De Laplace-of potentiaalvergelijking

De Laplace-of potentiaalvergelijking

(a)P.-S. Laplace 1749-1827

(b)P.G.L. Dirichlet 1805-1859

(c)G.F. Neumann 1832-1925 Figuur:Zij hielden zich bezig met parti¨ele differentiaalvergelijkingen en

hun randvoorwaarden

Voorbeeld

Bij een twee-dimensionaal warmtegeleidingsprobleem moet de temperatuur u(x , y , t) ((x , y ) geeft hierbij de plaats aan en t de tijd) voldoen aan de parti¨ele differentiaalvergelijking

ut = α²(uxx+ uyy) waarbij α²de thermische diffusie is. Wanneer er een

evenwichtstoestand bestaat is dit alleen een functie van x en y die voldoet aan de parti¨ele differentiaalvergelijking

uxx+ uyy = 0

Voorbeeld

Ook in de stromingsleer komt de potentiaalvergelijking voor. Namelijk bij de bestudering van de stroming van niet-visceuze, niet-roterende, onsamendrukbare vloeistoffen in twee dimensies.

Bekijken we op nieuw de stationaire toestand dan voldoen zowel de potentiaalfunctie van de snelheid als de stroomfunctie aan de parti¨ele differentiaalvergelijking

uxx+ uyy = 0 .

Voorbeeld (Dirichlet probleem op een rechthoek)

We hangen een metalen frame in zeepsop en trekken hem eruit. De hoogte van het zeepvlies dat dan ontstaat voldoet aan

uxx+ uyy = 0 (0 < x < 2, 0 < y < 3) u(x , 0) = u(x , 3) = 0 (0 ≤ x ≤ 3)

u(0, y ) = 0, u(2, y ) = sin2πy

3 (0 ≤ y ≤ 2)

Algemene formulering

uxx+ uyy = 0 (0 < x < a, 0 < y < b) u(x , 0) = u(x , b) = 0 (0 ≤ x ≤ a)

u(0, y ) = 0, u(a, y ) = f (y ) (0 ≤ y ≤ b) In het voorbeeld van het zeepvlies geldt:

a = 2, b = 3 en f (y ) = sin2πy 3 .

Stap 1: scheid de variabelen

Het scheiden van de variabelen (door het substitueren van

u(x , t) = X (x )Y (y ) in de parti¨ele differentiaalvergelijking) leidt tot de differentiaalvergelijkingen:

X⁰⁰− λX = 0 Y⁰⁰+ λY = 0

en de homogene randvoorwaarden X (0) = 0 en Y (0) = Y (b) = 0.

Stap 2: onderzoek het eigenwaardeprobleem (§10.5)

Het eigenwaardeprobleem

Y⁰⁰+ λY = 0 (0 < y < b) Y (0) = Y (b) = 0

heeft alleen voor λ = λn=nπ L

²

(n = 0, 1, . . . ) niet-triviale oplossingen.

De oplossingen (eigenfuncties tesamen met nuloplossing) zijn Y = cY_nmet Y_n(y ) = sinnπx

b (c ∈ R, n = 1, 2, . . . )

Stap 3: onderzoek van het tweede randwaarde- probleem (hfdstk 1-3)

We hoeven het beginwaardeprobleem

X⁰⁰− λX = 0 (0 < x < a)

alleen op te lossen voor λ = λn=nπ b

²

(n = 1, 2, . . . ) De algemene oplossing is dan

X = cX1n+ dX2n met X1n(x ) = e^nπxb en X_2n(x ) = e^−nπxb (c, d ∈ R, n = 1, 2, . . . )

Merk op dat X ook geschreven kan worden als

X = (c + d )X1n+ X2n

2 + (c − d )X1n− X2n

2

met X1n(t) = e^nπxb en X2n(t) = e^−nπxb (c, d ∈ R, n = 1, 2, . . . )

Omdat cosh x = e^x+ e^−x

2 en sinh x =e^x− e^−x

2 volgt hieruit dat X = h ˆX_1n+ k ˆX_2n met ˆX_1n(x ) = coshnπx

b en Xˆ_2n(x ) = sinhnπx

b (h, k ∈ R, n = 1, 2, . . . )

De homogene randvoorwaarde X (0) = 0 geeft nu dat h = 0 dus X = k ˆX_2n met ˆX_2n(x ) = sinhnπx

b (k ∈ R, n = 1, 2, . . . )

Stap 4: gebruik de linariteit van het randwaardeprobleem

Stelling

De algemene oplossing van het homogene randwaardeprobleem

uxx+ uyy= 0 (0 < x < a, 0 < y < b) u(x , 0) = u(x , b) = 0 (0 ≤ x ≤ a)

u(0, y ) = 0, u(a, y ) = f (y ) (0 ≤ y ≤ b)

wordt gegeven door

u(x , y ) =

∞

X

n=1

cnXn(x )Yn(y ) =

∞

X

n=1

cnun(x , y )

Stap 5: gebruik Fouriereeksen (§10.2 )

Merk op dat

u(a, y ) = f (y ) voor 0 ≤ y ≤ b alleen maar als f (y ) =

∞

X

n=1

c_nsinhnπa b sinnπy

b voor 0 ≤ y ≤ b

Als cnsinhnπa b = 2

b

b

Z

0

f (y ) sinnπy

b dy (n = 1, 2, . . .) is dit het geval voor alle waarden van y waarvoor de oneven 2b-periodieke uitbreiding van f continu is.

Opnieuw: de zeef

u(x , y ) = sinh^2πx₃ sinh²π sin^2πy₃ .

Voorbeeld

u_xx+ u_yy = 0 (0 < x < a, 0 < y < b) u(x , 0) = f₁(x ), u(x , b) = f₂(x ) (0 ≤ x ≤ a)

u(0, y ) = g₁(y ), u(a, y ) = g₂(y ) (0 ≤ y ≤ b)

Los vier randwaardeproblemen op met drie homogene randvoorwaarden en

´

e´en inhomogene randvoorwaarde. Tel de resultaten bij elkaar op.