' lim lim

1. Bepaal, met behulp van de definitie, de afgeleide functie f ' van

f x ( ) =

³

x

² .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 4 3 2 3 2 3 4

3 4 3 2 3 3

3 2 3 2 2 2

3 4 3 2 3 2 3 4

2 4

' lim lim

li

'

m

x a x a

x a

x x a a

x x a a

x a x a

f a

x a x a x

f

x a a

x

a

a

→ →

→

+ ⋅ +

⋅ + ⋅ +

− −

= =

− − + ⋅ +

= − ( )

( )

x a x a

+

− (

³

^x

⁴

⁺

³

^x

²

^⋅

³

^a

²

⁺

³

^a

⁴

) ^{= 3 2}

³

^{a a}

⁴

^{= 3}

³

^{2 a ⇒ D}

³

^x

²

^{= 3}

³

^{2 x}

2. Gegeven is de functie

^{f x} ( ) ^{= 3 x + 4}

^.

a) Bereken, steunend op de definitie, de afgeleide

^{f ' 7} ( )

^.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

7 7 7

7

3 4 5 3

7 3 4 5 3 21

' 7 lim lim lim

7 7 7 3 4 5

3 7

l

' 7

4 5

im

x x x

x

f x f x x

f x x

x

x

x

f

x

x

→ → →

→

⋅ + + + +

− + − −

= = =

− − − + +

= −

( ^{x − 7} ) ( ^{3 x + + 4 5} ) ^{= 10 3}

b) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie

f

in het punt

^P ( ^7,... )

^.

( )

3 7 5

t↔ =y 10 x− + of eenvoudiger: 3 29

10 10 t↔ =y x+

c) Deze raaklijn snijdt de y-as in punt A. De grafiek van f snijdt de y-as in punt B.

Bereken de oppervlakte van driehoek ∆APB. Het is duidelijk dat 29

0,10 A 

 

  ^en

^B ( ) ^{0, 2}

^{, zodat}

^{0, 9 7 3,15}

2 2

AB x

P

S

_∆

⋅ ⋅

= = =

3. Voor welke waarden van de parameters a b ∈ ℝ, zal de functie f met meervoudig functievoorschrift overal continu en afleidbaar zijn:

( )

₂ ^{3 , 1}

, 1

x x

f x ax bx x

 + >

= 

+ ≤

 ^.

Om continu te zijn moet:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

lim 1 lim lim 1 3 2

x

f x f

x

f x

x

f x a b a b

> <

→

= ⇒

→

=

→

⇔ + = + ⇔ + =

Om afleidbaar te zijn moet bovendien:

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1

lim ' lim ' lim lim 2 2

2 3 4

x x x x

LA RA f x f x ax b a b

> < > x <

→ → → →

= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +

+

Dus: 2 7 4

2 1 4 15 4

a b a

a b b

+ = = −

 

 + = ⇔ =

 

4. Bepaal de punten op de grafiek van

f x ( ) = ⁴ x − x

² waarin de raaklijn aan de grafiek van f door

^P ( ) ^{1, 7}

^gaan.

De raaklijn in ^{A a}

(

^{, 4a−a2}

)

heeft als rico

^{f '} ( ) ^{a = − 4 2 a}

^{, dus:}

( ^{4 2} )( ) ⁴

²

t ↔ = y − a x a − + a a −

.

( ) ^{1, 7 7} ( ^{4 2} )( ¹ ) ⁴

^{2 2}

^{2 3 0 1 3}

P ∈ ⇔ = t − a − a + a a − ⇔ a − a − = ⇔ = − ∨ = a a

^. De gezochte punten zijn

A − −

1

( 1, 5 )

en

A

2

( ) 3, 3

.

5. De parabool p↔ =y x²+4x−9 en de kubische kromme k ↔ =y x³−4x+3 hebben twee punten gemeenschappelijk.

a) Bewijs dat de grafieken elkaar snijden in een punt en raken in een ander punt.

Snijpunten:

( ) ( )

3 *

2

3 2 3 2 2

4 3 2 3

3 12

4 9

*: 4 3 4 9 8 12 0 2 3 0 2 3

Horner

y x x x x

y y

y x x

x x x x x x x x x x x

 = − +  =  = −

 ⇔ ∨

  

= = −

= + −

  



− + = + − ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −

De afgeleide functies (die we voor het gemak p' en

k '

noemen) zijn:

p x ^' ( ) = ² x + ⁴

en

k x ^' ( ) = ³ x

²

− ⁴

. In

x = 2

zijn de afgeleiden gelijk, want

^{p ' 2} ( ) ^{= k ' 2} ( ) ^{= 8}

, dus raken de krommen elkaar.

In

x = − 3

zijn de afgeleiden verschillend, want

p − ^' ( ) ³ = − ²

en

k − ^' ( ) ³ = ²³

, dus snijden de krommen elkaar.

b) Bereken in het snijpunt de hoek die de twee krommen met elkaar maken.

Voor de hoek geldt: 2 23 5

tan 29 03'17"

1 2.23 9

θ

=^{− −} = ⇒ ≈

θ

°

−

6. Op de grafiek van

( )

2

6 4 f x x

= x

+ liggen twee punten A en B waar de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan de

x

-as.

Bereken de afstand

AB

tussen deze twee punten.

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

6 4 2 .6 6 24

'

4 4

x x x x

f x

x x

+ − − +

= =

+ +

( )

^{2 2 3}

// ' 0 6 24 0 4 2 2 2,

t x⇔ f x = ⇔ − x + = ⇔x = ⇔ = − ∨x x= ⇒ A− −2

  ^en 2,3 B 2

 

 ^.

De afstand

AB

is dan

(

^{2 2}

)

^{2 3 3 2 5}

2 2 AB = + + +  =

 

7. Een betonnen plaat die op de grond ligt is via een katrol met een kabel verbonden aan een tractor (plaat, katrol en tractor hebben verwaarloosbare afmetingen).

De katrol hangt 4 m boven de grond, en de tractor rijdt met een snelheid van 1 m/s weg van de plaat, die als ze op de grond ligt 6 m van de tractor is verwijderd.

Bereken de snelheid waarmee de plaat omhoog wordt getild op het ogenblik dat ze 3 m boven de grond hangt.

Met de conventies op de figuur (

x

is de horizontale afstand die de tractor aflegt,

a

is de afstand van de tractor tot de katrol en

b

is de afstand van de plaat tot de katrol) geldt:

2 2 2

4 4 52 a x

a b

 − =



+ = +

 (de kabellengte is constant).

Leiden we beide vergelijkingen lid aan lid af naar de tijd dan krijgen we:

2 2 0

0

da dx

a x

dt dt

da db dt dt

 − =



 + =



.

Op het moment dat de plaat 3 meter boven de grond hangt is

b = 1

, a = 52+3, x= a²−16= 45+6 52 en

er is verder gegeven dat dx 1

dt = , dus is

45 6 52

1 0, 92 52 3

da x dx dt a dt

= ⋅ = + ⋅ ≈

+

(en dus ook db 0, 92

dt ≈ − ).

De snelheid waar de plaat mee wordt opgetild bedraagt op dat moment dus ongeveer 0, 92m s ^.