1 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken 50
, 602 1 , 0
903 , 0 ) 4 log(
) 8 : log(
) 8 log(
8
4 4
=
=
==
=
→
=
x afgerond
x x
84 , 146 6 , 0
1 ) 4 , 1 log(
) 10 : log(
) 10 log(
: 10
4 ,
1 1,4
=
=
==
=
→
= a afgerond
a exact
a
10 4
0001 ,
0 = −
1000 2
97 , 301 9 , 0
3 )
2 log(
) 1000 ) log(
1000 log(
:
1000 2
:
) 1000 log(
1000 2
97 , 9 2
) 1000 log(
2 2
=
→
=
=
=
=
=
→
=
afgerond exact
x x
222 , 5 6 ) 3 log(
) 2 log(
) 10 log(
) 6 log(
) 10 6 log(
523 , 1 2 477 , 0 ) 100 log(
) 3 log(
) 03 , 0 log(
204 , 1 301 , 0 4 ) 2 log(
4 ) 2 log(
) 16 log(
6 6
4
−
=
− +
= +
=
⋅
−
=
−
=
−
=
=
×
=
=
=
−
−
079 , 6 5 ) 3 log(
) 2 log(
2 ) 10 log(
) 12 log(
) 10 12 log(
704 , 0 477 , 0 4 301 , 0 4 ) 3 log(
4 ) 2 log(
4 ) 3 2 log(
385 , 2 477 , 0 5 ) 3 log(
5 ) 3 log(
5 5
4 4 5
= + +
= +
=
⋅
−
=
−
×
−
×
=
−
=
⋅
=
×
=
=
−
) 3 ) log(
2 log(
) 3 log(
) 2 log(
3 ) 3 log(
3 ) 2 log(
) 3 log(
) 8 log(
) 27 ) log(
27 log(
) 3 ) log(
2 log(
) 3 log(
) 2 2log(
1 ) 3 2log(
1
) 2 log(
) 3 ) log(
3 log(
) 3 ) log(
2 log(
) 3 log(
) 2 log(
2 ) 3 log(
2 ) 2 log(
) 3 log(
) 4 log(
) 9 ) log(
9 log(
) 27 log(
) 3 log(
) 9 log(
) 3 log(
2 3
3 8
2 2
1 2 1 2
2 2
2 4
8 2
4 2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= Uitwerkingen hoofdstuk 5
5. Exponentiële en logaritmische functies.
Opgave 5.1 Basisberekeningen met logaritmen a
b
c d
log(2) = 0,301 ; log(3) = 0,477 e
f
g
h
4
4log(3)= 3
2 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken )
1 ( ) 1 ( )
( ) (
2 2
) ( ook en 2 ) 2 ( 2
) 2 ( 2) (1 )
( 1 2 ( )
f h
ofwel x
f x h
x h h
x
h x x x x x
=
−
=
−
→
=
=
−
=
→
=
=
= − − − −−
afgerond x
exact x
x f
x 1,58
) 2 log(
) 3 ) log(
3 log(
3 2
3 ) (
10 10
2 = =
=
→
=
=
3 2
) 3
log(
log(3)2 2
=
= of
x
i
2
2log(5)= 5
Opgave 5.2 Onderzoek naar de betekenis van de exponent.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van f(x) = 2x ; g(x) = 7x ; h(x) = (1/2)x ; k(x) = (1/7)x
a
De grafiek van f(x) (A) en de grafiek van h(x) (D) zijn gespiegeld t.o.v. de y-as.
b f(x) : A f(1)=2 g(x) : B g(1)=7 h(x) : D
12 ) 1 ( = h k(x) : C
17 ) 1 ( = k
c h(x)>k(x)→(12)x >(17)x alsx>0 d
x is de exponent die bij het grondtal 2 de waarde 3 oplevert
wiskundig :
3 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken
x x
x x
f( )=3 +1 =3 ⋅31 =3⋅3
x x
x x
g 2
4 2 1 2 2 )
( = −2 = ⋅ −2 = ⋅
x x
x x
g( )=42 =(42) =16
x x
x x
x x
k( )=32 +4 =(3)2 ⋅34 =(32) .34 =9 ⋅81=81⋅9
x x
x x
l .5
5 5 1 5 5 )
( = −1 = ⋅ −1 =
x x x x
x
m( ) 9 (9 ) ((3 )2) 3
1 2 2
1 2 1
=
=
=
=
x x
x x
n )
6 (1 ) 6 ( 6 )
( = − = −1 =
x a a
x b b
b x
p( )= + = ⋅
afgerond x
exact x
x f
x
g x
x x
55 , ) 0 5 , 3 log(
) 2 ) log(
2 log(
2 5 , 3 2 2
2 7 ) (
) (
5 ,
3 = =
=
=
→
=
→
=
x x x
x
k 7
7 1 7)
(1 1 ) (
1 = = =
−
7 , ) 9 019 , 1 log(
) 2 , 1 ) log(
2 , 1 log(
2 , 1 019 , 1 05) , 1
07 , (1 2 , 1
05 , 1
07 , 1 1000 ) 1200 07 . 1 ( 1000 )
05 , 1 ( 1200
) 07 , 1 ( 1000
) 05 , 1 ( 1200
019 ,
1 = =
=
→
=
→
=
→
=
→
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
x K
K
x x
x x x
x x B
x A
107 1501 1608 )
07 , 1 ( 1000 )
05 , 1 (
1200⋅ 6− ⋅ 6 = − =
=
− B
A K
K e
f
Opgave 5.3 Herleiden van de exponent.
a b c d e f g h
Opgave 5.4 Kapitaalgroei berekenen.
A heeft een kapitaal van 1200 en krijgt 5% rente per jaar.
B heeft een kapitaal van 1000 en krijgt 7% rente per jaar.
a
Na 9,7 jaar is het kapitaal van A gelijk aan dat van B b
4 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken C
15 ) 4 , 1 ( : afgerond
C 2 , 15 2)
(1 40 ) 4 , 1 ( 4
, 10 1 14 2) (1 ) 0 ( ) (
0
0 4
, 1
12
=
∆
=
⋅
=
∆
→
=
=
→
=
⋅
∆
=
∆
T
T T n
n t
T n
T n
n
n T n
T n
T )
2 (1 40 ) ( 2)
(1 ) 0 ( )
( =∆ ⋅ →∆ = ⋅
∆
C T
T 2 ) 10 0
4 (1 40 ) 2 ( 2)
(1 40 ) 2
( = ⋅ →∆ = × =
∆
min 20 2
) 2 5 , 0 log(
) 25 , 0 ) log(
25 , 0 log(
5 , 0 25 , 0
2) (1 40 ) 10 2 (1 40 10 10
12
5 , 0
=
×
=
→
=
=
=
→
=
→
=
→
×
=
→
=
∆
T t
n T
n
n n
c
Opgave 5.5 Afkoelcurve.
Een heet voorwerp heeft een temperatuurverschil van 60 0C met de omgeving. De omgeving heeft een temperatuur van 20 0C.
Het temperatuurverschil (ΔT) met de omgeving koelt af met een halfwaardetijd (T1/2) van 10 min. Dat betekent dat ΔT iedere 10 minuten gehalveerd wordt.
Het aantal keer 10 minuten is de variabele n.
Dus ΔT (0) = 40 0C, ΔT (1) = 20 0C , ΔT (2) = 10 0C enz.
a
b
c
d
9,7 jaar
107
5 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken
600
600 1 600
600 12
2 40 20 )
(
2 40 )
2 ( 40 2)
(1 40 ) (
600
t omgeving
t t
t
T T
t T
t T
t T n t
−
− −
⋅ +
=
∆ +
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
∆
=
=
x
y x
y factor is x bij
3 3 1
1 ) 0 ( 3 1
=
⋅
=
=
×
=
∆
y x
y factor is x bij
4 2
2 ) 0 ( 4 1
⋅
=
=
×
=
∆ e
Opgave 5.6 Herleiden van de exponent.
Stel het functievoorschrift op dat op bij de volgende waarden hoort:
a
b
6 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1
min 36 20
min 60 12
2
× =
=
→
= n
T n t
36
36 2
2 1 ) 36 ( 2
) 0 ( )
(n = N ⋅ →N = × =
N n
y x
y factor
is x bij
) 5 , 0 ( 120
120 ) 0 ( 5 , 0 1
⋅
=
=
×
= c ∆
Opgave 5.7 Ook bacteriёn groeien exponentieel.
a
b
c Op de verticale as staat de exponent bij het grondtal 10.
Deze is toegenomen van 1 tot 6, dus het aantal N is toegenomen van 101 tot 107.
d
1 10 100 103 104 105 106
0 60 120 180
7 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken x x
g( )=−2
5 , 1 ) 1 ( A grafiek 5
, 1 ) (
3 ) 1 ( D grafiek 3
) (
) ( 2 ) ( C grafiek 5
. 1 2 ) (
5 , 1 ) 1 ( B grafiek 5
, 1 ) (
−
=
−
=
+
=
=
×
=
×
=
=
=
f x
k
f x
h
x f x
g x
g
f x
f
x x
x x
x x
x
a
a a
−
−
−
=
=
−
=
→
=
=
5 , 0 ) 5 , 0 ( 2
1 2
5 , 0 2
1
x x
x
a a
71 , 1 71
, 1
71 , 1 5
, 1
5 , 1 ) 5 , 1 ( 2
5 , 1 2 71 , ) 1 5 , 1 log(
) 2 ) log(
2 log(
5 , 1 2
=
=
=
→
=
=
=
→
=
Opgave 5.8 Onderzoek exponentiële grafieken.
In onderstaande grafiek zijn 4 exponentiële grafieken getekend.
Opgave 5.9 Kengetallen bij exponentiële functies.
a
g(x) heeft de tegengestelde waarde van f(x). Dus als f(1)= 2 dan g(1) = -2 De grafiek van g(x) is dus f(x) gespiegeld t.o.v de x-as.
b h(x) = 2∙2x
h(x) heeft een waarde die 2x zo groot is dan f(x). Dus als f(1)= 2 dan h(1) = 4 De grafiek van h(x) is dus de grafiek van f(x) maar dan een factor 2 ‘uitgerekt’.
c k(x)=2x−2 =2x ⋅2−2 =0,25⋅2x
k(x) heeft een waarde die 0,25x zo groot is dan f(x). Dus als f(1)= 2 dan k(1) = 0,5 De grafiek van k(x) is dus de grafiek van f(x) maar dan een factor 4 ‘ingedrukt’.
d l(x)=2x+1 =2x⋅21=2⋅2x l(x) is dus dezelfde als h(x).
e m(x)=0,5⋅2x =0,5⋅ f(x) f n(x)=2x +2= f(x)+2
De grafiek van f(x) wordt dus 2 naar boven opgeschoven
g ( )
2 2 1 2 )
(x 1 f x
p = − ⋅ x = ⋅ zelfde als m(x) h q(x)=(2x)2 =(f(x))2
Alle waardes van f(x) worden gekwadrateerd . i r(x)=4x =(22)x =(2x)2 =(f(x))2 zelfde als q(x)
j s x x x
2 2 1 )
( = − = als f(1)=2 dan
2 ) 1 1 ( = s
Dus als f(x) is klein dan s(x) is groot en omgekeerd.
Opgave 5.10 Exponentiële functie met verschillende grondtallen.
x x
f( )=2
8 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken 0
0 )
1 log(
) 10 log(
1 10
0 0
) 1 log(
) 10 log(
1 10
1 10
<
→
>
−
→
>
→
>
=
→
=
−
→
=
→
=
>
=
−
−
−
−
−
pH pH
pH pH
c c
pH pH
pH pH
pH
60 , 0 ) 25 , 0 log(
) 25 , 0 log(
) 10 log(
25 , 0 10
25 , 0 10
=
−
=
→
=
→
=
=
=
−
−
−
pH c
c
pH pH
pH
mol/L 1 10 10
0 =
=
= − c
c pH
x x x
a a
5 , 0 5 , 0
5 , 0
4 ) 4 ( 2
4 2 5 , 0 4
2
=
=
=
→
=
→
=
x x
x
a a
= ⋅
=
=
→
=
→
=
3 , 0 30
, 0
30 , 0
10 ) 10 ( 2
10 2 ) 2 log(
10 2
x x
x
a a
= ⋅
=
=
→
=
→
=
151 , 0 151
, 0
151 , 0 100
10 ) 100 ( 2
100 2 ) 2 log(
100 2
molL 10 10
) 2 (
molL 10 ) 2 (
12 )
14 2 (
2
−
−
−
=
=
= g
f
30 , 2 :
) 005 , 0 log(
) 005 , 0 log(
10 005 , 0
=
−
=
→
=
−
→
= − x afgerond
x
x x
) 2 log(
) 2
log( 1,5
5 ,
1
2 1 , 5
5 , 1
2 = →
x=
x⋅exact
of
) 2 log(
) 2
log(
2 10
10
2 = →
x=
x⋅exact
of
) 2 log(
) 2
log( 100
100
2 100
100
2 = →
x=
x⋅exact
of
Opgave 5.11 Exponentiële functie c(H3O+) = 10-pH a
b
c
Opgave 5.12 pH-waarde is een exponent.
c = 10-pH f(x) = 10 –x g(x) = 10(x –14)
f(x) is de concentratie van de H3O+-ionen van een oplossing g(x) is de concentratie van de OH- ionen van een oplossing.
x is de pH ; (14 – x) = pOH a
b
c Als x = 8 dan f(x)=10−8 Als x > 7 dan f(x)<10−7
9 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken
x y lijn de v o t gespiegeld zijn
x y
en y
x y
y x
y
x x
=
′=
=
′=
→
=
→
=
. . . )
log(
2
) log(
) log(
2
2
2 2
Opgave 5.13 Inverse functies
Bepaal de inverse functie van :
a 2
1 2 1 2
1 2 1 1
2 1
2 + → = − → = − → ′= −
= x x y x y y x
y
Eerst wordt de functie x(y) opgesteld.
Van de functie van x(y) wordt x nu uitgezet op de verticale as en krijgt het symbool y’ of yinv en y op de horizontale as en krijgt het symbool x.
De grafiek
2 1 2 1 −
′= x
y en die van. y=2 +x 1 zijn gespiegeld t.o.v.
de lijn y = x
Ander voorbeeld uit de praktijk van het lab:
Voor het verband tussen extinctie (E) en concentratie (c) geldt:
3 , 0 2 ,
0 +
= c
E Dit is de functie E(c) Je kunt ook c als functie van E geven
5 , 1 2 5
, 0
3 , 0 2 , 3 0
, 0 2
, 0 3 , 0 2 ,
0 + → = − → = − → = −
= E c E
c E
c c
E
Als je E verticaal uitzet tegen c dan krijg je: y=0,2x+0,3 Als je c verticaal uitzet tegen E dan krijg je: y′=5 −x 1,5 y en y’ zijn elkaars inverse functies.
Afhankelijk van wat je wil bepalen gebruik je y(x) of y’(x) ofwel E(c) of c(E).
b
10 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken
2 )
2 ( )
2 ( 2
2 2
2 + → = − → = − → ′= − ≥
=x x y x y y x metx
y
3 3 3 1
3 1 3
) 2 (2 2)
2 (
2 x
y x of
y y y x
x x
y= → = → = → ′= ′=
23 23
32
0
x y y x x y x x y
x x x y
′=
→
=
→
=
→
=
≥
=
1 0
2 2 want grafiek
: ) 2 2 log(
5 als 1 ) 2 log(
want grafiek
: ) 2 log(
10 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
−
>
→
>
+ +
=
=
=
=
x x
x
x x
x
x x
x
C B A
4 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
2 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
10 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
4 4
2 2
=
=
=
=
=
=
x x
x
x x
x
x x
x
B A C
) log(
3 ) log(
want grafiek
: ) log(
) ) log((
) log(
en ) log(
2 ) log(
want grafiek
: ) log(
10 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
3 3
2 2
2 2
x x
x
x x
x x
x
x x
x
×
=
−
=
×
=
=
=
B A C c
voor de functie 3 2
y =′ x geldt dat x ≥ 0
d
e y = x2 + 2 geldt voor alle waarden van x of −∞<x<∞ of x ∈R
Opgave 5.14 Logaritmische grafieken.
a
b
c
11 uitwerkingen exponentiële en logaritmische functies 2013©Vervoort Boeken 30
, 1 ) 30 , 1 ( ) 05 , 0 log(
] log[ 3
=
=
−
−
=
−
=
−
= +
pH
O H pH
5 ) 10 log(
4 ) 10 log(
] log[
5 4 3
=
−
=
=
−
=
−
=
−
− +
pH pH
O H pH
mol/L 200 , 0 10 ] [ ] log[
7 , 0 ] log[
7 , 0
] log[
7 , 0 3
3 3
3
=
=
→
=
−
→
−
=
−
=
− + +
+ +
O H O
H O
H O H pH
10 als 3 ) log(
3 want grafiek
: ) log(
3
) log(
5 ) log(
want grafiek
: ) log(
10 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
5 5
=
=
×
=
=
=
x x
x
x x
x
x x
x
B A C
10 als 2 ) log(
2 want grafiek
: ) log(
2
) log(
3 ) log(
want grafiek
: ) log(
10 als 1 ) log(
want grafiek
: ) log(
3 3
=
−
=
−
−
×
−
=
=
=
−
−
x x
x
x x
x
x x
x
B C A
1 10
10 10
1 , 0
10
1 = → =
→
=
→
=
−
−
−
−
E T
E E
E
% 6 , 61 616
, 0 10
210 , 0
210 ,
0 = =
=
=
− of T
T E
% 5 , 78 785 , 0 10
105 , 0 E L dan 5mmol als
210 , 0 E L dan 10mmol als
105 ,
0 of
T c
c c k E
=
=
→
=
=
=
=
⋅
=
−
d
e
Opgave 5.15 pH = -log[H3O+] a
b
De pH neem toe met 1 als de concentratie 10x zo klein wordt c
Opgave 5.16 Grafiek van E = -log(T)
Als je de transmissie T schrijft als een macht met grondgetal 10 dan is de exponent de -extinctie (-E).
Als T = 1 (100% doorlatend) dan E = 0 a
b c
d Het meetgebied 0,2 < E < 0,6 is het meest geschikt omdat de transmissie hierbij een waarde heeft tussen 10-0,2 = 0,63 en 10-0,6 = 0,25 , ofwel tussen 63% en 25%.
Bij zeer lage en zeer hoge waardes van T is E niet evenredig met de concentratie.
