Opmerkingen vooraf:
• Maak de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze.
• In de berekening mag het eigen gewicht van de constructie worden verwaarloosd.
• Er wordt aangenomen dat de grootte van het volplastisch moment Mp
onafhankelijk is van de grootte van de in de staaf aanwezige normaalkracht.
• Het wordt aanbevolen de vergrotingsfactor /(n n−1) alleen te gebruiken als men deze voor het betreffende vraagstuk ook kan afleiden.
• Gebruik de regel van Merchant alleen ter controle van de gevonden resultaten.
12.1
Starre staaf AB is ingeklemd in buigzame ligger BC. Ligger BC gedraagt zich elasto-plastisch met buigstijfheid EI =1800 kNm2 en volplastisch moment
p 180 kNm
M = . Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven.
Gevraagd:
a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:
b. De knikkracht Fk.
c. De eerste-orde bezwijklast Hp.
d. De eerste-orde verplaatsing van A als H =20 kN en F =200 kN. e. De tweede-orde verplaatsing van A als H =20 kN en F =200 kN. f. Teken voor H =20 kN het F w- -diagram voor A, zowel in het elastische
als plastische gebied.
g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 20 kN
H = .
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 150 kN
12.2
Een oneindig stijve mast met lengte ℓ=6 m is afgetuid met twee draden en wordt in de top A belast door de verticale kracht F =220 kN. De mast staat scheef met aan de top een uitwijking w0 =12,5 mm. De draden hebben een rekstijfheid EA=2500 kN en een vloeikracht Np =7,5 kN. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.
Figuur 12.1 Gevraagd:
a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:
b. De knikkracht Fk.
c. De eerste orde verplaatsing van A. d. De tweede-orde verplaatsing van A.
e. De kracht Fc waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.
f Verifieer de onder e berekende waarde met behulp van de formule van Merchant.
g. Het F w- -diagram voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.
12.3
De oneindig stijve kolom AB is in B stijf verbonden met ligger BC. BC heeft een buigstijfheid EI =1250 kNm2 en een volplastisch moment Mp =53 kNm. Houd verder in de berekening aan ℓ=3,15 m.
Gevraagd:
a. AB in B vrij te maken van BC en te tekenen in de toestand dat B een
horizontale verplaatsing w heeft ondergaan, met alle krachten die er in B op werken.
b. In deze stand de vergelijking (in symbolen) op te stellen voor het momentenevenwicht van AB om A.
c. De verplaatsing wp waarbij in B het volplastisch moment wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van B als F =125 kN en H =4,8 kN. e. De tweede-orde verplaatsing van B als F =125 kN en H =4,8 kN. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
4,8 kN
H = .
g. De kniklast Fk.
h. De eerste-orde bezwijklast Fp.
i. De onder f berekende waarde te controleren met behulp van de formule van Merchant.
j. Het F w- -diagram te tekenen voor H =4,8 kN, zowel in het elastische als het plastische gebied.
12.4
AEB is een volkomen stijve staaf, die zijdelings wordt gesteund door staaf CD met buigstijfheid EI =25, 6 MNm2 en volplastisch moment Mp =64 kNm. Houd verder in de berekening aan: ℓ =4 m, H =6 kN en F =800 kN.
Gevraagd:
a. De uitwijking in B volgens een eerste-orde berekening. b. De uitwijking in B volgens een tweede-orde berekening. c. De knikkracht Fk.
d. De waarde van F =Fc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als 6 kN
H =
e. Controleer de onder d gevonden waarde met de formule van Merchant. f. Teken het F w- -diagram voor B als H =6 kN, zowel in het elastische als
het plastische gebied.
12.5
Een verticaal opgestelde starre staaf wordt op halve hoogte gesteund door twee horizontale draden. De draden hebben een rekstijfheid EA=10,8 10 kN× 3 en een vloeikracht Np =120 kN. Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.
Gevraagd:
a. De knikkracht.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c De eerste-orde verplaatsing in A tengevolge van F =450 kN. d. De tweede-orde verplaatsing in A tengevolge van F =450 kN.
e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. Controleer deze waarde met de regel van Merchant.
f. Het F w- -diagram voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.
12.6
De oneindig stijve staaf AB is in C stijf verbonden met ligger CD. CD heeft een buigstijfheid EI =4500 kNm2 en een volplastisch moment
p 150 kNm
M = . Houd verder in de berekening aan: ℓ=3 m.
Gevraagd:
a. De waarde van F =Fc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als 10 kN
H = .
b. De waarde van H =Hc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als 100 kN
F = .
c. De waarde van F =Fc en H =Hc waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als F =6H .
d. Controleer de onder a, b en c gevonden waarden met de formule van Merchant.
12.7
De oneindig stijve kolom AB is stijf ingeklemd in de ligger BC met een
buigstijfheid EI =25 10 kNm× 3 2 en een volplastisch moment Mp =120 kNm. De kolom wordt belast door een drukkracht F, die aangrijpt met een
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als F =600 kN. b. De tweede-orde momentenlijn als F =600 kN.
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische gebied.
12.8
In de getekende constructie zijn AB, BC en BD starre staven. Staaf DE heeft een eindige buigstijfheid EI =37,5 MNm2 en een volplastisch moment
p 135 kNm
M = . De staven zijn in B en D scharnierend met elkaar verbonden. De constructie is in A scharnierend opgelegd, in C opgelegd op een rol met verticale rolbaan en in B volledig ingeklemd. De belasting bestaat uit de verticale kracht F =750 kN in C en de horizontale kracht H =9 kNin D. Houd verder in de berekening aan: a=5 m.
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van C. b. De tweede-orde verplaatsing van C.
c. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening. d. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening. d. De knikkracht Fk.
f. De eerste-orde bezwijklast Hp.
g. De kracht F =Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 9 kN
H = .
h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van C in het geval H =9 kN. Schrijf de waarden er bij.
i. De kracht H =Hc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 750 kN
F = .
j. Controleer de onder g en i gevonden waarden met de formule van Merchant.
12.9
In de getekende constructie zijn AC, CD en DB starre staven, die in C en D scharnierend met elkaar zijn verbonden. De constructie is in A en B
scharnierend opgelegd en in C en D via de tuidraden EC en GD verbonden met de opleggingen in E en G. De afmetingen kunnen uit de figuur worden
afgelezen.
Op CD werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q=36 kN/m. De constructie wordt tevens in C belast door een horizontale kracht H =2, 7 kN. De rekstijfheid van de tuidraden is EA=5000 kN. De vloeikracht in de tuidraden is Np =12 kN. In de onbelaste constructie zijn de tuidraden spanningsloos.
Gevraagd:
c. De verplaatsing van C waarbij in een tuidraad de vloeikracht wordt bereikt. d. De eerste-orde verplaatsing van C.
e. De tweede-orde verplaatsing van C. f. De eerste-orde normaalkracht in CD. g. De tweede-orde normaalkracht in CD.
h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 2, 7 kN
H = .
i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor C als H =2, 7 kN, in zowel het elastische als plastische gebied.
j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 36 kN/m
q= .
k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van Merchant.
12.10
De oneindig stijve kolom AB is in C stijf verbonden met de buigzame ligger DCE. Deze ligger heeft een buigstijfheid EI =15 MNm2 en een volplastisch moment Mp =105 kNm. Afmetingen en belasting volgen uit de figuur.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van B waarbij in de verende inklemmingen het vloeimoment wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van B ten gevolge van H =21 kN en 1200 kN
F = .
e. De tweede-orde verplaatsing van B ten gevolge van H =21 kN en 1200 kN
F = .
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 21 kN
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als H =21 kN, in zowel het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als /40
H =F .
i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als H =F/40, in zowel het elastische als plastische gebied.
j. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant.
12.11
In de getekende constructie zijn de verbindingen in A en D scharnierend en die in B en C volkomen stijf. AB, AD en CD zijn oneindig stijf. BC heeft een buigstijfheid EI =9000 kNm2 en een volplastisch moment Mp =18 kNm. Houd verder in de berekening aan ℓ=3 m.
De constructie wordt belast door een verticale kracht F =240 kN in A en een horizontale kracht H =4 kN in D.
Gevraagd:
a. De verplaatsing van A volgens een eerste-orde berekening. b. De normaalkracht in AD volgens een eerste-orde berekening. c. De verplaatsing van A volgens een tweede-orde berekening. d. De normaalkracht in AD volgens een tweede-orde berekening. e. De knikkracht Fk.
f. De eerste-orde bezwijklast Fp.
g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 4 kN
H = .
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 240 kN
F = .
i. Controleer de onder g en h gevonden waarden met de formule van Merchant.
j. Het F w- -diagram voor A als H =4 kN, zowel in het elastische als het plastische gebied.
12.12
In de getekende constructie heeft ACB een eindige buigstijfheid EI en een volplastisch moment Mp. Alle andere staven zijn oneindig stijf.
Houdt in de berekening aan: ℓ=4 m, EI =16 MNm2, Mp =50 kNm, 9 kN
H = en F =600 kN.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van D waarbij in ACB het volplastisch moment wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van D. e. De tweede-orde verplaatsing van D.
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 9 kN
H = .
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor D als H =9 kN, in zowel het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 600 kN
F = .
i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant.
12.13
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met
uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met
buigstijfheid EI =72 MNm2. Deze staaf heeft een volplastisch moment
p 81 kNm
M = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen. Houd in de berekening aan H =10,8 kN en F =300 kN.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting. c. De eerste-orde verplaatsing van B. d. De tweede-orde verplaatsing van B.
e. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening. f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
10,8 kN
H = .
g. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 300 kN
F = .
h. Controleer de onder f en g berekende waarden met de regel van Merchant.
12.14
In de getekende constructie zijn AD, BE, CG, DE en EG oneindig stijve staven, die scharnierend met elkaar zijn verbonden. Ligger BC heeft een eindige
buigstijfheid EI en een volplastisch moment Mp. De staven BE en CG zijn stijf verbonden met ligger BC. De constructie is in A, B en C scharnierend
opgelegd. Op DEG werkt een gelijkmatig verdeelde belasting q. Verder werkt in D een horizontale kracht H.
De horizontale uitwijking van regel DEG wordt aangeduid met w. De daarbij behorende rotatie van stijl CG wordt aangeduid met ϕ.
Gevraagd:
a. De knikbelasting qk.
b. De eerste-orde bezwijklast Hp.
c. De eerste-orde hoekverdraaiing in C als q=90 kN/m en H =70 kN. d. De tweede-orde hoekverdraaiing in C als q=90 kN/m en H =70 kN. e. De belasting qc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
70 kN
H = .
f. Controleer dit antwoord met de regel van Merchant.
g. Teken voor H =70 kN het verband tussen de belasting q en de rotatie ϕ
van stijl CG, zowel voor als na het bezwijken door instabiliteit.
12.15
Tweescharnierenspant ABCD bestaat uit de twee oneindig stijve stijlen AB en CD die stijf verbonden zijn met de buigzame regel BC. BC heeft een
buigstijfheid EI =2400 kNm2 en een volplastisch moment Mp =180 kNm. Stijlen en regel hebben dezelfde lengte ℓ=4 m.
De constructie wordt belast door de verticale krachten: 2F in B en F in C. Daarnaast werkt er in B een horizontale kracht H.
Gevraagd:
a. De verplaatsing van B volgens een eerste-orde berekening als H =18 kN en F =100 kN.
b. De verplaatsing van B volgens een tweede-orde berekening als H =18 kN en F =100 kN.
c. De knikkracht Fk.
d. De eerste-orde bezwijklast Fp.
e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 18 kN
H = .
f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 100 kN
F = .
g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van Merchant.
12.16
De getekende constructie is opgebouwd uit de stijlen AC en BD, de horizontale regel CD en de kabels AD en BC. De buig- en rekstijfheid van stijlen en regel is oneindig groot. De beide kabels hebben een eindige rekstijfheid EA=7 MN en een vloeikracht Np =21 kN. In onbelaste toestand zijn alle constructie delen spanningsloos.
De constructie wordt in E belast door een verticale kracht F en in C door een horizontale kracht H.
Gevraagd:
a. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval H =0 kN, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de waarden er bij.
b. De eerste-orde normaalkracht in CD als F =1500 kN en H =3 kN. c. De tweede-orde normaalkracht in CD als F =1500 kN en H =3 kN. d. In het last-verplaatsing-diagram uit vraag a ook het verband te schetsen
tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval H =3 kN, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de waarden er bij.
e. De kracht Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als H =3 kN. f. Controleer de onder e gevonden waarde met de formule van Merchant.
12.17
Portaal ABCD heeft oneindig stijve kolommen AB en CD en een buigzame regel die in B en C stijf met de kolommen is verbonden. Regel BC heeft een buigstijfheid EI =12 MNm2 en een volplastisch moment Mp =100 kNm. Kolommen en regel hebben dezelfde lengte ℓ =3 m. A en D zijn scharnier-opleggingen. Het portaal wordt boven kolom CD belast door een excentrisch
Gevraagd:
a. De knikkracht Fk.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting Fp.
c. In een last-verplaatsing-diagram voor e= het verband na uitknikken te 0 schetsen tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf op markante plaatsen de waarden er bij.
d. Voor e=50 mm een betrekking af te leiden tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied.
e. De kracht Fc, waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit, als 50 mm
e= . Deze waarde te controleren met de formule van Merchant. f. De onder d afgeleide betrekking te schetsen in het onder b gevraagde
last-verplaatsing-diagram, met vermelding van de waarden op markante punten.
12.18
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met
uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met
buigstijfheid EI =72 MNm2. Deze staaf heeft een volplastisch moment
p 90 kNm
M = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen. Houd in de berekening aan H =3 kN en F =90 kN.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting. c. De eerste-orde verplaatsing van B. d. De tweede-orde verplaatsing van B.
e. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening. f. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening.
g. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening. h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
3 kN
H = .
i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 90 kN
F = .
j. Controleer de onder h en i berekende waarden met de regel van Merchant.
12.19
In de getekende constructie zijn de (doorgaande) stijlen oneindig stijf en hebben de regels een buigstijfheid EI =3600 kNm2 en een volplastisch
moment Mp =60 kNm. Alle hoekverbindingen zijn volledig stijf. Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd in de berekening aan: ℓ=3 m,
12 kN
H = en F =400 kN.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting.
c. De eerste-orde verplaatsing van de bovenste regel. d. De tweede-orde verplaatsing van de bovenste regel.
e. De maximum kracht H die de constructie nog kan dragen als F =400 kN. f. De maximum kracht F die de constructie nog kan dragen als H =12 kN. g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van
12.20
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend met uitzondering van de volkomen stijve verbinding tussen de AB en BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC. BC heeft een buigstijfheid EI =7200 kNm2 en een volplastisch moment Mp =90 kNm. Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd daarbij in de berekening aan H =3 kN en q=20 kN/m.
Gevraagd:
a. De knikbelasting qk.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting Hp.
c. De eerste-orde verplaatsing van knooppunt C. d. De tweede-orde verplaatsing van knooppunt C.
e. De normaalkracht in CE volgens een eerste-orde berekening. f. De normaalkracht in CE volgens een tweede-orde berekening. g. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
3 kN
H = .
h. Een schets van het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w betrokken op de verplaatsing van knooppunt C, voor en na bezwijken door instabiliteit. i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
20 kN/m
q= .
j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van Merchant.
12.21
De getekende constructie bestaat uit de starre staven AB en CD die in
respectievelijk B en C stijf zijn verbonden met ligger BC. Ligger BC heeft een buigstijfheid EI =1800 kNm2 en een volplastisch moment Mp =180 kNm. Alle staven hebben een lengte ℓ=3 m.
De constructie wordt belast door de horizontale kracht HD =40 kN, zoals in de figuur aangegeven, en verder door een verticale kracht F in A.
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als F =200 kN. b. De tweede-orde momentenlijn als F =200 kN.
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. Voor HD =40 kN in een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische gebied.
12.22
Gegeven dezelfde constructie als in opgave 12.21. De belasting bestaat nu uit de horizontale krachten HA =20 kN en HD =10 kN, zoals aangegeven in de figuur, en verder een verticale kracht F in A.
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als F =150 kN. b. De tweede-orde momentenlijn als F =150 kN.
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. Bij de gegeven horizontale krachten in A en D in een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de
12.23
In de getekende constructie zijn AD en CE draden met een rekstijfheid
3
27, 78 10 kN
EA= × en een vloeikracht Np =40 kN. Alle andere
constructiedelen zijn oneindig stijf en onderling scharnierend verbonden. De afmetingen zijn in de figuur aangegeven.
De constructie wordt in A belast door een horizontale kracht H =18 kN. Op de regels AB en BC werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting
40 kN/m
q= . In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van A waarbij vloeien optreedt d. De eerste-orde verplaatsing van A.
e. De tweede-orde verplaatsing van A.
f. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 18 kN
H = .
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor A als H =18 kN, zowel in het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 40 kN/m
q= .
i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van Merchant.
12.24
In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. Alle verbindingen tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen. C is een scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde
veerkarakteristiek: tot het vloeimoment Mp is het gedrag lineair elastisch met veerstijfheid kr.
Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. Houdt in de uitwerking