Hoofdstuk 5 Lineaire en exponentiële groei

(1)

Hoofdstuk 5:

Lineaire en exponentiële groei

V-1

a. 797,30 100 670 119 p_  _

b. Je moet de oude prijs met 1,19 vermenigvuldigen c. De prijs is met 19% verhoogd

d. 350 g 280 280 350 0,80 g   V-2 a. 288 240 1,20 g   b. 228 380 0,60 g   V-3 a. 65 50 1,30 g   85 65 1,31 g   110 85 1,29 g   143 110 1,30 g   de factor is ongeveer 1,30 b. c. Na 6 weken: 143 1,3 1,3 242   gram V-4 a.

b. De beginhoeveelheid (de hoeveelheid op tijdstip t 0) is 8. c. de groeifactor is 1,5

V-5 De beginhoeveelheid van A en B is 5. De groeifactor van formule A is 1,2; deze grafiek is stijgend (geel) en die van formule B is 0,5. Daar hoort een dalende grafiek bij (blauw)

De beginhoeveelheid van formule C is 12 (de rode grafiek) en die van formule D is 2 (de groene grafiek).

V-6 a. R(1) 800 0,92 736   rupsen. b. c. voer in: 1 800 0,92 x y   en y2 300 intersect: x 11,76 d. voer in: y2 50 intersect: x33,3

Na 34 dagen zijn er voor ’t eerst minder dan 50 rupsen.

V-7 eerst de korting eraf: 0,75 p en dan de btw erbij: 1,21 0,75  p 0,9075p eerst de btw erbij: 1,21 p en dan de korting eraf: 0,75 1,21  p 0,9075p het maakt dus niets uit.

tijd in dagen 0 1 2 3 4 5 6 aantal rupsen 800 736 677 623 573 527 485 t 0 1 2 3 4 5 6 N 8 12 18 27 40,5 60,8 91,1 t (in weken) gewicht (in g) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800

(2)

1 A: 5 2 3  8 5 3  12 8

2 2 geen lineaire verband

B: 11 9,5 1,5  12,5 11 1,5  14 12,5 1,5  18,5 14

3 1,5 lineair verband

C: 12 36

2 12

 _{ } _{9 12}_ _{ }₃ _{geen lineair verband}

2

a. q neemt dan toe met 250 245 5 

b. als p met 10 toeneemt, neemt q met 1 toe. c. 246, 247, 248, 249

d. als p met 1 toeneemt, neemt q met 0,1 toe

e. p163 :q 246 3 0,1 246,3   en p218 :q 250 18 0,1 251,8  

3

a. Je betaalt vaste kosten en per m3_{verbruik een vast bedrag.}

b. Bij een constante snelheid leg je iedere tijdseenheid dezelfde afstand af.

c. De inhoud van een kubus bereken je door de lengte van de ribbe tot de macht 3 te doen; dus niet lineair.

d. Bij een procentuele toename hoort een exponentieel verband.

4

a. De haspel weegt 1472 10 103 442   gram

De haspel met 6,5 meter kabel weegt 442 6,5 103 1111,5   gram

b. 3 meter kabel weegt 2410 1990 420  gram. Dat is 140 gram per meter. De haspel weegt 2410 12 140 730   gram

De haspel met 5 meter kabel weegt 730 5 140 1430   gram

5

a. er wordt steeds hetzelfde aantal liters water afgevoerd.

b. in 8 uur wordt er door twee pompen 480 m3_{water afgevoerd. Elke pomp voert 240} m3_{water af in 8 uur. Dat is 30 m}3_{water per uur.}

c. Na 10 uur pompen moet er nog 1900 m3_{water afgevoerd worden. Dat duurt nog} 1900

60 31,67 uur.

Na 41 uur en 40 minuten pompen is het zwembad leeg. d. Het zwembad heeft de vorm van een balk.

e. Als het zwembad vol is zit er 1900 10 60 2500   m3_{water in.} 2500 1250 50 25 2500 2 h h      In 2 3

41 uur neemt de hoogte met 2 meter af. Dat is 2 3

2

41 0,048 meter per uur

Na 24 uur is de hoogte 2 24 0,048 0,848   meter (84,8 cm).

f. h 2 0,048 t 1,40 0,60 0,048 0,048 0,60 12,5 t t uur     6 a. 20,5 11,5 20 0,45  _ 34,0 20,5 30 0,45  _ 43,0 34,0 20 0,45  _ b. Om 08:00 uur is de waterhoogte 11,5 10 0,45 7   cm 7 0,45 h  t

(3)

7

a. K_Coldpack 595 8 460 0,14 € 1110,20    en K_Iceman 690 8 340 0,14 € 1070,80   

Met de Iceman is meneer Huisman goedkoper uit. b. K_Iceman 690 t 340 0,14 690 47,6   t

c. 690 47,6 t 595 64,4 t

Voer in: y1690 47,6 x en y2 595 64,4 x intersect: x 5,65 Na 5 jaar en 8 maanden is de Iceman goedkoper.

8

a. Vermenigvuldigen met 910,15

835 1,09 b. De prijs is met 9% gestegen. c. 643,20

670 0,96

f   : de prijs is met 4% gedaald.

9 a. 10 100 1 1,10 g    d. 2,03 100 1 0,9797 g    b. 0,5 100 1 1,005 g    e. 300 100 1 4 g    c. 1,7 100 1 0,983 g    f. 0,01 100 1 0,9999 g    10 a. (1,4 1) 100 40   : 40% toename d. (0,997 1) 100   0,3: 0,3% afname b. (0,95 1) 100   5: 5% afname e. (3,05 1) 100 205   : 205% toename c. (1,02 1) 100 2   : 2% toename f. (0,01 1) 100   99: 99% afname 11

a. Bij een groei van 3% hoort een groeifactor van 1,03 b. c. _H __{9800 1,03}_ 7 __€12053 12 Op tijdstip 210 0,95 0 : 221 t  

De formule voor het aantal hazen wordt dan _H _221 0,95_ t Voor de andere tijdstippen: 199, 189, 180, 171

13 a. A: 6 3 2 126 2 1224 2 4824 2 exponentieel B: 300 400 0,75 225300 0,75 168,75225 0,75 1 2 94,92 168,75 ( ) 0,75 exponentieel C: 24 12 2 3624 1,5 niet exponentieel

b. groeifactor A is 2 en de groeifactor bij B is 0,75.

14

a. Bij een procentuele toename hoort een exponentiële groei.

b. in 2016: 6,47 1,042 6,74  miljoen en in 2017: 6,74 1,042 7,02  miljoen c./d. in 2014: 6,47

1,042 6,21 miljoen

tijd (in jaren) 2008 2009 2010

huurprijs (in euro’s) 9800 10094 10397

p p% g 1 100 q q% g 1 100        

(4)

15

a./b. 250

200 1,25

g   het aantal neemt per tijdseenheid met 25% toe.

c. t 4 : 250 1,25 312,5  en t 5 : 312,5 1,25 390,625  d. 200 1,25 1: 160 t   e. 200 0,75 150  f. vermenigvuldigen met 1 1,25 0,8 16

a. _{Opp z}_ 2_{: kwadratisch verband}

b. jaarlijkse verhoging van € 100,-: lineair verband c. procentuele toename: exponentieel verband

d. groeifactor van 3 per 5 maanden: exponentieel verband

17 a. b. De beginhoeveelheid is 500. c. 500 0,9_ t _100 Voer in: 1 500 0,9 x y   en y2 100 intersect: x15,3

Na iets meer dan 15 weken.

18

a. De algemene formule is: _{G b g}_{ } t_{. Hierin is b de beginhoeveelheid (de hoeveelheid} op tijdstip t 0) en g de groeifactor per week.

b. De groeifactor per week is 125

100 1,25 g  

c. Op tijdstip t 0 was de hond 100

1,25 80 gram.

d. _G_80 1,25_ t

e. _G__{80 1,25}_ 4 __195,3_{dat klopt dus wel aardig.}

19

a. _A_8,2 1,18_ t_{, hierin is A het aantal berichten in miljoenen en t de tijd in jaren.}

b. Voer in: _y₁_8,2 1,18_ x_en

2 35

y  en dan met intersect: x 8,77

In 2018 zullen er meer dan 35 miljoen berichten verwerkt worden.

20

a. 6655

6050 1,1 7320,506655 1,1

8052,55

7320,50 1,1: de groeifactor per jaar is 1,1. Dus de formule wordt: _B _6050 1,1_ t

b. _t __{9 :}_B__{6050 1,1}_ 9 _ _€14.265,58

21

a. De groeifactor per uur is 2.

b. Om 10.00 uur is de bedekte oppervlakte 0,4 2 2 1,6   cm2_.

c. 13.00 uur is 5 uur later. De bedekte oppervlakte is dan dus 5 keer verdubbeld; 5 keer met 2 vermenigvuldigd: _{0,4 2}_ 5 __12,8_cm2_.

tijd (in weken) 0 1 2 3

aantal vissen A 500 450 405 365

tijd (in weken) A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 100 200 300 400 500 600 -100

(5)

tijd (in dagen) H (in cc) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 d. Om 07.00 uur: 0,4 2 0,2 cm2 en om 06.00 uur: 0,22 0,1 cm2.

e. _O_0,1 2_ t_{met t de tijd in uren.}

f. Om 16.00 uur is t 10. g. De oppervlakte is dan _{0,1 2}_ 10 __102,4_cm2_. 22 a. De groeifactor is 400 500 0,80 en de beginhoeveelheid 500: N 500 0,80 t b. De groeifactor is 5400 4500 1,2 en de beginhoeveelheid 4500_1,22 3125: N 3125 1,2 t 23

a. Hij raakt per dag 1

4 deel kwijt; er blijft iedere dag 34 over, dus de

vermenigvuldigingsfactor per dag is 0,75. Na twee dagen is er nog _{8 0,75}_ 2 __4,5_cc geneesmiddel in het lichaam.

b. Er moet steeds met 0,75 vermenigvuldigd worden. (een procentuele afname).

c. _H _{ }8 0,75t_{, hierin is t de tijd in dagen.}

d. Voer in: _y₁_{ }8 0,75x_en 2 1

y  intersect: x 7,2

Na iets meer dan 7 dagen is er nog 1 cc over. e. Na drie dagen is er 3,375 cc geneesmiddel in het

lichaam. Er wordt dan weer 8 cc bijgespoten. De afname verloopt dan volgens de volgende formule:

11,375 0,75t

H  

Voer in: y111,375 0,75 x en y2 1. intersect: x 8,45 Na ongeveer 11,5 dagen is er nog 1 cc medicijn in het lichaam.

24

a. Om 10.30 uur: _N __{900 1,5}_ 1_₁₃₅₀_{en om 11.00 uur:}_N __{900 1,5}_ 2 _₂₀₂₅ b. Voor een half uur terug in de tijd moet je steeds delen door 1,5

c. Om 9.30 uur: 900 1,5 600 N   ; om 9.00 uur: N _1,59002 400 en om 8.00 uur: 4 900 1,5 178 N   25 a. 25,4 miljoen berichten b. ₂0 _₁ c. In 2002: 25,42 12,7 miljoen d. _{25,4 2}_ 1__12,7 1 12,7 1 25,4 2 2 _ _ e. f. 2 6,35 1 25,4 4 2 _ _ 26 a. _A__{1450 0,7}_ 20 __{1817 218,72} b. 1450 0,7_ t _10000000 Voer in: 1 1450 0,7 x y   en y2 10000000 intersect: x  24,78

25 maanden voor t 0 was de hoeveelheid groter dan 10 miljoen.

t -3 -2 -1 0 1 2

(6)

27 a. g 0,83 en b0,6 b. _P __{0,6 0,83}_ 2 __0,87 c. 0,6 0,83_ t _0,5 Voer in: _y₁_0,6 0,83_ x_en 2 0,5

y  intersect: x 0,98 uur (59 minuten) Hij had pas om 01.59 uur naar huis mogen rijden.

28

a. De grafiek gaat door het punt (0, 200)

b. _N _200 1,08_ t

c. Voer in: y1200 1,08 x en y2 3000 intersect: x 35,2 Na ruim 35 dagen groeit dit aantal niet meer exponentieel.

d. _t _{ }_{15 :}_N__{200 1,08}_ 15 _₆₃ _t _{ }_{30 :}_N __{200 1,08}_ 30 _₂₀

e. Op tijdstip t  100 zijn er volgens de formule 0,09 bladluizen. Dan zijn er nog geen bladluizen.

29

a.

b. De groeifactor per uur is 3.

c. De groeifactor per drie uur is 3,240,12 27 3 3, en per vijf uur

5 29,16

0,12 243 3

d. Voor elk uur moet je vermenigvuldigen met 3. Voor 5 uur moet je 5 keer met 3 vermenigvuldigen; dus met _{3 3 3 3 3 3}_{    } 5

e. De groeifactor per zes uur is ₃6 _₇₂₉_{. Controle:}_{0,12 729 87,48}_ _ _{: klopt.}

30 a. gdag 3,24 b. 1 2: 1800 t  N t 1:N 3240 1 2 1 : 5832 t  N  t 2 :N 10498

c. Elke halve dag moet je met 1,8 vermenigvuldigen. d. g_{halve dag} 1,8

31

a. De groeifactor per 10 jaar is _1,0210 __1,22 b. De groeifactor per jaar is _1,00252 __1,11

32

a. De groeifactor per maand is 1 12

1,6 1,04

b. De groeifactor per week is 1 4 1,5 1,11 33 a. g24uur 1,60 8 24 8uur 1,60 1,17

g   17% toename per 8 uur. b. g5jaar 0,96

1 5

0,96 0,9919

jaar

g   0,8% afname per jaar. c. g_maand 1,0115 _1,011512 _1,147

jaar

g   14,7% rente per jaar.

tijd in uren 10 11 12 13 14 15 16

(7)

34 a. _N _500 2_ t _b. 4 4weken 2 16 g   c. 217 1,104 dag g   35 a. g4jaar  291636 81 b. 8114 3 jaar g  

c. dat is een groei van 200% per jaar

d. De beginhoeveelheid is 36₃2 4, dus A 4 3t

e. De groeifactor per maand is 1 12 3 1,096, dus _A_{ }4 1,096t 36 a. g10jaar 16,615,9 1,0440 b. 1,0440101 1,0043 jaar g  

c. In 2004: _N __{15,9 1,0043}_ 4 __16,0_{. Niet in overeenstemming: de werkelijke groei is} minder.

d. _N __{15,9 1,0440}_ 10 __24,5 _{Dat is nog niet verdubbeld.}

37 a. 10 5 2 1020 2 4020 2 exponentieel: h 5 2t b. 20 24  4 16 20  4 12 16  4 lineair: h  4t 24 c. 10,5 9 1,5  12 10,5 1,5  13,5 12 1,5  lineair: h1,5t 9 d. 1 10 0,1 0,11 0,1 0,01 0,1 0,1 exponentieel: h10 0,1 t 38 a. g5730jaar 0,50 1 573 10jaar 0,50 0,9988

g   afname met 0,12% per 10 jaar b. g_maand 1,0035 _1,003512 _1,0428

jaar

g   4,28% rente per jaar. c. g3jaar 4,16

1 3

4,16 1,608

jaar

g   toename van 60,8% per jaar

39 g10jaar 1,4, dus 1 10 1,4 1,034 jaar g   In 2027: _W _{ }_{6 1,034}127 __430,5_{miljoen m}3_. 40

a. _H _840 0,997_ t_{met t de tijd in minuten.}

b. _t __{60 :}_H __{840 0,997}_ 60 _₇₀₁_mg. c. afgenomen met 840 701 840 100% 16,5% d. 840 0,997_ t _600 Voer in: y1840 0,997 x en y2 600 intersect: x112 minuten e. _{H t}( ) 840 0,997_ _ t_{voor de eerste 240} minuten Na 240 minuten: H 408 mg 240 ( ) 908 0,997t

H t _ _  _{voor de volgende 240 minuten;}₂₄₀_{ }_t ₄₈₀ Na 480 minuten: H 441. Dus voor t 480 geldt _{H t}_{( ) 941 0,997}_ _ t480

tijd (minuten) H 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -100

(8)

41 2 92 205 0,4488 g   , dus 1 2 0,4488 0,6699 g  

Dus op tijdstip t 0 zijn er _0,66992053 682 kakkerlakken

42 a. V 5000 80 t b. t 30 :V 5000 80 30 2600   g vocht c. d. V 0 5000 80 0 80 5000 62,5 t t t    

Na 62,5 minuut is het graan helemaal droog. e. de groeifactor per 10 minuten is 0,5

f. zie de figuur

g. de groeifactor per minuut is 1 10 0,5 0,933 5000 80_ _t _5000 0,933_ t Voer in: y15000 80 x en 2 5000 0,933 x y   intersect: x 61,6

Na 62 minuten hebben beide machines evenveel vocht afgevoerd.

43

a. 12060

13400 0,90 1085012060 0,90 108509770 0,90 87909770 0,90

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk en kleiner dan 1, dus een exponentiële afname.

b. 13400 0,90_ t _5000

Voer in: 1 13400 0,90 x

y   en y2 5000 intersect: x 9,36 Na ruim 9 jaar zijn er nog 5000 veldmuizen over.

tijd (in minuten) vocht (in grammen)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 -5 -10 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -1000 tijd in minuten 0 10 20 30 vocht in grammen 5000 2500 1250 625

(9)

Test jezelf

T-1

a. Bij elke 100 meter dalen stijgt de temperatuur 3°.

b. T 17 0,03 d c. T 17 0,03 680 37,4    d. 17 0,03  d 30 13 0,03 0,03 13 433,33 d d     T-2

a. g  2217,492142,50 1,035 Joost krijgt 3,5% rente per jaar. b. op 1-1-2014: 2217,49 1,035 € 2295,10  c./d. op 1-1-2011: 2 2142,50 1,035 € 2000, T-3 a.

b. Je moet elke keer met 0,75 vermenigvuldigen: _h_160 0,75_ s

c. 160 0,75_ n _30

Voer in: 1 160 0,75 x

y   en y2 30. intersect: x 5,82. Na 6 keer stuiteren is de hoogte voor ’t eerst onder de 30 cm.

T-4 a. _A_1250 1,3_ t b. Op 1 januari 2018: _A__{1250 1,3}_ 6 _₆₀₃₄_ratten. c. Op 1 januari 2010: _A__{1250 1,3}_ 2 _₇₄₀_ratten. d. 1250 1,3_ t _500 Voer in: _y₁_1250 1,3_ x_en 2 500 y  intersect: x  3,5

Op 1 januari 2008 waren er voor ’t eerst meer dan 500 ratten.

T-5

a. De groeifactor per jaar is 0,9

b. De groeifactor per 10 jaar is _0,910 __0,35 c. De groeifactor per maand is 1

12

0,9 0,99 afname van 1% per maand d. Voer in: 1 9,3 0,9

x

y   en y2 1. intersect: x 21,2 jaar later.

T-6

a. _A_73000 1,02_ t

b. Het aantal woningen kan berekend worden met de formule: W 25000 500 t. In elke woning leven gemiddeld maximaal 3 mensen. Het maximale aantal inwoners is

dan 3W  3 (25000 500 ) 75000 1500 t   t

c. In 2006 is er voor 75000 inwoners een woning. Voldoende woonruimte dus. d. Voer in: y173000 1,02 x en y2 75000 1500 x. intersect: x 13,18.

Na 14 jaar is er te weinig woonruimte.

aantal keer stuiteren 0 1 2 3 4

(10)

e. De formule voor het maximaal aantal inwoners wordt dan

3(25000 800 ) 75000 2400 t   t. intersect met y1: x 49.

Na 49 jaar is er dan een woningsnood.

T-7 a. 17 13 10 ( ) 1,193 1 4 34 17 ( ) 1,189 1 6 96 34 ( ) 1,189 1 9 390 96 ( ) 1,169

Tot en met 21 september is de groeifactor per dag vrijwel gelijk aan 1,19. De groei is vrijwel exponentieel. b. 580 550 2 15  _ 625 580 3 15  _ 850 625 14 16 De groei van 1 tot en met 20 oktober is constant: 15000

550 15

A  t met A het aantal sprinkhanen in duizendtallen en t de tijd in dagen na 1 oktober.

Extra oefening Basis

B-1

a. lineair: je betaalt vaste kosten en een bedrag per kWh. b. Nee. Dit is alleen lineair als je met constante snelheid fietst. c. Nee, bij een procentuele afname hoort een exponentieel verband. d. lineair.

B-2

a. toename van 54% d. toename van 1,25% b. afname van 22% e. afname van 0,7% c. toename van 0,3% f. afname van 99,9%

B-3 a. 23 100 1 1,23 g    d. 3 100 1 1,03 g    b. 11,3 100 1 1,113 g    e. 200 100 1 3 g    c. 1,9 100 1 0,981 g    f. 0,9 100 1 0,991 g    B-4

a. _N _90000 0,92_ t_{met t de tijd in jaren.}

b. _t __{2 :}_N __{90000 0,92}_ 2 _₇₆₁₇₆

c. 90000 0,92_ t _50000

Voer in: y190000 0,92 x en y2 50000 intersect: x 7,05 In 2010 zijn er minder dan 50000 insecten.

B-5 a. 194,48185,55 1,048 204,21 194,48 1,050 214,42 204,211,050 met 1,05 b. 1 januari 2000: 2 185,55 1,05 €168,30

(11)

B-6 a. _1,087 _1,7138 week g   b. 1,08241 1,0032 uur g   c. 244 4uur 1,08 1,0129 g  

Extra oefening Gemengd

G-1

a. _V _1250 1,13_ t_{met t de tijd in jaren.}

b. _B_50 1,046_ t_{met t de tijd in jaren.}

c. _N _100 4_ t_{met t de tijd in kwartieren.}

G-2

a. _t _{ }_{2 :}_A__{54000 1,07}_ 2_₄₇₁₆₆

b. _t __{3 :}_A__{54000 1,07}_ 3 _₆₆₁₅₂

c. 1,0715 1,0136

jaar

g   Een toename met 1,36% per jaar.

G-3

a. 1) lineair: de afname is elke keer 4 v  8 4u

2) exponentieel: elke keer vermenigvuldigen met 4 _y _{ }2 4t 3) 7 2

3 1 2,5 en 14,5 76 3 2,5 

  , dus lineair l  0,5 2,5 k

4) exponentieel: elke keer vermenigvuldigen met 0,8 _y _125 0,8_ t b. -8 -12 -16 -0,5 4,5 9,5 12

512 2048 8192 125 100 40,96 32,768

G-4

a. g_maand 0,95

b. 300 0,95_ t _100

Voer in: y1300 0,95 x en y2 100 intersect: x 21,42 maanden De gemeente zal 22 maanden moeten wachten.

c. Doorspoelen gaat sneller, alleen zijn er extra kosten aan verbonden. 300 20 100 20 200 10 t t t    

De gemeente kan na 10 maanden (12 maanden eerder) al bouwen.

Kosten doorspoelen: € 10000,- 12 maanden minder uitstel: € 12000,-Doorspoelen levert uiteindelijk € 2000,- op.

(12)

Uitdagende opdrachten

U-1

a. de toename per jaar is 101,5 98,7 2,8  S_l 98,7 2,8 t

98,7 2,8  t 300 2,8 201,3 71,9 t t   

Na 72 jaar wordt de straling schadelijk.

b. de groeifactor per jaar is 101,598,7 1,028 98,7 1,028 t e S   98,7 1,028_ t _300 Voer in: _y₁_98,7 1,028_ x_en 2 300 y  intersect: x 40,3

Na 41 jaar wordt de straling schadelijk.

U-2 a. standaard: B 17,85 0,0635 v 17,85 0,0635 221,05 0,0635 203,2 3200 v v v kWh       b. 17,85 0,0635 v 0,0814v 35,70 0,0602 v 17,85 0,0635 v 0,0179 17,85 997,2 v v   0,0033 17,85 5409,1 v v  

Vanaf een verbruik van 998 kWh is het Vanaf een verbruik van 5410 kWh is keuze tarief Standaard voordeliger. het keuze tarief Plus voordeliger.

U-3

a. 52

80 0,65 3752 0,71 niet gelijk, dus niet exponentieel b. verschillen: 60 32 17 9 5

32

60 0,53 17320,53 179 0,53 en 59 0,56 de groeifactoren zijn ongeveer gelijk. c. Voor grote waarden van t wordt 0,881t_{vrijwel gelijk aan 0.}

60 0,881_ t_{wordt dan ook bijna 0 en de temperatuur komt dan steeds dichter in de}