Uitwerkingen hoofdstuk 1
1. Lineaire functies.
Bij dit hoofdstuk komen de basisvaardigheden haakjes wegwerken, rekenen met breuken en oplossen van lineaire vergelijkingen uitgebreid aan de orde. Het kan nodig zijn hier apart voor te oefenen op de site van WIMS-Leiden.
Opgave 1.1 Functievoorschrift bedenken bij beschrijving van een beweging.
Bedenk voor de volgende bewegingen een voorschrift voor de functie s(t). Controleer de juistheid met behulp van de simulatie 1.1.
a P: s(t)=−4+1,5⋅t of s(t)=1,5⋅t−4 b Q: s(t)=2−2⋅t of s(t)=2⋅t+2 c R: s(t)=10−2,5⋅t of s(t)=−2,5⋅t+10 d S: s(t)=4+1,5⋅t of s(t)=1,5⋅t+4 e T: s(t)=8−2,5⋅t of s(t)=−2,5⋅t+8
f A: s(t)=−(−4+1,5⋅t)=4−1,5⋅t of s(t)=−1,5⋅t+4
60 10 ) (
m 6
m 60
+
⋅
−
=
− →
= t t
s
tal in hellingsge
t t
s of t t
s
tal hellingsge
⋅
=
⋅
=
→
=
6 , 11 ) 6 (
) 70 (
min 6
m 70
40 3 , 13 ) ( 3 40
) 40 (
min 3
m 40
−
⋅
=
−
⋅
=
→
=
t t
s of t
t s
tal hellingsge
m 3 , 32 60 77 , 2 10 ) 77 , 2 (
min 77 , 2 :
13min 210 13 36 130 60 6
6 60 130
60 6 )
70 6 ( 60 60 6 )
10 70 (
6 60 70 10
= +
×
−
=
=
=
=
−
×
−
=
→
−
=
− ⋅
→
−
=
⋅
− −
→
−
=
⋅
−
−
→
⋅
= +
⋅
−
→
=
s
t afgerond
t t
t t
t t
s sA B
Opgave 1.2 Functievoorschrift bedenken bij een grafiek.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend die horen bij de rechtlijnige beweging met constante snelheid van de personen A, B en C.
a A:
B:
C:
b
m 1 , 17 60 29 , 4 10 ) 29 , 4 (
min 29 , 4 :
7 min 42 70 300 70 100 3 3 100
70
100 3 )
40 3 ( 30 60 40 3 )
10 40 (
3 40 60 40 10
= +
×
−
=
=
=
− =
×
−
=
→
−
=
− ⋅
→
−
=
⋅
− −
→
−
−
=
⋅
−
−
→
−
⋅
= +
⋅
−
→
=
s
t afgerond
t t
t t
t t
s sA C
m 280 6 24
) 70 24 (
min 5 24
120 5
40 3 3 40
5
40 3 )
40 3 (35 40 3 )
40 6 (70
3 40 40 6
70
=
×
=
=
− =
×
−
=
→
−
=
− ⋅
→
−
=
⋅
−
→
−
=
⋅
−
→
−
⋅
=
⋅
→
=
s
t t
t t
t t
s sB C
m 7 , 86 ) 8 ( ) 8 ( :
3 m 862 3
260 3
300 3
100 560 3 8
) 70 8 ( ) 8 (
3 100 70
100 3 )
40 3 ( 30
3 100 10 40
) 3 40
(40 60 10
−
=
−
−
− =
=
− +
= +
− ×
=
−
→
+
− ⋅
=
−
→
+
− −
⋅
=
−
→
+
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
− +
⋅
−
=
−
C A
C A
C A
C A
C A
s s
afgerond s s
t s
s
t s s
t t
t t
s s
! min 70 3
70 3
3 70 30 70
100 3 )
30 3 (40
30 100 ) 3 10 (40
30 ) 60 10 ( ) 3 40
(40 30
grafiek met
klopt t
t t
t
t t
s sC A
=
×
=
→
=
⋅
→
−
=
− +
⋅
→
−
=
− +
⋅
→
−
= +
⋅
−
−
−
⋅
→
−
=
− c
d
e Bereken de afstand tussen A en C op t = 8 min.
sA (8) – sC (8) = …..
Het –teken betekent dat A zich links van C bevindt.
f Bereken het tijdstip waarop C 30 meter links van A is.
n nooit tege uur
t t
t t
s sA B
elkaar ze komen 0
t vanaf
80 1 1
80
30 5 , 0 50 5 , 0
=
−
=
→
−
=
→
−
−
= +
=
Opgave 1.3 Eigenschappen beschrijven van bewegingen aan de hand van een functievoorschrift.
Voor de volgende auto’s geldt is het functievoorschrift gegeven.
(s in km en t in uur) A : s(t) = 0,5 + 50t B : s(t) = -0,5 - 30t
C : s(t) = 5 + 15t D : s(t) = 5 + 15(t – 1) E : s(t) = 60t
F : s(t) = 0,5 + 30t G : s(t) = 50t -10 a sA(0) = 0,5 km b
c C : s(t) = 5 + 15t D : s(t) = 5 + 15(t – 1) Als t = 1 dan (t - 1) = 0 Als t = 2 dan (t - 1) = 1 etc.
525 , 20 0
5 , 10
5 , 10 20
10 50 30 5 , 0
<
→
−
< −
→
−
>
⋅
−
→
−
⋅
>
⋅ +
→
>
t t
t
t t s sF G
De grafiek van D is dus 1 uur naar rechts verschoven t.o.v. C.
d E : s(t) = 60t H: s(t) = 60(t – 2,5)
De grafiek van H is dus 2,5 uur naar rechts verschoven.
Als t = 2,5 dan (t -2,5) = 0 e F : s(t) = 0,5 + 30t (rood) G : s(t) = 50t -10 (blauw)
Als je links en rechts door een negatief getal deelt of vermenigvuldigt, wordt > teken een <teken.
Als x > 2 dan –x < -2
Voorbeeld: als x = 3 dan 3 > 2 en -3 < -2
425 , 20 0
5 , 8
5 , 8 20
2 10 50 30 5 , 0
2
<
→
−
< −
→
−
>
⋅
−
→
+
−
⋅
≥
⋅ +
→ +
≥
t t
t
t t s sF G
5 4 ) (
5 1
4 9 4
) (
2 4 8 1 3
9 . 17 .
+
=
→
=
→ +
×
=
→ +
=
→
=
=
−
= −
x x y
b b b
x x y c r
x x
y
b b b
x x
y c r
5 , 1 ) (
0 0
5 , 1 0 5
, 1 ) (
5 , 2 1 3 0 2
0 . 3
.
−
=
→
=
→ +
×
−
=
→ +
−
=
→
−
=
−
=
−
−
= −
2 5 , 1 ) (
2 2
5 , 1 1 5
, 1 ) (
5 , 4 1 6 ) 2 ( 2
) 5 ( . 1 .
−
=
→
−
=
→ +
×
=
→ +
=
→
=
=
−
−
−
= −
x x
y
b b b
x x
y c r
14 , 0 4 , 1 )
(x = x+ y
5 , 1 5 , 0 )
(x =− x+ y
1 , 0 10 )
(x = x+ y
f
2
G +
s hoort bij de groene lijn.
g G : s(t) = 50t -10 K: s(t)=50t+10
h De grafiek van G heeft een snijpunt met de verticale as bij (0,-10).
De grafiek van K heeft een snijpunt met de verticale as bij (0,10) De twee grafieken lopen parallel en hebben vertikaal een afstand van 20 km. K is altijd 20 km rechts van G.
Opgave 1.4 Welke functievoorschrift zit er in de black box?
a (1,9) en (3,17)
b (0,0) en (2,-3)
c (-2,-5) en (2,1)
d
e
f
Opgave 1.5 Grafiek tekenen met functievoorschrift.
Teken in het diagram de grafiek die hoort bij de volgende functievoorschriften. Controleer met applet 1.3
a y(x) = 3x - 1 b y(x) = -2x c y(x) = -2(x - 2) d y(x) = -2(x - 2) + 4 e y(x) = -2(x +2)
Opgave 1.6 Functievoorschrift opstellen als slope en intercept gegeven zijn.
1.3
17 10 10
17
7 5 10 5
−
≤
→
−
≤
→
−
−
≤ +
→
≤
x x
x x
y yA B
11 7 7
11
7 5 4 2
−
≥
→
−
≥
→
−
−
≥ +
→
≥
x x
x x
y yC B
17 6 3 17 105 105
17
7 5 100 10
−
=
−
=
→
−
=
→
−
−
= +
→
=
x x
x x
y yF B
23 4 1 23
93 93 23
2 ) 7 5 ( 100 30
2
−
≥
→
−
≥
→
≤
−
→
−
−
−
≤
−
−
→
−
≤
x x
x
x x
y yE B
Opgave 1.7 Gelijk en ongelijkheden.
a 5
6 6 5 3 4 2
2x− = − x→ x= →x=
b 2
2 4 4
2 =−
−
=
→
=
− x x
c 2
9 3 6 3 4 6
2 + = − →− =− → =
− x x x x
d 2x >4→x>2 e −2x>4→x<−2
f 2
9 3 6 3 4 6
2 + ≥ − →− ≥− → ≤
− x x x x
g 1,1x−3,4>2x+2→−0,9x >5,4→x<−6 h −1<2x−3→2<2x→2x>2→x>1 i −4x+1>−2x+3→−2x>2→x<−1 Opgave 1.8 Functiewaardes met elkaar vergelijken.
A : y(x) = 5 + 10x B : y(x) = -5 – 7x
C : y(x) = 2 + 4x D : y(x) = 20 + 4x E : y(x) = -30x - 100 F : y(x) = 10x + 100 a
b
c
d
) 50
; 5 ( :
50 100 5 30
40 5 200 200
40
100 10 100 30
−
=
−
−
×
−
=
−
=
−
=
→
=
−
→
+
=
−
−
→
=
F en E snijpunt y
x x
x x
y yE F
grafiek zie
x
x x
x y
x x
x y
D D
5 , 4 5
, 2
5 , 2 10
4 10 20 4
10
5 , 4 18
4 20 4 2 2
−
<
<
−
−
<
→
−
<
→
<
+
→
<
−
>
→
<
−
→ +
<
→
<
15 3 3 4 15 3 4
30 98 98
30 2
100 30
2
3 90
30 100 30 10 10
−
<
<
−
−
>
→
−
>
→
<
−
→
−
<
−
−
→
−
<
−
<
→
−
<
→
−
−
<
−
→
<
−
x x
x x
x y
x x
x y
E E
e
f
Bij het bereik 2< <10
yD hoort het domein −2,5< x<−4,5
g
2517 4
2517 17
40 15 1017
17 4 4 15
4
17)
; 15 1017 ( :
17 15 17
100 17 85 17 5 100 17 10 10 5
17 10 10
17
7 5 10 5
+
=
+ =
= −
→
− +
×
=
−
→ +
=
=
− −
−
=
−
=
−
=
−
× +
=
→
−
=
→
−
=
→
−
−
= +
→
=
x y
b b b
x y rc snijpunt
y
x x
x x
y yA B
000 . 40 000
. 40
5 , 3 000 . 120 5 , 2 000 . 160
>
→
−
<
−
→
+
<
+
n n
n n
000 . 80 000
. 52 65
, 0
15 , 3 000 . 108 5
, 2 000 . 160
) 5 , 3 000 . 120 ( 9 , 0 5 , 2 000 . 160
=
→
−
=
−
→
+
= +
→
+
⋅
= +
n n
n n
n n
5 , 0 1 , 0 ) (
5 , 0 1 , 0 5
10 10 5
1 = −
→
−
=
→
−
=
→ +
=
− x x
y
y x y
x x y
57 17 ) 7 (
7 5 1
5 7
5 7 7
5
1 =− −
→
−
−
=
→
−
−
=
→
−
−
=
−
−
=
− x x
y of C
F C F
x y of F C
12 14 ) (
12 14 2
4 4 2
1 = −
→
−
=
→ +
−
=
−
→ +
=
− x x
y
y x
y x
x y
h
Opgave 1.9 Kostenanalyse met lineaire verbanden.
Met apparatuur A zijn de kosten : K(n) = 120.000 + 3,5n Met apparatuur B zijn de kosten : K(n) = 160.000 + 2,5n a
Bij meer dan 40.000 is apparatuur B interessanter.
b
Opgave 1.10 Inverse functie opstellen
a
b
c
4 5 ) 1 (
4 5 20 1
4 4 20
1 = −
→
−
=
→ +
−
=
−
→ +
=
− x x
y
y x
y x
x y
molL 10 2 , 10 1 4
47 , 0 molL
10 00 , 1 10 00 , 5
11 , 0 58 ,
0 3
4 4 4
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
= −
∆
= ∆
− −
x −
tal y hellingsge
E c
of x y
y x
c E
of x y
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
→
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
−
3 3
1 3
3 3
10 2 , 1
1 10
2 , 1
1 10
2 , 1
1
10 2 , 1 10
2 , 1
L mol c
E
c 2,8 10 /
10 2 , 1
34 , 0 10
2 , 1
1 4
3 3
⋅ −
=
⋅
=
→
⋅
⋅
=
3 31 30 ) 1 (
100 30
1 =− −
−
−
=
− x x
y
x y
10 10 ) 1 ( 10 10
1
100 10
100 10 ) ( 100
10 ) (
1 = −
−
=
→
+
−
=
−
→
+
= +
=
− x x
y of s
t
s t
x x y of t
t s d
e
f
Opgave 1.11 Inverse functie bij meten van extinctie.
a
c
d
e -0,014 is het snijpunt met de y-as.
3) , 4 0 ( 3 :
2
3 4 3 4 2
2 3
as y snijpunt rc
x y
x y
−
−
=
+
−
=
→
= +
) 4 , 0 ( : 3
4 3 4
3
−
−
−
=
−
−
=
→
=
−
−
as y snijpunt rc
x y x
y
) 1 , 0 ( : 3
1 3 0
1 3
as y snijpunt rc
x y y
x
−
−
=
+
−
=
→
=
− +
) 0 , 0 ( 3 :
2
3 0 2
2 3
as y snijpunt rc
x y x
y
−
=
=
→
=
−
) 5 , 1
; 0 ( : 75
, 0
5 , 1 75 , 0
3 5 , 1 2 0 3 5 , 1 2
−
−
−
=
−
−
=
→
−
−
=
→
= + +
as y snijpunt rc
x y
x y
x y
) 0
; 2 ( :
2 4
2
0 4
2 3
as x snijpunt
x x
y en x
y
−
=
→
=
→
=
= +
2 6
3 2 4 3
4 3 4
3
−
<
→
>
−
→
>
−
−
→
−
−
=
→
=
−
−
x x
x
x y x
y
7) 13 7; ( 1 :
7 13 7 1 3 3 1
7 1 1
7 1 7 0
_ 3 9 3
4 2 3
) 3 ( 1 3
4 2 3
−
= +
=
−
=
→
−
=
→
−
=
→
=
−
= +
= +
×
= +
= +
S snijpunt
x y
x x
x x y
x y
x y
x y
Opgave 1.12 Opgaven met het functievoorschrift py + qx = r
a
b
c
d
e
f
g
h
3 2 3 2 2
3 2
3 2 3 2 2
3 2
−
−
=
−
= +
+
−
=
= +
x y
of y
x
x y
of y
x
7)
;3 7 (5 :
7 3 7 7 7 1 10 7 2 5 1
2
7 5 5
7 0
) ( 2 4 2
3 3 2
) 2 ( 1 2
3 3 2
lijnen de van snijpunt
y x
y
x x
x y
x y
x y
x y
=
−
=
−
×
=
→
−
=
=
→
= +
+
= +
−
= +
×
= +
−
= +
3 4 i
j
Grafieken zijn evenwijdig met verticale afstand van
Opgave 1.13 Twee vergelijkingen met twee onbekenden.
a
3) 71 9; 11 ( :
3 4 2 9 33 4 3
9 11 45 1 5 45 50 5 , 4 5
5 5 , 4 0
3 5 , 1 2
) 2 ( 8 6 2
3 5 , 1 2
) 2 ( 4 3
−
−
=
−
=
−
−
=
→
−
=
−
=
−
=
−
=
→
=
−
−
= +
×
=
−
−
−
= +
×
=
−
−
S snijpunt
x y x
x x y
x y
x y
x y
+
niet kan x
y x y
x y
x y
→
=
−
=
−
=
−
=
−
×
=
−
1 0
) ( 3 2
4 2
3 2
) 2 ( 2 5 , 0
) 1
; 5 ( : 5 4
1 1 0
) ( 4
3 2
−
=
→ +
−
=
−
=
−
= +
−
= +
= +
lijnen de van snijpunt
x y
x y y
x y
x y b
c
Geen oplossing d
e
8)
;5 4 ( 7 :
4 7 8 14 8
24 8 3 10 8 2 5 3
2
8 8 5
5 0
) ( 6 4 2
2 2
) 2 ( 3 2
2 2
−
−
=
−
=
−
=
−
×
=
→
−
=
=
→
= +
−
−
=
−
= +
×
−
=
−
= +
lijnen de van snijpunt
x y
x
y y
y x
y x
y x
y x
5) 22 5 ; 14 ( :
5 14 5 3 11 3
5 , 0
5 22 5 12 5 , 2 6
6 0 5 , 2
) ( 3 2
3 5
, 0
−
= +
−
=
→ +
=
−
=
−
=
−
=
= +
−
−
−
= +
= +
−
lijnen de van snijpunt
x y
x y
y x y
x y
(20%) kg 73,7 26,3 - 100 y
(96%) kg 3 , 8 26 , 3 100 100
0 8 , 3
) ( 200 8
, 4
100
) 5 ( 100 4 , 0 2 , 0 96 , 0
100
=
=
=
−
= −
→
−
= +
−
−
= +
= +
×
×
= +
= +
x x
y x
y x
y x y x
x y
b b b x y
2
0 0
2 0
2
=
→
=
→ +
×
= +
=
x y
b b b x y
2 1
0 2 2
1 1 2 1
=
→
=
→ +
×
= +
=
2 3 2 1
2 1 3
2 2 1
2 1
+
−
=
→
=
→ +
−
×
−
= +
−
=
x y
b b b x y
) 1
; 1 ( : 1 2
1 5 5 0
) ( 2
3 4
lijnen de van snijpunt
y x
y x
x x y
x y
=
→ +
−
=
=
= +
+
= +
= + f −
Opgave 1.14 Twee vergelijkingen met twee onbekenden bij mengproces.
Opgave 1.15 Opgaven met richtingscoëfficiënt of hellingsgetal (slope).
a
b
c
021 , 0 1140 )
(c = ⋅c+ E
1140 021 , 0 1140 ) 1
(E = ⋅E− c
d
e
Eenheid van c is mol/L
f
Eenheid van slope is mol/L 3
1 3 5
3 1 3 5 3 6 3 2 5 2
3 0 5
3 5
) ( 2
3 2
−
=
→
−
= +
−
= +
−
=
→ +
−
=
=
→ +
−
=
−
− +
= +
−
=
− +
=
x y
b a b
a a
b a
b a
b ax y
