CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel 2 : Vraagstukken

Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel 2 : Vraagstukken

December 2016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman

MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT

COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN

Civiele Techniek TU-Delft

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB2210

Voorwoord

Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB2210 ConstructieMechanica 3.

De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie bestudeerd kan worden.

Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier worden verkregen. Deze site is te vinden op:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/index.shtml

Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica.

Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/SAs/Overons/

Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en onduidelijkheden worden gemeld.

De auteurs,

Coen Hartsuijker en Hans Welleman, December 2016

LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT ... iii

1. Stabiliteit van het evenwicht ... 1

2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad ... 3

3. Knik van gekoppelde starre staven ... 19

4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden ... 33

5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen ... 39

6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven... 51

7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven ... 67

8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen ... 69

9. Formule van Rayleigh * ... 77

10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)... 85

11. Vergrotingsfactor (buigzame staven) ... 101

12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag ... 117

LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT

Deze leeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdelen van het dictaat ConstructieMechanica 3 : Stabiliteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet als een compleet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiliteit handelt. Dit gaat verder dan de leerdoelen die getoetst worden op het tentamen ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergelijking tot het oude dictaat hierdoor in omvang toegenomen maar dit komt met name door de vele zeer uitgebreide

voorbeelden. Hierdoor is dit dictaat veel beter geschikt als modern leermiddel. In deze leeswijzer zal per hoofdstuk worden aangegeven welke onderdelen getoetst worden en welke delen verrijkingsstof zijn. Een ruime hoeveelheid opgaven is opgenomen in dit tweede deel. Het is beslist niet de bedoeling alle opgaven te bestuderen. Maak een selectie aan de hand van de in deze leeswijzer genoemde opgaven. De

antwoorden/uitwerkingen van genoemde opgaven in deze leeswijzer zijn te vinden op BlackBoard / internet.

Hoofdstuk 1

In dit hoofdstuk wordt het kader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentieel voor het herkennen van stabiliteitsproblemen. De theorie kan op het tentamen worden getoetst met theorievragen. Belangrijke constatering van de kennismaking met

“stabiliteit van het evenwicht” is dat een stabiel evenwicht een evenwicht is waarbij de belaste constructie bij een kleine verplaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugkeert naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor ook de introductie-video op BlackBoard.

Hoofdstuk 2

Dit hoofdstuk start met de stabiliteit van het evenwicht van starre staafsystemen met 1 vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de kern van een

stabiliteitsprobleem uit een te zetten. Paragraaf 2.1 en de voorbeelden behandelen de standaard aanpak:

• zet de constructie in de verplaatste stand

• maak de constructie vrij en geef alle verbindingskrachten aan

• stel de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verplaatste stand

• onderzoek de aard van dit evenwicht en bepaal bij welke belasting er nog juist evenwicht is

Bij het oplossen van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking blijkt dat de

verplaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze klein is)

Paragraaf 2.2 over het naknikgedrag is geen tentamenstof. Het begrip naknikgedrag moet je wel kennen, het bepalen ervan valt buiten het bestek van deze BSc-cursus.

Paragraaf 2.3 behandelt een aantal essentiële voorbeelden. Van voorbeeld 1 en 9 is het naknikgedrag op blz 43 en 63 leesstof.

Hoofdstuk 3

In dit hoofdstuk worden gekoppelde staafsystemen behandeld met 1 vrijheidsgraad. In paragraaf 3.1 wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpak van hoofdstuk 2 is ook hier van toepassing. Bij het opstellen van de

evenwichtsvergelijkingen moet er echter op gelet worden dat het evenwicht wordt beschouwd van ieder vrijgemaakt deel en dat tussen deze vrijgemaakte delen verbindingkrachten kunnen zitten. Belangrijk bij de oplossingsfase is om de

evenwichtsvergelijkingen zodanig te combineren dat deze verbindingkrachten worden geëlimineerd. In het voorbeeld op blz 65-68 wordt dit verder verduidelijkt. De

generalisatie naar systemen met meer dan twee gekoppelde staven is louter ter toelichting. De afgeleide formules zijn niet bedoeld om te onthouden. De essentie is dat de belasting op een gekoppeld systeem kan worden vervangen door een

aanpendelende belasting die extra op het geschoorde element wordt geplaatst. Zie hiervoor ook de sheets over dit onderwerp. Dit onderdeel wordt veelal getoetst op het tentamen en keert terug in hoofdstuk 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder verduidelijkt aan de hand van voorbeelden waarbij voorbeeld 1, 2, 5, 8 en 9 de belangrijkste zijn.

Hoofdstuk 4

Na constructies met 1 vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstuk de complexiteit verhoogd door te kijken naar constructies met 2 vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap naar het onderzoeken van continue systemen van hoofdstuk 5.

Paragraaf 4.1 introduceert de aanpak voor systemen met 2 vrijheidsgraden. Essentieel is dat er t.o.v. de systemen met 1 vrijheidsgraad nu een stelsel van

evenwichtsvergelijkingen ontstaat. Dit stelsel is een homogeen stelsel (rechterlid is nul) waarvoor alleen een niet-triviale oplossing kan worden gevonden indien de determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan nul. Dit levert twee kniklasten.

De laagste kniklast is maatgevend. Ook nu blijkt dat de grootte van de verplaatsingen van de vrijheidsgraden niet kunnen worden bepaald. De verhouding tussen de

verplaatsingen kunnen wel worden bepaald. Net als bij systemen met 1 vrijheidsgraad is de uitbuigingsvorm wel bekend, de grootte ervan echter niet. Op blz 113 wordt in een variantuitwerking de relatie gelegd met het eigenwaarde probleem in de

wiskunde. Deze aanpak behoort tot de tentamenstof. Bestudeer voorbeeld 2 bekijk voorbeeld 3 en 4.

Hoofdstuk 5

Na de starre systemen wordt in dit hoofdstuk gekeken naar buigzame staven. Dit leidt tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaalvergelijking voor buigingsknik.

Belangrijke paragrafen zijn 5.1 en 5.2. In paragraaf 5.1 wordt voor een eenvoudige staaf de Eulerse knikkracht bepaald m.b.v. een 2^e orde D.V. Belangrijk bij deze afleiding is om in te zien dat dit mogelijk is aangezien de verticale oplegreacties nul zijn waardoor in iedere snede de verticale component van de snedekrachten S_z ook nul moet zijn. In paragraaf 5.2 is voor de algemene op druk belaste buigzame staaf niet voldaan aan deze eis en leidt de complete aanpak van het evenwicht in de verplaatste stand tot een 4^e orde D.V. waarvan de algemene oplossing in paragraaf 5.3 wordt bepaald. Als de continue belastingen in x- en z-richting afwezig zijn geldt:

EI C F

x C x C

x C

x w

Fw M S

Fw EIw

z

= +

+ +

=

−

=

= +

2 4

3 2

1cos sin met :

) (

' '

0 '' '' ''

α α

α

Van dit theoriegedeelte is het belangrijk de modelstappen te (her)kennen en met de differentiaalvergelijking de basisknikgevallen te kunnen onderzoeken. Met name het omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentieel. De resultaten van deze aanpak leidt tot de vijf basisknikgevallen die op blz 146 en 148 grafisch zijn weergegeven.

Het oordeelkundig kunnen toepassen van deze basisgevallen is essentieel.

De voorbeelden illustreren deze aanpak. Let vooral op voorbeeld 10. Bij het gelijktijdig uitknikken van de twee op druk belaste staven kunnen de staven geen stijfheid (weerstand) aan elkaar ontlenen en heeft de starre verbinding tussen de beide staven feitelijk geen betekenis. Nog een belangrijk aspect dat in dit hoofdstuk aan de orde komt is het onderscheid tussen globale instabiliteit en locale instabiliteit. Ook is het onderkennen van verschillende knikvormen een belangrijk element. Voorbeelden hiervan zijn ook in het college behandeld met name of de starre knikvorm (globale knik) dan wel de locale (Eulerse knik) maatgevend is.

Hoofdstuk 6

Dit hoofdstuk handelt over verend ingeklemde op druk belaste buigzame staven. De veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstuk worden drie basissystemen behandeld:

paragraaf 6.1 : Enkelzijdig verend ingeklemde staaf

paragraaf 6.2 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, ongeschoorde constructie paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, geschoorde constructie

In paragraaf 6.1 wordt gestart met de enkelzijdig verend ingeklemde staaf. Met de 4^e orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stelsel vergelijkingen

opgelost waarmee de kniklast uit een transcendente vergelijking kan worden opgelost.

Deze oplossingmethode is weliswaar exact maar niet erg praktisch. Aangetoond wordt dat een zeer nauwkeurige benaderingsformule kan worden gevonden voor deze

enkelzijdig verend ingeklemde staaf.

2 2

) 2 (

1 /

1 1

l l EI r F_k ^{= +} π

De alternatieve benaderingen van dit probleem in paragraaf 6.1.2 en 6.1.3 zijn geen tentamenstof.

De tweezijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.2 is zodanig opgelegd dat de steunpunten loodrecht t.o.v. de oorspronkelijke staafas kunnen verplaatsen. Deze situatie komt voor in ongeschoorde raamwerken. Door handig gebruik te maken van de plek van het buigpunt in de uitbuigingsvorm kan een formule worden opgesteld voor de kniklast.

LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de enkelzijdig verend ingeklemde staaf !

( )

( )

EI l r EI

l r

l F EI

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 1 2 1

2 2 1 k

10 ; 4

10 ; 4 :

met

4

= +

=

= +

=

− × +

= +

ρ ρ η

ρ ρ η

π η

η η η

η η

In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de kniklast voor de enkelzijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.1 ook met deze formule kan worden gevonden.

In paragraaf 6.3 komt het laatste basisgeval voor verend ingeklemde buigzame staven aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten loodrecht op de staafas niet t.o.v. elkaar verplaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie een kniklast kan worden gevonden met de onderstaande formule:

( )( )

( )( )

EI l r EI

l r

l F_k EI

2 2 1 1

2 2

2 1

2 1

: met

5 . 5

2 5 2 5

=

= + +

+

= +

ρ ρ

π ρ ρ

ρ ρ

In paragraaf 6.4 is het geheel nog een keer samengevat met een overzicht van de gebruikte formules voor diverse configuraties van rotatieveren. De formules worden op het tentamen allemaal gegeven op een bijgevoegd formuleblad.

In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeelden behandeld. Bestudeer met name voorbeeld 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van blz 222 en 222a.

Hoofdstuk 7 : Bijzondere verende ondersteuningen

In hoofdstuk 7 zijn diverse voorbeelden gegeven van mogelijke verende

ondersteuningen. Dit kunnen zowel rotatie als translatieveren zijn. Van dit hoofdstuk is alleen van belang om de stappen in de modelvorming te herkennen. Met name het formuleren van de randvoorwaarden en het uitwerken van de randvoorwaarden m.b.v.

de D.V. zijn hierbij belangrijke stappen.

Hoofdstuk 8 : Aanpendelende belasting voor buigzame knikstaaf

Hoofdstuk 8 gaat nogmaals in op de aanpendelende belasting zoals geïntroduceerd in hoofdstuk 3. Voor diverse buigzame knikstaven wordt gekeken naar de kniklast. In de sheets wordt een iets andere benadering gekozen, Voor een aantal voorbeelden wordt onderzocht in hoeverre de exacte maximale belasting zich verhoudt tot het eenvoudige model dat in hoofdstuk 3 is gevonden.

1

1

k 1 F F ml

l

= +

Uit het onderzoek blijkt dat deze aanpak conservatief is en een goede afschatting geeft van de maximale belasting op een gekoppeld systeem waarbij het schorende element een op druk belaste buigzame staaf is (les7.pdf).

LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde ongeschoorde staaf !

LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde geschoorde staaf !

Hoofdstuk 9

Dit hoofdstuk behoort niet tot de tentamenstof.

Hoofdstuk 10

In dit hoofdstuk wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp komt terug bij de construerende vakken en is buitengewoon belangrijk voor de ingenieurspraktijk. Het blijkt dat initieel scheef staande constructies die op druk worden belast, door de excentrisch aangrijpende drukkracht, schever gaan staan. De uiteindelijke scheefstand kan worden uitgedrukt in de initiële scheefstand d.m.v. een zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen geldt:

F n F n w

w n ₀ met: ^k

1 =

= −

vergrotingsfactor

Naarmate de belasting F dichter in de buurt ligt van de kniklast neemt de

vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoelig te maken voor het 2^e orde effect (d.w.z. gevoelig voor het schever gaan staan door invloed van de excentrische kracht in combinatie met de initiële scheefstand) is het dus noodzakelijk de vergrotingsfactor niet te groot te laten worden. Een factor 1,1 betekent dat de verplaatsingen en ook de krachtsverdeling in de constructie met 10%

toeneemt. Vaak is dit al onacceptabel. Om een vergrotingsfactor kleiner dan 1,1 te verkrijgen moet de factor n groter zijn dan 11. Hetgeen inhoudt dat de werkelijke belasting één-elfde-deel van de kniklast mag zijn. !

Het onderdeel op blz 312 betreffende de exacte oplossing die ook geldig is bij grote verplaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detail van dit onderdeel is overigens wel dat de starre staaf met translatieveer een naknikgedrag heeft dat niet stabiel terwijl het systeem met een rotatieveer wel een stabiel naknikgedrag heeft.

Een initiële scheefstand kan ook worden veroorzaakt door horizontaal aangrijpende belastingen (netjes dwarsbelasting genoemd). Paragraaf 10.2 behandelt dit onderwerp.

De initiële scheefstand ten gevolge van alleen de dwarsbelasting is in feite een eerstejaars mechanica-uitdaging en kan worden bepaald met een zgn. eerste orde berekening.

LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstuk aan de orde komen, met name de begrippen 1^e en 2^e orde zijn van belang !

Hoofdstuk 11

In hoofdstuk 11 wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstuk 10 ook geldig is voor buigzame staven. Het blijkt in het algemeen niet zo te zijn maar de praktische formule geeft over het algemeen prima resultaten. In de college sheets wordt met behulp van voorbeelden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor kan worden bepaald. Ook hier geldt dat alleen de modelstappen van belang zijn. Op het tentamen wordt zeker niet gevraagd om voor een bijzonder geval de exacte

Hoofdstuk 12

Het laatste onderwerp behandelt de invloed van plasticiteit op het bezwijkgedrag van constructies. Hiervoor is het noodzakelijk om uit deel 3 Toegepaste Mechanica van Hartsuijker en Welleman hoofdstuk 3 (blz 383) en met name paragraaf 3.1.3 (blz 390) te bestuderen. Een samenvatting van het meest relevante onderdeel van dit hoofdstuk is hieronder weergegeven.

ACTIE : Loop zelf deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages !

Door plastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiële scheefstand kan veel eerder instabiliteit ontstaan. De kniklast is dan helemaal niet maatgevend. Op blz 385 is in figuur 12.3 dit grafisch weergegeven. De kritieke belasting waarbij bezwijken door instabiliteit ontstaat wordt aangegeven met F_c . Als w_p de verplaatsing is waarbij plasticiteit optreedt kan eenvoudig een verband worden gevonden tussen de kritieke belasting Fc, de kniklast Fk, de initiële scheefstand wo en de verplaatsing wp :

1

p o k

C + =

w w F

F formule van Merchant

Als de initiële scheefstand wordt veroorzaakt door b.v. een horizontale belasting H_c dan kan deze formule worden herschreven tot :

1

p C k

C + =

H H F F

Hierin is H_p de kracht waarbij volgens een eerste orde berekening voor het eerst de doorsnede volplastisch wordt.

LET OP : 1^e orde betekent dus zonder de invloed van de excentrisch aangrijpende drukkracht want dat is juist de 2^e orde component in het geheel !

ACTIE : Bestudeer de uitgewerkte tentamenopgaven, maak deze ook zelf en maak de opgaven achter in het boek waarvan de antwoorden en veelal de

uitwerkingen van zijn gegeven.

Hier wordt voor een op buiging belaste doorsnede gekeken naar het maximale moment dat de doorsnede kan opnemen als we toestaand dat overal in de doorsnede vezels de trek en druk spanningen mogen toenemen tot de (maximale) vloeispanning van het materiaal.

Voor een rechthoekige doorsnede kan eenvoudig worden gevonden dat geldt:

y 2

p bh4 f

M =

Waarbij Mp staat voor het volplastisch moment van de doorsneden. Als alleen in de uiterste vezels de vloeispanning wordt toegestaan geldt de bekende elastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede:

y 2

e bh6 f

M =

Voor de rechthoekige doorsnede geldt dat deze volplastisch 1,5 keer het elastisch moment kan dragen. Er zit dus boven de elastische grens voor deze doorsnedevorm nog flink wat reserve draagvermogen in de doorsnede. De factor 1,5 wordt de vormfactor genoemd enveelal aangeduid met de letter α.

1. Stabiliteit van het evenwicht

1.1

Wat verstaat men onder “stabiel evenwicht”?

1.2

Waarom dient men te spreken over de “stabiliteit van het evenwicht” en is het onjuist te spreken over de “stabiliteit van een constructie”?

1.3-1/2

Gegeven twee buigzame staven.

Gevraagd:

Schets voor elke staaf twee “kinematisch mogelijke configuraties” in de omgeving van de evenwichtsstand.

1.4

Wat is het essentiële verschil tussen een geometrisch lineaire berekening en een geometrisch niet-lineaire berekening?

1.5

Iemand vraagt u naar het verschil tussen neutraal en instabiel evenwicht. Hoe zou u deze vraag kunnen beantwoorden?

1.6

Gevraagd de aard van het evenwicht van een kogeltje met gewicht G dat zich in 0

x= op het vlak z=ax³ bevindt. De z-richting is evenwijdig aan de richting van de zwaarteveldsterkte.

2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad

Opmerking vooraf:

Staven waarbij geen stijfheid wordt vermeld moeten als oneindig stijf worden opgevat.

2.1

Een homogene prismatische staaf met een massa van m₁=200 kgis scharnierend opgelegd in A. Onder aan de staaf hangt aan een koord een homogeen blok met een massa van m₂ =1100 kg. De staaf wordt bovenin belast door een verticale kracht F. De zwaarteveldsterkte bedraagt 10 N/kg.

Gevraagd:

De knikbelasting F_k. 2.2-1/2

Starre staaf AB is in A scharnierend opgelegd en in B opgehangen aan een draad. Het systeem wordt belast door het gewicht van de massa’s m₁ en m₂ en is in evenwicht.

Gevraagd:

De verhouding m m₁/ ₂ waarbij het evenwicht stabiel is voor:

1. θ = . 0 2. θ =180
. 2.3-1/2

Een massieve homogene kubus met gewicht G wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k. De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd.

Gevraagd:

Het blokgewicht waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt.

2.4-1/2

Een massieve homogene kubus met gewicht G=300 kN wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid

50 kN/m

k= . De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd.

Op de top grijpt een verticale kracht F aan.

Gevraagd:

Bij welke kracht F wordt het evenwicht instabiel?

2.5-1/2

Gegeven twee verend ingeklemde oneindig stijve staven.

Gevraagd:

a. De kniklast F_k.

b. Als de staaflengte groter wordt, neemt de kniklast dan toe of af?

2.6-1 t/m 3

Gegeven drie door translatieveren gesteunde oneindig stijve kolommen.

Gevraagd:

a. De knikkracht F_k.

b. Als de kolomlengte groter wordt, en de veren blijven op dezelfde hoogte, neemt de knikkracht dan toe of af?

c. Als de veren lager worden geplaatst, neemt de knikkracht dan toe of af?

2.7-1/2

Houd in de berekening aan EI =4500 kNm².

Gevraagd:

De kniklast F_k. 2.8-1/2

Houd in de berekening aan EI =30 MNm².

Gevraagd:

De knikkracht F_k.

2.9-1 t/m 4

De op druk belaste kolom is oneindig stijf. Houd voor de buigstijfheid van de regels in de berekening aan EI₁ =8 MNm² en EI₂ =16 MNm².

Gevraagd:

a. De kniklast F_k.

b. De richting waarin de oneindig stijve kolom in werkelijkheid uitknikt.

2.10-1 t/m 4

Een oneindig stijve kolom is ingeklemd in een ligger met buigstijfheid 2000 kNm2

EI = die op vier verschillende manieren in de uiteinden is opgelegd.

Gevraagd:

De knikkracht F_k. 2.11-1 t/m 3

Het evenwicht van de drie oneindig stijve constructies is bij de gegeven belasting stabiel.

Gevraagd:

De vereiste stijfheid k van de translatieveren.

2.12

Spant ABCD heeft een gewicht G dat men geconcentreerd mag denken in B.

De twee even zware blokken die aan de staven AE en CF en deels in het water hangen zijn even zwaar en hebben een horizontale doorsnede van 1 m . ²

Gevraagd:

Het spantgewicht G_k waarbij het evenwicht instabiel wordt.

2.13

In de getekende constructie is BCDG onvervormbaar. Van AB en DE is de buigstijfheid EI; de wringstijfheid is verwaarloosbaar klein. De hoekverbin- dingen in B en D zijn volkomen stijf.

Bij de aangegeven belasting kan knik optreden door rotatie van BCDG om BCD, maar ook door rotatie van BCDG om een as door C loodrecht op BCDG.

Gevraagd:

a. De verhouding a b/ waarbij de knikkracht voor beide gevallen gelijk is.

b. De grootte van deze kniklast.

2.14

In een hanggebouw dragen alle vier verdiepingen dezelfde gelijkmatig

verdeelde volbelasting q. De benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden ontleend.

Gevraagd:

2.15-1/2

Gegeven twee oneindig stijve verend ingeklemde constructies.

Gevraagd:

De knikbelasting F_k. 2.16-1 t/m 4

Gevraagd:

De knikbelasting F_k.

2.17-1/2

Gegeven twee oneindig stijve constructies in evenwicht gehouden door translatieveren. De stijfheid van de veren is uitgedrukt in k =250 kN/m.

Gevraagd:

De knikkracht F_k. 2.18-1 t/m 4

Vier oneindig stijve op druk belaste staven worden in evenwicht in evenwicht gehouden door translatie en rotatieveren waarvan de stijfheden in de figuur zijn gegeven.

Gevraagd:

De knikkracht F_k.

2.19-1 t/m 3

De resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting q op de oneindig stijve kolom AB is Q.

Gevraagd:

De knikbelasting Q_k. 2.20-1/2

Gegeven hetzelfde spant op twee verschillende manieren belast door een kracht F. De stijlen zijn oneindig stijf; de regel heeft een buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

2.21-1/2

De op druk belaste kolommen zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan EI =9 MNm².

Gevraagd:

De knikkracht F_k.

2.22-1 t/m 3

Dezelfde gegevens als in opgave 2.21.

Gevraagd:

De knikkracht F_k. 2.23-1/2

Gegeven twee symmetrische spanten met oneindig stijve kolommen. Houd voor de buigstijfheid van de regels aan EI₁=10 MNm² en EI₂ =2 MNm².

Gevraagd:

De belasting waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

2.24

De knikbelasting van het getekende raamwerk met oneindig stijve kolommen is

k 2000 kN

F = .

2.25-1 t/m 3

In de getekende constructies en hebben alle buigzame delen een buigstijfheid EI, zoals in de figuur is aangegeven. Alle andere delen zijn oneindig stijf. De linker kolom wordt belast door een drukkracht F en de rechter door een drukkracht Fλ .

Gevraagd:

a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, uit te drukken in EI, ℓ en λ.

b. In welke mate beïnvloedt de verdeling van de belasting over beide

kolommen de grootte van de totale belasting (F+λF) waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt?

2.26-1/2

Houd in de berekening aan EI =27000 kNm² en k_t =1000 kN/m.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 2.27

In welk geval kan men in opgave 2.26 spreken van een systeem met a. parallel geschakelde veren?

b. in serie geschakelde veren?

2.28-1 t/m 4

Houd in de berekening aan EI =25000 kNm², k_t =600 kN/m en

r 2700 kNm/rad

k = . De delen waar geen stijfheid staat bijgeschreven zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 2.29

In welke gevallen kan men in opgave 2.28 spreken van een systeem met a. in serie geschakelde veren?

b. parallel geschakelde veren?

2.30

Een starre staaf wordt aan de top in evenwicht gehouden door twee horizontale draden die alleen trekkrachten kunnen overbrengen. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De draden hebben een rekstijfheid EA.

Gevraagd:

a. De knikkracht F . _k

b. Naar welke kant zal de staaf uitknikken?

2.31

Als opgave 2.30, maar nu heerst in beide draden een voorspankracht S . ₀ 2.32-1 t/m 3

Een starre mast is onder scharnierend opgelegd en boven afgetuid met draden.

In de draden heerst een voorspankracht S . ₀

Gevraagd:

a. Wat is de aard van het evenwicht: stabiel, labiel of neutraal?

b. Motiveer uw antwoord.

2.33

Een homogeen driehoekig blok ABC met gewicht G is in A scharnierend opgelegd en in B en C door middel van draden spanningsloos verbonden met twee ingeklemde kolommen met buigstijfheid EI =36 MNm². De draden kunnen alleen trekkrachten overbrengen en mogen voor dat geval worden geschematiseerd tot translatieveren met een stijfheid k_t =500 kN/m.

Gevraagd:

Het kritische gewicht G van het blok. _k

2.34-1/2

Een starre mast is afgetuid met draden. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De rekstijfheden van de draden zijn uitgedrukt in EA.

Gevraagd:

a. De knikkracht F . _k

b. Naar welke kant zal de mast uitknikken?

2.35-1/2

In de getekende constructie zijn AB, CD en AD oneindig stijf. BC is een buigzame staaf met buigstijfheid EI =2250 kNm². Houd verder in de

berekening aan ℓ=3 m. De constructie wordt op twee verschillende manieren belast.

Gevraagd:

De knikkracht F bij de aangegeven belasting. _k

2.36-1 t/m 3

Een starre staaf met lengte ℓ is op drie verschillende manieren verend opgelegd.

Gevraagd:

a. De knikkracht F . _k

b. Leid uit het onder a gevonden resultaat de knikkracht af voor het extreme geval een van beide veerstijfheden oneindig groot, respectievelijk nul is (vier mogelijkheden).

3. Knik van gekoppelde starre staven

Opmerkingen vooraf:

• Gebruik de afgeleide formules bij de vraagstukken uitsluitend als controle op de door u uitgevoerde berekeningen.

• Gebruik de afgeleide formules verder alleen als u ze begrijpt en ook zelf kunt afleiden.

3.1-1/2

De stabiliteit van de getekende constructies wordt verzekerd door een translatieveer met stijfheid k . _t

Gevraagd:

De waarde van k waarvoor het evenwicht bij de gegeven belasting instabiel _t wordt.

3.2-1/2

De stabiliteit van de constructie wordt ontleend aan een verend ingeklemde kolom. De stijfheid van de verende inklemming is k_r =4 MNm/rad. Alle staven zijn verder oneindig stijf.

Gevraagd:

3.3-1/2

De stabiliteit van de getekend constructies wordt ontleend aan een ingeklemde kolom met eindige buigstijfheid. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houd in de berekening aan EI₁=7200 kNm² en EI₂ =4 MNm².

Gevraagd:

De knikbelasting F . _k 3.4

Alle staven in de getekende constructie zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De knikbelasting F , uitgedrukt is a, b, _k k en ℓ . _t

b. De verhouding a b waarvoor het evenwicht altijd stabiel is. /

3.5-1 t/m 3

De stabiliteit van de constructies wordt ontleend aan ligger AB met buigstijfheid EI =36 MNm².

Gevraagd:

De knikbelasting F . _k 3.6

Op de getekende constructie werken de aangegeven krachten F , ₁ F en ₂ F . ₃ λ is een belastingfactor waarmee men de krachten F t/m ₁ F geleidelijk kan laten ₃ aangroeien van 0 (λ =0) tot de waarde waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt (λ=λ_k).

Gevraagd:

a. Bereken λ_k als functie van F , ₁ F , ₂ F , EI en ℓ . ₃ b. De kniklast F_k =F_k1 als F₂ =F₃ = . 0

c. De met betrekking tot instabiliteit gevaarlijkste plaats van een enkele kracht F (in A, B of C) en de grootte van de bijbehorende kniklast F . _k d. De kniklast F in het geval _k F₁=F₂ =F₃ =F.

3.7-1 t/m 3

De oneindig stijve staven AS en BS zijn in S scharnierend met elkaar verbonden.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 3.8-1/2

Beide constructies zijn opgebouwd uit oneindig stijve staven.

Gevraagd:

De knikbelasting q . _k

3.9-1/2

Houd in de berekening aan: EI₁=3200 kNm², EI₂ =2400 kNm² en

r 2400 kNm/rad

k = .

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 3.10-1/2

Houd in de berekening aan k_r1 =2000 kNm/rad, k_r2 =3200 kNm/rad en

r3 1800 kNm/rad

k = .

Gevraagd:

De waarde van F waarbij het evenwicht instabiel wordt. ₂ 3.11-1/2

Houd in de berekening aan k_r1 =6000 kNm/rad, k_r2 =5400 kNm/rad en

r3 3600 kNm/rad

k = .

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 3.12

Houd in de berekening aan k_r1 =36 MNm/rad en k_r2 =8 MNm/rad.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 3.13

Als F in A staat geldt F_k =2000 kN. Staat F in B dan geldt F_k =600 kN.

Gevraagd:

De knikkracht F bij de in de figuur aangegeven positie. _k

3.14

Gegeven het getekende een spant opgebouwd uit starre staven met verende verbindingen en verder scharnierend opgelegd. Houd voor de stijfheid van de rotatieveren aan k_r =7200 kNm/rad.

Gevraagd:

Voor welke combinaties van F en ₁ F is het evenwicht stabiel? ₂ 3.15

Houd voor de stijfheid van de drie rotatieveren aan k_r =18 MNm/rad.

Gevraagd:

Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F en ₁ F ₂ is het evenwicht stabiel?

F (kN) 1 F (kN) ₂ a. 14500 1800 b. 13000 2400 c. 12500 3000 d. 11500 3600

3.16

Houd voor de stijfheid van de vier rotatieveren aan k_r =4000 kNm/rad.

Gevraagd:

Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F en ₁ F ₂ is het evenwicht instabiel?

F (kN) 1 F (kN) ₂

a. 4200 200

b. 3200 700

c. 2200 1500

d. 900 2000

3.17-1/2

In de getekende constructies zijn de oneindig stijve staven AB, BC en CD onderling scharnierend verbonden en wordt de vormvastheid van de constructie ontleend aan de twee draden AC en BD die een rekstijfheid EA hebben. In onbelaste toestand zijn de constructies spanningsloos.

Houd in de numerieke uitwerking aan ℓ =5 m en EA=7 MN. Gevraagd:

a. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

b. De richting waarin constructie uitknikt, naar links of naar rechts?

3.18

Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a=3 m en

B 8 MN/rad

k = .

Gevraagd:

a. De vereiste veerstijfheid k , opdat er lokale instabiliteit optreedt. _C b. De vereiste veerstijfheid k , opdat er globale instabiliteit optreedt. _C c. De knikkracht F waarbij lokale en globale instabiliteit gelijktijdig _k optreden.

3.19

In de getekende constructie heeft de centrale ingeklemde kolom een wringstijfheid GI_w =120 MNm². De pendelkolommen zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

3.20

Twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen verzorgen de stabiliteit van de twee op druk belaste pendelkolommen. De buigstijfheid van de kolommen is EI; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.

Gevraagd:

De verhouding a b waarbij rotatie- en translatie-instabiliteit onder dezelfde / belasting optreden.

3.21

In de getekende constructie zijn de pendelkolommen 3 m lang en de in de fundering ingeklemde kolommen 4 m. Voor de ingeklemde kolommen zijn ronde buizen toegepast met buigstijfheid EI =32 MNm²; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.

Gevraagd:

a. De waarde van F waarbij translatie-instabiliteit optreedt.

b. De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

c. Welke vorm van instabiliteit is maatgevend?

3.22-1/2

Van een gebouwtje met een regelmatige zeshoek als plattegrond wordt het dak in het midden gedragen door een wringstijve kolom en aan de omtrek door zes pendelstijlen in de hoekpunten. De kolom is ingeklemd in zowel het dak als de fundering en heeft een wringstijfheid GI . Kolom en pendelstijlen hebben _w verschillende lengten. De dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht, is gelijkmatig verdeeld. De totale dakbelasting is Q.

Gevraagd:

De dakbelasting Q waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. _k 3.23

Een vierkant dak wordt in de hoeken gedragen door vier pendelkolommen en in het midden door een wringstijve kolom.

Gevraagd:

a. Uit onderstaande tabel de combinatie van a en h te kiezen die het gunstigst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie.

a (m) h (m)

1. 8 4

2. 7 5

3. 6 6

4. 5 7

b. Bij de gekozen combinatie van a en h de verdeelde belasting q te _k berekenen waarbij de stabiliteitsgrens met betrekking tot torsie wordt bereikt.

3.24

Een cirkelvormig dak met straal r wordt langs de omtrek gedragen door een aantal pendelkolommen en in het midden door een wringstijve buis.

Gevraagd:

a. De combinatie van r en h die het gevaarlijkst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie.

r (m) h (m)

1. 5 3

2. 10 4

3. 15 5

4. 15 6

b. Bij de gekozen combinatie van r en h de verdeelde belasting q te _k berekenen waarbij torsie-instabiliteit optreedt.

3.25

De translatie- en rotatiestabiliteit van een gebouw moet worden verzorgd door vier in hun vlak oneindig stijve wanden die dak en fundering met elkaar verbinden.

Gevraagd:

Bij welk van de getekende oplossingen lukt dat?

3.26

In een hoogbouwskelet wordt de translatie- en rotatiestabiliteit ontleend aan drie in hun vlak oneindig stijve wanden, die over de volle hoogte doorlopen en op verschillende manieren in de plattegrond kunnen worden gesitueerd.

Gevraagd:

Welke situering werkt het meest doelmatig.

4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden

4.1

Gegeven twee door translatieveren gekoppelde oneindig stijve kolommen. De kolommen worden verschillend belast. Houd in de berekening aan: ℓ=4 m en

625 kN/m

k= .

Gevraagd:

a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikbelasting F . _k 4.2-1/2

Gegeven twee door translatieveren gekoppelde starre drukstaven. De rekstijf- heden verschillen en worden uitgedrukt in k.

Gevraagd:

a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikbelasting F . _k

4.3-1/2

In de getekende constructies hebben de liggers een buigstijfheid EI en zijn de kolommen oneindig stijf.

Gevraagd:

a. Een voorspelling omtrent de knikvorm (zonder te rekenen).

b. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

c. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

d. De knikbelasting F . _k 4.4-1 t/m 4

Gegeven vier portalen met oneindig stijve kolommen. De regels hebben een buigstijfheid EI.

Gevraagd:

a. De knikbelasting F _k

b. De bijbehorende knikvorm.

4.5-1/2

Gegeven twee gelede knikstaven, samengesteld uit de oneindig stijve delen AB en BC.

Gevraagd:

a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikkracht F . _k 4.6-1 t/m 3

Gegeven dezelfde constructie op drie verschillende manieren belast. In de constructie gedraagt de buigzame staaf met buigstijfheid EI zich als een veer.

Maak voor het veergedrag gebruik van wat werd afgeleid in hoofdstuk 4, voorbeeld 3.

Gevraagd:

a. De belastingen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikbelasting.

4.7-1/2

In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI.

Bij de gegeven belasting zijn er twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische uitbuigingsvorm.

Gevraagd:

a. De kracht F =F₁ die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.

b. De kracht F =F₂ die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.

c. De knikkracht F . _k 4.8-1/2

In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI.

In de linker constructie worden beide kolommen verhinderd naar links te verplaatsen; in de rechter constructie wordt een verplaatsing naar rechts verhinderd.

Gevraagd:

a. Bij welke uitbuigingsvormen is er evenwicht in uitgebogen stand mogelijk?

b. Bereken bij elke uitbuigingsvorm de bijbehorende waarde van F.

c. De knikkracht F . _k

4.9-1/2

De gelede knikstaven zijn opgebouwd uit onderling verend verbonden starre staven. Houd in de berekening voor de veerstijfheden aan:

r1 3000 kNm/rad

k = , k_r2 =1200 kNm/rad en k_r3 =2400 kNm/rad.

Er zijn bij de gegeven belasting twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische.

Gevraagd:

a. De kracht F =F₁ die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.

b. De kracht F =F₂ die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.

c. De knikkracht F . _k 4.10-1/2

Houd in de berekening aan EI =3000 kNm² en k_r =1500 kN/rad.

a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvorm(en).

c. De knikkracht F . _k

d. Is de grootte van de veerstijfheid k van invloed op de grootte van de _r knikkracht?

4.11

Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a=2 m, k_B =12 MN/rad en k_C =4 MN/rad.

Gevraagd:

a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikkracht F . _k 4.12

Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k_B =9 MN/rad en

C 2 MN/rad

k = .

4.13

Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k_B =15 MN/rad en

C 3 MN/rad

k = .

5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen

Opmerkingen vooraf:

• Het eigen gewicht van de constructie wordt verwaarloosd, tenzij anders is aangegeven.

• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat.

• Tenzij anders is aangegeven zijn alle constructiedelen oneindig rekstijf en is er geen normaalkrachtvervorming.

• Alle staven zijn prismatisch tenzij anders is aangegeven.

• Houd ter vereenvoudiging van de berekeningen aan π =² 10. 5.1

Staaf AB heeft een buigstijfheid EI =5 MNm².

Gevraagd:

De kracht F waarbij knik optreedt.

5.2

In het getekende vakwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI. Er treedt bezwijken door instabiliteit op als H =640 kN.

Gevraagd:

De buigstijfheid EI.

5.3-1 t/m 5

Gevraagd:

a. Wat verstaat men onder “kniklengte”?

b. Schets de knikvorm.

c. De kniklengte van de op druk belaste buigzame kolom.

5.4

Gegeven de vijf constructies uit opgave 5.3.

Gevraagd:

a. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte daarvan.

b. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte daarvan.

5.5-1 t/m 4

De regel is oneindig stijf. De kolom heeft een buigstijfheid EI =1280 MNm².

Gevraagd:

a. Een schets van de knikvorm.

b. De kracht F waarbij het evenwicht instabiel wordt. _k c. De kniklengte ℓ_k.

5.6

Houd in de berekening aan EI =2 MNm².

Gevraagd:

a. De waarde van F , respectievelijk _1k F , waarbij een van de staven _2k uitknikt.

b. Verklaar het relatief grote verschil tussen deze waarden.

5.7-1 t/m 3

In de getekende constructies zijn de regels oneindig stijf en heeft de kolom een buigstijfheid EI =2800 kNm².

Gevraagd:

a. Een schets van de knikvorm.

b. De kniklengte ℓ_k. c. De knikkracht F . _k 5.8

In de figuur hebben alle vier kolommen dezelfde buigstijfheid. De regels zijn oneindig stijf. Let op: de kolomlengten zijn verschillend.

Gevraagd:

Rangschik de constructies naar toenemende kniklengte. Vermeld daarbij de kniklengte.

5.9

Zie de gegevens in opgave 5.8. Als extra is de buigstijfheid van de kolommen gegeven: EI =3920 kN.

Gevraagd:

Rangschik de constructies naar toenemende knikkracht. Vermeld daarbij de grootte van de knikkracht.

5.10

Een prismatische kolom krijgt aan de top een uitwijking w₀ =20 mm tengevolge van de kracht H =30 kN.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k

5.11-1 t/m 3

Houd voor de buigstijfheid van de kolommen aan EI =5000 kNm². De regels zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

De verticale oplegreactie in A op het ogenblik van bezwijken door instabiliteit.

5.12-1 t/m 4

Alle vakwerkstaven hebben dezelfde buigstijfheid EI =3 MNm².

Gevraagd:

De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

5.13

Gegeven een scharnierend opgelegde en op druk belaste houten balk met elasticiteitsmodulus E =15 GPa. De balkdoorsnede is rechthoekig.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 5.14

Een stalen strip moet een belasting van F =50 kN dragen. De waarde van

k/

n=F F mag niet kleiner zijn dan vier. Houd in de berekening aan 200 MPa

E = en π =² 10.

Gevraagd:

De maximum lengte ℓ die de strip mag hebben.

5.15

Een stalen staaf wordt in de slappe richting op halve hoogte gesteund. De elasticiteitsmodulus is E=210 10 N/mm× ^{3 2}.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k

5.16-1/2

In de getekende constructie zijn de liggers oneindig stijf en heeft de kolom een eindige buigstijfheid EI =24 MNm².

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 5.17

Een gebouw wordt in het verticale vlak geschematiseerd tot een oneindig stijve wand die draagt op twee kolommen. De kolommen zijn volledig ingeklemd in de wand en in de oneindig stijf veronderstelde fundering.

Gevraagd:

De kniklengte van beide kolommen.

5.18 Gevraagd:

De maximum kracht F die de constructie kan dragen alvorens bezwijken door instabiliteit optreedt en de richting β (0≤β ≤ π/2) waarin deze kracht werkt.

5.19-1 t/m 4

Houd in de berekening aan: EI₁=4000 kNm², EI₂ =3000 kNm²,

2 3 7200 kNm

EI = en EI₄ =2500 kNm².

Gevraagd:

De belasting q waarbij het evenwicht instabiel wordt. _k 5.20-1/2

In de linker constructie is DE oneindig stijf. In de rechter constructie is CDE oneindig stijf. Alle andere staven zijn buigzaam en hebben een buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De kracht waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.

5.21

In de getekende constructie is de ligger oneindig stijf. De kolommen hebben bij dezelfde buigstijfheid verschillende rekstijfheden.

Gevraagd:

a. De pendelstijl die bij de gegeven rekstijfheden het eerst uitknikt.

b. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.

5.22

Van de op druk belaste ligger is het middendeel oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De knikkracht.

b. Een schets van de knikvorm.

5.23

Alle kolommen hebben over de gehele lengte ℓ dezelfde buigstijfheid EI. Alle regels zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

5.24-1/2

Van de kolommen zijn de buigstijfheden in de figuur bijgeschreven.

Gevraagd:

a. Op welke manieren kan de constructie bezwijken door instabiliteit?

b. De knikkracht F . _k 5.25

Houd in de berekening aan, EI₁=2000 kNm², EI₂ =240 kNm² en

r 800 kNm/rad

k = .

Gevraagd:

a. De knikkracht bij partiele instabiliteit.

b. De knikkracht bij globale instabiliteit.

c. Welke van de twee is maatgevend.

5.26-1/2 Gevraagd:

Welke relatie bestaat er tussen de buigstijfheid EI van de pendelkolom en de ₁ buigstijfheid EI van de ingeklemde kolom als knik van de pendelkolom ₂ (lokale of partiele instabiliteit) samenvalt met knik van de constructie in zijn geheel (globale instabiliteit)?

5.27 Gevraagd:

Aan welke eis moet de buigstijfheid EI van de pendelkolom voldoen opdat de ₂ constructie niet zal bezwijken door partiele instabiliteit.

5.28

Gegeven en met tuien afgespannen mast. De tuien zijn spanningsloos in onbelaste toestand. De rekstijfheid van de tuien is EA=2500 kN. De buigstijfheid van de mast is EI =2500 kNm².

Gevraagd:

a. Welke knikvormen zijn mogelijk?

b. De kracht F waarbij het evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt. _k

6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven

Opmerkingen vooraf:

• Tenzij anders is aangegeven zijn alle staven prismatisch.

• Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten, tenzij anders is aangegeven.

• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat.

• Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven.

• Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms

verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins kunnen afwijken.

• Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden π =² 10. 6.1-1 t/m 6

Gegeven zes verend ingeklemde prismatische knikstaven met lengte ℓ en buigstijfheid EI.

Gevraagd:

a. De randvoorwaarden te formuleren in de grootheden w, w′ , M, S en de _z veerstijfheden.

b. De randvoorwaarden uit te werken tot vergelijkingen in de constanten C ₁ t/m C (dit zijn de constanten in de algemene oplossing van de ₄

differentiaalvergelijking voor buigingsknik, zie paragraaf 5.3, uitdrukking 5.21).

6.2

Een gedeeltelijk in de grond geslagen paal mag als verend ingeklemd worden beschouwd.

Gevraagd:

Voor de kniklengte van de paal geldt:

A. ℓ_k =4 m

B. 4 m < ℓ_k < 8 m C. ℓ_k =8 m

D. ℓ_k > 8 m 6.3

In geval (1) is de knikkracht F_k1 =2000 kN. In geval (2) is de knikkracht

k2 500 kN

F = .

Gevraagd:

De knikkracht F in geval (3). _k3

6.4-1/2

Gegeven twee verend ingeklemde kolommen met een lengte ℓ=5 m.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k 6.5-1/2

Houd in de berekening aan EI =54 MNm² en k_t =500 kN/m.

Gevraagd:

De knikkracht F . _k

6.6

Gevraagd:

De kniklengte ℓ_k van kolom AB.

6.7

Een kolom is in A ingeklemd in een rotatieveer met stijfheid

r 5, 4 MNm/rad

k = . De kniklast bedraagt 300 kN.

Gevraagd:

De knikkracht als de kolom volledig in A is ingeklemd.

6.8

Dezelfde gegevens als in opgave 6.7.

Gevraagd:

a. De knikkracht van de verend ingeklemde kolom als de stijfheid van de rotatieveer wordt verdubbeld.

b. De procentuele toename van de knikkracht.

6.9

Dezelfde gegevens als in opgave 6.7.

Gevraagd:

De stijfheid van de rotatieveer opdat de knikkracht van de kolom 400 kN bedraagt.

6.10

Gegeven een kolom op een paalfundering. De paalfundering kan worden opgevat als een verende inklemming met een rotatiestijfheid van 4800

kNm/rad. Als de kolom oneindig stijf is ingeklemd bedraagt de knikkracht 300 kN.

Gevraagd:

De knikkracht van de kolom op de paalfundering.

6.11

Een 6 m lange kolom is op vier verschillende manieren ingeklemd in andere staven. Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De gevallen te rangschikken van de grootste naar de kleinste knikkracht.

6.12-1 t/m 4

Dezelfde gegevens als in opgave 6.11. Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI =7, 08 MNm².

Gevraagd:

De knikkracht F . _k

6.13

Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI =15, 4 MNm².

Gevraagd:

a. De knikkracht F . _k b. De kniklengte ℓ_k. 6.14

Kolom ABC, met buigstijfheid EI, wordt door oneindig stijve schoren verhinderd in B te verplaatsen.

Gevraagd:

De kolom knikt uit bij de kracht F die het best wordt benaderd door de _k waarde:

A. _k EI₂ F

π2

= ℓ

B. _{k 2}

4 F EI

π2

= ℓ

C. _{k 2}

7 F EI

π2

= ℓ

D. _{k 2}

12 F EI

π2

= ℓ