• No results found

• Gebruik van een niet-grafische rekenmachine is toegestaan.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "• Gebruik van een niet-grafische rekenmachine is toegestaan."

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Tentamen - Analyse II - Wiskunde

Woensdag 8 juli 2015 - zaal 312 Snellius - 14.00-17.00

• Vermeld op ieder vel duidelijk leesbaar niet alleen uw naam (met voornaam en alle voorletters), maar ook uw studentnummer.

• Elk antwoord dient gemotiveerd te worden met een berekening, redenering of verwijzing naar de theorie.

• Gebruik van een niet-grafische rekenmachine is toegestaan.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Vergeet de achterkant niet.

Opgave 1 Beschouw het volume

V = {(x, y, z) ∈ R 3 : 0 ≤ z ≤ 1 − 3x 2 − y 2 en x ≥ 0 en y ≥ 0}

samen met het oppervlak

S = {(x, y, z) ∈ R 3 : z = x 2 en (x, y, z) ∈ V},

georienteerd naar boven toe. Het oppervlak S verdeelt V in twee stukken; schrijf V b voor het bovenste stuk (dat het punt (0, 0, 1) bevat). Gegeven is ook het vectorveld

F (x, y, z) = ~ 

x, y + x 2 , 2z + xy  . (a) Bereken de flux van ~ F door S, ofwel de vector-oppervlakte-integraal

x

S

F ~ · d~ S,

door gebruik te maken van een directe berekening.

(b) Bereken nogmaals de flux van ~ F door S, maar pas nu de divergentie stelling toe op V b .

Opgave 2 Beschouw het volume

V = {(x, y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0 en y ≥ 0 en z ≤ 4 en x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2x + 2y}

samen met de doorsnijdingen

D z = {(x, y) ∈ R 2 : (x, y, z) ∈ V}.

(a) Bereken het volume van V.

(b) Bereken de oppervlakte-integraal

x

D

2

f dA,

waarbij f : R 2 → R wordt gegeven door f(x, y) = (x 2 + y 2 ) −2 .

ZOZ

(2)

Opgave 3 Beschouw de scalaire functie f : R 2 → R gegeven door f (x, y) = (y 2 − x 2 )(x 2 + y 2 − 2) en het gebied

D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4}.

(a) Bepaal de kritieke punten van f (x, y) op R 2 en klassificeer deze (minimum/maximum/zadelpunt).

(b) Vind (en klassificeer) alle lokale/globale maxima/minima van f (x, y) beperkt tot de rand ∂ D.

(c) Vind (en klassificeer) alle lokale/globale maxima/minima van f (x, y) op D.

Opgave 4 Gegeven is het vectorveld

F (x, y, z) = ~ − 2xz, 0, y 2 .

Beschouw een gesloten C 1 -gladde kromme C ⊂ R 3 zonder zelfdoorsnijdingen die geheel op de bolschil x 2 +y 2 +z 2 = 1 ligt. Laat zien dat de vector-lijnintegraal van ~ F langs C verdwijnt, ofwel

I

C

F ~ · d ~ R = 0.

Tip: kijk naar de rotatie van ~ F .

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

c [3 punten] Bereken de dichtheidsfunctie van de stochast Y := lnX, vergeet niet daarbij duidelijk aan te geven voor welke waarden deze dichtheidsfunctie gelijk aan nul is.. b

Het is bij dit tentamen niet toegestaan om een boek, aantekeningen of een grafi- sche rekenmachine te gebruiken.. Vergeet niet op elk ingeleverd vel uw naam, studentnummer

Het is bij dit tentamen niet toegestaan om een boek, aantekeningen of een grafische rekenmachine te gebruiken.. Vergeet niet op elk ingeleverd vel uw naam, studentnummer en

Geef uitleg over je oplossingen; antwoorden zonder heldere afleiding worden als niet gegeven beschouwd. Het gebruik van een rekenmachine is niet nodig en ook

Geef uitleg over je oplossingen; antwoorden zonder heldere afleiding worden als niet gegeven beschouwd. Het gebruik van een rekenmachine is niet nodig en ook

(ii) Geef op het interval x ∈ [−50, 50] de functie v(x) aan, die de snelheid van de triathleet op een afstand van x (meter) van de oever beschrijft (het punt x = −50 ligt natuurlijk

Voor welke afmetingen van de twee zijden van de rechthoek wordt het volume van de cilinder maximaal.. Wat is in dit geval het volume van de cilinder (afhankelijk

Het aantal ogen dat we bij deze manier van dobbelen bereiken, wordt door de stochast X aangegeven.. Bepaal de kansverdeling voor de stochast X en de