• Er zijn zes opgaven. Vergeet de achterkant niet!

Tentamen Analyse 1W

Vrijdag 5 februari 2016, 14:00–17:00 uur

• Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer.

• Er zijn zes opgaven. Vergeet de achterkant niet!

• Ieder antwoord dient gemotiveerd te worden met een (korte) berekening, redenering of verwijzing naar de theorie.

• Het gebruik van een grafische rekenmachine is NIET toegestaan; een ge- wone rekenmachine mag wel worden gebruikt, maar elk antwoord moet exact worden berekend.

1. De functie f : R → R wordt gegeven door

f (x) =







√

x ² + 8x − x − 16 voor x < −8, 4 √

x voor − 8 ≤ x ≤ 0,

√

x ² + 8x − x voor x > 0.

a. Toon aan dat f continu is op R.

b. Ga na of f asymptoten (verticaal, horizontaal, scheef) heeft en bepaal de vergelijking van de eventuele asymptoten.

c. Bepaal de extreme waarden van f en bepaal of het maxima of minima zijn. Geef ook aan of de gevonden maxima en minima globaal of alleen locaal zijn.

d. Ga na of f buigpunten heeft en bepaal de co¨ ordinaten van eventuele buigpunten van f .

2. Bereken de volgende bepaalde en onbepaalde integralen:

a.

Z 1 0

√ xe ^−x

√ x

dx,

b.

Z 1 + x x ² + x ⁴ dx, c.

Z

tan ³ x dx.

3. a. Bepaal het zesde-graads Taylorpolynoom rond a = 0 van de functie f : R → R gegeven door f (x) = x cos(2x) − 2e ^x

, x ∈ R.

b. Bekijk de functie h : (−1, ∞) → R gegeven door h(x) = ln(x + 1), x ∈ (−1, ∞). Bepaal h ⁽⁷⁾ (0).

Op de achterkant staat de rest van de opgaven.

4. Bekijk de functie g : R → R gegeven door g(x) = x ³ + x, x ∈ R.

a. Bewijs dat g inverteerbaar is.

b. Bekijk F (x) = R x

+x

0 g ⁻¹ (t) dt, x ∈ R. Bepaal F ⁰ (x) voor elke x ∈ R.

5. Bekijk de machtreeks

∞

X

n=1

x ⁿ ln n + √

n . Bepaal voor welke waarden van x ∈ R deze machtreeks absoluut convergeert, voorwaardelijk convergeert of divergeert.

6. Gebruik het eerste-orde Taylorpolynoom van tan x rond a = π/4, in com- binatie met de restterm, om te laten zien dat

0 < tan 44 ^◦ − 1 + π

90 < 1 1620 . (Ter herinnering: 45 ^◦ = π/4 radialen.)

Puntenverdeling (onder voorbehoud)

Opgave: 1 2 3 4 5 6 Totaal

Punten: 27 24 10 7 10 10 88

(4+7+10+6) (8+8+8) (6+4) (3+4)