Eigenschappen van de negenpuntscirkel
Lemma 1 Lemma 1Lemma 1
Lemma 1. In een driehoek met hoeken A, B, C geldt:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4·sin A·sin B·sin C Bewijs.
sin 2A + sin 2B +sin 2C = 2sin(A + B) · cos(A – B) + 2sin C · cos C
= 2sin C · (cos(A – B) + cos C))
= 2sin C · (cos(A – B) – cos(A + B))
= 2sin C · (-2sin A · sin(-B))
= 4sin A · sin B · sin C Waarmee het gestelde is aangetoond. ◊
figuur 1
Lemma 2. Zie figuur 1. In een driehoek ABC met zijden a, b, c, straal omcirkel R en oppervlakte (surface) S geldt:
4 = abc R
S
Bewijs. AD is de hoogtelijn uit A met lengte ha. AE is een middellijn van de omcirkel van de driehoek.
De driehoeken ACE en ADB zijn gelijkvormig (hh), zodat:
AC : AD = AE : AB of b : ha = (2R) : c of (1)…
(1)…(1)…
(1)… bc = 2ha · R
Voor de oppervlakte hebben we (zoals bekend):
S = ½ha · a, zodat:
(2)…
(2)…(2)…
(2)… 2ha = 4S · a
Uit (1) en (2) blijkt dat de genoemde formule juist is. ◊
Lemma 3. Bij driehoek ABC met omcirkel ⊙(ABC R, ) is gegeven een punt P. De punten Pa, Pb, Pc zijn de spiegelbeelden in de zijden van de driehoek. Dan is:
= ⊙
2
( ) | ( , ( )|
( )
a b c
S P P P macht P ABC
S ABC R
figuur 2
