De diffusievergelijking (andere randvoorwaarden)

De diffusievergelijking (andere randvoorwaarden)

§10.6, opgave 11

Warmtediffusie in een zilveren staaf (versie II)

Opgave

Gegeven is een staafje van zilver dat 20 cm lang is en een temperatuur heeft van 50^◦C.

Vanaf t = 0 (0^◦C) worden beide uiteinden in een warmtebad geplaatst. Het ene uiteinde in een bad van 20^◦C, het andere in een bad van 60^◦C. Hoe koelt het staafje af?

Laat de temperatuur van het staafje gelijk zijn aan u(x , t) waarbij x de plaats in het staafje is ([cm]) en t het tijdstip is ([sec]).

Dan is u de oplossing van het begin-randwaardeprobleem

ut= α²uxx α²= 1.71 (zie: tabel 10.5.1) u(0, t) = 20, u(20, t) = 60 (t > 0) u(x , 0) = 50 (0 ≤ x ≤ 20)

Algemene formulering

ut = α²uxx

u(0, t) = T1, u(L, t) = T2 (t > 0) u(x , 0) = f (x ) (0 ≤ x ≤ L) In het probleem van het zilveren staafje geldt:

α²= 1.71 (zie: tabel 10.5.1) T1= 20, T2= 60

f (x ) = 50

De randvoorwaarden zijn nu niet homogeen!

Vraag

Wat kunnen we op fysische gronden zeggen over u(x , t) voor t ’groot’.

Dat u(x , t) nauwelijks meer verandert, onafhankelijk wordt van t.

Als lim

t→∞u(x , t) = v (x ) dan moet v voldoen aan:

ut = α²uxx en

v (0) = T1, v (L) = T2

Hieruit volgt achtereenvolgens:

v⁰⁰(x ) = 0 voor 0 < x < L en v (x ) = T1+(T2− T1)

L x

Definitie

De oplossing v van het randwaardeprobleem:

ut= α²uxx ut= 0

u(0, t) = T1, u(L, t) = T2 (t > 0) die onafhankelijk is van t heet de evenwichtsoplossing.

Als w (x , t) = u(x , t) − v (x ) dan is w oplossing van het probleem:

wt = α²wxx

w (0, t) = w (L, t) = 0 (t > 0) w (x , 0) = f (x ) − v (x ) (0 ≤ x ≤ L)

Het laatste probleem kan worden opgelost met hetStappenplan.

En met v en w is ook u gevonden, u(x , t) = v (x ) + w (x , t).

Opnieuw: warmtediffusie in een zilveren staaf (versie II)

u(x , t) = 20 + 2x +20 π

∞

P

n=1

e⁻

^√_1.71nπ 20

2

t (3 + (−1)ⁿ) sin^nπx₂₀ n

Warmtediffusie in een zilveren staaf (versie III)

Opgave

Gegeven is een staafje van zilver dat 20 cm lang is en een temperatuur heeft van 50^◦C.

Beide uiteinden zijn ge¨ısoleerd. Hoe koelt het staafje af?

Laat de temperatuur van het staafje gelijk zijn aan u(x , t) waarbij x de plaats in het staafje is ([cm]) en t het tijdstip is ([sec]).

Dan is u de oplossing van het begin-randwaardeprobleem

ut = α²uxx α²= 1.71 (zie: tabel 10.5.1) ux(0, t) = 0, ux(20, t) = 0 (t > 0) u(x , 0) = 50 (0 ≤ x ≤ 20)

Stap 1: scheid de variabelen

Het scheiden van de variabelen (door het substitueren van

u(x , t) = T (t)X (t) in de parti¨ele differentiaalvergelijking) leidt tot de differentiaalvergelijkingen:

X⁰⁰+ λX = 0 T⁰+ λα²T = 0

en de randvoorwaarden X⁰(0) = X⁰(L) = 0.

( L = 20 en α²= 1.71 in de opgave!)

Stap 2: onderzoek het eigenwaardeprobleem (§10.6)

Het eigenwaardeprobleem

X⁰⁰+ λX = 0 (0 < x < L) X⁰(0) = X⁰(L) = 0

heeft alleen voor λ = λn=nπ L

²

(n = 0, 1, . . . ) niet-triviale oplossingen.

De oplossingen (eigenfuncties tesamen met nuloplossing) zijn X = cX_n met X_n(x ) = cosnπx

L (c ∈ R, n = 0, 1, . . . )

Stap 3: onderzoek van het beginwaarde- probleem (hfdstk 1-3)

We hoeven het beginwaardeprobleem

T⁰+ λα²T = 0 (t > 0)

alleen op te lossen voor λ = λn=nπ L

²

(n = 0, 1, . . . ) De algemene oplossing is dan

T = cT_nmet T_n(t) = e⁻(^αnπ_L )^2t (c ∈ R, n = 0, 1, . . . )

Stap 4: gebruik de linariteit van het randwaardeprobleem

Stelling

De algemene oplossing van het randwaardeprobleem ut = α²uxx

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 (t > 0) wordt gegeven door

u(x , t) = c0

2T0(t)X0(x ) +

∞

X

n=1

cnTn(t)Xn(x ) = c0

2 +

∞

X

n=1

cne⁻(^αnπ_L )^2tcosnπx L

Stap 5: gebruik Fouriereeksen (§10.2 )

Merk op dat

u(x , 0) = f (x ) voor 0 ≤ x ≤ L alleen maar als f (x ) = c0

2 +

∞

X

n=1

c_ncosnπx

L voor 0 ≤ x ≤ L

Als cn= 2 L

L

Z

0

f (x ) cosnπx

L dx (n = 0, 1, . . .)

is dit het geval voor alle waarden van x waarvoor de even 2L-periodieke uitbreiding van f continu is.

Opnieuw: warmtediffusie in een zilveren staaf (versie III)

u(x , t) = 50

Warmtediffusie in een zilveren staaf (versie IV)

Opgave

Gegeven is een staafje van zilver dat 20 cm lang is en een temperatuur heeft van 50^◦C.

Het ene uiteinde wordt in een warmtebad van 20^◦C geplaatst en het andere uiteinde is ge¨ısoleerd. Hoe koelt het staafje af?

Laat de temperatuur van het staafje gelijk zijn aan u(x , t) waarbij x de plaats in het staafje is ([cm]) en t het tijdstip is ([sec]).

Dan is u de oplossing van het begin-randwaardeprobleem

ut= α²uxx α²= 1.71 (zie: tabel 10.5.1) u(0, t) = 20, ux(20, t) = 0 (t > 0) u(x , 0) = 50 (0 ≤ x ≤ 20)

Opnieuw: warmtediffusie in een zilveren staaf (versie IV)

u(x , t) = 20 + 120 π

∞

P

n=1

e⁻

√ 1.71(2n+1)π

40

₂

t sin^(2n+1)πx₄₀ 2n + 1