Z [ m ]. 3 √ Z [ m ].ErzaleenbewijsvoorhetspecialegevalvanDirichletseenhedenstellingwordengegeven.Alslaatstezaleenvoorbeeldwordengegevenvoorhetvindenvandeeenhedenvan 3 √ Z [ m ], m> 0ookkanwordengebruiktbijhetvindenvandeeenhedengroepvan √ Indezescriptiewo

faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen

Eenhedengroep van de ring

Bacheloronderzoek Wiskunde

Juli 2012

Student: E.J. Van Timmeren Eerste Begeleider: Prof. dr. J. Top

Samenvatting In deze scriptie wordt de eenhedengroep bekeken van Z[√³

m]. Hierbij wordt gekeken of de theorie voor de eenhedengroep van Z[√

m], m > 0 ook kan worden gebruikt bij het vinden van de eenhedengroep van Z[√³

m]. Er zal een bewijs voor het speciale geval van Dirichlets eenhedenstelling worden gegeven. Als laatste zal een voorbeeld worden gegeven voor het vinden van de eenheden van Z[√³

m].

Inhoudsopgave

1 Introductie 4

2 De norm van Z[√

m] 5

3 Het oplossen van de vergelijking van Pell met behulp van kettingbreu-

ken 7

3.1 Kettingbreuken . . . 8 3.2 Vergelijking van Pell en kettingbreuken . . . 12 4 Bewijs dat de vergelijking van Pell altijd een niet-triviale oplossing heeft 15 4.1 Voortbrengers van de eenhedengroep . . . 21 5 De norm van Z[√³

m] 24

6 Inbeddingen 26

6.1 Inbeddingen van Z[√

m] in R . . . 26 6.2 Inbeddingen van Z[√³

m] in R of C . . . 28

7 Dirichlets Eenhedenstelling 35

8 Eenhedengroep Z[√³

m]^∗ 41

8.1 De eenhedengroep Z[√³

5]^∗ . . . 41 9 Eenhedengroep van Z[√

m] en Dirichlets eenhedenstelling. 45

10 Conclusie 48

11 Dankwoord 49

A Met behulp van Mathematica eenheden bepalen van Z[√

m] 51

B Met behulp van Mathematica eenheden bepalen van Z[√³

m] 53

Hoofdstuk 1

Introductie

In deze scriptie wordt de eenhedengroep van Z[√³

m] bekeken. We zullen de groepsstruc- tuur van de eenhedengroep Z[√³

m]^∗ bepalen. Voor het vinden van de eenhedengroep in Z[√³

m] zal eerst worden gekeken naar de theorie over de eenhedengroep van Z[√ m], waarbij m geen kwadraat is en m > 0. Hiervoor zal eerst de norm worden gegeven in het geval Z[√

m]. We zullen zien dat deze norm handig is bij het vinden van eenheden in Z[√

m]^∗. Daarna zullen we een link geven tussen de vergelijking van Pell en de norm.

We zullen een methode geven om de vergelijking van Pell op te lossen, met behulp van kettingbreuken. Daartoe zullen we eerst de theorie van kettingbreuken weergeven. Door het oplossen van de vergelijking van Pell kunnen we eenheden vinden van Z[√

m]. Tevens zullen een aantal voorbeelden worden gegeven zodat een duidelijk beeld wordt verkregen van de theorie. Bovendien zal een Mathematica script worden gegeven, zodat eenheden in Z[√

m] kunnen worden gevonden.

In hoofdstuk 5 gaan we over tot de ring Z[√³

m]. Daartoe zullen we eerst opnieuw kijken naar Z[√

m]. We zullen de norm vinden met een andere methode dan in hoofdstuk 2 is gebruikt. Deze methode is handiger voor het vinden van de norm in Z[√³

m]. Om iets te kunnen zeggen over de structuur van de eenhedengroep van Z[√³

m] maken we gebruik van inbeddingen. Ook deze zullen we proberen beter te begrijpen met behulp van Z[√

m].

Vervolgens zal een bewijs van Dirichlets eenhedenstelling worden gegeven in het geval van Z[³

√m].

Als laatste zal met behulp van het computerprogramma Mathematica gekeken worden of er op een gemakkelijker manier dan het simpelweg proberen, eenheden kunnen worden gevonden in Z[√³

m]. De daarbij gebruikte methode passen we tenslotte ook toe op het vinden van eenheden in Z[√

m].

Hoofdstuk 2

De norm van Z[ √ m]

Dit hoofdstuk gaat over het bepalen van eenheden in Z[√

m]. We beperken ons hier tot m ∈ Z>0 die geen kwadraat zijn. In het eerste deel zal worden gekeken welke elementen uit deze ring een eenheid zouden kunnen zijn. Bovendien zullen we de norm bepalen en zien hoe we met behulp van die norm eenheden van Z[√

m] kunnen vinden.

Zoals bekend is een element van een ring R een eenheid, als het voldoet aan de volgende eigenschap:

Definitie 1 Zij R een ring met 1, een element a ∈ R is een eenheid, als er een b ∈ R bestaat zodanig dat:

ab = ba = 1

(Voor achtergrondinformatie over ringen en eenheden, zie [2]). De verzameling van alle eenheden is de eenhedengroep van R, genoteerd als R^∗.

De ring Z[√

m] wordt gedefinieerd door: Z[√

m] = {a + b√

m : a, b ∈ Z}, met m geen kwadraat, m 6= 0.

We kunnen een afbeelding als volgt defini¨eren:

Definitie 2 N : Z[√

m] → Z, N (a + b√

m) = (a + b√

m)(a − b√

m) = a²− mb² Deze afbeelding N wordt de norm genoemd.

De norm voldoet aan de volgende eigenschappen:

• N (α) is de determinant van de Z-lineaire afbeelding “vermenigvuldigen met α”:

Z[

√m] → Z[√ m]

• N (αβ) = N (α)N (β)

• N (0) = 0

• N (1) = 1

De tweede eigenschap volgt onmiddellijk uit de eerste eigenschap, vanwege de lineaire afbeelding.

Voor het vinden van eenheden in Z[√

m]^∗blijkt de norm een handig hulpmiddel, daarvoor gebruiken we stelling 1. Deze stelling is erg belangrijk in de rest van deze scriptie.

Stelling 1

α ∈ Z[√

m]^∗ ⇔ N (α) = ±1 Bewijs

(⇐) α = a + b√

m en we weten N (α) = ±1. Daaruit volgt (a + b√

m)(a − b√

m) = ±1.

Dus ±(a − b√

m) is een inverse van α en dus α ∈ Z[√ m]^∗ (⇒) α ∈ Z[√

m]^∗, dus er is een β ∈ Z[√

m]^∗, zodat αβ = 1. Gebruik makend van de eigenschappen van de norm volgt N (α)N (β) = N (αβ) = N (1) = 1.

Omdat N (α), N (β) ∈ Z, volgt N (α) = N (β) = ±1.

 We zullen kort het geval bekijken dat m negatief is. In het geval m = −1 hebben we te maken met de ring van gehele getallen van Gauss, namelijk: Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}.

Voor het vinden van eenheden in Z[√

m] met m negatief, levert:

a²− mb²= a²+ |m|b² = ±1

Dit geeft a = ±1 en b = 0, en in het geval |m| = 1 ook nog a = 0, b = ±1. Zo verkrijgen we de volgende eenhedengroepen voor m < 0 en m = −1 respectievelijk:

Z[

√m]^∗= {1, −1}

Z[i]^∗= {1, i, −1, −i}

We zijn verder niet in deze eenhedengroepen ge¨ınteresseerd, omdat deze maar twee of vier elementen bevatten. We zullen in de rest van de scriptie aannemen dat m > 0 tenzij anders vermeld.

Hoofdstuk 3

Het oplossen van de vergelijking van Pell met behulp van

kettingbreuken

In dit hoofdstuk zal het verband tussen de eenhedengroep van Z[√

m] en de vergelijking van Pell worden bekeken. Vervolgens zullen we de vergelijking van Pell oplossen met behulp van kettingbreuken. Daartoe zullen we eerst de theorie van kettingbreuken be- handelen.

De Vergelijking van Pell wordt gegeven door:

x²− my²= 1, m ∈ Z≥1, m is geen kwadraat. (3.1) We zagen in stelling 1, dat voor een eenheid α in Z[√

m] geldt dat de norm gelijk is aan

±1. Als N (α) = a²− mb² = 1, dan is deze precies gelijk aan de vergelijking van Pell.

Hieruit volgt onmiddelijk:

P := {x + y√

m : x²− my²= 1} ⊆ Z[√ m]^∗

Als we dus een niet-triviale oplossing voor de vergelijking van Pell kunnen vinden, dan zijn we in staat eenheden te vinden van Z[√

m]. We zien dus dat, als (x, y) ∈ Z × Z een oplossing is van de vergelijking van Pell, dan is x + y√

m ∈ Z[√

m]^∗ een eenheid met norm 1. De eenheden met norm 1 vormen een ondergroep van Z[√

m]^∗

De vergelijking van Pell heeft oneindig veel oplossingen (zoals zal worden bewezen in stelling 3 en stelling 5). We kunnen de vergelijking van Pell oplossen met behulp van kettingbreuken. Om dit te kunnen doen, zullen we eerst bekijken welke regels we nodig hebben omtrent kettingbreuken.

3.1 Kettingbreuken

Kettingbreuken worden gebruikt om irrationale re¨ele getallen α te benaderen door breu- ken. We zullen de meeste bewijzen bij onderstaande stellingen weglaten, omdat dit niet het hoofddoel van deze scriptie is. De stellingen met bijbehorende bewijzen zijn te vinden in [4].

Een algemene eindige kettingbreuk heeft de vorm:

q₀+ 1

q₁+ 1

q₂+ 1

· · · + 1 q_n

. (3.2)

Met q0 ∈ Z en qj ∈ Z≥1, j ≥ 1

Om deze kettingbreuk als ´e´en breuk te kunnen schrijven, defini¨eren we het volgende:

• [∅] = 1

• [q₀] = q0

•

[q0, q1, . . . , qn] = qn[q0, . . . , qn−1] + [q0, . . . , qn−2] (3.3) Deze definitie geldt ook voor re¨ele getallen.

Een algemene eindige kettingbreuk is dan als volgt te schrijven:

q0+ 1

q1+ 1

q2+ 1

· · · + 1 qn

= [q0, . . . , qn]

[q1, . . . , qn]. (3.4)

Om de notatie wat te vergemakkelijken, defini¨eren we het volgende:

An= [q0, · · · qn] (3.5)

Bn= [q1, · · · qn]

We zien hierbij onmiddellijk dat A_n en B_n gehele getallen zijn.

Het opbouwen van α ∈ R met behulp van een kettingbreuk gaat als volgt:

α = q₀+ α⁰ (α⁰ is het niet-gehele deel van α, α⁰ = 1 α1

) α = q0+ 1

α1

(α1 > 1) α1= q1+ 1

α₂ (α2 > 1) α_n= q_n+ 1

α_n+1 (α_n+1 > 1)

Hierbij is q0 het grootste gehele getal kleiner gelijk α en qj is het grootste gehele getal kleiner gelijk α_j, j ≥ 1.

Daaruit volgt:

α = q0+ 1

q1+ 1

· · · + 1 qn+ 1

αn+1

= [q0, q1, · · · , qn, αn+1] [q1, q2, · · · , qn, αn+1]

Nu volgt uit 3.3 en 3.5: [q0, · · · , qn, αn+1] = αn+1[q0, · · · qn] + [q0, · · · , qn−1] = αn+1An+ A_n−1. Zo kunnen we α dus op de volgende manier schrijven:

α = αn+1An+ An−1

α_n+1B_n+ B_n−1

Er is een relatie tussen A_n en B_n die we nog nodig zullen hebben, namelijk:

Lemma 1 AnBn−1− B_nAn−1 = (−1)ⁿ⁻¹ Bewijs

We kunnen de volgende formules afleiden voor A_n en B_n met behulp van 3.3.

A_n= [q₀, · · · q_n] = q_n[q₀, . . . , q_n−1] + [q₀, . . . , q_n−2] = q_nA_n−1+ A_n−2 B_n= [q₁, · · · q_n] = q_n[q₁, . . . , q_n−1] + [q₁, . . . , q_n−2] = q_nB_n−1+ B_n−2

Deze formules kunnen we invullen:

AnBn−1− B_nAn−1 = (qnAn−1+ An−2)Bn−1− (q_nBn−1+ Bn−2)An−1

= −(A_n−1B_n−2− B_n−1A_n−2)

Hier zien we dat f (n) = AnBn−1− B_nAn−1 gelijk is aan −f (n − 1). Daarbij kunnen we de volgende vergelijking opstellen: f (n) = −f (n − 1) = +f (n − 2) = . . . = ±f (1) waarbij

f (n) =

(+f (1) als n is oneven

−f (1) als n is even

Nu rest nog om de waarde van f (1) te berekenen: f (1) = A₁B₀−B₁A₀= [q₀, q₁]·1−q₁·q₀ = (q0q1+ 1) − q0q1 = 1

 We kunnen nu iets zeggen over de benadering van

α = α_n+1A_n+ A_n−1 αn+1Bn+ Bn−1

door A_n Bn

namelijk het verschil wordt gegeven door:

α −An

B_n = αn+1An+ An−1

α_n+1B_n+ B_n−1 −An

B_n = An−1Bn− B_n−1An

B_n(α_n+1B_n+ B_n−1) = ±1

B_n(α_n+1B_n+ B_n−1) Waar het laatste gelijkteken volgt uit lemma 1. We weten: αn+1 > qn+1, dus verkrijgen we de volgende afschatting:

α −A_n Bn

< 1 BnBn+1

(3.6) We weten dat B_nen B_n+1gehele getallen zijn die monotoon stijgen, dus B_nwordt groter naarmate n stijgt. Hieruit volgt:

n→∞lim A_n Bn

= α Bovendien zien we:

α − A_n Bn

< 1 B²_n

Zo zien we dus dat kettingbreuken een hele goede benadering kunnen geven van een α ∈ R, Een kettingbreuk is puur periodiek, als na een bepaalde q_n de reeks weer opnieuw wordt begonnen met q₀. Dus een getal β heeft een puur periodieke kettingbreuk, als het ge- schreven kan worden als:

β = q0+ 1

q1+ 1

· · · + 1

q_n+ 1

q₀+ 1 q1+ · · ·

Stelling 2 Een kwadratisch irrationaal getal α heeft een puur periodieke kettingbreuk als α groter dan 1 is en als zijn geconjugeerde tussen −1 en 0 ligt.

Voor het oplossen van de vergelijking van Pell hebben we de kettingbreuk van een wortel nodig. Zeg √

m, m geen kwadraat. De geconjugeerde van √

m = q0+ . . . is −√ m =

−q₀+ . . .. Hier zien we dus dat de geconjugeerde niet tussen 0 en 1 ligt. Nemen we nu de wortel √

m + q₀, dan is de geconjugeerde 0 < −√

m + q₀ < 1. Uit stelling 2 volgt nu dat de kettingbreuk van√

m + q0 puur periodiek is. Dus

√m + q₀= 2q₀+ 1

q₁+ 1

· · · + 1

q_n+ 1

2q₀+ 1 q₁+ · · ·

Daaruit volgt dat elke willekeurige wortel uit de natuurlijke getallen, die geen kwadraat zijn, te schrijven is als:

√m = q0+ 1

q1+ 1

· · · + 1

qn+ 1

2q0+ 1 q₁+ · · ·

We zullen hieronder twee voorbeelden van kettingbreuken bekijken, omdat we deze breu- ken nog vaker terug zullen zien.

Voorbeeld 1 We zullen nu de kettingbreuk van √

5 uitrekenen.

√

5 = 2 + (

√

5 − 2) = 2 + 1

√1 5−2

= 2 + 1

√ 5+2 (√

5−2)(√ 5+2)

= 2 + 1

√ 5 + 2

= 2 + 1

2 + 2 + (√

5 − 2) = 2 + 1

4 + 1

√ 1 5 − 2

= 2 + 1

4 + 1

√5 + 2

= 2 + 1

4 + 1 4 + · · · We zien hier dus q0 = 2 en 2q0= 4.

Voorbeeld 2 Op dezelfde manier als in voorbeeld 1 kunnen we de kettingbreuk van √ 3 bepalen. Deze wordt gegeven door:

√

3 = 1 + 1

1 + 1

2 + 1

1 + 1 2 + · · · Hier zien we q₀ = 1, q₁ = 1 en 2q₀ = 2.

3.2 Vergelijking van Pell en kettingbreuken

We zullen nu verder gaan met het oplossen van de vergelijking van Pell (zie vergelijking 3.1), x²− my² = 1, m ∈ N, m geen kwadraat met behulp van kettingbreuken. Allereerst zullen we√

m schrijven als kettingbreuk:

√m = q0+ 1

q1+ 1

· · · + 1

qn+ 1

2q0+ 1 q1+ · · ·

= q0+ 1

q1+ 1

· · · + 1 qn+ 1

mn+1

Daaruit volgt:

m_n+1= 2q₀+ 1 q₁+ 1

· · ·

=√ m + q₀

We kunnen √

m dus schrijven als volgt:

√m = (√

m + q₀)A_n+ A_n−1 (√

m + q0)Bn+ Bn−1

Daaruit volgt:

√m(√

m + q₀)B_n+√

mB_n−1 = (√

m + q₀)A_n+ A_n−1 mB_n+√

mq₀B_n+√

mB_n−1 =√

mA_n+ q₀A_n+ A_n−1 mB_n+ (q₀B_n+ B_n−1)√

m = q₀A_n+ A_n−1+√ mA_n We weten dat√

m irrationaal is en dat q₀, B_n, B_n−1, A_n, A_n−1gehele getallen zijn. Daarom kunnen we de volgende paar vergelijkingen opstellen:

mB_n= q₀A_n+ A_n−1 en q₀B_n+ B_n−1 = A_n

Dit kunnen we oplossen voor An−1 en Bn−1.

An−1= mBn− q₀An en Bn−1= An− q₀Bn

We gebruiken nu lemma 1 voor de relatie tussen A_n en B_n, waarbij we de gevonden formules voor An−1 en Bn−1 invullen.

AnBn−1− B_nAn−1= (−1)ⁿ⁻¹ An(An− q₀Bn) − Bn(mBn− q₀An) = (−1)ⁿ⁻¹ An²− q₀A_nB_n− mB_n²+ q₀A_nB_n= (−1)ⁿ⁻¹ A²_n− mB_n² = (−1)ⁿ⁻¹

Als we nu x = A_n en y = B_n nemen, hebben we een oplossing voor de vergelijking van Pell gevonden, in het geval dat n is oneven. Maar we weten dat, voor het vinden van de eenheden in Z[√

m], het genoeg was, dat de norm gelijk was aan ±1, dus: a²− mb² = ±1.

We zien dus dat, met deze methode en het nemen van x = A_nen y = B_n, we een eenheid hebben gevonden voor elke positieve √

m die geen kwadraat is. Het is een stelling dat deze methode altijd de kleinste oplossing groter dan 1 voor de vergelijking van Pell geeft.

In stelling 3 en 5 zal worden bewezen dat er voor de vergelijking van Pell een kleinste, niet-triviale, oplossing bestaat. Ook zal blijken dat alle andere eenheden met behulp van deze kleinste eenheid gevonden kunnen worden.

Vervolg voorbeeld 1 We hebben voor√

5 de volgende kettingbreuk gevonden:

√

5 = 2 + 1 4 + 1

4 + 1

· · ·

We zagen: q0 = 2. Hieruit volgt dat An = [q0] = [2] = 2 en Bn = [∅] = 1, dus x = 2, y = 1. Zo vinden we dus dat de norm wordt gegeven door 2²− 5 · 1² = −1. De kleinste eenheid in Z[√

5]^∗ is dus: 2 +√

5. Een inverse voor 2 +√

5 wordt gegeven door: −2 +√ 5.

Voor een oplossing van de vergelijking van Pell, kunnen we deze eenheid kwadrateren, zo verkrijgen we een x en y die voldoen aan x²−my² = 1. Zo vinden we (2+√

5)²= 9+4√ 5, dus x = 9 en y = 4.

Vervolg voorbeeld 2 We weten

√

3 = 1 + 1

1 + 1

2 + 1

1 + 1 2 + · · ·

Dus A_n= [1, 1] = 1[1] + 1 = 1 · 1 + 1 = 2 en B_n= [1] = 1. Hieruit volgt dat 2²− 3 · 1² = 1.

De kleinste eenheid in Z[√

3]^∗ wordt dus gegeven door: 2 +√ 3.

In bijlage A is een mathematica script te vinden die eenheden voor elke willekeurige m, m geen kwadraat en m positief, de kleinste eenheid berekent van de ring Z[√

m] en enkele machten daarvan. Zo kunnen we dus zonder “trial and error”de kleinste eenheid berekenen. Vervolgens kunnen we dan met stelling 6 de complete structruur van Z[√

m]^∗ bepalen, zoals we aan het einde van hoofdstuk 4 zullen zien voor √

3 en√ 5.

Hoofdstuk 4

Bewijs dat de vergelijking van Pell altijd een niet-triviale oplossing

heeft

In deze pargraaf werken we toe naar een bewijs dat de vergelijking van Pell altijd een niet-triviale oplossing heeft. In het vorige hoofdstuk hebben we dit al gezien, namelijk door het oplossen van de vergelijking van Pell met behulp van kettingbreuken. We zullen in dit hoofdstuk, met een bewijs gegeven door Dirichlet, bewijzen dat de vergelijking van Pell altijd een niet-triviale oplossing heeft, dit is terug te vinden in [7]. Om dit te kunnen bewijzen hebben we eerst wat voorkennis nodig, die zal worden genoemd in onderstaande stellingen en lemma’s (uit [7]).

Lemma 2 Beschouw de verzameling gehele getallen van de vorm: x ± y√

m, waarbij x, y een niet negatieve gehele oplossing (mag triviaal zijn) voor de vergelijking van Pell (3.1) is (m is positief en geen kwadraat). Deze verzameling vormt een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep van positieve re¨ele getallen.

Bewijs

De verzameling H = x ± y√

m is een ondergroep als voldaan is aan:

i) e = 1 + 0√

m ∈ H. Om te laten zien dat e ∈ H, moeten we laten zien dat (1, 0) een oplossing is van de vergelijking van Pell. Dus 1 − m ∗ 0 = 1. Dit is zeker waar, dus e ∈ H.

ii) ∀x₁± y₁√

m, x₂± y₂√

m ∈ H geldt x · y ∈ H.

We gebruiken nu de volgende vermenigvuldigingen: (x1+ y1

√m)(x2+ y2

√m) = (x1x2+ y₁y₂m)+(x₁y₂+x₂y₁)√

m en (x₁−y₁√

m)(x₂−y₂√

m) = (x₁x₂+y₁y₂m)−(x₁y₂+x₂y₁)√ m.

Als we nu controleren dat x = x₁x₂ + y₁y₂m en y = x₁y₂ + x₂y₁ een oplossing van de vergelijking van Pell is, dan x · y ∈ H.

x² = (x1x2+ y1y2m)(x1x2+ y1y2m) = x₁²x²₂+ 2x1x2y1y2m + y₁²y²₂m², y²= (x1y2+ x2y1)(x1y2+ x2y1) = x²₁y²₂+ x²₂y₁²+ 2x1y2x2y1.

Dit vullen we in in de vergelijking van Pell:

x² − my² = x²₁x²₂ + 2x1x2y1y2m + y₁²y₂²m² − x²₁y²₂m − x²₂y₁²m − 2x1y2x2y1m = x²₁x²₂ + y₁²y²₂m²− x²₁y₂²m − x₂²y²₁m = (x²₁− my₁²)(x²₂− my₂²) = 1 · 1 = 1

iii) ∀x + y√

m geldt x⁻¹ ∈ H. Dit volgt onmiddellijk uit 1 + 0√

m = 1 = x²− my² = (x + y√

m)(x − y√

m). Daaruit volgt onmiddellijk dat x⁻¹∈ H.

 Stelling 3 Als de vergelijking van Pell een niet-triviale oplossing heeft, dan zijn er onein- dig veel. Namelijk stel dat (x1, y1) de kleinste oplossing is, dat wil zeggen x1 > 1, y1 > 0 met een zo klein mogelijke x₁ en y₁. x₁ + y₁√

m is dan een eenheid is met norm 1.

Dan worden de andere positieve eenheden met norm 1 berekend door: (x1 + y1

√m)ⁿ = x_n+ y_n√

m, n ∈ Z≥0. Waarbij (x_n, y_n) een oplossing voor de vergelijking van Pell is.

Bewijs

De vergelijking van Pell wordt gegeven door: x² − my² = 1, herschrijven we dit, dan verkrijgen we: x² = 1 + my². We zien door de vorm van deze vergelijking dat x groeit op het moment dat y groeit. Dus als er een niet-triviale oplossing is, dan volgt hieruit dat er een kleinste is met x1 > 1 en y1 > 0. We noemen voor het gemak deze kleinste oplossing δ = x₁+ y₁√

m. Dus 1 = δ⁰ < δ < δ² < · · · . Stel nu dat (x, y) een oplossing voor de vergelijking van Pell is. Door gebruik van de Archimedische eigenschap van de re¨ele getallen te maken, weten we dat er een n ∈ N is, zodat:

δⁿ≤ x + y√

m < δⁿ⁺¹. (4.1)

Als we nu kunnen aantonen dat x + y√

m = δⁿ, dan zien we dat er tussen δⁿ en δⁿ⁺¹ geen andere oplossing voor de vergelijking van Pell bestaat, en is het bewijs geleverd.

Vergelijking 4.1 kunnen we als volgt schrijven:

x_n+ y_n√

m ≤ x + y√

m < x_n+1+ y_n+1√

m, en dus volgt 1 ≤ (x + y√

m)(x_n− y_n√

m) < x₁+ y₁√ m.

Het laatste volgt uit: x_n+1 + y_n+1√

m = (x_n+ y_n√

m)(x₁ + y₁√

m). We weten dat x₁ + y₁√

m minimaal is. Uit lemma 2 volgt dat een product van twee oplossingen nog steeds een oplossing van de vergelijking van Pell is. Daaruit volgt dat:

(x + y√

m)(xn− y_n√

m) = 1, en daarom x + y√

m = xn+ yn

√m.

We zien hieruit dat tussen δⁿ en δⁿ⁺¹ geen andere oplossing van de vergelijking van Pell ligt. Dus worden alle oplossingen gegeven door een veelvoud van de kleinste oplossing, mits er een niet triviale oplossing bestaat.

 Voordat we verder gaan, zullen we eerst het Ladenprincipe geven, zie [1]. We zullen dit niet bewijzen, omdat de stelling triviaal is. We hebben het Ladenprincipe nodig bij lemma 3. Bovendien zullen we het Ladenprincipe nog nodig hebben om aan te tonen dat Z[³

√m]^∗ 6= {±1}.

Stelling 4 Ladenprincipe Als n objecten worden verdeeld in m niet-lege verzamelingen, met n > m, dan is er minstens ´e´en m die meer dan ´e´en object bevat.

Als (x, y) een oplossing van de vergelijking van Pell is, dan vormt ^x_y een goede benadering van√

m.

x²− my²= 1 x²

y² − m = 1 y² x²

y² = m + 1 y² x

y = r

m + 1 y² =√

m +θ

y, 0 < θ < 1

Dit is precies wat we ook zagen bij de kettingbreuken. We konden een oplossing van de vergelijking van Pell vinden met behulp van x = An en y = Bn. We zagen daarbij dat

|√

m −^A_Bⁿ

n| < _B ¹

nBn−1 (zie formule 3.6).

Lemma 3 Zij q een irrationaal getal. Er zijn oneindig veel rationale getallen ^x_y (met x, y relatief priem, dat is ggd(x, y) = 1), zodat:

0 < |q −^x_y| < _y¹₂ Bewijs

We zullen eerst bewijzen dat het volgende geldt:

Voor een getal n ∈ N>1 geldt: er zijn gehele getallen x, y met 0 < y ≤ n, zodat:

0 < |q −^x_y| < _ny¹

We nemen n + 1 getallen: {0q}, {1q}, · · · {nq}. Waarbij {α} = a − bac, (met bac de floor functie) dus het niet-gehele deel van α. Deze n + 1 getallen zijn paarsgewijs disjunct, namelijk stel dat er twee hetzelfde zijn, zeg: {iq} = {jq}, dan volgt: iq − biqc = jq − bjqc.

Hieruit volgt dat q = ^biqc−bjqc_i−j . Dit is een rationaal getal. Hieruit volgt een tegenstelling, want q is een irrationaal getal en dus volgt i = j.

We hebben dus n + 1 paarsgewijs disjuncte getallen.

We kunnen het interval [0, 1) opdelen in n gelijke stukken op de volgende manier:

[0,¹_n), [_n¹,_n²), · · · , [ⁿ⁻¹_n , 1). We maken nu een afbeelding die {iq} stuurt naar het deelin- terval dat {iq} bevat. We zien dat we n deelintervallen hebben en dat we n + 1 getallen hebben. Nu volgt uit het Ladenprincipe (stelling 4) dat er twee disjuncte getallen zich in hetzelfde interval bevinden, zeg {iq} en {jq} met i > j. Dus

0 < |{iq} − {jq}| < 1 n 0 < |(i − j)q − (biqc − bjqc)| < 1 n 0 < |yq − x| < 1 n

De laatste vergelijking volgt uit het hernoemen van variabelen: x = biqc−bjqc en y = i−j.

Delen door y geeft het gewenste resultaat:

0 < |q −^x_y| < _ny¹ .

Vanwege onze keuze van y, namelijk 0 < y ≤ n, volgt _ny¹ ≤ _y¹₂. En hieruit volgt het bewijs van lemma 3: 0 < |q −^x_y| < _y¹₂ .

 Stelling 5 De vergelijking van Pell, x² − my² = 1, m geen kwadraat, heeft een niet- triviale oplossing.

Bewijs

Allereerst passen we lemma 3 toe op de vergelijking:

x²− my²= k (4.2)

Voor een geheel getal k dat voldoet aan: |k| < 1 + 2√

m, laten we zien dat vergelijking 4.2 oneindig veel oplossingen heeft. Laat x, y voldoen aan:

|√ m −x

y| < 1 y²

|y√

m − x| < 1 y

De eerste regel volgt uit lemma 3. Hieruit kunnen we de restrictie voor k afleiden, name- lijk:

|k| = |x²− my²] = |x − y√

m| · |x + y√ m|

= |x − y√

m| · |x − y√

m + 2y√ m|

≤ |x − y√

m| · (|x − y√

m| + 2y√ m)

< 1 y(1

y + 2y√ m)

= 1 y² + 2√

m

≤ 1 + 2√ m De ongelijkheid |x²− my²] < 1 + 2√

m heeft oneindig veel gehele oplossingen x, y en dus heeft x²− my² = k oneindig veel oplossingen voor een bepaalde k.

Volgens lemma 2 geeft het vermenigvuldigen van twee oplossingen van de vergelijking van Pell een nieuwe oplossing van de vergelijking van Pell. Nu volgt dat het vermenigvuldigen van een oplossing van de vergelijking van Pell met een oplossing van de vergelijking 4.2 een nieuwe oplossing geeft voor vergelijking 4.2. Daaruit volgt dat, als we twee oplossingen van vergelijking 4.2 delen, die dezelfde waarde voor x²− my² hebben, we een oplossing van de vergelijking van Pell verkrijgen. Het nadeel hieraan is dat deze oplossing niet geheel hoeft te zijn. Toch kunnen we hiermee bewijzen dat er altijd een niet-triviale gehele oplossing is.

Stel x₁, y₁ en x₂, y₂ zijn twee oplossingen van 4.2, dan:

x₁+ y₁√ m x2+ y2

√m = x₁+ y₁√ m x2+ y2

√m ·x₁− y₁√ m x2− y₂√

m

= (x1x2− y₁y2m) − (x1y2− x₂y1)√ m k

= x1x2− y₁y2m

k −x1y2− x₂y1

k

√m

= x + y√ m

Waarbij de laatste vergelijking volgt uit het hernoemen van variabelen. Het blijkt handig om de volgende berekening uit te voeren:

k²(x²− my²) = (kx)²− m(ky)²

= (x1x2− y₁y2m)²− m(x₁y2− x²y1)²

= x²₁(x²₂− my²₂) + my₁²(my²₂− x²₂)

= x²₁k − kmy₁²

= k(x²₁− my₁²)

= k²

Daaruit volgt dus dat x²− my² = 1, met x = |x₁x2− y₁y2m|

|k| en y = |x₁y2− x₂y1|

|k|

Nu rest ons nog om te laten zien dat (x1, y1) en (x2, y2) zo gekozen kunnen worden, dat de oplossing (x, y) voor de vergelijking van Pell geheel is en dat x 6= 1 en y 6= 0.

We kunnen een equivalentierelatie opbouwen, namelijk twee oplossingen voor 4.2 zijn equivalent, als geldt:

(x1, y1) ∼ (x2, y2) ⇔ x1≡ x₂ mod k en y1 ≡ y₂ mod k

Door de oneindigheid van het aantal oplossing van 4.2 kunnen we altijd een klasse vinden die twee verschillende paren getallen heeft, die voldoen aan deze equivalentierelatie. Zeg dat die twee paren (x1, x2) en (y1, y2) zijn. We gaan nu aantonen dat x1x2− y₁y2m ≡ 0 mod k en x₁y₂− x₂y₁ ≡ 0 mod k:

x₁x₂− y₁y₂m ≡ x²₁− my₁² ≡ 0 mod k (4.3) x₁y₂− x₂y₁ ≡ x₁y₁− x₁y₁ ≡ 0 mod k (4.4) Waarbij 4.3 volgt uit het feit dat x1 ≡ x₂mod k en y1 ≡ y₂ mod k. Hieruit volgt dat x en y geheel zijn. Dus er bestaan oplossingen waarvoor x en y geheel zijn.

Nu rest ons nog aan te tonen dat x 6= 1 en y 6= 0. Stel nu dat x = 1 en y = 0. Dan volgt daaruit x1x2− y₁y2m = ±k en x1y2− x₂y1= 0 ⇒ x1y2= x2y1. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met x1 en vullen dan x1y2 = x2y1 in:

±x₁k = x²₁x₂− y₁y₂x₁m = x²₁x₂− mx₂y₁² = x₂(x²₁− my₁²) = x₂k

Daaruit volgt: x1 = ±x2. We weten dat beide positief zijn, dus x1 = x2. Daaruit volgt y₁ = y₂. Maar onze aanname was dat (x₁, y₁) en (x₂, y₂) verschillende oplossingen waren voor 4.2. Dus dit is een tegenstelling, dus x 6= 1 en y 6= 0.



4.1 Voortbrengers van de eenhedengroep

We kunnen nu bewijzen dat de eenhedengroep Z[√

m]^∗uit de voortbrengers van de kleinste eenheid bestaat.

Stelling 6 Z[√

m]^∗= {±β^q: q ∈ Z}, waarbij β > 1 de kleinste eenheid is.

Bewijs

Voor het vinden van eenheden in Z[√

m] moeten we de vergelijking: x² − my² = ±1 oplossen. Uit stelling 5 weten we dat de vergelijking van Pell, x²− my² = 1, altijd een niet-triviale oplossing heeft. Hebben we een oplossing (x, y) voor x²− my² = −1, dan kunnen we daarvan wel een oplossing voor de vergelijking van Pell maken, namelijk op de volgende manier:

N (x + y√

m) = −1, dan volgt N ((x + y√

m)²) = 1.

Hiermee vinden we dus dat de N (α) = x²− my² = ±1 altijd een niet-triviale oplossing heeft.

Uit het bewijs van stelling 3 volgt dat, omdat de vergelijking van Pell een niet-triviale oplossing heeft, deze een minimum oplossing heeft. Deze ‘kleinste’ eenheid noemen we β. Verder volgt uit stelling 3 dat alle andere oplossingen een macht zijn van de kleinste oplossing. Daaruit volgt dus dat de verzameling {β^q: q ∈ Z>0} ⊂ Z[√

m]^∗. Als we m = 0 nemen, dan verkrijgen we de triviale eenheid: 1 + 0√

m.

Uit stelling 1 volgt dat α ∈ Z[√

m]^∗ ⇔ N (α) = ±1. Waarbij de norm gegeven wordt door: N (a + b√

m) = (a + b√

m)(a − b√

m) = a²− mb². Dus een a + b√

m ∈ Z[√ m], als (a + b√

m)(a − b√

m) = ±1. Hieruit volgt onmiddellijk dat als β een eenheid is, dat −β ook een eenheid is. Het feit dat β^−m ook een eenheid is volgt uit het feit dat de eenheden een groep vormen. Vanwege de norm zijn ook a − b√

m en −a + b√

m eenheden. Dus volgt: Z[√

m]^∗ = {±β^q : q ∈ Z}.

 Vervolg voorbeeld 1 We hebben voor√

5 de volgende kleinste eenheid gevonden: 2+√ 5 met norm −1. Zo vinden we dus:

Z[

√

5]^∗= {±(2 +√

5)^q : q ∈ Z}

Hieronder staat een tabel met de eerste tien eenheden van Z[√

5]. Deze zijn gevonden met behulp van Mathematica. De methode daarvoor is beschreven in Appendix A.

Eenheid Norm 2 +√

5 -1

9 + 4√

5 1

38 + 17√

5 -1

161 + 72√

5 1

682 + 305√

5 -1

2889 + 1292√

5 1

12238 + 5473√

5 -1

51841 + 23184√

5 1

219602 + 98209√

5 -1

930249 + 416020√

5 1

Vervolg voorbeeld 2 De kleinste eenheid in Z[√

3]^∗ wordt gegeven door: 2 +√ 3 met norm 1. Zo zien we:

Z[

√

3]^∗= {±(2 +√

3)^q : q ∈ Z}

Tabel met de eerste tien eenheden van Z[√

3] is de volgende:

Eenheid Norm

2 +√

3 1

7 + 4√

3 1

26 + 15√

3 1

97 + 56√

3 1

362 + 209√

3 1

1351 + 780√

3 1

5042 + 2911√

3 1

18817 + 10864√

3 1

70226 + 40545√

3 1

262087 + 151316√

3 1

Voorbeeld 3 Niet alle eenheden zijn zo klein als bij de ringen Z[√

5] en Z[√

3]. In dit voorbeeld bekijken we de eerste tien eenheden van Z[√

31]. Met behulp van Mathematica vinden we dat daar de kleinste eenheid de volgende is: 1520 + 273√

31, met norm 1. Zo zien we dus dat de eenhedengroep Z[√

31]^∗ wordt gegeven door:

Z[

√

31]^∗ = {±(1520 + 273√

31)^q: q ∈ Z}

Voor de eerste tien eenheden verkrijgen we dan de volgende tabel:

Eenheid Norm 1520 + 273√

31 1

4620799 + 829920√

31 1

14047227440 + 2522956527√

31 1

42703566796801 + 7669787012160√

31 1

129818829015047600 + 23316149994009873√

31 1

394649197502177907199 + 70881088312003001760√

31 1

1199733430587791822837360 + 215478485152339131340527√

31 1

3647189234337689639247667201 + 655054523982022647272200320√

31 1

11087454072653145915521085453680 + 1991365537426863695368357632273√

31 1

33705856733676329245494460531519999 + 6053750578723141651897159929909600√

31 1

Hoofdstuk 5

De norm van Z[ √ ³ m]

In de komende hoofdstukken gaan we eenheden proberen te vinden in Z[√³

m], waarbij m ∈ Z geen derde macht van een geheel getal is en m > 0. In onderstaande hoofdstukken zullen β1, β2, β voortdurend worden genoemd, dit zijn eenheden van Z[√³

m], tenzij anders vermeld. De ring Z[√³

m] ziet er als volgt uit:

Z[³

√m] = {a + b√³

m + c√³

m² : a, b, c ∈ Z} (5.1)

We zagen in hoofdstuk 2 dat we eenheden konden vinden in Z[√

m], m geen kwadraat, doormiddel van het oplossen van de normvergelijking N (α) = ±1, α ∈ Z[√

m]. Bij Z[³

√m] gaat dit op dezelfde manier. Ook hier zijn eenheden te vinden door het oplossen van N (α) = ±1, met α ∈ Z[√³

m]. Het vinden van deze norm kan nog op een andere manier dan we in hoofdstuk 2 zagen. We zullen dit eerst doen voor de ring Z[√

m], om het vervolgens uit te breiden naar Z[√³

m]

We starten met een basis voor Z[√

m], we kiezen de basis 1,√

m. We vermenigvuldigen een element a + b√

m met de twee elementen van de basis. Namelijk:

1 · (a + b√

m) = a + b√

m (5.2)

√m · (a + b√

m) = bm + a√

m (5.3)

We kunnen dit als volgt in matrix vorm schrijven:

h

1 √

m i

"

a bm

b a

#

=

"

a + b√ m bm + a√

m

#T

De determinant van de tweede matrix geeft de norm:

a bm

b a

= a²− mb².

Op dezelfde manier kunnen we een norm bepalen voor Z[√³

m]. Hier kunnen we de basis als volgt kiezen: 1,√³

m,√³

m². Vermenigvuldigen we ook hier een element α = a + b√³ m + c√³

m² ∈ Z[√³

m] met de basis verkrijgen we het volgende:

1 · (a + b√³

m + c√³

m²) = a + b√³

m + c√³ m²

√3

m(a + b√³

m + c√³

m²) = a√³

m + b√³

m²+ cm

√3

m²(a + b√³

m + c√³

m²) = a√³

m²+ bm + cm√³ m Zetten we dit opnieuw in een matrix vorm dan verkrijgen we het volgende:

h 1 √³

m √³ m²

i







a cm bm

b a cm

c b a





=







a + b√³

m + c√³ m² cm + a√³

m + b√³ m² bm + cm√³

m + a√³ m²







T

Bereken we ook hier de determinant dan wordt de norm gegeven door:

N [α] =       

a cm bm

b a cm

c b a

= a³+ b³m + c³m²− 3abcm (5.4)

Eenheden van Z[√³

m], waarbij m geen derdemachtswortel en m > 0, voldoen aan: a³+ b³m + c³m² − 3abcm = ±1. De kettingbreuk van √³

m is niet puur periodiek, daarom kunnen we zonder generalisatie van de kettingbreuken de vergelijking a³+ b³m + c³m²− 3abcm = ±1 niet oplossen. Daarom gaan we proberen met een ‘speciaal geval’ van Di- richlets eenhedenstelling eenheden te vinden. Daartoe hebben we de theorie in komende hoofdstukken nodig.

Hoofdstuk 6

Inbeddingen

6.1 Inbeddingen van Z[ √

m] in R

Om een beter begrip van de eenheden in Z[√³

m] te krijgen, zullen we nogmaals de een- heden van de ring Z[√

m], m > 0, m geen kwadraat, bekijken. We zullen een deel van de bewijzen weglaten, omdat die in de volgende subsectie zullen worden gegeven in het geval van Z[√³

m]. De bewijzen zijn in het geval van Z[√

m] eenvoudiger.

We kunnen bij Z[√

m] twee inbeddingen maken. Een inbedding is een injectief ringhomo- morfisme van een ring R ⊂ F naar F , σ : R → F . We maken gebruik van de nulpunten van X²− m, namelijk α₁ =√

m, α2 = −√

m. De twee inbeddingen worden gegeven door:

σ1.0: Z[√

m] → R (6.1)

a + b√

m 7→ a + bα1= a + b√ m σ_2.0: Z[√

m] → R (6.2)

a + b√

m 7→ a + bα₂= a − b√ m

We zien dat σ_1.0 en σ_2.0 injectieve ringhomomorfismen zijn. We kunnen een afbeelding maken van de eenhedengroep naar een beeld L₂ ⊂ R².

f₁ : Z[√

m]^∗→ L₂ ⊂ R² (6.3)

β 7→ (log |σ_1.0(β)|, log |σ_2.0(β)|)

Lemma 4 De norm N (β) kan worden gegeven door: N (β) = σ_1.0(β)σ_2.0(β), waarbij N (β) = a²− mb²

Bewijs

N (β) = (a + b√

m)(a − b√

m) = a²− mb²



Lemma 5 Het beeld van f1 ligt op de lijn x + y = 0.

Bewijs

1 = |N (β)| =

2

Y

i=1

|σ_i.0(β)|, en dus

0 =

2

X

i=1

log |σi.0(β)| = log |σ1.0(β)| + log |σ2.0(β)|

= x + y

 Lemma 6 Een eenheid β ∈ Z[√

m] voldoet aan Q2

i=1(X − σi.0(β)), met co¨effici¨enten in Z.

Bewijs

2

Y

i=1

(X − σ_i.0(β)) = (X − σ_1.0(β))(X − σ_2.0(β))

= X²− (σ_1.0(β) + σ2.0(β))X + σ1.0(β)σ2.0(β)

= X²− (a + b√

m + a − b√

m)X + a²− mb²

= X²− 2aX + a²− mb²

= X²− 2aX ± 1

De afbeelding σ_1.0 is de identiteitsafbeelding en dus volgt hieruit onmiddellijk dat een eenheid β hieraan voldoet.

 Stelling 7 Het beeld van f1 is van de vorm Z · γ, voor vaste γ ∈ L2

Bewijs

Uit stelling 6 weten we dat de eenhedengroep bestaat uit: Z[√

m]^∗ = {±β^±p : p ∈ Z≥0}.

De afbeelding f1 stuurt een eenheid β naar (log |σ1.0|, log |σ_2.0|). We onderscheiden nu 3 gevallen: β^±p, −β^±p (p ∈ Z>0) en ±β⁰.

We zullen laten zien dat het beeld dan exact van de vorm Z · γ is:

f₁(β^±p) = (log |σ_1.0(β^±p)|, log |σ_2.0(β^±p)|)

= (log |σ_1.0(β)|^±p, log |σ_2.0(β)|^±p)

= (±p log |σ_1.0(β)|, ±p log |σ_2.0(β)|)

= ±p(log |σ_1.0(β)|, log |σ_2.0(β)|)

f1(−β^±p) = −f1(β^±p) = ∓p(log |σ1.0(β)|), log |σ2.0(β)|))

f1(±β⁰) = f1(±1) = (log| ± 1|, log| ± 1|) = (0, 0) = ±0(log |σ1.0(β)|), log |σ2.0(β)|)) Hieruit volgt onmiddellijk dat het beeld van f₁ van de vorm Z · γ is, voor vaste γ ∈ L2, waarbij γ = f1(β), met β de kleinste eenheid groter dan ´e´en.

 Hieruit volgt dus dat het beeld van f₁discreet is, dus dat het aantal f₁(β) met β ∈ Z[√

m]^∗ in een begrensd gebied kleiner dan oneindig is. Als we nu in het geval van de ring Z[√³

m]

kunnen laten zien dat het beeld van f : Z[√³

m]^∗ → H ⊂ R² discreet is, dus dat het aantal f (β) met β ∈ Z[√³

m]^∗ in een begrensd gebied kleiner dan oneindig is, dan zijn we een stap dichter bij een oplossing hoe de eenhedengroep Z[√³

m]^∗ eruit ziet. Daarvoor zullen we eerst inbeddingen van Z[√³

m] in R of C bekijken. In stelling 12 zal worden bewezen dat het beeld van f : Z[√³

m]^∗→ H ⊂ R² discreet is.

6.2 Inbeddingen van Z[ √

m] in R of C

Om een beeld te krijgen van de eenhedengroep Z[√³

m] maken we ook hier gebruik van inbeddingen. Voor het maken van deze inbeddingen, maken we gebruik van de nulpunten van het polynoom: X³− m = 0, deze heeft drie nulpunten in C. We noemen ze: α1 ∈ R, α₂ ∈ C en α3 = α₂∈ C. De nulpunten worden gegeven door:

α₁ =√³

m (6.4)

α₂ = e^2πi3 √³

m = −1 2

√3

m +1 2

√ 3√³

mi (6.5)

α₂ = e^4πi3 √³

m = −1 2

√3

m −1 2

√ 3√³

mi (6.6)

We weten dat Z[√³

m] ⊂ R ⊂ C. We gebruiken nu de volgende drie inbeddingen, waarbij we α =√³

m gebruiken:

σ₁ : Z[α] → R (6.7)

n + mα + kα² 7→ n + mα₁+ kα²₁

σ2 : Z[α] → C (6.8)

n + mα + kα² 7→ n + mα₂+ kα²₂

σ3 : Z[α] → C (6.9)

n + mα + kα² 7→ n + mα₃+ kα²₃ We zien dat σ3 = σ2.

Stelling 8 σ₁, σ₂ en σ₃ zijn inbeddingen.

Bewijs

Een ringhomomorfisme voldoet aan de volgende drie eigenschappen:

1.f (1) = 1

2.f (a + b) = f (a) + f (b) 3.f (ab) = f (a) · f (b)

σ1 is de identiteitsafbeelding. Dit is dus zeker een ringhomomorfisme.

σ₂ : Z[α] → C, n + mα + kα² 7→ n + mα₂+ kα²₂ σ2(1) = 1

σ₂(β₁+ β₂) = σ₂(a + bα + cα²+ n + mα + kα²)

= σ₂(a + n + (b + m)α + (c + k)α²)

= a + n + (b + m)α₂+ (c + k)α²₂

= a + bα₂+ cα²₂+ n + mα₂+ kα²₂

= σ2(β1) + σ2(β2)

σ₂(β₁β₂) = σ₂(β₁) · σ₂(β₂) volgt op dezelfde manier. Hieruit volgt dat σ₂ en daarmee ook σ₃ ringhomomorfismen zijn. Nu rest nog te laten zien dat σ₁, σ₂ en σ₃ injectief zijn.

Een afbeelding f is injectief ⇔ Ker(f ) = {a : f (a) = 0} = 0 Ker(σ₁) = {a + bα + cα² : a + bα₁+ cα²₁= 0}

= {a + bα + cα² : a + b√³

m + c√³

m²= 0}

Gegeven is dat m geen derdemachtswortel is en dat m > 0, daaruit volgt: √³

m 6∈ Z en a, b, c ∈ Z. Dus volgt dat Ker(σ1) = 0, dus σ1 is injectief.

Ker(σ2) = {a + bα + cα²: a + bα2+ cα²₂ = 0}

= {a + bα + cα²: a + b(−1 2

√3

m +1 2

√ 3√³

mi) + c(−1 2

√3

m +1 2

√ 3√³

mi)² = 0}

Ook hier volgt onmiddellijk uit dat Ker(σ2) = 0 (omdat a, b, c ∈ Z) en dus is σ2 injectief.

Omdat σ3 de toegevoegde waarde is van σ2 volgt dat σ3 ook injectief is.

 We maken nu een afbeelding die met behulp van de inbeddingen σ1, σ2 de eenheden van Z[³

√m] afbeeld op R².

f : Z[√³

m]^∗→ H ⊂ R² (6.10)

β 7→ (log |σ1(β)|, log |σ2(β)|) Stelling 9 f is een homomorfisme.

Bewijs

Een afbeelding is een homomorfisme als aan de volgende eigenschap is voldaan:

f (a · b) = f (a) ∗ f (b)

f (β₁β₂) = (log |σ₁(β₁β₂)|, log |σ₂(β₁β₂)|)

= (log |σ₁(β₁)σ₁(β₂)|, log |σ₂(β₁)σ₂(β₂)|)

= (log |σ₁(β₁)||σ₁(β₂)|, log |σ₂(β₁)||σ₂(β₂)|)

= (log |σ1(β1)| + log |σ1(β2)|, log |σ2(β1)| + log |σ2(β2)|)

= (log |σ1(β1)|, log |σ2(β1)|) + (log |σ1(β2)|, log |σ2(β2)|)

= f (β1) + f (β2)

De tweede regel volgt uit het feit dat σ₁ en σ₂ ringhomomorfismen zijn.

 Stelling 10 De norm kan worden gegeven door: N (β) = σ1(β)σ2(β)σ3(β), waarbij de norm wordt gegeven door: N (β) = a³+ b³m + c³m²− 3abcm.

Bewijs Een β ∈ Z[√³

m] is van de vorm: a + b√³

m + c√³ m². σ1(β) = a + b√³

m + c√³ m² σ2(β) = a + b√³

me^2πi3 + c√³ m²e^4πi3 σ2(β) = a + b√³

me^4πi3 + c√³ m²e^2πi3