Vaardigheden 1

Vaardigheden 1.

Breuken herleiden 1. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) 2 2 2 3 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  _{ }   _{ }   _{ }         b. 2 2 1 4 ( 1)( 1) ( 4)( 4) 2 1 8 16 4 1 ( 4)( 1) ( 1)( 4) ( 4)( 1) ( 1)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  _  _   _   _   _   _           10 15 ( 1)( 4) x x x      c. 2 2 4 4 4(2 ) (4 )(2 ) 8 4 (8 2 ) 6 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                         d. 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 4 2 2 4 4 x x x x x x x x         e. 2 2 1 2 1 1 (2 1)(2 1) x 1 (4 1) 4 x 2 1 1 (2 1)( 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) x x x x x x x x x x x x x x x x                        f. 3 ₂ 2 _{1 4} 3 ₍₂ 2 _{1)(2 1) 4} 3 ₍₄ 3 ₂ 2 _{2 1)} 2 1 4 4(2 1) 4(2 1) 4(2 1) x x x x x x x x x x x x x  _  _  _   _      _     2 2 2 1 4(2 1) x x x      2. a. 2₂ 3₃ 4₄ 2x₄2 3x₄ 4₄ 2x2 3₄x 4 x x x x x x x         b. 3 3( 2) (3 6) 2 6 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x  _{ }  _  _    _       c. ( 1) ( 2 ) 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x               d. 2 3 ( 2)( 1) 3 2 2 3 2 5 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x                   e. 1 1 1 x 1 x x x x x x      f. 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) x( 1) x( 1) x x x x x x x x x x            3. a. 2 2 1 3 2 10 20 1 5 3 15 x x x x x  _{ }  _{ } d. 2 2 3 3 1 x 1 x x x x      b. 8₃ 8 ₃ 2₂ 4 4 x x x x x      e. 1 5 3 9 5 5 3 9 x x x x       c. 3 1 4 2 2 18 3 4 4 x x x x       f. 1 2 2 2 2 5 5 3 15 5 1 3 3 2 6 2 x x x x x x x  _{  }  _ _{ }

4. a. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2x 4x 2 2x 4x 4 x x x x  _  _{       }     b. 3 3 3 3 2 3 2 2 4 3 8 6 2x 1 x x 2x 8x 6x 2x x x x x     _   _         c. 1 2 3 2 2 3 1 2 2 1 3 3 3 p p p p p p p p  _ _{   }     d. 2 3 2 4 6 4 3p 9p     _  _    e. 2 2 1 1 1 x x x x x x  _  _ _{ }       f. 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 6 9 6 (x 3x 2) x x 3 x x x x x x  _{  }  _{     } 5. a. 1 3 3( 1) p p p p  _  p1 b. 21 1 1 x x x x x  _  x0 c. 2 1 2 3 1 5 5 3 x x x x x x  _    x0 en 5x 3x 0 ofwel x 0, x  35 en x 35 d. 2 1 1 3 1 1 2( 1) 3 2 3( 1) 2 3 x x x x x x x x x x             x 0, x 1 en x 112 6. a. 2 1 1 6 x x  x b. 2 2 1 5 1 x x  _  c. 2 4 1 3 x x  x 2 2 1 1 3 4 12 1 12 1 0 (3 x 1)(4 x 1) 0 x x x x x x             2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 5( 1) 4 6 1 1 1 x x x x x x          2 3 1 4 4 2( 3) 4 ( 1) 4 6 6 0 33 ABC formule x x x x x x          d. 2 1 2 1 3 4 x x      e. 2 1₂ 3 x  x  f. 3 2 1 1 1 x   x    1 2 1 2 1 2 2 3 3 1 x x x        2 2 1 3 2 1 3 3 2 1 0 (3 1)( 1) 0 1 x x x x x x x x             3 3 2 2 1 1 1 5 1 6 x x x x x x x x               g. 2 3 1 2 1 2 x x x  _   h. 3 2 1 0 1 x x x  _{  }  2 2 12 36 13 36 0 x x x x x       2 2 0 2 (2 3) (2 1) (2 ) 2 2 1 0 (2 1) 0 2 1 2 0 x x x x x x x x              (3 ) (1 )(2 ) 3 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x            ( 4)( 9) 0 4 9 x x x x      

7. a. x 1 0 1 x  domein:     , 1 1, b. 2 2 3 (2 5)( 1) 3 2 3 5 3 2 3 2 ( ) 2 5 1 1 1 1 1 x x x x x x f x x x x x x x                    c. _2x2_{3x 2 0} 1 2 (2 1)( 2) 0 2 x x x x        8. a. domein: , 0  0 , 4  4 , b. 2 2 3 2 3( 4) 2 3 12 2 5 12 ( ) 4 ( 4) ( 4) 4 4 x x x x x f x x x x x x x x x x x                , dus a5 en b 12 9. a. f x( ) 1 1 1₂ x₂2 x₂ 1₂ x2 ₂x 1 0 x x x x x x           2 _{1 0} 1 4 1 1 3 0 x x D          

Dus de vergelijking heeft geen oplossingen; er zijn geen nulpunten. b. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 2 1 1 1 ( ) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x g x f x x x x x x x                       2 2 1 ( 1) x x x     c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 2 1) ( ) ( ) 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x h x g x x x x x                       _{( 1)}2 x x  

Stelsels van vergelijkingen 10. a. 3x2y 4 1 2 2 3 4 1 2 y x y x     b. ₁ 2 2 3 2 6 4 1 2 3 4 x  x  x x   c. 2 6 2(3 4) 6 12 8 4 3 4 (3 x 4) (3 4) (3 x 4) x x x x x x x x x             2 2 2 2 3 12 8 4 (3 4) 12 8 12 16 12 4 8 4(3 2) 4(3 2)( 1) 0 1 x x x x x x x x x x x x x x                      d. 2 1 3 2 ( , 3) en (1, )

11. a. y 2x2 b. y  3x10 c. y   x 7 2 2 2 2 1 2 2 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 (1, 0) (2, 2) x x x x x x x x x x x x en  _{ }             2 2 3 2 3 2 1 1 3 10 2( 3 10) ( 3 10) 3 17 20 0 (3 5)( 4) 0 1 4 ( 1 , 15) ( 4, 22) x x x x x x x x x x x x en                        2 1 2 1 1 2 2 5 1 2 11 5 ( 2 11)(1 ) 2 13 6 0 (2 1)( 6) 0 6 ( , 6 ) (6, 1) x x x x x x x x x x en                 

Extra oefening Basis.

B-1. a. p x( ) 2 3x 2x13 2 3 2 3 _{3 2} 2 '( ) 3 p x x x    b. _{g x( ) 2 x 5x}2 _{g x'( )} 1 _10x x   c. 1,3 2,8 1,3 2,8 2 4 ( ) 2 4 k x x x x x       2,3 3,8 3,8 2,3 11,2 2,6 '( ) 2,6 11,2 k x x x x x        d. _{f x( ) 5 x x }4 _{x 5x x} 0,5_x0,25 _5x1,75 _{f x'( ) 8,75 x}0,75 _8,754_x3 e. h x( ) 3 x x 3 x x13 3 x331 1 213 1 2 3 3 3 '( ) 3 3 h x  x  x x f. 5 5 12 2 ( ) 4 x x 4 h x x x x x      4 1 112 4 2 1 '( ) 20 20 2 h x x x x x x      B-2. _{u x( ) x}4_{3 en} (u) y  u B-3. a. _{g m'( ) 3 (4  m5) 4 12(4}2_{  m5)}2 b. '( ) 1 2 1 2 2 5 2 5 Q p p p      c. '( ) 1₂ 6 3₂ 2 3 19 3 19 p k p p p p      d. _{h x( ) 4 (2  x3)}1 2 2 8 '( ) 4 1(2 3) 2 (2 3) h x x x         

B-4. a. _{k x( ) 3 (2  x}2_x)1 2 2 2 2 1 4 3(4 1) '( ) 3 1(2 ) (4 1) 0 (2 ) 3(4 1) 0 x k x x x x x x x x                

Er is hier sprake van een maximum. b. g x'( ) 2(1 2 ) 2 4(1 2 ) 0  x    x  1 2 2x 1 x  

  Er is hier sprake van een minimum.

c. _{h x( ) 2(2 2 )  x} 0,5 1,5 1,5 2 '( ) 2 0,5(2 2 ) 2 (2 2 ) h x x x         

De afgeleide wordt nooit 0. Er is wel sprake van een randmaximum. d. _{f x'( ) 4( x}2_{2) 2}3_{ x8 (x x}2_2)3 _0 2 8 0 2 0 2 2 x x x x x         

Voor x0 is er sprake van een maximum. Voor de andere twee waarden van x is er een minimum. B-5. a. b. _{f x'( ) 2 x}3_6x2 _0 2 2 ( 3) 0 0 3 x x x x     

c. De grafiek van f heeft een uiterste waarde van -10,5 voor x3. d. _{f x"( ) 6 x}2_{12x 0} 6 ( 2) 0 0 2 (0, 3) (2, 5) x x x x en       e. f'(0) 0 en f'(2) 8 3 y        5 8 2 b 16b 11 8 11 b y x    

f. De grafiek van f is toenemend dalend op het interval 0 , 2 .

B-6.

a. _,1

3

9 4

2 2 2

( ) log( ) _{naar rechts} log( 9) Vy as log(3 9) _omhoog

g x x y x  y x

       

2

( ) 4 log(3 9)

f x   x

b. _{f x( )}gespiegeld in y as _{  y 4} 2_{log( 3 x9)   }5omlaag _{y 1} 2_{log( 3 x9)} c. _{f x( )   }5omlaag _{y 1} 2_{log(3x9)}gespiegeld in y as _{   y 1} 2_{log( 3 x9)}

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12

B-7. a. x x 6xx( x6) 0 0 36 x  x  b.





6 0 , 36 ( ) 6 36 , x x x voor x f x x x x voor x           1 2 1 2 1 6 '( ) 1 6 x f x x        1 2 '( ) 0 1 6 4 16 f x x x x    

De uiterste waarden zijn 32 voor x16 (maximum) en 0 voor x0 en x36 (minima) c. 0 q 32 B-8. a. 1 3 2( 7) x y  b. _x2y4 _c. 1 3y 6 x  _{ d. x} 3_{log(5 2 ) y} 3 3 3 7 2 2 7 2 7 y x y x y x       2 2 4 log( ) log( ) 4 y x y x     1 1 1 3 3 6 3 6 2 x x x y y y       1 1 2 2 5 2 3 2 3 5 2 3 x x x y y y         B-9. a. Op de heenweg is de tijd 40 x uur en op de terugweg: 40 y . De gemiddelde snelheid: 40 40 80 100 x y 

 . Met andere woorden:

40 40 80 100 x  y  b. 40 _0,80 40 0,80x 40 y   x  x (0,80 40) 40 40 0,80 40 y x x x y x    

c. Voor x 50 wordt de noemer 0 (en je mag niet delen door 0) en voor x50 wordt de snelheid y negatief.

B-10.

a. Dan moet gelden: _x2_{px 4 0}

2 _{4 1 4} 2 _{16 0} 4 4 D p p p en p           b. f_p(2) 2log(8 2 ) 5 p  5 8 2 2 32 2 24 12 p p p      c. ₃3_{3p 4 3p13 0} 1 3 4 p 

Extra oefening Gemengd.

G-1. a. _{f x( ) ( x}2_4)1 2 2 2 2 2 '( ) 1( 4) 2 0 ( 4) 2 0 0 x f x x x x x x            De uiterste waarde is 1 4 (0) f 

b. De grafiek is symmetrisch in de y-as.

2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 f p f p p p        G-2. a. f_a(3)a(2 3) 2  a 2

b. De bovenste grafiek gaat door (4, 20) 2 (4) (2 4) 4 20 5 a f a a a      c. f x3( ) 3(2 x)2 6 2 (2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x              d. (2, 0): _{(2) (2 2)}2 _{0 0} a

f a    a voor alle waarden van a.

e. f_a'(1) 6 2 (2 1) 1 2 6 3 a a a         G-3. a. 4x p 0 domein: x 2 1 4 4x p x p     1 4 2 8 p p     b. fp'( ) 0x  en f xp( ) 5 1 8 '( ) 1 4 4 1 0 2 4 4 p f x x p x p          1 4 8 1 4 4 8 4 64 16 x p x p x p x p         1 1 1 4 4 4 1 4 1 4 (16 ) 16 4 4(16 ) 5 16 4 64 5 11 44 p f p p p p p p p                

G-4. a. 6 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2) 3 6 (3 6) 3( 2) (3( 2)) g x f x x x x x          

De grafiek van f is 2 eenheden naar rechts verschoven.

b. g_a'(4) 0 2 3 1 2 2 3 2 3 3 6 (12 ) (12 ) 3 2 2 2 ( ) (3 ) (3 ) '( ) 1(3 ) 3 2(3 ) 3 3 (3 ) 6(3 ) '(4) 0 3(12 ) 6(12 ) (12 ) (3(12 ) 6) (12 ) (30 3 ) 0 a 12 10 a a a _{a a} g x x a x a g x x a x a x a x a g a a a a a a a                                           c. g_a"( ) 0x  3 4 3 4 4 4 "( ) 18(3 ) 54(3 ) "(2) 18(6 ) 54(6 ) (6 ) (18(6 ) 54) (6 ) (54 18 ) 0 18 54 3 a a g x x a x a g a a a a a a a a                         G-5.

a. | 4x8 | 0 : dit geldt altijd vanwege de absoluut strepen behalve wanneer 4x 8 0 domein: x , 2  2 , b. 2_{log | 4 x 8 | 0  c.} 2_{log | 4 x 8 | 5 } 3 1 4 4 | 4 8 | 1 4 8 1 4 8 1 4 7 4 9 1 2 x x x x x x x               5 | 4 8 | 2 32 4 8 32 4 8 32 4 24 4 40 6 10 x x x x x x x                  (-6, 5) en (10, 5) d. f x( ) 5 voor x   , 6

 

10 , G-6. a. _x3_4x2_{4x x x(} 2_{4x4)x x( 2)}2 _0 0 2 x  x 

b. _{f x'( ) 3 x}2_{8x4 (of f x'( ) 3x}2_{8x4: maakt niets uit voor toppen)} 2 3 (3 2)( 2) 0 x 2 x x x      

De grafiek van f heeft twee minima in (0, 0) en (2, 0) en een maximum in 2 5

3 27 ( ,1 ) c. f x"( ) 6 x 8 0 1 3 16 1 3 27 6 8 1 (1 , ) x x B  

d. De raaklijn van de linkertak in (0, 0) heeft helling -4 en van de rechtertak 4.



4 , 0

G-7. a. _{f x( ) x}2_{8x 2 x}2_{8x16 14  (x4)}2_14 b. _(x4)2_{14 0} 2 ( 4) 14 4 14 4 14 4 14 4 14 x x x x x             

c. Omdat er voor iedere waarde van y twee waarden van x bestaan. d. _{x (y 4)}2_14 2 2 2 2 2 2 ( 4) 14 ( 4) 14 4 14 4 14 y x y x y x y x             G-8.

a. f x( ) 0 voor alle waarden van x.

Extra oefening Vaardigheden.

Exact oplossen met sinus en cosinus V-1. a. 1 2 sint  3 b. 1 2 cost   2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 ( : 2 ) , , 2 , 2 t t per t t t t               3 1 4 4 3 3 1 3 4 4 4 4 1 ( : 2 ) , , 1 , 2 t t per t t t t                c. 2cost 1 0 d. 1 6 2sin(t ) 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 2 3 3 3 3 cos 1 ( : 2 ) , , 1 , 2 t t t per t t t t                  1 1 6 2 5 1 1 1 6 6 6 6 1 3 sin( ) ( : 2 ) t t t t t per                   1 1 3 3 , , , 2 , 3 t   t   t  t   t   e. 1 1 2 2

3cos(t ) 1 f. sin cost t 0

1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 3 5 1 6 6 5 5 1 1 6 6 6 6 cos( ) 1 2 ( : 2 ) , , 2 , 2 t t t t t per t t t t                           1 1 2 2 1 2 sin 0 cos 0 0 1 ( : 2 ) t t t t t t per t k                  V-2. a. periode is 2 2 3 3  _{ } b. 1 2 sin x  5 1 6 6 x   x  c. 1 5 6 6 3x    3x   5 1 2 18 18 3 5 13 1 17 7 11 18 18 18 18 18 18 ( : ) , , , , 1 , 1 x x per x x x x x x                   Differentiëren V-3. a. f x'( ) 6 x7 b. _{g x'( ) 15 x}2_15x4 c. _{h x( ) 3 x}3_2 4 4 9 '( ) 9 h x x x      d. 1 1 2 1 2 5 ( ) k x _ x _x _ 1 2 3 2 2 3 1 2 '(x) 2 2 k x x x x         e. l x'( ) 3 f. _{m x'( ) 4(3 x5) 3 12(3}3_{  x5)}3 g. _{n x'( ) 2(3 x}2 _{ 1) (2x 1) 6x18x}2_6x2 h. 2 1 2 3 3 6 ( ) x x 6 p x x x x x       2 3 2 3 1 12 '( ) 12 p x x x x x         i. 112 1 12 2 ( ) q x x  x 1 21 1 112 1 2 4 2 1 '( ) 1 1 4 q x x x x x x      j. r x( ) 20 x212 1 2 3 3 50 '( ) 50 r x x x x     

V-4. a. 1 3 2 1 2 3x 4x 9x 3x x( 12x27) 0 12 251 12 251 2 2 0 x_{ } x _  _ x _  b. _{f x'( )x}2_{8x 9 (x9)(x 1) 0} 9 1 x  x  

De extreme waarden zijn -162 voor x9 en 2 3 4 voor x 1. c. f x"( ) 2 x 8 0 2 3 4 (4, 78 ) x B   V-5. a. domein:



0 , 108 '( ) 2 0 h x x x

  _{ voor alle waarden van x, dus h(x) is stijgend.} b. h x"( ) 2 54x 112 2 54 0 x x       2 3 27 27 9 (9, 729) x x x B    Breuken herleiden V-6. a. 1 2 3 x  x x d. 2 _{( 1) ( 1) 1 1} 1 1 1 1 t t t t t t t t            b. 2 2 2 2 1 1 1 y 1 y y y y y y      _{e. u} u2 u2 u _u2 u u    c. 1 1 q p q p p q pq pq pq      _f. 1 2 1 1 2 2 1 2( 1) 2 x x x x x x x x x x          V-7. a. 0,61 0,41 1 1 R   b. 1 0,4 1 2 1 1 2,5 R R   5 2 3 6 1 6 1 5 1 2,5 1 1,2 R R      2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 5 5 2 1 1 2 2,5 2 2 2 2 5 2 R R R R R R R R R R         c. Dan wordt 1 2,5 i

Vergelijking en ongelijkheden V-8. a. _x3 _{5x b. (3x}_7)(2x  _{1) 12 d. x x7 x 0} 3 2 5 0 ( 5) 0 0, 5, 5 x x x x x x x         2 5 6 6 11 5 0 (6 5)( 1) 0 1 x x x x x x           





( 7) 0 0 7 0 , 7 x x x x x       c. _(22_{log( ) 3)x } 2 _{25 e. 3x}2_7x10 2 2 2 2 4 1 1 1 16 2 2 log( ) 3 5 2 log( ) 3 5 log( ) 4 log( ) 1 2 2 x x x x x  x                    2 1 3 3 7 10 0 (3 10)( 1) 0 1, 3 x x x x x         f. _{3 2} x _{ 2 2}x _{4 g. 3x}4_6x3 _9x2 _{h. 2x28 x} 2 2 2 3 2 2 2 8 2 16 2 11 2 18 0 (2 2)(2 9) 0 2 2 2 9 1 log9 x x x x x x x x x x x                    4 3 2 2 2 2 3 6 9 0 3 ( 2 3) 0 3 ( 3)( 1) 0 0, 3, 1 x x x x x x x x x x x x              2 28 0 (2 7)( 4) 0 2 7 4 16 x x x x x x x             V-9. a. 3x 5 2 3x5 b. ₃2x1_{81 c.} 212₃ 3 x  x  2 3 3 5 0 3 5 2 3 5 0 3 5 4 1 3 x x x x x x              2 1 4 1 2 3 3 2 1 4 2 x x x  _    2 2 3 9 12 3( 3 4) 0 3( 4)( 1) 0 x x x x x x        

 

, 1 4 , x     d. _x2 _20x4 _{e. 2(x1)}2_{5(x  1) 3 0 f.} 2 log( ) 5 log( ) 1 3 x x    





4 2 2 2 20 0 ( 4)( 5) 0 2 2 2 , 2 x x x x x x x             2 1 2 1 2 2 5 3 0 (2 3)( 1) 0 1 1 2 2 y y y y y y x x             2 1 100 2log 5 3log 3 log( ) 2 10 x x x x         V-10.

a. _7x2_{px 3 0 heeft twee oplossingen}

2 2

( ) 4 7 1 28 0

D p     p   en dit geldt voor alle waarden van p

b. _2x2_{qx 5 0 heeft geen oplossingen}

2 2 2 ( ) 4 2 5 40 0 40 40 40 D q q q q            