De diffusievergelijking (theorie)

De diffusievergelijking (theorie)

De wet van Fourier (warmte) en de wet van Fick (gassen, vloeistoffen)

De wet van Fick

Laat ρ [kg /m³of mol /m³] de dichtheid zijn van luchtdeeltjes of vloeistofdeeltjes die wrijvingsloos door de buis stromen als functie van de afstand tot de linkerzijde x ([m]) en de tijd t ([sec]).

De wet van Fick

Volgens de wet van Fick is de transportsnelheid (hoeveelheid deeltjes die zich per tijdseenheid door het oppervlak x = x0 verplaatst kg /sec of mol /sec ) evenredig met de oppervlakte A en het dichtheidsverschil

ρ(x0+∆x

2 , t) − ρ(x0−∆x

2 , t) en omgekeerd evenredig met ∆x . Dus :

transportsnelheid = lim

∆x →0−kA

ρ(x₀+∆x

2 , t) − ρ(x₀−∆x 2 , t)

∆x

Uitwerken geeft:

= lim

∆x →0−kA

ρ(x0+∆x

2 , t) − ρ(x0−∆x 2 , t)

∆x

= −kA lim

∆x →0

(ρ(x0+∆x

2 , t) − ρ(x0, t)) − (ρ(x0−∆x

2 , t) − ρ(x0, t))

∆x

= −kA lim

∆x →0







ρ(x0+∆x

2 , t) − ρ(x0, t) 2∆x

2

+

ρ(x0−∆x

2 , t) − ρ(x0, t)

−2∆x 2







= −kA 1 2

∂ρ(x0, t)

∂x +1 2

∂ρ(x0, t)

∂x



= −kA∂ρ(x0, t)

∂x Dus:

transportsnelheid door oppervlak x = x0is − kA∂ρ(x0, t)

∂x

De toename van de massa per tijdseenheid van het schijfje tussen de oppervlakken x = x0−∆x

2 en x = x0+∆x

2 is ongeveer gelijk aan:

A∆xρ(x0, t + ∆t) − ρ(x0, t)

∆t maar ook aan (wet van Fick):

kA







∂ρ(x0+∆x 2 , t)

∂x −

∂ρ(x0−∆x 2 , t)

∂x







Hieruit volgt dat:

A∆xρ(x0, t + ∆t) − ρ(x0, t)

∆t ≈ kA







∂ρ(x0+∆x 2 , t)

∂x −

∂ρ(x0−∆x 2 , t)

∂x







Linker-en rechterzijde delen door A∆x geeft:

ρ(x0, t + ∆t) − ρ(x0, t)

∆t ≈ k







∂ρ(x0+∆x 2 , t)

∂x −

∂ρ(x0−∆x 2 , t)

∂x





/∆x

en dus:

lim

∆x ,∆t→0

ρ(x0, t + ∆t) − ρ(x0, t)

∆t =

k lim

∆x ,∆t→0







∂ρ(x0+∆x 2 , t)

∂x −

∂ρ(x0−∆x 2 , t)

∂x





/∆x

Hieruit volgt: ∂ρ(x0, t)

∂t = k∂²ρ(x0, t)

∂x²