Eindexamen vwo wiskunde B 2013-II
© havovwo.nl
- www.havovwo.nl - www.examen-cd.nl
5 Een hartvormige kromme
10. De y-co¨ordinaat is maximaal als y0(t) = 0. Eerst reken je dus y0uit. Denk hierbij aan de kettingregel:
y0(t) = 2 cos t − cos(2t) · 2.
Nu wil je weten voor welke t deze afgeleide nul is:
2 cos t − 2 cos(2t) = 0, cos t = cos(2t), t = 2t + 2kπ_
−t = 2kπ_
t = −2t + 2kπ, 3t = 2kπ, t = −2kπ_
t = 2k 3 π.
Hier is k geheel. De oplossingen met t in het interval [0, 2π] zijn t = 0, t = 32π, t = 43π en t = 2π. Als je nu de kromme plot met de GR zie je dat het punt t = 23π overeenkomt met het maximum van y. De maximale waarde voor y krijg je nu door t = 23π in te vullen:
ymax= 2 sin 2 3π
− sin
2 ·2
3π
= 2 ·1 2
√ 3 + 1
2
√ 3 = 3
2
√ 3.
11. Je moet eerst de vergelijking x(t) = 1 oplossen. Hiervoor gebruik je de regel cos(2t) = 2 cos2t − 1.
2 cos t − cos(2t) = 1, 2 cos t − 2 cos2t + 1 = 1, 2 cos t(1 − cos t) = 0,
2 cos t = 0_
1 − cos t = 0, cos t = 0_
cos t = 1, t = 1
2π + kπ_
t = 2kπ.
2 2
Hier is k geheel. Binnen het interval [0, 2π] zijn de oplossingen t = 0, t = 1π, t = 3π en t = 2π. De oplossingen t = 0 en t = 2π komen overeen
2
met het beginpunt op (1, 0), dus de andere punten moeten overeenkomen met de punten (1, a) en (1, −a). Invullen van t = 1π geeft
y 1 π
= 2 sin 1 2π
− sin (π) = 2 · 1 − 0 = 2.
2 Je hebt dus a = 2.
