Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I
© havovwo.nl
- www.havovwo.nl - www.examen-cd.nl
2 Vierkanten
5. Voor de lengte van AE geldt |AE| = cos α, en voor de lengte van OA geldt
|OE| = sin α. De lengte van OE is dus gelijk aan |OE| = |OA| + |AE| = sin α + cos α. Invullen van α =16π geeft
|OE| = sin 1 6π
+ cos 1 6π
=1 2 +1
2
√ 3.
Aangezien OET S een vierkant is is de oppervlakte van OET S gelijk aan
1 2+1
2
√ 3
2
= 1 4+ 2 ·1
4
√ 3 +3
4 = 1 +1 2
√ 3.
6. Uit de gelijkvormigheid kun je concluderen dat |P Q||CR| =|GQ||GR|. Uit de vorige opgave weet je dat de zijde van vierkant OET S gelijk is aan sin α + cos α.
Hiermee, en met behulp van figuur 2, kun je de lengte van CR uitrekenen:
|CR| = |ET | − |EH| = sin α + cos α − 1.
Op soortgelijke wijze vind je |GQ| en |GR|:
|GQ| = |OE| + |EF | = sin α + cos α + 1,
|GR| = |GH| + |CT | = 1 + sin α.
Invullen geeft nu:
|P Q|
|CR| =|GQ|
|GR|,
|P Q|
sin α + cos α − 1 =sin α + cos α + 1 1 + sin α ,
|P Q| =(sin α + cos α − 1)(sin α + cos α + 1)
1 + sin α .
7. Hiervoor gebruik je de rekenregels sin2α + cos2α = 1 en 2 sin α cos α = sin(2α). Dit geeft:
|P Q| = sin2α + cos2α + 2 sin α cos α − 1
1 + sin α ,
= 1 + sin(2α) − 1 1 + sin α ,
= sin(2α) 1 + sin α.
8. Uit figuur 2 is duidelijk dat de hoogte van P maximaal is als |P Q| maxi- maal is. Om deze maximale hoogte te vinden heb je de afgeleide van |P Q|
nodig. Hiervoor gebruik je de kettingregel en de quoti¨entregel.
|P Q|0(α) = (1 + sin α) · cos(2α) · 2 − sin(2α) · cos α
(1 + sin α)2 .
|P Q| is maximaal als |P Q|0(α) = 0. Om uit te vinden voor welke α dit gebeurt voer je de volgende formule in in de Ti-84 plus:
y1= (1 + sin x) · cos(2x) · 2 − sin(2x) · cos x
(1 + sin x)2 .
Calc zero geeft nu α = x ≈ 0, 67 rad.
