Zomaar een formule [ Dick Klingens ]
Ik liep er min of meer tegenaan bij het schrijven van een ‘kleine didactiek’ over de sinus- en cosi- nusregel: een – mij onbekende – formule uit de driehoeksmeetkunde. De bedoelde formule luidt:
(i)… sinA+sinB+sinC =4 cos(12A)·cos(21B)·cos(21C) waarbij A, B, C in grootte de hoeken zijn van driehoek ABC.
In die kleine didactiek [1] liet ik zien dat voor de hoeken van driehoek ABC geldt dat:
(ii)… sin(2A) + sin(2B) + sin(2C ) = 4 sin A · sin B · sin C
En mijn gedachte daarna was: bestaat er nu ook een dergelijke formule voor de som van sin A, sin B en sin C ? En zo’n formule is er dus blijkbaar!
Het bewijs
Voor de oppervlakte V van driehoek ABC geldt:
V = 12bc · sin A
Met analoge formules voor V met sin B en sin C is dan:
(1a)… sin 2 2 2 2 ( )
sin sin sin V V V V a b c
S A B C
bc ac ab abc
= + + = + + = + +
Stellen we, als gebruikelijk, 2s = a + b + c, dan is:
(1b)… S =sin 4· ·abcs V
Omdat in formule (ii) in het rechter lid hoeken staan die de helft zijn van de hoeken in het linker lid, ligt het voor de hand ook bij formule (i) naar halve hoeken te zoeken. Mijn zoekwerk resul- teerde uiteindelijk in halve hoeken van de cosinus.
Uit de verdubbelingsformule voor de cosinus, te weten cos(2p) = 2cos2 p – 1, volgt:
(2)… 2 cos (2 12 A) 1 cos= + A
terwijl uit de cosinusregel in driehoek ABC volgt:
(3)…
2 2 2
cos 2
b c a
A bc
= + − Uit (2) en (3) blijkt:
2 2 2 2 2
2 1 2
2 ( ) ( )( )
2 cos ( )
2 2 2
2 ·2( ) 2 ( )
2
bc b c a b c a b c a b c a
A bc bc bc
s s a s s a
bc bc
+ + − + − + + + −
= = =
− −
= =
En omdat 0° < 12A < 90° is, volgt uit de laatste relatie:
(4)… cos(12A)= s s a(bc− )
Met analoge formules voor cos(12B) en cos(12C) is dan:
3
1 1 1
cos 2 2 2 2 2 2
( )( )( )
cos( )·cos( )·cos( ) s s a s b s c
P A B C
a b c
− − −
= =
Zodat:
(5)… cos s ( )( ) )
P = abc s s a s b s c− − −
Nu is, volgens de formule van Heron (naar Heron van Alexandrië; 10-75, Egypte) [2]: (6)… V = s s a s b s c( − )( − )( − )
Uit (5) en (6) volgt dan direct:
(7)… P =cos s Vabc·
De relaties (1b) en (7) hebben als gevolg dat S sin = 4 · Pcos , zodat inderdaad:
1 1 1
2 2 2
sinA+sinB+sinC =4 cos( A)·cos( B)·cos( C)
Elders
Aangezien ‘goniometrie’ in het huidige curriculum van het voortgezet onderwijs niet meer als zelfstandig vak voorkomt, kon ik alleen in ‘wat’ oudere gonio-leerboeken zoeken naar de zojuist bewezen formule. Ik vond ‘em in:
- Dr. B. Gongrijp, P. Wijdenes (1920): Leerboek der goniometrie & trigonometrie. Groningen: P.
Noordhoff (2e druk); p. 70-71.
- E.W. Hobson (1911): A Treatise on Plane and Advanced Trigonometry. Mineola (NY, USA):
Dover Publications (reprint 2005); p. 46 en p. 76.
Op pag. 46 vinden we de identiteit:
sin A + sin B + sin C – sin(A + B + C) = 4sin 12(B + C) · sin ½(C + A) · sin 12(A + B) Met A + B + C = 180° – D gaat deze formule over in de formule die op pag. 76 staat:
sin A + sin B + sin C – sin D = 4cos 12(A + D) · cos 12(B + D) · cos 12(C + D)
- Dr. P. Molenbroek (1906): Leerboek der vlakke driehoeksmeting. Leiden: A.W. Sijthoff's Uitge- versmaatschappij (3e herziene druk); p. 52-54.
Noten
[1] Dick Klingens (2011): Kleine didactiek / De cosinus- en sinusregel. Niet gepubliceerd artikel.
Als PDF-bestand te downloaden via « www.pandd.nl/downloads/kdcossin.pdf ».
[2] Voor enkele bewijzen van de formule van Heron zie bijvoorbeeld:
Dick Klingens (2005): De formule van Heron. Op: www.pandd.demon.nl/heron.htm (website van de auteur).
Over de auteur
Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.
E-mailadres: dklingens@pandd.nl
