwbaar evenwicht. ... 1

1.2 Vormen van instabiliteit ... 7

2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad ... 15

2.1 Het knikprobleem ... 15

2.1.1. Starre knikstaaf met translatieveer ... 15

2.1.2. Starre knikstaaf met rotatieveer ... 18

2.1.3. Starre knikstaaf met een buigzame staaf als veer ... 21

2.1.4 Parallel en in serie geschakelde veren ... 26

2.2 Naknikgedrag ... 31

2.2.1. Symmetrisch labiel naknikgedrag ... 31

2.2.2. Symmetrisch stabiel naknikgedrag ... 35

2.2.3. Asymmetrisch naknikgedrag ... 36

2.3 Enkele uitgewerkte voorbeelden ... 40

3. Knik van gekoppelde starre staven ... 65

3.1 Staven gesteund door translatieveren ... 65

3.2 Verend ingeklemde staven ... 73

4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden ... 105

5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen ... 123

5.1 Knikstaaf van Euler ... 124

5.2 De 4e orde differentiaalvergelijking voor buigingsknik ... 131

5.3 Basisknikgevallen ... 137

5.4 Samenvatting ... 147

6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven ... 169

6.1 Eenzijdig verend ingeklemde knikstaaf ... 171

6.1.1. Exacte oplossing met de 4e orde differentiaalvergelijking. ... 171

6.1.2. Benaderingsmethode met momentenvlakstellingen ... 179

6.1.3. De benaderingsformule ... 187

6.2 Tweezijdig verend ingeklemde knikstaven – ongeschoord ... 192

6.3 Tweezijdig verend ingeklemde knikstaven – geschoord ... 197

6.4 Samenvatting ... 201

7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven 223 7.1 Knikstaaf met verende randoplegging ... 224

7.2 Knikstaaf met verend tussensteunpunt ... 233

7.3 Elastisch ondersteunde knikstaaf ... 241

(6)

8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen ... 247

8.1 Oplossen van de knikvergelijking ... 247

9. Formule van Rayleigh * ... 273

9.1 Vervormingsenergie ... 274

9.1.1. Vervormingsenergie door extensie ... 274

9.1.2. Vervormingsenergie door buiging ... 276

9.2 Formule van Rayleigh ... 279

9.3 Enkele voorbeelden ... 284

10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen) ... 301

10.1 Staaf met vormafwijkingen ... 303

10.2 Staaf met een dwarsbelasting ... 314

11. Vergrotingsfactor (buigzame staven) ... 323

11.1 De differentiaalvergelijking voor een initieel gekromde staaf ... 325

11.2 Drukstaaf met een initiële uitbuiging ... 327

11.2.1. Drukstaaf met een sinusvormige beginuitbuiging ... 327

11.2.2. Drukstaaf met een parabolische beginuitbuiging ... 332

11.2.3. Een geknikte drukstaaf ... 339

11.3 Drukstaaf met een dwarsbelasting; schijnbare stijfheid ... 345

11.3.1. Vrij opgelegde drukstaaf met een puntlast in het midden ... 346

11.3.2. Vrij opgelegde drukstaaf met momenten op de uiteinden ... 353

11.3.3. Verend ingeklemde drukstaaf ... 359

11.3.4. Enkele numerieke voorbeelden ... 366

11.3.5. Schijnbare buigstijfheid ... 374

12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag ... 383

12.1 Knik en naknikgedrag van een starre-staaf-systeem ... 384

12.2 Bezwijken door instabiliteit – starre staven ... 387

12.2.1. Verend ingeklemde staaf met dwarsbelasting ... 387

12.2.2. Verend ingeklemde staaf met initiële scheefstand ... 392

12.2.3. Enkele numeriek uitgewerkte voorbeelden ... 397

12.3 Bezwijken door instabiliteit – buigzame staven ... 414

12.4 Bezwijken door instabiliteit van een portaal ... 420

(7)

(8)

1. Stabiliteit van het evenwicht

Stabiliteit heeft te maken met de betrouwbaarheid van het evenwicht. In paragraaf 1.1 worden enkele hiermee samenhangende basisbegrippen geïntroduceerd.

Een evenwicht dat onbetrouwbaar is noemt men instabiel. Gevaar voor instabiliteit bestaat met name bij op druk belaste slanke constructies. Maar instabiliteit kan ook optreden ten gevolge van afschuiving en wringing. In paragraaf 1.2 wordt een beknopt overzicht gegeven van verschillende vormen van instabiliteit.

1.1 Betrouwbaar en onbetrouwbaar evenwicht.

Het evenwicht van een mens die met beide benen op de grond staat is meestal een betrouwbaar evenwicht. Hij zal niet zomaar omvallen. De mens kan zelfs op de tenen van één voet te staan zonder zijn evenwicht te verliezen. Daarvoor moet de werklijn van de actiekracht (zijn eigen gewicht) samenvallen met de werklijn van de reactiekracht (de kracht die de vloer op zijn tenen uitoefent). Bij elke kleine afwijking treedt een mechanisme in werking dat deze afwijking corrigeert.

Zolang het corrigerend mechanisme ervoor zorgt dat hij niet omvalt is het evenwicht van de mens, ook als hij op de tenen van één voet staat, betrouwbaar.

Ook constructies zijn onderworpen aan storende invloeden en kunnen daardoor uit balans worden gebracht. Om toch niet hun evenwicht te verliezen moeten zij eveneens zijn voorzien van mechanismen die corrigerend werken bij verstoringen van het evenwicht.

Als voorbeeld dienen de twee gewichtloze starre-staaf-systemen in figuur 1.1. Zij worden belast door een kracht F die constant is in grootte en richting. Beide systemen zijn zodanig opgesteld dat de werklijn van F door de scharnieren gaat.

Figuur 1.1

(9)

dat de veerkrachten (de kracht in de translatieveer en het moment in de rotatieveer) nul zijn. Uit dit laatste zou men kunnen concluderen dat de veren voor het evenwicht niet nodig zijn en dus kunnen worden weggelaten.

Ervaring heeft geleerd dat het evenwicht van de systemen zonder veer, zoals getekend in figuur 1.2, van een andere, minder betrouwbare aard is dan het evenwicht van de systemen met veer in figuur 1.1. Een kleine uitwijking uit de rechtstand doet het evenwicht van de systemen in figuur 1.2 definitief verloren gaan. Het evenwicht is onbetrouwbaar. Bij de systemen in figuur 1.1 komen daarentegen de veren in werking om een uitwijking uit de rechtstand te corrigeren. Bij voldoende stijfheid kunnen de veren ervoor zorgen dat het evenwicht niet verloren gaat, maar zich herstelt. Een dergelijk evenwicht is betrouwbaar.

Figuur 1.2

De enig betrouwbare evenwichtsvorm is het stabiele evenwicht. Dat een stabiel evenwicht betrouwbaar is, blijkt uit de volgende definitie:

Een evenwicht is stabiel als het systeem in alle naburige kinematisch mogelijke configuraties¹ van de evenwichtsstand de neiging heeft weer terug te keren naar de oorspronkelijke evenwichtsstand.

Worden de optredende dynamische verschijnselen mede bezien, dan leidt een kleine verstoring van het stabiele evenwicht tot een trilling om de

evenwichtsstand met een amplitude die binnen nauwe grenzen blijft. Door de altijd aanwezige demping zal het systeem na verloop van tijd weer in de oorspronkelijke evenwichtsstand tot rust komen.

Een evenwicht dat niet stabiel is heet instabiel, waarbij men onderscheid kan maken tussen labiel evenwicht en neutraal of indifferent evenwicht.

1 Een kinematisch mogelijke configuratie is een verplaatsings- of vervormingstoestand die voldoet aan alle kinematische betrekkingen en randvoorwaarden.

(10)

Bij labiel evenwicht bestaan er in de omgeving van de evenwichtsstand kinematisch mogelijke configuraties waarin het systeem de neiging heeft zich steeds verder van de oorspronkelijke evenwichtsstand te verwijderen.

Bij neutraal of indifferent evenwicht zijn er in de directe omgeving van de oorspronkelijke evenwichtsstand nieuwe evenwichtsstanden mogelijk.

De drie vormen van evenwicht kunnen worden geïllustreerd aan de hand van een kogeltje in het zwaarteveld, zie figuur 1.3. Het gewicht van het kogeltje is G. Er is geen wrijving.

Figuur 1.3

• stabiel evenwicht

In figuur 1.3a bevindt het kogeltje zich in een bolschaal. De stand ϕ= is een 0 evenwichtsstand. In naburige standen ϕ ≠ is er een terugdrijvende kracht 0

sin

G ϕ waardoor het kogeltje wil terugkeren naar de oorspronkelijke evenwichtsstand ϕ= . In de stand 0 ϕ = is het evenwicht dus stabiel. 0

• labiel evenwicht

In figuur 1.3b ligt het kogeltje op de bolschaal. De stand ϕ = is opnieuw een 0 evenwichtsstand. Omdat er in naburige standen ϕ ≠ nu een wegdrijvende 0 kracht Gsinϕ werkt is het evenwicht in ϕ= labiel. 0

• neutraal evenwicht

In figuur 1.3c ligt het kogeltje op een horizontaal vlak. Elke stand kan een evenwichtsstand zijn. Er is nergens een terug- of wegdrijvende kracht. Het evenwicht is indifferent of neutraal.

De gegeven omschrijving van de begrippen stabiel, labiel en neutraal leidt er toe dat voor een stabiliteitsonderzoek het evenwicht in naburige standen van de oorspronkelijke evenwichtsstand moet worden onderzocht. Dit is een belangrijk verschil met wat in de lineaire mechanica gebruikelijk is.

In de lineaire mechanica worden de evenwichtsvergelijkingen toegepast op de geometrie van de onvervormde constructie. In deze vergelijkingen komen geen verplaatsingsgrootheden voor. Een dergelijke berekening noemt men

geometrisch lineair. Een andere benaming is eerste-orde-berekening.

(11)

moet worden nagegaan hoe het evenwicht verandert als de constructie uit de oorspronkelijke evenwichtsstand overgaat naar een willekeurige naburige stand.

Per definitie moet in de evenwichtsbeschouwing dus de invloed van de

veranderde geometrie worden betrokken. In de evenwichtsvergelijkingen zullen nu wel verplaatsingsgrootheden voorkomen. Een dergelijke berekening noemt men geometrisch niet-lineair. Een andere benaming is tweede-orde-berekening.

Met behulp van het voorgaande kan het verschil in de aard (betrouwbaarheid) van het evenwicht worden verklaard voor de staafsystemen zonder veer in figuur 1.4 en die met veer in figuur 1.5.

Figuur 1.4

Figuur 1.5

Wanneer, door welke oorzaak dan ook, de staafsystemen zonder veer uit hun evenwichtsstand raken, gaat de werklijn van F niet meer door alle scharnieren en is er geen evenwicht. De belasting F wil de uitwijking uit de oorspronkelijke rechtstand vergroten. Het evenwicht is labiel.

Zijn er wel veren, dan zullen deze zich tegen een uitwijking verzetten. Bij voldoende stijfheid kunnen zij de constructie weer doen terugkeren in de oorspronkelijke evenwichtsstand. Het evenwicht is stabiel.

(12)

Zijn de veren bij de gegeven belasting onvoldoende stijf dan heeft de constructie alsnog de neiging zich te verwijderen van de oorspronkelijke evenwichtsstand en is het evenwicht – ondank de aanwezigheid van de veren – labiel.

Opmerking:

Het stabiliteitsprobleem is in beginsel een stijfheidsprobleem.

Opmerking:

In het spraakgebruik wordt de term stabiel nogal eens verward met het begrip kinematisch bepaald (of plaatsvast). Zo zegt men wel – ten onrechte – dat de constructies in figuur 1.4 labiel en die in figuur 1.5 stabiel zijn. Men bedoelt echter te zeggen dat de constructies in figuur 1.4 kinematisch onbepaald of niet plaatsvast zijn en dat de constructies in figuur 1.5 kinematisch bepaald zijn.

Kinematisch bepaaldheid of plaatsvastheid is een eigenschap die wordt bepaald door de geometrie van de constructie¹ en die onafhankelijk is van de belasting.

Stabiliteit staat daarentegen voor een karakterisering van de aard van het evenwicht, waarvoor het nodig is ook de belasting te kennen.

Bij eenzelfde constructie kan het evenwicht onder de ene belasting stabiel en onder een andere belasting instabiel zijn. Men dient daarom te spreken over de stabiliteit van het evenwicht (en niet over het stabiel zijn van een constructie!) Als voorbeeld dienen de kinematisch onbepaalde constructies uit figuur 1.6, waarvan het evenwicht onder invloed van de getekende belasting wel degelijk stabiel is.

Figuur 1.6

1 Tot de geometrie van de constructie worden ook gerekend de wijze van opleggen en de manier waarop de verschillende constructiedelen met elkaar zijn verbonden.

(13)

Een ander voorbeeld is de kabel. Het bijzondere van kabels is dat ze geen eigen

“natuurlijke vorm” hebben. De kabel is een niet-vormvast constructie-element waarvan de vorm zich zodanig bij de belasting aanpast dat het evenwicht stabiel is, zie figuur 1.7.

Figuur 1.7

(14)

1.2 Vormen van instabiliteit

In deze paragraaf wordt een beknopt overzicht gegeven van verschillende

vormen van instabiliteit onder de aanname dat het materiaal zich lineair elastisch gedraagt (elastische instabiliteit).

• Knik van op druk belaste staven

Knik is het verschijnsel dat het evenwicht van een op centrische druk belaste staaf plotseling instabiel wordt. Dit gaat gepaard met sterk toenemende

verplaatsingen loodrecht op de staafas waardoor uiteindelijk bezwijken optreedt.

De belasting waarbij knik optreedt noemt men de knikbelasting. De knikbelasting is een bovengrens voor het draagvermogen van een op centrische druk belaste staaf.

De op centrische druk belaste starre staaf in figuur 1.8, die verend is ingeklemd, zal omvallen zodra de kniklast wordt bereikt. De rotatieveer blijkt bij deze

belasting niet meer voldoende weerstand te kunnen bieden om de staaf rechtop te houden.

Figuur 1.8

De op centrische druk belaste buigzame staaf in figuur 1.9 zal bij het bereiken van de kniklast plotseling uitbuigen. De grootte van de uitbuiging neemt onbepaald toe waardoor uiteindelijk bezwijken optreedt. Omdat men bij

buigzame staven te maken heeft met een combinatie van druk en buiging spreekt men hier ook wel van buigingsknik.

Figuur 1.9

• Knik van op druk belaste ringen en bogen

(15)

hier kan bij een bepaalde drukkracht het evenwicht plotseling instabiel worden, wat gepaard gaat met verlies van de cirkelvorm van de ring, zie figuur 1.10.

Figuur 1.10

Ook bij centrisch gedrukte bogen kan knik optreden, zie figuur 1.11.

Figuur 1.11

Opmerking:

De knikformules voor ringen zijn ook toe te passen op buizen met een (constante) onderdruk van binnen of een overdruk van buiten. Bij dat laatste kan men

bijvoorbeeld denken aan transportleidingen in diep water. In plaats van knik spreekt men dan van implosie.

(16)

• Torsieknik van op druk belaste staven

Torsieknik speelt een rol bij staven waarvan de doorsnede een kleine

wringstijfheid en een relatief grote buigstijfheid heeft, zoals bij dunwandige open profielen. Onder invloed van een centrische drukkracht, kleiner dan de kniklast, kan de staaf plotseling gaan torderen, zie figuur 1.12. Men heeft hier te maken met een combinatie van druk en wringing.

Figuur 1.12

(17)

• Kip van op buiging belaste staven

Kip komt voor bij op buiging belaste balken met een doorsnede waarvan de hoofdtraagheidsmomenten sterk in grootte verschillen, bijvoorbeeld bij hoge smalle balken. Bij een belasting in het vlak van de grootste stijfheid kunnen dergelijke balken plotseling uit het vlak van de belasting verplaatsen en roteren als gevolg van een vervorming door wringing. Bij kip heeft men te maken met een combinatie van buiging en wringing.

Figuur 1.13 toont de kipvervorming van een ingeklemde ligger die in het vrije einde wordt belast door een (dwars-)kracht. Figuur 1.14 laat de kipvervorming zien van een vrij opgelegde ligger waarin het buigend moment constant is over de lengte. De opleggingen in A en B zijn zodanig dat de balk daar wordt verhinderd om zijn lengteas te roteren (gaffelopleggingen).

Figuur 1.13

Figuur 1.14

(18)

• Knik van op wringing belaste staven

Op wringing belaste staven (assen) kunnen bij een bepaalde waarde van de belasting plotseling zijdelings gaan uitbuigen. De uitbuigingsvorm is een

ruimtelijke kromme, zie figuur 1.15. Men heeft hier te doen met een combinatie van wringing en buiging.

Figuur 1.15

• Plooien van op druk en/of afschuiving belaste platen

Het knikverschijnsel bij platen noemt men plooien. Plooien treedt op onder invloed van druk- en schuifkrachten in het vlak van de plaat. Bij een bepaalde belasting kunnen plotseling verplaatsingen loodrecht op het vlak van de plaat optreden en vertoont het plaatoppervlak golven, zie figuur 1.16.

Figuur 1.16

(19)

Anders dan bij staven kan een plaat na plooien nog belasting opnemen. In het bijzonder bij dunne platen kan deze toename aanzienlijk zijn, tot enige malen de plooispanning. In de vliegtuigbouw, waar men met heel dunne platen werkt, maakt men hiervan gebruik. Men hoeft zich dus geen zorgen te maken als men uit een vliegtuigraampje op de vleugelhuid golven ziet verschijnen en ook weer ziet verdwijnen.

Bij in de civiele techniek toegepaste staalconstructies heeft men meestal te maken met relatief dikke platen. Hier is de toename van het draagvermogen na het bereiken van de plooispanning slechts gering. De oorzaak moet worden gezocht in het optreden van plastische vervormingen waardoor al snel bezwijken optreedt.

Het plooiverschijnsel kan zich ook manifesteren in de flenzen en lijven van dunwandige profielen die uit platen zijn opgebouwd, zoals I-profielen en kokerliggers.

Plooien kan men betrekkelijk eenvoudig verhinderen door op de plaatsen waar de plooigolven worden verwacht verstijvingsribben of -schotjes aan te brengen.

• Plooien van axiaal belaste cirkelcilindrische schalen

Aanvankelijk verwachtte men bij het plooien van axiaal belaste cirkelcilindrische schalen op theoretische gronden een golfpatroon als in figuur 1.17. In

werkelijkheid blijkt een ruitvormig patroon van plooien te ontstaan en ligt de werkelijke plooibelasting ongeveer 30% hoger. De proefresultaten tonen daarbij een grote spreiding. De verklaring hiervoor wordt gevonden in het feit dat bij schalen vaak sprake is van een doorslagverschijnsel (zie hierna), waarbij imperfecties (vormafwijkingen) een grote rol spelen.

Figuur 1.17

(20)

• Doorslag van zwak gekromde bogen en schalen

Een geheel ander instabiliteitsprobleem is doorslag. Bij doorslag speelt

normaalkrachtvervorming een belangrijke rol. Een bekend model is dat van de twee staven in figuur 1.18a, die onder invloed van de belasting F op druk worden belast. Laat men de kracht F geleidelijk toenemen dan zullen de staven steeds meer verkorten en zal het aangrijpingspunt C zakken. Op een zeker ogenblik zal de gezamenlijke lengte van de verkorte staven gelijk zijn aan de lengte van de overspanning. Op dat ogenblik is het evenwicht niet meer stabiel en slaat het staafsysteem door naar een nieuwe stabiele evenwichtsstand, zie figuur 1.18b.

Figuur 1.18

In figuur 1.19 is voor dit doorslagprobleem een zogenaamd last-verplaatsing- diagram getekend. Het last-verplaatsing-diagram geeft alle combinaties (F,w) waarbij de constructie in evenwicht is. Als de belasting F geleidelijk toeneemt wordt in P het ogenblik bereikt dat doorslag optreedt. Omdat de belasting niet kan afnemen springt het systeem van evenwichtstoestand P direct over naar evenwichtstoestand Q.

Figuur 1.19

(21)

Bij lokale instabiliteit kan men onder meer denken aan:

• knik van een kolom in een gebouw;

• knik van een staaf in een vakwerk;

• plooien van het lijf van een I-profiel;

• lokale doorslag van een bolschaal¹.

In het geval van globale instabiliteit wordt het evenwicht van de constructie in zijn geheel instabiel. Als voorbeeld worden genoemd.

• kip van een vakwerkligger;

• knik van een hoog en slank torengebouw;

• knik van een raamwerk;

• doorslag van een bolschaal.

Eerder werd aangenomen dat het materiaal zich lineair-elastisch gedraagt. Het optreden van instabiliteit noemt men dan wel elastische instabiliteit.

Bij een belasting beneden de knikbelasting² blijken vaak zogenaamde tweede- orde-verplaatsingen³ op te treden die men kan zien als een inleiding op de knikvorm⁴. Gedraagt een materiaal zich elasto-plastisch, dan kunnen deze verplaatsingen aanleiding geven tot bezwijken door instabiliteit lang voordat de elastische kniklast is bereikt. In dergelijke gevallen spreekt men van elasto- plastische instabiliteit.

1 Lokale doorslag kan optreden als gevolg van geometrische imperfecties (vormafwijkingen) en kan vaak aanleiding geven tot doorslag van de gehele constructie (globale instabiliteit).

2 Onder knikbelasting wordt in gegeneraliseerde zin verstaan de belasting waarbij elastische instabiliteit optreedt.

3 Deze verplaatsingen vindt men met een geometrisch niet-lineaire berekening of tweede-orde- berekening. Op de oorzaken en gevolgen wordt nader ingegaan in de hoofdstukken 5 en 6.

4 Onder knikvorm wordt in gegeneraliseerde zin verstaan de uitbuigingsvorm waarmee het optreden van instabiliteit gepaard gaat.

(22)

2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad

In dit hoofdstuk wordt het knikprobleem uitgewerkt voor starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad. Dat zijn systemen waarbij de vervormde toestand met één parameter kan worden beschreven.

In paragraaf 2.1 wordt de knikbelasting berekend voor een enkele starre staaf gesteund door een translatieveer of rotatieveer, waarna in paragraaf 2.2 wordt ingegaan op het naknikgedrag. Na enkele uitgewerkte voorbeelden in paragraaf 2.3 sluit het hoofdstuk af met een serie opgaven in paragraaf 2.4.

2.1 Het knikprobleem

Het knikprobleem wordt uitgewerkt in paragraaf 2.1.1 voor een enkele starre staaf gesteund door een translatieveer en in paragraaf 2.1.2 voor een starre staaf gesteund door een rotatieveer. Hierbij wordt aandacht besteed aan het last-

verplaatsing-diagram. In de paragraaf 2.1.3 wordt de knikbelasting berekend voor twee gevallen waarin de veer is vervangen door een buigzame staaf.

2.1.1. Starre knikstaaf met translatieveer

De verticaal opgestelde starre staaf in figuur 2.1a, belast door een verticale kracht F, is onderin scharnierend opgelegd en wordt bovenin gesteund door een

horizontale translatieveer. Het systeem heeft één vrijheidsgraad, waarvoor men bijvoorbeeld de horizontale verplaatsing w aan de top kan kiezen, zie figuur 2.1b.

Figuur 2.1

(23)

De verticale stand (rechtstand) w= is een evenwichtsstand. Voor een 0

onderzoek naar de aard van het evenwicht in deze stand moet het evenwicht in naburige standen w≠ worden beschouwd. Voor 0 w≠ zal zich in de veer een 0 horizontale kracht H ontwikkelen die zich verzet tegen een uitwijking w, zie figuur 2.1b.

Hierna wordt aangenomen dat de translatieveer een lineair-elastische karakteristiek heeft met veerstijfheid k_t¹, zie figuur 2.2. Er geldt dan:

H =k wt

De stijfheid van een translatieveer heeft als dimensie kracht/lengte.

Figuur 2.2

Voor de staaf in scheefstand wordt hierna het momentenevenwicht om de scharnieroplegging onderzocht. Daarbij wordt aangenomen dat w<< ℓ zodat men voor de arm a van de veerkracht H mag stellen, zie figuur 2.1b:

a≈ ℓ

De verticale kracht F zorgt voor een wegdrijvend koppel Fw .

De veerkracht H =kw zorgt voor een terugdrijvend koppel Ha≈Hℓ =k w_tℓ . Er zijn nu drie mogelijkheden:

1. Fw−k w_tℓ <0

Er resulteert een terugdrijvend koppel.

Het evenwicht in de rechtstand w= is stabiel voor 0 F <k_tℓ . 2. Fw−k w_tℓ >0

Er resulteert een wegdrijvend koppel.

Het evenwicht in de rechtstand w= is labiel voor 0 F > ℓ . k_t 3. Fw−k w_tℓ =0

De scheefstand w≠ is een nieuwe evenwichtsstand. De grootte van de 0 uitwijking w is onbepaald.

Voor F = ℓ is het evenwicht dus neutraal of indifferent. k_t

1 De index t duidt op translatieveer.

(24)

In figuur 2.3 zijn in een zogenaamd last-verplaatsing-diagram of F-w-diagram alle combinaties van F en w uitgezet waarbij evenwicht optreedt.

Figuur 2.3

Uit de vergelijking voor het momentenevenwicht in scheefstand:

t 0

Fw−k wℓ =

vindt men twee evenwichtstakken:

• w= en F is onbepaald (evenwicht in de rechtstand). 0 Voor F <k_tℓ is het evenwicht op deze tak stabiel (zie 1).

Voor F > ℓ is het evenwicht labiel (zie 2). k_t

• F = ℓ en w is onbepaald (evenwicht in scheefstand). k_t Het evenwicht op deze tak is neutraal (zie 3).

De waarde F = ℓ waarbij het evenwicht zich op de stabiliteitsgrens bevindt k_t wordt de kniklast F_k genoemd:

k t

F = ℓ k (2.1)

Bij F =F_k bestaat er geen eenduidig verband tussen belasting en verplaatsing en blijken meerdere evenwichtsstanden mogelijk: de staaf kan uitknikken. Men spreekt hier van een vertakkingspunt in het gedrag van de constructie.

Opmerking:

Men omschrijft de knikkracht F_k ook wel als de kracht waarbij evenwicht in

“uitgebogen stand” mogelijk is.

Bij een uitwijking naar links vertoont de staaf hetzelfde gedrag als bij een uitwijking naar rechts. Het F-w-diagram is dan ook spiegelsymmetrisch in de F- as. In figuur 2.3 is slechts de rechter helft getekend.

(25)

De geldigheid van het F-w-diagram en dan met name de neutrale tak, beperkt zich tot die kleine waarden van w waarbij voor de arm a geldt:

2 2

a= ℓ −w ≈ℓ

Deze beperking is niet in het F-w-diagram aangegeven.

De grootte van de kniklast F_k = ℓ is recht evenredig met de stijfheid k van de k_t veer. Het stabiliteitsprobleem is in beginsel dan ook een stijfheidsprobleem.

Voor het bepalen van de kniklast doet de sterkte van de veer niet ter zake. Wel is de sterkte van de veer maatgevend voor de grootte van de uitwijking waarbij na uitknikken breuk optreedt, dus voor de lengte van de neutrale tak. Ook hiermee wordt in het F-w-diagram geen rekening gehouden. De verplaatsing w kan op de neutrale tak in het F-w-diagram het bij wijze van spreken oneindig groot

worden¹.

Een positieve waarde van F komt overeen met een drukkracht in de staaf. Als de staaf op trek wordt belast is F negatief en is het evenwicht in w= altijd stabiel. 0 De stabiele tak w= voor 0 F <k_tℓ geldt dus ook voor F < . In het F-w-0

diagram in figuur 2.3 is dit minder interessante deel van de stabiele tak weggelaten.

2.1.2. Starre knikstaaf met rotatieveer

De verticaal opgestelde starre staaf in figuur 2.4a is onderin verend ingeklemd en wordt belast door een verticale kracht F. Het systeem heeft één vrijheidsgraad, waarvoor de rotatie ϕ van de staaf wordt gekozen², zie figuur 2.4b.

Figuur 2.4

1 Ook al werd in de afleiding aangenomen w<< ℓ en ook al kan de uitwijking w nooit groter worden dan de staaflengte ℓ.

2 Even zo goed had men de horizontale uitwijking w aan de top als vrijheidsgraad kunnen kiezen.

(26)

De verticale stand ϕ = (de rechtstand) is een evenwichtsstand. Voor een 0

onderzoek naar de aard van het evenwicht in de rechtstand moet het evenwicht in naburige standen ϕ ≠ worden beschouwd. Als 0 ϕ≠ zal zich in de veer een 0 moment M ontwikkelen dat zich verzet tegen de rotatie ϕ, zie figuur 2.4c.

Hierna wordt aangenomen dat de rotatieveer een lineair-elastische karakteristiek heeft met veerstijfheid k_r¹, zie figuur 2.5. Voor het moment M dat de veer op de staaf uitoefent geldt dan:

M =krϕ

De stijfheid van de rotatieveer wordt uitgedrukt in “kracht lengte× per radiaal”.

De dimensie is kracht lengte× omdat de radiaal een dimensieloze grootheid is.

Figuur 2.5

Voor het bepalen van de knikkracht wordt het momentenevenwicht van de staaf in scheefstand onderzocht. Daarbij wordt aangenomen dat de rotatie ϕ zo klein is dat voor de horizontale uitwijking w aan de top geldt, zie figuur 2.4b:

sin

w=ℓ ϕ≈ℓ ϕ

De verticale kracht F zorgt voor een wegdrijvend koppel Fw≈ ℓ . F ϕ Het moment in de veer zorgt voor een terugdrijvend koppel M =k_rϕ. Er zijn weer drie mogelijkheden:

1. Fℓϕ−k_rϕ<0

Er resulteert een terugdrijvend koppel.

Het evenwicht in de rechtstand ϕ = is stabiel voor 0 F <k_r/ℓ . 2. Fℓϕ−k_rϕ >0

Er resulteert een wegdrijvend koppel.

Het evenwicht in de rechtstand ϕ = is labiel voor 0 F >k_r/ℓ . 3. Fℓϕ−k_rϕ =0

De scheefstand ϕ ≠ is een nieuwe evenwichtsstand. De grootte van de 0 rotatie ϕ is onbepaald.

Voor F =k_r/ℓ is het evenwicht neutraal.

1 De index r duidt op rotatieveer.

(27)

waarbij evenwicht optreedt. Het momentenevenwicht van de staaf in scheefstand:

r 0

Fℓϕ−kϕ =

leidt tot twee evenwichtstakken:

• ϕ= en F is onbepaald (evenwicht in de rechtstand). 0

Deze tak is stabiel voor F <k_r/ℓ (zie 1) en labiel voor F >k_r/ℓ (zie 2).

• F =k_r/ℓ en ϕ is onbepaald (evenwicht in scheefstand).

Het evenwicht op deze tak is neutraal (zie 3).

Figuur 2.6

Opmerking:

Let op de overeenkomst met het last-verplaatsing-diagram in figuur 2.3.

De knikkracht F_k is de waarde van F waarbij het evenwicht zich op de stabiliteitsgrens bevindt:

r k

F = k

ℓ (2.2)

Bij deze kracht is evenwicht in “uitgebogen stand” mogelijk.

(28)

2.1.3. Starre knikstaaf met een buigzame staaf als veer

In deze paragraaf wordt de kniklast berekend voor een starre staaf met een buigzame staaf als translatieveer (eerste voorbeeld) of rotatieveer (tweede voorbeeld). De grootte van de kniklast wordt afgeleid uit het evenwicht in uitgebogen stand.

• Voorbeeld 1 – Een buigzame staaf als translatieveer

In figuur 2.7 wordt starre staaf AB via de oneindig stijve pendelstaaf BC zijdelings gesteund door de in D ingeklemde staaf CD met buigstijfheid EI. De afmetingen volgen uit de figuur.

Figuur 2.7

Voor het bepalen van de knikkracht wordt het evenwicht van de starre staaf in scheefstand bekeken, zie figuur 2.8.

Figuur 2.8

Als de starre staaf een uitwijking w aan de top ondergaat, moet de buigzame staaf deze verplaatsing volgen. Dit betekent dat op de buigzame staaf in C een kracht H moet werken. De grootte van H kan men met behulp van een vergeet-mij-nietje uitdrukken in de verplaatsing w:

3

3 3

H EI

w H w

= EIℓ ⇒ =

ℓ (2.3)

(29)

drukkracht H. In B werkt op starre staaf AB dus ook de drukkracht H.

Voor het momentenevenwicht om A van starre staaf AB in scheefstand vindt men nu:

AB

A 2

3EI 0 T =Fw−H =Fw− w=

∑ ℓ

ℓ

↻

De kniklast F_k is de waarde van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. Uit bovenstaande vergelijking vindt men voor w≠ : 0

k 2

F =3EI ℓ Opmerking:

Had men de uitwijking w naar links gekozen dan zou in staaf AB een trekkracht zijn ontstaan. Voor het berekenen van de kniklast maakt het geen verschil of men de verplaatsing naar rechts dan wel naar links kiest.

In feite werkt de buigzame staaf CD als een translatieveer, zie figuur 2.9a. De stijfheid van de veer volgt uit (2.3) en bedraagt:

t 3

3

H EI

k = w = ℓ

De gevonden kniklast kan men nu controleren met behulp van de in paragraaf 2.1.1 afgeleide uitdrukking (2.1), zie figuur 2.9b:

k t 3 2

3EI 3EI F =kℓ = ℓ=

ℓ ℓ

Figuur 2.9

(30)

• Voorbeeld 2 – Een buigzame staaf als rotatieveer

In figuur 2.10 is starre staaf AB stijf verbonden met de buigzame staaf BC. Staaf BC heeft een buigstijfheid EI. A is een scharnieroplegging en C een

roloplegging. De afmetingen kunnen uit de figuur worden afgelezen.

Figuur 2.10

De kniklast wordt weer berekend uit het evenwicht van de starre staaf in uitgebogen stand, zie figuur 2.11.

Figuur 2.11

Als starre staaf AB in B een horizontale uitwijking w ondergaat, zal de buigzame staaf BC horizontaal mee verplaatsen. Omdat de buigzame staaf in B stijf is verbonden met de starre staaf, wordt de buigzame staaf daarbij gedwongen in B dezelfde rotatie ϕ te ondergaan als starre staaf AB:

2 ϕ= w

ℓ

(31)

B

MB kan met behulp van een vergeet-mij-nietje worden uitgedrukt in de rotatie ϕ:

B

3 3

M EI

EI M

ϕ = ℓ ⇒ = ϕ

ℓ (2.4)

Op AB werkt in B een even groot, maar tegengesteld gericht moment (M_B is een verbindings- of interactiekracht).

De vergelijking voor het momentenevenwicht om A van staaf AB in scheefstand luidt nu:

AB

A B

2 3EI 0

T =Fw−M = F ϕ− ϕ=

∑ ℓ

ℓ

↻ (2.5)

De kniklast F_k is de waarde van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. Voor ϕ≠ vindt men uit de afgeleide evenwichtsvergelijking: 0

k 1,5EI2

F = ℓ

(32)

Opmerking:

Als men de uitbuiging naar links neemt, verandert het moment in B van richting.

Voor het berekenen van de kniklast maakt het echter niet uit of men de uitbuiging naar rechts dan wel naar links kiest.

De buigzame staaf BC gedraagt zich in feite als een rotatieveer, zie figuur 2.12.

Dat de rotatieveer horizontaal kan verplaatsen is hierbij niet relevant¹. De veerstijfheid volgt uit (2.4):

B r

3

M EI

k ⁼ ϕ ⁼ ℓ

Figuur 2.12

De grootte van de knikkracht kan men nu controleren met behulp van de in paragraaf 2.1.2 afgeleide uitdrukking (2.2): F_k =k_r/ℓ . Bedenkend dat de lengte van de op knik belaste staaf hier 2ℓ is, vindt men:

r

k 1,5 2

2

k EI

F = =

ℓ ℓ

1 In de vergelijking voor het momentenevenwicht speelt de plaats waar het moment M aangrijpt immers geen rol.

(33)

2.1.4 Parallel en in serie geschakelde veren

Figuur 2.13a toont een starre knikstaaf die in B in evenwicht wordt gehouden door twee evenwijdig aan elkaar geplaatste translatieveren met verschillende stijfheden k₁ en k₂. Men noemt beide veren parallel geschakeld.

Beide veren kan men vervangen door één enkele veer met een equivalente veerstijfheid k_p¹, zie figuur 2.13b.

Figuur 2.13

De berekening van de stijfheid k geschiedt aan de hand van figuur 2.13c. Bij de _p getekende verplaatsing w van B ondergaan beide parallel geschakelde veren dezelfde verlenging en zijn de krachten in de veren k w en ₁ k w . Uit het ₂ krachtenevenwicht van knooppunt B vindt men:

1 2

H =k w+k w

Voor de equivalente stijfheid k van de vervangende veer geldt: _p

1 2

p 1 2

H k w k w

k k k

w w

= = + = +

Conclusie:

Bij parallel geschakelde veren is de equivalente stijfheid gelijk aan de som der stijfheden van de afzonderlijke veren.

Eigenschappen van parallel geschakelde veren:

• Als van één van de veren in het parallelsysteem de stijfheid oneindig groot wordt, dan wordt ook de stijfheid van de equivalente veer oneindig groot.

• Als van één van de veren in het parallelsysteem de stijfheid nul wordt, dan blijft de stijfheid van de equivalente veer eindig.

1 De index “p” duidt op de “parallelschakeling” van de veren.

(34)

Voor de kniklast van de staaf in figuur 2.13a/b betekent dat¹:

k;p p 1 2

F =k ℓ=kℓ+k ℓ ofwel:

k;p k1 k2

F =F +F (2.6)

Hierin zijn F_k₁ = ℓ en k₁ F_k₂ =k₂ℓ de kniklasten bij de veerstijfheden k , ₁ respectievelijk k . ₂

Een andere plaatsing van de twee translatieveren is die in figuur 2.14a. Deze plaatsing achter elkaar noemt men in serie geschakeld. Ook nu kan men beide veren vervangen door één enkele veer met een equivalente veerstijfheid k_s², zie figuur 2.14b.

Figuur 2.14

De berekening van de stijfheid k geschiedt aan de hand van figuur 2.14c. Bij _s een kracht H in B moeten beide veren dezelfde kracht H overbrengen. Omdat de stijfheid van beide veren verschillend is zijn de verlengingen verschillend. Stel deze zijn respectievelijk w en ₁ w . Hiervoor geldt: ₂

1 1

w H

= k en ₂

2

w H

= k

Uit de kinematische betrekking voor het samenstel van veren volgt voor de verplaatsing van B:

1 2

H H

w w w

k k

= + = + (2.7)

De equivalente stijfheid k van de vervangende veer is gedefinieerd als: _s

s

k H

= w

1 In F_k;p duidt de index “p” op de “parallelschakeling”.

2 De index “s” duidt op “serieschakeling” van de veren.

(35)

s

w H

= k (2.8)

Uit de gelijkstelling van (2.7) en (2.8) volgt nu:

s 1 2

1 1 1

k = k +k Conclusie:

Bij in serie geschakelde veren is de reciproke van de equivalente stijfheid gelijk aan de som van de reciproke stijfheden der afzonderlijke veren.

Eigenschappen van in serie geschakelde veren:

• Als van één van de veren in het seriesysteem de stijfheid oneindig groot wordt, dan blijft de stijfheid van de equivalente veer eindig.

• Als van één van de veren in het seriesysteem de stijfheid nul wordt, dan wordt ook de stijfheid van de equivalente veer nul.

Voor de kniklast van de staaf in figuur 2.14a/b betekent dat¹:

k;s s 1 2

1 1 1 1

F = k = k +k

ℓ ℓ ℓ

ofwel:

k;s k1 k2

1 1 1

F = F + F (2.9)

Hierin zijn F_k₁ = ℓ en k₁ F_k₂ =k₂ℓ weer de kniklasten bij de veerstijfheden k , ₁ respectievelijk k . ₂

1 In F_k;s duidt de index “s” op de “serieschakeling”.

(36)

Ter illustratie van het voorgaande dienen de twee oneindig stijve knikstaven in figuur 2.15a en b, die in B verend worden gesteund door twee staven met respectievelijk een rekstijfheid EA en een buigstijfheid EI.

Figuur 2.15

Als in het geval van figuur 2.15a een van de staven oneindig stijf wordt kan B niet horizontaal verplaatsen en moet de ook stijfheid van de vervangende veer oneindig groot zijn. Dit is kenmerkend voor een parallelsysteem.

In figuur 2.15c zijn de staven geschematiseerd tot veren. De veerstijfheden zijn:

1

k = EA

ℓ en ₂ 3EI₃ k =

ℓ

De equivalente veerstijfheid k voor het parallelsysteem is: _p

p 1 2 3

3 EA EI k =k +k = +

ℓ ℓ

Hiermee vindt men voor de knikkracht:

k p 2

F =k ℓ=EA+3EI ℓ

In het geval van figuur 2.15b is sprake van een seriesysteem. Als van een van de staven de stijfheid oneindig klein wordt, dan verdwijnt de stijfheid van het hele systeem, wat karakteristiek is voor een seriesysteem.

(37)

veerstijfheid k van het seriesysteem geldt: _s

s 1 2

3

1 1 1 1 1

3

EA EI

k = k +k = +

ℓ ℓ

Hiermee vindt men voor de knikkracht F_k =k_sℓ :

k 2

1 1 1

F = EA+ 3EI ℓ

(38)

2.2 Naknikgedrag

In paragraaf 2.1 werd voor het berekenen van de kniklast het evenwicht in uitgebogen stand bekeken. Daarbij werd aangenomen dat de uitwijking w veel kleiner is dan de lengte ℓ van de knikstaaf, of – wat op hetzelfde neerkomt – dat de knikstaaf maar een zeer kleine rotatie ϕ ondergaat. Deze aanname heeft tot gevolg dat in de vergelijking voor het evenwicht in scheefstand alleen maar termen voorkomen die lineair zijn in de verplaatsing w of rotatie ϕ.

Kwadratische en hogere orde termen in de verplaatsing ontbreken. Men spreekt dan ook van gelineariseerde evenwichtsvergelijkingen.

De gelineariseerde evenwichtsvergelijkingen leiden tot de juiste waarde van de knikkracht F_k, maar geven geen informatie over het naknikgedrag; men zal altijd een neutraal evenwicht vinden.

Hierna wordt voor drie gevallen het naknikgedrag nader onderzocht door in de evenwichtsvergelijking ook hogere orde termen in de verplaatsing mee te nemen.

In het de staafmechanica speelt het naknikgedrag overigens geen belangrijke rol.

2.2.1. Symmetrisch labiel naknikgedrag

In paragraaf 2.1.1 bevatte de vergelijking voor het momentenevenwicht in scheefstand van de staaf in figuur 2.16 uitsluitend lineaire termen in de verplaatsing w:

t 0

Fw−k wℓ =

Dit als gevolg van de benadering:

2 2

a= ℓ −w ≈ℓ

Ontwikkelt men a in een machtreeks van w:

2 4

2 2

2 4

1 1

(1 )

2 8

w w

a= ℓ −w =ℓ − − − ⋅⋅⋅

ℓ ℓ

dan blijkt dat slechts de eerste term in de evenwichtsbeschouwing werd betrokken.

Hierna wordt de invloed van de tweede term in de machtreeks onderzocht, waarna tenslotte ook nog de exacte oplossing van het naknikgedrag wordt gepresenteerd.

(39)

Figuur 2.16

• Benadering van het naknikgedrag

Stel de machtreeks wordt afgebroken na de kwadratische term in w, zodat:

2 2

(1 1 ) 2 a=ℓ − w

ℓ

Het wegdrijvend koppel is Fw .

Blijft de veerkracht H =k w_t horizontaal gericht, bijvoorbeeld doordat, zoals in figuur 2.16 is aangegeven, het veereinde is bevestigd aan een verticale rol, dan is het terugdrijvend koppel:

2

t 2

(1 1 ) 2 Ha=k wℓ − w

ℓ

In het geval van evenwicht moet het wegdrijvend koppel Fw in grootte gelijk zijn aan het terugdrijvend koppel Ha , waaruit volgt:

2

t 2

(1 1 ) 2 Fw=k wℓ − w

ℓ

Hieruit volgen twee evenwichtstakken:

• De evenwichtstak w= en F is onbepaald (evenwicht in de rechtstand). 0 Het evenwicht is stabiel als F <k_tℓ en labiel als F > ℓ (zie paragraaf k_t 2.1.1).

De kracht F op de stabiliteitsgrens is de kniklast: F_k = ℓ . k_t

• De evenwichtstak

2

t 2

(1 1 ) 2 F =kℓ − w

ℓ voor w≠ (evenwicht in scheefstand). 0 Deze parabolische tak geeft een benadering van het werkelijke

naknikgedrag.

In figuur 2.17 zijn beide takken getekend in een het last-verplaatsing-diagram met langs de assen uitgezet de dimensieloze grootheden ( /F F_k)=( /F k_tℓ uitgezet ) tegen ( / )w ℓ =sinϕ.

(40)

Door in de evenwichtsbeschouwing een derdegraads term in de verplaatsing w te betrekken wordt nadere informatie over het naknikgedrag verkregen. Het

evenwicht na uitknikken blijkt niet neutraal, maar labiel te zijn: zou de

verplaatsing een weinig toenemen, dan moet de belasting F afnemen teneinde het evenwicht te handhaven. Gebeurt dat niet dan wordt het wegdrijvend koppel Fw groter dan het terugdrijvend koppel Ha en verwijdert de staaf zich steeds verder van de betrokken evenwichtsstand.

• Exacte oplossing van het naknikgedrag

Voor de door een translatieveer gesteunde starre staaf is ook een nauwkeurige oplossing van het naknikgedrag mogelijk. Als parameter wordt nu de rotatie ϕ gehanteerd, zie figuur 2.18.

Figuur 2.18

(41)

De verplaatsing aan de top is: w= ℓsinϕ. Het wegdrijvend koppel is: Fw= ℓF sinϕ. De kracht in de veer is: H =k w_t =k_tℓsinϕ. De arm van de kracht in de veer is: a= ℓcosϕ.

Het terugdrijvend koppel wordt dan: Ha=k_tℓ²sin cosϕ ϕ.

In het geval van evenwicht moeten het weg- en terugdrijvend koppel even groot zijn:

2

sin t sin cos Fℓ ϕ =kℓ ϕ ϕ Hieruit volgen twee evenwichtstakken:

• ϕ= en F is onbepaald (evenwicht in de rechtstand). 0

• F = ℓk_t cosϕ voor ϕ ≠ (evenwicht in scheefstand). Dit is de evenwichtstak 0 na uitknikken.

De waarde van F in het vertakkingspunt is de knikkracht F_k:

k t

F = ℓ k

In figuur 2.19 is in het last-verplaatsing-diagram ( /F F_k)=( /F k_tℓ)=cosϕ uitgezet tegen ( / )w ℓ =sinϕ en wordt de evenwichtstak na uitknikken voorgesteld door een cirkel, immers:

2 2

sin ϕ+cos ϕ = en dus 1

2 2

k

w F 1

F

 

+  =

 

 ℓ   

Figuur 2.19

Het evenwicht na uitknikken is labiel. Verder is het naknikgedrag symmetrisch:

de staaf heeft kan even zo goed naar links als naar rechts uitknikken.

(42)

2.2.2. Symmetrisch stabiel naknikgedrag

Voor de verend inklemde starre staaf in figuur 2.20 werd in paragraaf 2.1.2 uitgegaan van onderstaande gelineariseerde vergelijking voor het

momentenevenwicht van de staaf in scheefstand:

r 0

Fℓϕ−kϕ =

Dat in deze evenwichtsvergelijking alleen lineaire termen in de rotatie ϕ voorkomen is het gevolg van de vereenvoudigend benadering:

sin

w=ℓ ϕ≈ℓ ϕ

Deze benadering gaat alleen op voor zeer kleine waarden van ϕ.

Figuur 2.20

Een gelineariseerde evenwichtsvergelijking leidt altijd tot een neutraal

naknikgedrag. Voor het werkelijke naknikgedrag kan men niet volstaan met de lineaire termen in ϕ, maar moeten ook hogere orde termen in de

evenwichtsbeschouwing worden betrokken.

• Exacte oplossing van het naknikgedrag

In dit geval is het werkelijke naknikgedrag betrekkelijk gemakkelijk te vinden.

Als in figuur 2.20b M =k_rϕ het moment is dat de veer op de staaf uitoefent, dan vindt men, zonder enige vereenvoudiging, voor het momentenevenwicht in scheefstand:

sin r 0

Fℓ ϕ−kϕ =

Dit leidt tot twee evenwichtstakken:

• ϕ= en F is onbepaald. 0

Dit is het evenwicht in de rechtstand, met stabiel evenwicht voor F <k_r/ℓ en labiel evenwicht voor F >k_r/ℓ (zie paragraaf 2.1.2).

De kniklast F_k =k_r/ℓ is de waarde van F op de stabiliteitsgrens, waarbij ook evenwicht in scheefstand mogelijk is.

(43)

• _k

sin sin

F F

ϕ ϕ

= =

ℓ voor ϕ≠ . 0

Dit is dit de evenwichtstak na uitknikken.

In figuur 2.21 zijn beide evenwichtstakken getekend in een last-verplaatsing- diagram, met langs de assen uitgezet de dimensieloze groothedenF F/ _k en

sinϕ =w/ℓ .

Figuur 2.21

Het evenwicht na uitknikken is stabiel. Verder is het naknikgedrag symmetrisch:

de staaf heeft geen voorkeur om naar links of naar rechts uit te knikken.

2.2.3. Asymmetrisch naknikgedrag

Voor de starre staaf in figuur 2.22 werd in paragraaf 2.1.3 de kniklast berekend:

k 1,5EI2

F = ℓ

Figuur 2.22

(44)

Daarbij werd uitgegaan van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking (2.5):

B

2 3EI 0

Fw−M = Fℓϕ− ϕ =

ℓ (2.5)

Deze evenwichtsvergelijking met alleen lineaire termen in de verplaatsing w geeft geen informatie over het naknikgedrag. Daarvoor moeten ook hogere orde termen in de beschouwing worden betrokken. Dat kan door de invloed van de dwarskracht in BC in het evenwicht mee te nemen, zie figuur 2.23.

Figuur 2.23

Wordt BC in B belast door een moment M_B:

B

M =3EIϕ ℓ

dan ontstaat er een dwarskracht V_B:

B

B 2

3

M EI

V = = ϕ

ℓ ℓ

Bekijkt men het evenwicht van de staaf in uitgebogen stand, en houdt men niet alleen rekening met het moment M_B, maar ook met de dwarskracht V_B, dan vindt men voor het momentenevenwicht om A:

B B

2 2 0

F⋅ ℓϕ−M −V ⋅ ℓϕ = of:

3 6 2

2 EI EI 0

Fℓϕ− ϕ− ϕ =

ℓ ℓ (2.10)

De evenwichtsvergelijking bevat nu ook een kwadratische term in ϕ. De kniklast is de waarde van F waarbij evenwicht is in uitgebogen stand

mogelijk. Voor het bepalen van de kniklast wordt gewerkt met de gelineariseerde evenwichtsvergelijkingen: alleen de lineaire termen in ϕ worden meegenomen.

(45)

Kwadratische termen (en eventueel aanwezige hogere orde termen) worden verwaarloosd. In het voorbeeld betekent dit dat de rotatie ϕ zo klein is dat de invloed van V_B kan worden verwaarloosd ten opzicht van de invloed van M_B. Vergelijking (2.10) vereenvoudigt dan tot de eerder afgeleide vergelijking (2.5):

2 3EI 0

Fℓϕ− ϕ = ℓ

waaruit men voor ϕ ≠ de kniklast vindt: 0

k 1,5EI2

F = ℓ

Voor het naknikgedrag moet men terugvallen op vergelijking (2.10). Deze geeft twee evenwichtstakken:

• ϕ= en F is onbepaald; de tak voor het evenwicht in de rechtstand, stabiel 0 voor F <F_k en labiel voorF >F_k .

• 1,5EI₂ (1 2 ) _k(1 2 )

F = + ϕ =F + ϕ

ℓ voor ϕ ≠ ; de evenwichtstak na uitknikken. 0 Beide evenwichtstakken zijn in figuur 2.24 getekend in een F- -diagramϕ .

Figuur 2.24

In het vertakkingspunt is het gedrag van de constructie nu niet symmetrisch. Bij een uitwijking naar rechts moet F toenemen (stabiel evenwicht) en bij een uitwijking naar links moet F afnemen (labiel evenwicht). Het evenwicht in een scheefstand is blijkbaar labiel voor ϕ< en stabiel voor 0 ϕ> . Als de staaf 0 uitknikt zal dat altijd naar links zijn.

(46)

Opmerking:

Bij een uitwijking naar rechts vergroot de dwarskracht V_B het terugdrijvend moment om A. Bij een uitbuiging naar links veranderen de richting van het moment M_B en dwarskracht V_B. De dwarskracht vermindert het terugdrijvend moment om A. Dit verklaart waarom staaf AB de voorkeur heeft om naar links uit te knikken.

Voor het bepalen van de kniklast maakt het daarentegen geen enkel verschil of men de uitwijking van de staaf naar links of naar rechts kiest. Men valt daarvoor immers terug op de gelineariseerde evenwichtsvergelijking, waarin de invloed van de dwarskracht niet is opgenomen.

Opmerking:

Het evenwicht op een tak na uitknikken is stabiel als in een stand ϕ =ϕ₁ en een belasting F =F₁ =F_k(1 2 )+ ϕ₁ de staaf in naburige standen ϕ ϕ= ₁± ∆ϕ₁ en gelijkblijvende belasting F =F₁ de neiging heeft weer terug te keren naar de evenwichtsstand ϕ=ϕ₁ omdat in de naburige standen ϕ ϕ= ₁± ∆ϕ₁ het terugdrijvend koppel groter is dan het wegdrijvend koppel. Dit met een evenwichtsbeschouwing aan te tonen is meestal behoorlijk bewerkelijk¹.

1 Informatie over het naknikgedrag en de aard van het evenwicht na uitknikken kan men veelal sneller en eenvoudiger met behulp van een energiebeschouwing krijgen dan met een evenwichtsbeschouwing. Een aanpak gebaseerd op een energiebeschouwing valt echter buiten het kader van dit boek.

(47)

2.3 Enkele uitgewerkte voorbeelden

De berekening van de knikbelasting wordt in deze paragraaf geïllustreerd aan de hand van een aantal voorbeelden. Van de verschillende aspecten die daarbij aan de orde komen worden genoemd:

• de betekenis van het zwaartepunt in een stabiliteitsberekening (de voorbeelden 1 t/m 3);

• de invloed van excentrisch aangrijpende krachten (voorbeeld 3);

• het bepalen van de veerstijfheid (de voorbeelden 4, 8 en 9);

• de voorkeursrichting voor uitknikken (voorbeeld 6)

• het naknikgedrag (de voorbeelden 1 en 7 t/m 9).

(48)

• Voorbeeld 1

De driehoekige homogene plaat in figuur 2.25 heeft een constante dikte. De plaat rust op zijn punt en wordt in evenwicht gehouden door een translatieveer met stijfheid k ¹. De veer kan zowel trek- als drukkrachten overbrengen. De afmetingen volgen uit de figuur.

Houdt in de numerieke uitwerking aan k =50 kN/m en a=1 m.

Figuur 2.25

Gevraagd:

a. Het gewicht G van het blok waarbij het evenwicht instabiel wordt.

b. De richting waarin het blok kantelt nadat het evenwicht instabiel is geworden.

Uitwerking:

a. In het zwaarteveld werken op alle massa-elementjes krachtjes. De resultante van al deze evenwijdige gewichtskrachtjes is het blokgewicht G. Het

blokgewicht G is geen kracht die in werkelijke zin bestaat, maar is een grootheid waarmee men gemakkelijk kan rekenen. Als resultante van een stel krachtjes heeft het blokgewicht G dan ook geen aangrijpingspunt, maar een werklijn waarlangs men deze mag verschuiven.

Als het blok in het zwaarteveld roteert behouden alle gewichtskrachtjes hun grootte en richting². Dit geldt ook voor het blokgewicht G. Nu doet zich de bijzondere omstandigheid voor dat, hoe de stand van het blok ook is, de werklijn van G altijd door één bepaald punt van het blok gaat. Dit bijzondere punt is gedefinieerd als het massacentrum of zwaartepunt³.

In dit voorbeeld wordt van deze eigenschap gebruik gemaakt door het blokgewicht G “aan te laten grijpen” in het zwaartepunt, niet omdat het

zwaartepunt het werkelijke aangrijpingspunt van G is, maar omdat hier ten alle tijde de werklijn van G door gaat.

1 Voor het gemak wordt in k_t de index t voor translatieveer hier weggelaten. Het weglaten van deze index is mogelijk zolang hierdoor geen verwarring ontstaat.

2 Omdat men hier mag aannemen dat het zwaarteveld homogeen is.

3 In een homogeen zwaarteveld vallen zwaartepunt en massacentrum samen.