Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk 5
5. Exponentiële en logaritmische functies.
R1 Wat is het verschil tussen een machtsfunctie en een exponentiële functie?
Bij een machtsfunctie is het grondtal de variabele.
Voorbeeld: f(x)=2x3
Bij een exponentiële functie is de exponent de variabele.
Voorbeeld: f(x)=3x
R2 Wat is het verschil tussen de grafiek van 2x en -2x ? 2 heeft de tegenovergestelde waarde van x −2x. Als 2 = 3 dan x −2x= -3
De functie (-2)x niet gedefinieerd omdat a niet gedefinieerd is x als a < 0 en x een gebroken getal is.
(-2)10 bestaat wel en (-2)10,1 niet.
R3 Waarom is 2x + 1 hetzelfde als 2∙2x ?
x x
x 2 2 2 2
2 +1 = 1× = ⋅
Als je de grafiek van 2x een schaaldeel naar rechts verschuift krijg je de grafiek van 2x/2.
De grafiek van 2(x−1)is 1 schaaldeel narr rechts verschoven t.o.v.
de grafiek van 2 . x 2 2 2 2( 1) 21 x
x
x− = =
Waarom is 4x hetzelfde als (2x)2 ?
x x
x
x (22) (2 )2 22
4 = = =
R4
Als 2x = 10 dan 2-x = 0,1 Waarom?
1 , 0 2 10 ) 2 ( 10
2x = → x −1 = −1 → −x = Zijn 2x en 2-x reciproke functies?
x x
=2−
2
1 Dus 2 en x 2−x zijn reciproke functies
Als 2 =x 3 dan
3 2−x =1
R5 De grafiek van 2∙2x + 2 krijg je als de grafiek van 2 een x factor 2 uitgerekt wordt en vervolgens 2 schaaldelen naar boven verschoven wordt.
5.1
0 =1
=a abx
) 2 log(
) log(
) 2 log(
10 10
10 10
2 2
) log(
) 2 log(
) log(
) 2 log(
) 2 log(
+
=
=
×
=
×
=
+
x x
x x
x x
x
) log(x
) 2 log( x
R6 Waarom gaan alle grafieken van f(x) = abx door het punt (0; 1)?
ongeacht de waarde van a en b
R7
R8
log(x) of 10log(x is de exponent bij het grondtal 10 zodat je de ) waarde x krijgt. Dus 10log(x) =x
) log(
3 ) log(
3 x = ×10 x 3log(x) en 3log(x) is de exponent bij het grondtal 3 om de waarde x te krijgen.
Waarom is log(x3) = 3∙log(x)?
De exponent van x is 3× zo groot als de exponent van 3 x 1 R9 De grafiek van –log(x3) is gespiegeld t.o.v. de grafiek van
log(x3).
Dit is een spiegeling t.o.v. de x-as
–log(x3) is hetzelfde als log(x -3) Waarom?
) log(
) log(
)
log( 3 = 3 −1= −3
− x x x
R10 log(2x) = log(x) + log(2)
Wat is het verschil in grafiek tussen log(x) en log(2x) ?
De grafiek van y =log( x2 ) heeft dezelfde vorm als de grafiek van y =log(x), alleen is deze log(2) = 0,3 schaaldeel naar boven verschoven.
5.2
) 5 log(
) log(
5) log(
10 10
5 10 10 10 10 5
) 5 log(
) ) log(
log( 5 5) log(
) 5 log(
) log(
) 5 log(
) log(
−
=
→
=
→
=
=
=
−
−
x x x
x
x x x
x x
) log(x
5) log(x
) 2 log(
) 3 ) log(
3 log(
10 ) 10 (
2 10 3 10 3 2
) 2 log(
) 3 log(
) 3 log(
2 2
=
→
=
→
=
→
=
=
=
=
=
=
=
c a b b ac
en en
c b a
b a c
c b
a
) 3 log(
) 2 log(
) 3 log(
) 3 log(
) 2 log(
3
22log(3) = → 2log(3) = →2 ⋅ =
R11 )
log(5x
= log(x) – log(5) Waarom?
Wat is het verschil in grafiek tussen log x en ) log(5x
?
De grafiek van )
log(x5
y = heeft dezelfde vorm als de grafiek van y =log(x), alleen is deze log(5) = 0,7 schaaldeel naar beneden verschoven
R12 Waarom is 2log(3)gelijk aan ) 2 log(
) 3 log( ?
Stel
of
5700 1
1 - 12
2 ) 0 ( 5 , 0 ) 0 ( ) (
2 ) 2 ( 5 , 0 2 0,5
jaar) in 5700 (
5 , 0 ) 0 ( ) (
n t
n n n
n
N N
n N
t t T
n t
N n N
−
−
−
⋅
=
⋅
=
=
=
→
=
=
=
⋅
=
jaar t t
t
N N
N N
t
t
5700 ) 1
2 log(
) 2 log(
) 2 log(
) 5 , 0 log(
5700
) 5 , 0 5700 log(
2 5 , 0
2 ) 0 ( ) 0 ( 5 , 0 ) 0 ( 5 , 0
5700 2
5700
=
→
−
=
−
=
=
−
=
−
→
=
→
⋅
=
⋅
→
⋅
=
−
−
% 25 , 6 2
% 100 2
) 0
( ⋅ 5700 → = × 4 =
=N − N −
N t
jaar 5 2
) 0 (
12
5 =
⋅
=N − T
N t
) 2
2
ln( =
e
R13 Voor het radioactief verval van een bepaald isotoop geldt:
Na hoeveel jaar is het aantal kernen gehalveerd?
Omdat t = T1/2 had je het antwoord ook zonder wiskundige berekening meteen kunnen geven.
Hoeveel % is er nog over als (t/5700) = 4?
R14 Voor de isotoop 60Co geldt:
R15 ln(100) is de exponent die bij het grondtal e de waarde 100 geeft.
R16 2 is hetzelfde als eln2.
ln(2) is de exponent die bij het grondtal e de waarde 2 geeft ofwel
R17 Als je 2x schrijft als e0,6931x kun je eenvoudig de helling van de raaklijn in ieder punt bepalen.
x x
x eln(2) afgerond:2 e0.6931
2 = → =
De rc van de raaklijn aan e is gelijk aan x e . x De rc van de raaklijn aan e2xis gelijk aan 2e2x.
De rc van de raaklijn aan e0,6931xis gelijk aan 0,6931e0,6931x. Dus de rc van de raaklijn voor x = 1:
386 , 1 2 6931 , 0 6931
, 0 ) 1
(x = = ×e0,6931×1 = × = rc
R18 Waarom snijden de grafieken van 2x en ex elkaar voor x = 0 1
20 =e0 =a0 = 5.3
5.4
3 2 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( :
0
2 3 2 2 :
0
3 2
2 3
<
→
>
<
<
>
>
→
>
>
>
>
voorbeeld
p x dan a
en a a
voorbeeld
p x dan a
en a a
p x
p x
x x x
x x
e x x e
x afgerond e
e
2 2
443 , 1 )
log(
) log(
2 ) 2 ( 4
2 : 2
) 2
( 2 2
=
=
=
→
=
= ⋅
) ) log(
4 log(
) log(
) 4 2log(
1
) 2log(
1 ) 4 log(
) log(
) 2 log(
) ) log(
log(
) ) log(
2 log(
) log(
) 2 log(
2 ) log(
2 ) 2 log(
) ) log(
log(
4
12 12 2
2 2
2 2
4
x x x x
x x
x x x
x x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
R19 Waarom geldt: log(x) = log(e) ∙ln(x) = 0,4343∙ln(x)?
) ln(
4343 , 0 ) ln(
) log(
) ) log(
log(
) ) log(
log(
)
ln( x e x x
e x x
x =e = → = ⋅ = ⋅
R20 Dus log(2)=log(e)⋅ln(2)=0,4343⋅ln(2) R21 Als a >x ap dan is soms x > p en soms x < p .
x x x,e ,4
2 kun je allemaal schrijven als een macht met het hetzelfde grondtal 2.
R22
Als je het grondtal aanpast kun je bij een logaritmische vergelijking links en rechts hetzelfde grondtal krijgen.
5.5
