Hoofdstuk 5 Complexe functies

Hoofdstuk 5:

Complexe functies

a./c.

b.   2 i,    3 2i en   4i d. Spiegeling in de reële as.

2 a. b. A z' : 1    2 4i 3 2i  1 2i 2 ' : 3 4 3 2 6 2 B z    i   i   i 3 ' : 3 2 3 3 C z     i i   i

c. Door een verschuiving van 3 naar rechts en 2 omhoog.

3 a. 1 1 1 (2 2 3) 4 2 2 3 z i i       en 1 1 2 (2 2 3) ( 2 2 3) 4 z i i         b. 12 1 2 3 1 1 3

arg( ) tan (   ) , arg( ) 0z1  en

1 2 3 2 2 2 3 arg( ) tan (z   _ )   c. 1 2 3 1 1 1 2 3 3 arg(z ) tan (  )    0 en 2 1 2 3 3 arg(z )     klopt. d. 4 a. f(2) 6 , f i(3 ) 9 i, f( 3 3 )  i   9 9i , f( 5)  15 en f( 4 ) i  13i

Een vermenigvuldiging t.o.v. (0, 0) met factor 3.

b. f(2) 2 i, f i(3 ) 3, f( 3 3 )  i   3 3i , f( 5)  5i en f( 4 ) 4 i  Een draaiing om (0, 0) over 90o_.

c. f(2) 2, f i(3 ) 3i, f( 3 3 ) 3 3  i   i , f( 5) 5  en f( 4 ) 4 i  i

Een draaiing om (0, 0) over 180o _{(spiegeling in de oorsprong)}

d. f(2)  1 2i, f i(3 )  3 i, f( 3 3 )  i   6 i, f( 5)   8 2i en f( 4 ) i   3 6i

Een verschuiving van 3 naar links en 2 omlaag.

e. f(2) 2 i, f i(3 ) 3 , f( 3 3 ) 3 3  i   i , f( 5)  5i en f( 4 ) i  4 spiegeling in de lijn y x.

f. f(2) 0 , f i(3 ) 3 i, f( 3 3 ) 3  i  i, f( 5) 0  en f( 4 ) i  4i

projectie op de imaginaire as.

5 a. f z( )  i z c. 1 2 ( ) ( ) f z  z z b. f z( ) z d. f z( ) z 6 a. z11, z2 2 en z3  2 i b. z3 (2 2 ) (2 i    i) 4 2i4i   2 2 6i

c. g z( ) (2 2 ) 1 2 21   i    i en g z( ) (2 2 ) 2 4 42   i    i d. _{| | | 2 2 |   i  2}2 _22 _{2 2 en} 1 2 1 2 4 Arg( ) tan ( ) _  _  |OA' | 2 2 1 2 2   , |OD' | 4 2  2 2 2 en |OB' | 40 2 10  5 2 2 1 1 4 4 Arg(OA')    0, 1 1 4 4 Arg(OD')    0 en 1 6 1 2 4 Arg(OB') tan ( ) 1,25 0,46_  _{  } 

e. De lengtes worden met 2 2 vermenigvuldigd, dus de driehoeken zijn gelijkvormig 7 a. b. w₁( 3    i i) 1 i 3, w₂ ( 3    i) i 1 i 3 en 1 ( 3 ) (1 3) 4 w    i i  i c. 1 1 1 2 6 Arg( ) _  _tan ( 3) _  _en 4 2 | |  2 d. f z( ) (3 3 )1   i i   2 i 3i      3 2 i 5 4i 2 3 ( ) (3 3 ) 2 3 3 2 1 2 ( ) (3 3 ) (1 3) 2 3 3 3 3 3 3 2 1 3 3 (4 3 3) f z i i i i i i f z i i i i i i i                              

e. Een draaiing over 1

4 en een vermenigvuldiging met 3 2 en een verschuiving van

2 naar links en 1 omhoog.

8

a. Een verschuiving van 2 naar links en 3 omhoog: f z( )  z 2 3i

b. Dat wordt weer een rechthoek met  5 Re( ( ))f z  4 en 4 Im( ( )) 6 f z  c. w1 is het beeld van 2 7i en het beeld van w2 is 6 5i

9 a. f(1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 3 i   i  i   i3i    9 8 6i (1 2 ) (1 2 )(1 2 ) 1 2 2 4 3 4 (1 ) (1 )(1 ) 1 1 2 (1) 1 (1 ) (1 )(1 ) 1 1 2 (1 2 ) (1 2 )(1 2 ) 1 2 2 4 3 4 (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 3 3 9 8 6 f i i i i i i f i i i i i i f f i i i i i i f i i i i i i f i i i i i i                                                      b. 10 a./c. b. f( 1 3 ) 2( 1 3 ) 3  i    i  i   2 3i (2 3 ) 2(2 3 ) 3 4 3 (2 ) 2(2 ) 3 4 5 ( 1 ) 2( 1 ) 3 2 5 f i i i i f i i i i f i i i i                      d. f x yi(  ) 2( x yi ) 3 i 2x(2y 3)i

e. zP  x yi, zQ   x 3 yi en zS  x (y3)i ( ) 2( ) 3 2 (2 3) ( ) 2( 3 ) 3 2 6 (2 3) ( ) 2( ( 3) ) 3 2 (2 9) p Q S f z x yi i x y i f z x yi i x y i f z x y i i x y i                     

De beeldfiguur is een vierkant met zijde 6.

f.  3 Re( ) 2z  (delen door 2) en 1 1

2 2

3 Im( ) 2z

   (min 3 en delen door 2)

11 a. f(2) (1    i) 2 2 2i (1 3) (1 )(1 3) 1 3 (1 3) (2 ) (1 ) 2 2 2 ( 1 3) (1 )( 1 3) 1 3 ( 1 3) f i i i i f i i i i f i i i i                          

De beeldpunten liggen op een grotere cirkel met middelpunt 0. b. f x yi(  ) (1  i) (x yi )  x y (x y i ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ( ) | ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 f z x y x y x xy y x xy y x y x y                  c. f(0) 0 ( 1 ) (1 )( 1 ) 2 ( 2 2 ) (1 )( 2 2 ) 4 ( ) (1 )( ) 2 f i i i f i i i f x xi i x xi x                        

d. De beeldpunten liggen op de negatieve reële as: Arg w( ) 12

a. Re( ) 4z  : verticale lijn Im( ) 3z  : horizontale lijn

b. f(4yi) (2 i)(4yi) 8  y (4 2 ) y i (blauw) ( 3 ) (2 )( 3 ) 2 3 ( 6) f x i  i x i  x  x i (rood) c. d. 8 y u 8 (4 2(8 )) (4 16 2 ) (20 2 ) y u w u u i u u i u u i              e. 2x 3 u 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 ( 1 6) ( 7 ) x u x u w u u i u u i           

f. Bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen worden de lengtes met elkaar vermenigvuldigd en de hoeken (argumenten) bij elkaar opgeteld. Voor z 2 i

geldt: | |z  5 en arg( ) 0,46z  . Het middelpunt van de beeldcirkel is w   1 2i

en de straal 3 5.

13 f x( )x  ( 1 2i x) 12i 1x1(2x2)i

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )

f yi yi    i yi   i   y  y i

f(x) moet reëel zijn, dus 2x2 0 en f yi( ) zuiver imaginair, dus  1 2y 0

Hieruit volgt dat 2 2 10, ofwel  ¡ en  0

14

a. Een cirkel met middelpunt 0 en straal 5. b.

c. De beeldpunten liggen op de bovenste deel van een cirkel met middelpunt 0 en straal 25. d. | w | 25 15 a. z_A 2 z_B 2i z_C 3 z_D 3i b. bg(AB): | | 2z  en 1 2 0Arg z( )  .

Voor _z2 _{geldt: |z}2_{| | | z} 2_{4 en Arg z( ) 2}2 _{ Arg z( ), dus 0Arg z( )}2 _

De beelden van de kwartcirkel AB liggen op de halve cirkel A’B’. Dit geldt ook voor de kwartcirkel CD.

c. _{(x yi )}2 _{ x}2_y2_{2xyi  3 4i} 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3 en 2 4 ( ) 3 3 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 2 2 2 2 x x x y xy x x x x x x x x x x z i z i                            16

a. _{w z}2 _{ ( (cos( )r  isin( ))} 2 _r2_{(cos ( ) 2 cos( )sin( ) sin ( ))}2 _{  i   } 2 _{ }

_r2_{(cos ( ) sin ( )}2 _{ } 2 _{  i 2sin( )cos( ))  r}2_{(cos(2 ) isin(2 ))} 2

|w|r en Arg w( ) 2 

b. domein is een halve cirkel:   Arg z( )   . Dan is 2 Arg w( ) 2  2 . Daarmee ligt w op een hele cirkel met middelpunt 0.

c. Het beeld is weer | | 1z  17 a. r 2, 1 1 1 4 en 2 2       b. c. _{|w| 2} 2 _{4 en} 1 2 Arg w( )

B is de kwart cirkel met middelpunt 0 en straal 4 in het tweede kwadrant.

z 4 3i 3 4i 5i  3 4i  4 3i 5i

18 a. De lijn y 1 b. f( 3   i) 8 6i, f( 2   i) 3 4i, ( 1 ) 2 f    i i, f i( ) 1, f(1 i) 2i, (2 ) 3 4 f   i i en f(3  i) 8 6i c. _{w f x i(  ) (x i )}2 _x2_{ 1 2xi} 2 _{1 en 2} u x  v  x

Uit de tweede vergelijking volgt: 1 2 x v Substitueren in de eerste: 1 2 1 2 2 4 ( ) 1 1 u  v   v  19 a. _{f(2yi) (2 yi)}2 _{ 4 y}2_{4yi 8i} 2 2 2 y z i    b. _{u  4 y}2 _{en v 4y} 1 4 2 2 1 1 4 16 4 ( ) 4 y v u v v     

20 De punten op een lijn door de oorsprong zijn op te splitsen in twee halve lijnen: arg( )z  en arg( )z   

Voor de punten op de eerste halve lijn geldt: _{arg( ) 2z}2 _{  (een halve lijn vanuit de}

oorsprong). Voor de tweede halve lijn geldt: _{arg( ) 2(z}2 _{   ) 2  2 2}

(dezelfde halve lijn vanuit de oorsprong!)

21 a. f( 3 3 ) 3 21  i   i, f( 2 3 )  i   3 15i, ( 1 3 ) 7 9 f   i    i, f i(3 )  9 3i , f(1 3 ) i   9 3i, (2 3 ) 7 9 f  i    i en f(3 3 ) i   3 15i b. c. _{f x( 3 ) (i  x3 )i} 2_{(x3 )i  x}2_{6xi   9 x 3i x}2 _{  x 9 (6x3)i} 2 1 1 6 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 2 6 2 36 6 4 6 2 2 1 1 36 4 9 en 6 3 6 3 ( ) ( ) 9 9 9 u x x v x x v x v u v v v v v v                        d. 1 4 9 top w   Hieruit volgt: 1 4 9 en 0

u   v  . Met andere woorden: 1 2 x . Dus 1 2 3 top z   i. 22 a. _{i z( 2 )i} 2_{  3 i i z(} 2_{4zi 4) 3  i iz}2_{4z5i3}

23

a. f(1 i) ( 1 2i)(1 i) (12i) (  1 21) (  1 22)i 0 (1)

1 2 1 2 2 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

f i    i i    i       i  (2)

Uit de tweede vergelijking volgt: 12 0. Dan volgt uit (1) dat 2 0.

Uit (2) volgt dan weer dat 11.

Uit de eerste vergelijking volgt nu dat 1  0 1 0 ofwel 1 1.

En  1 2 0, ofwel 2 1 1    en   1 i. b. f i( )i  2 (1) 1 f      i 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 1) 2 2 2 1 3 1 1 1 1 2 ( 1 ) 1 1 i i i i i i i i i i i i i i                                  24 a. _{f i( )   i}2 _{i    i 3 en (1)i f        1}2 _{ 1   i} 3 (1 ) 4 4 4 1 4 4 2 2 1 1 1 2 (2 2 ) 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i                               b. _{f( )   }2_{      (} 2_{) 0 en (2 ) f i   (2 )i} 2_{  2i  4 2i 0} 1 2 2 2 1 1 1 2 4 4 1 2 ( ) ( 4) 0 4 en 4 2 i i i i                        25 a. 1 2 7 Opp   x h 1 2 7 14 h x x   b. 14 2 _{( )}14 2 ₁₂ x Omtrek x x x      2 2 2 196 4 2 4 2 2 2 3 4 3 2 2 2 7 1 7 1 12 12 12 12 14 12 196 12 14 196 (12 14) 172 24 336 196 24 172 336 4 (6 43 84) 0 4 0 6 43 84 0 0 3 167 3 167 x ABC formule x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x i                                    

26 a. _z2_{7iz12 0 c. z}3 _{16z z z (} 2 _{16) 0} 7 2i 2i 4 3 ABC formule z  i z i         2 0 16 4 4 z z z i z i         b. x yi 8(x yi ) 36 14  i d. _z4_3z2 _{ 4 (z}2_4)(z2_{ 1) 0} (9 36) 7 14 2 en 9 36 0 4 2 x yi i y x z i         2 ₄ 2 ₁ 2 , 2 , 1 1 z z z i z i z z            27 a. i x yi(   1) 2(x yi ) 1 b. (x yi 3)(x yi ) 32 6  i ( 1) (2 1) 2 2 1 en 1 2 2( 2 1) 1 4 3 3 3 1 en 1 1 y x i x yi y x x y y y y y y x z i                            2 2 2 2 2 ( 3 ) 3 32 6 3 32 en 3 6 2 3 28 ( 7)( 4) 0 7 4 7 2 4 2 x y x yi i x y x y y x x x x x x z i z i                             28 a. 2iz w 2i5 b. iz2w  i 1 2 6 8 5 5 10 1 2 2 2 5 (1 2 ) 2 5 2 2 3 iz w i w i w i z i i i i i z i                  1 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 1 1 iz w i w i w i z i i i i i               29 a. 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 | 2 i 2 | ( 2) ( 2)  en 1 1 1 1 2 2 4 arg( 2 i 2)  2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 | 2 i 2 | ( 2) ( 2)  en 1 1 1 1 2 2 4 arg( 2 i 2)   b. 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 i 2) ( 2 i 2)( 2 i 2)   i i 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 i 2) ( 2 i 2)( 2 i 2)    i i

c. De lengte wordt gekwadrateerd (₁2 _{1) en de hoeken worden verdubbeld (}

1 1

2 en 2 ). Je komt dan uit op i en –i.

30 a. _{| |z } 4_{81 3 en} 1 1 1 1 4 4 4 2 arg( )z  arg( 81)  (  k 2 )    k  1 1 2 2 1 2 1 2 z  i , 1 1 2 2 1 2 1 2 z   i , 1 1 2 2 1 2 1 2 z    i en 1 1 2 2 1 2 1 2 z   i b. _{| |z } 3_{8 2 en} 1 1 1 1 2 3 3 2 6 3 arg( )z  arg(8 )i  (   k 2 )    k  3 z i, z   3i en z 2i c. _{| |z } 3_{8 2 en} 1 1 2 3 3 3 arg( )z  arg(8)  k 2  k  2 z , z   1 i 3 en z  1 i 3

31 a. 1 1 2 2 arg( 3) arg(1) 0 2 n  i    k  1 3 0 2 6 n k n p          b. 1 1 2 2 arg( 3) arg( 1) 2 n  i      k  1 3 2 3 6 n k n p             c. 1 1 1 1 2 2 2 2 ( _{ i} 3)n _( _{ i} 3)n 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 ( 3) 3 ( 3) 1 ( 3) 3 arg( 3) 0 2 0 3 n n n n i i i i i n i n k n p       _ _      _  _            32 _{a (2 i)}2_{    b (2 i) 1 2i 0 z}2 _{2z 1 2i 0} (3 4 ) (2 ) 1 2 0 (3 2 1) (2 4 ) 0 3 2 1 0 en 2 4 0 a i b i i a b a b i a b a b                     2 ( (2 ))( ( )) 0 (2 )z (2 2 ) 0 z i z x yi z x yi i x y yi xi              

Uit de tweede vergelijking volgt: b 2 4a 2 x 2 en y 1 0 Invullen in de eerste vergelijking: x 0 en y 1

3 2(2 4 ) 1 5 5 0 1 en 2 a a a a b          

De tweede oplossing is: z i 33 a. _z4_5z2 _{ 4 0 b. z}8 _15z4 _16 2 2 2 2 ( 1)( 4) 0 1 4 1 1 2 2 z z z z z z z z                8 4 4 4 4 4 4 15 16 ( 16)( 1) 0 16 1 | | 16 2 en 4 arg( ) 0 ... z z z z z z z z                1 2 arg( )z  k   z  1 z1 b. z 2 (cos(0)isin(0)) 2 , 1 1 2 2 2 (cos( ) sin( )) 2 z   i   i, 2 (cos( ) sin( )) 2 z   i    , 1 1 2 2 2 (cos(1 ) sin(1 )) 2 z   i    i, z  1 en z1. c. 2 1 z i z i   _{  }  _    d. 4 4 4 ( ) 1 ( ) z i z i z i z i  _   _       2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 1 1 ( 2 1) 2 1 2 1 2 2 1 1 z i z i z iz z iz z iz z iz z z z                        1 1 1 1 1 1 , 1, ( ), ... , (1 ) 1 , 2 0, (1 ) 1 1 0 1 z i z i z i z i z i z i z i z i i i i i i i z i z i z i iz z i z i z i i z z i i z z z                                                 

34 a. ₂2i _{3,08 2,56 i , 3}3i _{ 0,99 0,15 i en} 1 2 1 4 i 3,08 2,56 i b. _e2i _1, 1 2 i e  i en 1 2 2 1 7,39 i e     i 35 a. _f'( )_{ e}i _{  i i e}i _{ i f}( )_ b. f'( ) a'( )  i b'( ) en i f i ( ) i a( ( )  i b( )) c. b'( ) a( ) d. a'( )  sin( )  b( ) en b'( ) cos( )   a( ) e. _f(0)ei0 _{1 en f(0) cos(0)  i sin(0) 1} 36

a. d'( ) 2( ( ) cos( )) ( '( ) sin( )) 2( ( ) sin( )) ( '( ) cos( ))  a    a     b    b   

2( ( ) '( ) '( ) cos( ) ( ) sin( ) sin( )cos( )) 2( ( ) '( ) '( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )cos( )

2 ( ) '( ) 2 '( ) cos( ) 2 ( ) sin( ) 2 ( ) '( ) 2 '( ) sin( ) 2 ( ) cos( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ) a a a a b b b b a a a a b b b b a a b                                                              b'( )  2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0a  b   b a   b. d( ) c 2 2 2 2 (0) ( (0) cos(0)) ( (0) sin(0)) ( (0) 1) ( (0)) (0) cos(0) 1 en (0) sin(0) 0 (0) 0 d a b a b a b d             Dus d( ) 0  c. Als _x2_y2 _{0, dan is x0 en y 0}

Dus a( ) cos( ) 0 en ( ) sin( ) 0    b    37 a. _{|1i 3 | 1}2_{ ( 3)}2 _{2 en} 1 3 arg(1i 3)   : 1 3 1i 3  2 e i b. _{| 3 i| ( 3)}2 _12 _{2 en} 1 6 arg( 3  i)  : 1 6 3  i 2 e i c. _{| 2i 2 | ( 2)}2_{ ( 2)}2 _{2 en} 3 4 arg( 3  i) : 3 4 2 i 2 2 e i     d. | 1| 1  en arg( 1) : _{ }1 _ei 38 a. 23 2 2 1 1 3 3 2 2 4 e i 4 (cos( ) isin( )) 4 ( i 3) 2 2 3i                b. 136 1 1 1 1 6 6 2 2 2 e i 2 (cos(2 ) isin(2 )) 2 ( 3 i) 3 i              c. 34 3 3 1 1 4 4 2 2 2 e i 2 (cos( ) isin( )) 2 ( 2 i 2) 1 i                d. _{ e}2i _{ 1 (cos(2 ) isin(2 )) 1 } 39

a. _|ei _{| | cos( )  isin( ) |  cos ( ) sin ( )}2 _{ } 2 _{  1 1}

b. _{  }1 1 _ei_{, dus  1 e}i _ei _ei _ei i

c. _ei2k i _ei _e2k i _ei _{(cos(2k)isin(2k))e}i _{ 1 e}i

d. |_ex iy | |_{ e e}x_ iy | |_{ e}x | |_{ e}iy |_ex _{ }1 _ex

40 a. 1 1 1 4 4 4 (1 i e) i 2 e i e i 2  _{    }  _{ } b. 1 1 1 5 3 6 2 2 (1 i 3) e i 2 e i e i 2 e i          c. 1 1 1 7 3 4 3 12 ( 2 i 2) e i 2 e i e i 2 e i          d. 3 1 3 1 4 2 4 4 5i e i 5 e i e i 5 e i  _{    }  _{  } 41

a. _{(cos( ) isin( ))} 2 _(ei₎2 _ei2 _{cos(2 ) isin(2 )}

b. _{(cos( ) isin( ))} 3 _(ei₎3 _ei3 _{cos(3 ) isin(3 )}

c. (cos( )_{ i}sin( ))_ n _(_ei)n _ei n _cos(_n)_isin(_n) 42 a. _z3 _{ 8} 3 1 2 1 2 3 3 3 3 0 1 2 8(cos( 2 ) sin( 2 )) 2(cos( ) sin( )) 1 3 2 1 3 k z k i k z k i k z i z z i                            

Deze punten liggen op een cirkel met straal 2, steeds over 120° gedraaid. b. _z5 _243 5 2 2 5 5 0 1 2 3 4 243(cos( 2 ) sin( 2 )) z 3(cos( ) sin( )) z 3, 0,93 2,85 , 2,43 1,76 , 2,43 1,76 , 0,93 2,85 k z k i k k i k z i z i z i z i                       

Deze punten liggen op een cirkel met straal 3, steeds 72° verder gedraaid. c. _z3 _{ 1} 3 1 2 1 2 3 3 3 3 1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 2 1(cos( 2 ) sin( 2 )) 1(cos( ) sin( )) 3 1 3 k z k i k z k i k z i z z i                             d. _{(z i )}3 _{ 1} 1 1 1 1 0 2 (2 3 1) 1 1 2 2 ( 2 3 1) z    i  z    i z     i 43 a. 1 2 1 2 4 1 4 4 16 2 | |  ( ) ( 3)   en 14 1 4 3 1 1 3 arg( ) tan (   )  1 3 1 1 1 1 1 1 4 4 3 2(cos(3 ) sin(3 )) 2 i i i e          b. 2 1 13 2 1 23 1 2 2 1 1 4 ( ) 4 4(cos(3 ) sin(3 )) 8 8 3 i i e  e  i i            c. 2 1 13 1 1 1 2 4 3 3 ( ) (n _e i)n ( ) (cos(n _n ) _isin(_n ))         44

a. _{0 : (sin(0)icos(0))}2 _i2 _{ 1 en sin(0)icos(0)i}

b. _{(sin( ) icos( ))} 4 _{( (cos( )i  isin( )))} 4 _{ i}4 _{(cos( ) isin( ))} 4 _ 4

(cos( ) isin( )) cos( 4 ) isin( 4 ) cos(4 )  isin(4 )

45  (cos(9)isin(9)) cos(9k)isin(9k) 8 5 4 1 7 2 2 1 9 9 3 9 9 3 9 9 : 0, , , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3          9 oplossingen 46

a. _{(cos( ) isin( ))} 2 _{cos ( ) 2 cos( )sin( ) ( sin( ))}2 _{  i    i } 2 _

2 2

cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )  i  i

  

b. _{cos(2 ) isin(2 ) cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( ) } 2 _{ } 2 _{  i  i}

dus _{cos(2 ) cos ( ) sin ( ) } 2 _{ } 2 _{ en sin(2 ) 2sin( )cos( )} _  

c. _{(cos( ) isin( ))} 3 _{cos ( ) 3 cos ( )sin( ) 3cos( )sin ( )}3 _{  i} 2 _{   } 2 _{ isin ( )}3 _

d. _{cos(3 ) isin(3 ) cos ( ) 3cos( )sin ( ) } 3 _{  } 2 _{ i(3cos ( )sin( ) sin ( ))}2 _{  } 3 _

3 2

cos(3 ) cos ( ) 3cos( )sin ( )      e. _{sin(3 ) 3cos ( )sin( ) sin ( ) } 2 _{  } 3 _

47 a. _z8 _1 8 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 3 2 2 4 5 2 2 1 1 6 7 2 2 1 (cos( 2 ) sin( 2 )) z 1 (cos( ) sin( )) z 1, 2 2, , 2 2, 1, 2 2, , 2 2 k z k i k k i k z i z i z i z z i z i z i                              

b. De punten liggen op een cirkel met straal 1, elke keer 1

4 radialen gedraaid.

c. |z_k | 1 voor alle waarden van k.

d. 14 14 1 ( ) k i i k k k z e   e  z 48 a. _{r   | 8 8 3 |i  ( 8)} 2_{ ( 8 3)}2 _16, 1 8 3 2 8 3 ( 8 8 3) tan ( ) Arg i              b. punt C c. 2 3 2 4 ₁₆ i k i z  e    1 1 6 2 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2( 3 ) 3 , 2( 3) 1 3, 2( 3 ) 3 en 2( 3) 1 3 i k z e z i i z i i z i i z i i                            d. z D0: z A1: z B2: z C3: e. z₁  3i, z₂  1 i 3, z₃  3i en z₄   1 i 3 49 a. 9 1 1 9 9 1 1 9 4 4 4 4

(1i) ( 2(cos( )isin( ))) ( 2) (cos( )isin( )) 

1 1 1 1 4 4 2 2 16 2 (cos(9 ) isin(9 )) 16 2 ( 2 i 2) 16 16i           b. 15 1 1 15 15 15 15 4 4 4 4

( 2i 2) (2(cos( )isin( ))) 2 (cos( )isin( ))

15 1 1 14 14 2 2 2 ( 2 i 2) 2 2 2 i 2      c. 15 1 1 15 15 15 15 15 15 6 6 6 6

50

a./c. De complexe getallen zijn met een stip weergegeven en de functiewaarden met een kruisje. b. 3 1 1 1 2 2 2 ( ) i 3 f z _  _{ } i_, 2 2 1 1 2 2 2 2 2 ( ) i 2 2 f z _  _{ } i _, 3 3 3 ( ) i f z  i en 4 4 1 1 4 4 2 2 2 ( ) i 2 2 f z _   _{  } i d. f z( ) a bi_{2 2 2}a _{2 2}b ₂ i a b a b a b        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ( ) |f z a b a b a b 1 1 a b a b a b a b a b       _{ } _{ }              

De beeldpunten liggen op de cirkel met middelpunt O en straal 1 e. Voor alle punten  waarvoor | | 1  .

51

a. 1 2

6 3

( ) ( ) ( ) ( )

Arg z Arg  Arg z Arg     

1 2

( )

Arg    :  is dus een zuiver imaginair getal b. |z| | | | | | | 2 2   z    

| | 1  :  ligt dus op de eenheidscirkel 52

a. V1 is de lijn waarvoor Re( ) Im( )z  z

2 2 2 2 2

( ) ( ) 2 2

f x xi  x xi x  x i x  x i: De positieve imaginaire as.

b. _{f x( 2 ) (xi  x2 )xi} 2 _x2_{4x i}2 _4x2 _{ 3x}2_{4x i}2 _{: De halflijn waarvoor} 1

3

Im( )z  1 Re( )z

c. De richtingscoëfficiënt van de halflijn is 1 3

1  .

d. _{f x axi(  ) ( x axi )}2 _x2_{2ax i a x}2 _ 2 2 _{ (1 a x}2₎ 2_{2ax i}2

De beeldpunten liggen voor a1 op de halflijn y _12_aa2 x. Voor a1 liggen de beeldpunten op de positieve imaginaire as.

53 _ei _cos( )_{ i}sin( )_{      }1 _i 0 1 54

a. spiegelen in de reële as geeft sin(  ) sin( ) en cos( ) cos( ) b. _ei _cos(_{ }) _isin(_{ }) cos( )_{ i}sin( )_

c. _ei _ei _cos( )_{ i}sin( ) cos( )_{   i}sin( ) 2cos( )_{  } d. cos( )

2

i i

e e 

   

e. _ei _ei _cos( )_{ i}sin( ) (cos( )_{   i}sin( )) 2 sin( )_{  i } dus sin( ) 2 i i e e i      

55

a. _{z r e } i _r(cos( )_{ i}sin( ))_

(cos( ) sin( )) (cos( ) sin( )) i

z r  i  r   i   r e b. 1 1 1 1 1 i 1 i i i i i e e z r e r e r e e r                   c. 1 1 1 1 1 1 i i i i i i e e re r e r e e r z                  56 a. 1 1 1 1 2 2 4 2 |z    1 i| | 1 i   1 i| | i|  Im( )z b. _{|z  1 i| |yi   1 i| | 1 (y 1) |i  1 ( y1)}2 _y 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 y y y y y y y y          dus voor z i c. _{|z  1 i| |x yi   1 i| | (x 1) (y1) |i  (x1)}2_(y1)2 _y 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 0 ( 1) x y y x y y x            57 a. _{f i( )     i}2 _{i i ( )i} 2 _{  i i 0} 2 2 2 2 (1 7 ) (1 7 ) (1 7 ) (1 7 ) (1 7 ) (1 49)(1 7 1 7 ) 100 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) (1 4)( 1 2 1 2 ) 10 f i i i i i i i f i i i i i i i                                      b. _{f x yi(  ) ( x yi ) (}2 _{x yi ) ( x yi x yi )(  )}2 _(x2_y2_{)(x yi x yi   ) 2 ( x x}2_y2₎ en dat is reëel. c. | | 1z  2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 x y x y x yi g z x yi x yi x x yi x y               Omdat | | 1z  is   1 x 1 en dus  2 g z( ) 2 58 a. 1 z z  b. 2 2 1 1 x yi x yi z x yi x y        De eenheidscirkel 2 ₁ 1 1 z z z 

    wordt gespiegeld in de Re-as: blijft de eenheidscirkel c. | | 4z  wordt onder f: 1

4

| ( ) |f z  en 1 2

| |z  wordt onder f: | ( ) | 2f z  d. arg 1 arg(1) arg( )z

z 

     

 

  : de halflijn gespiegeld in de Re-as e. arg( )z  , dus 0, f z( ) en _z liggen op één lijn.

T-1

a. Functie g hoort bij de projectie op de reële as.

b. h hoort bij een spiegeling in (0, 0)

c. f bevat een draaiing (functie h ook; draaiing over  radialen)

d. 1 3

2

arg(2 3 ) tan ( ) 0,98_ i _  _

e. k z( )i x yi(  ) y xi. Reële en imaginaire deel zijn verwisseld. Ofwel een

spiegeling in de lijn Re( ) Im( )z  z . T-2 a. f(0) 4 i, f i( )     2 4 i 2 i en f( 1  i) 2 ( 1i      i) 4 i 6 3i b. 2iz  4 i 0 1 2 2 4 4 4 1 2 2 2 iz i i i z i i             c. f x xi(  ) 2 ( i x xi ) 4   i ( 2x4) (2 x1)i 2 4 2 1 ( 2 4) 3 3 u x v x x u             

De beeldpunten liggen op de lijn: v   u 3i

T-3

a. r12, r2 3 en 2  23

b./c. De lengte wordt gekwadrateerd, de hoeken verdubbeld en vervolgens 2 naar beneden verschoven.

Het beeld ligt dus tussen twee cirkels met middelpunt -2i en straal resp. 4 en 9. De hoek ligt tussen 2

3 en 113 T-4 a. _z2_{  z 1 0 b. iz}2_{4z2i 0} 1 3 1 1 2 2 2 3 z_    _{  } i 4 24 2i ( 2 6) z_  _{  } i c. _{z iz(} 2_{4) 0} 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 0, 4 4(cos(1 2 ) sin(1 2 )) 2(cos( ) sin( )) 0, 2 2, 2 2 z z i z k i k z k i k z z i z i                              d. _z8_82z4_{81 0} 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 81)( 1) 0 81 81(cos(0 2 ) sin(0 2 )) 1

3(cos( ) sin( )) cos( ) sin( )

3 , 3, 3 , 3 1, , 1, z z z k i k z z k i k z k i k z i z z i z z z i z z i                                         e. _{(x yi )}2_{2(x yi ) 0 y} _{0 : x 1:} 2 2 2 2 2 2 2 0 ( 2 ) (2 2 ) 0 2 ( 1) 0 0 1 x xyi y x yi x y x xy y i y x y x                2 2 2 2 0 1 2 0 ( 2) 0 3 0, 2 3, 3 0, 2 1 3, 1 3 x x y x x y x x y y z z z i z i                         

f. z2w  3 2i 1 5 1 2 5 5 4 2 8 4 5 5 6 1 1 2 4 2 2( 1 1 ) 4 2 2 z w i z i z i w z i i i i                     T-5

a. als je de haakjes uitwerkt, vallen de derdegraads termen tegen elkaar weg. b. omdat 3 3 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 z i z i z i z i            c. _w3 _{cos(k2 ) isin(k2 )} 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 cos( ) sin( ) 1 3 3 w k i k w w i w i                2 2 z i  z i : geen oplossing 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 ( 2 )( 3) (1 3) 2 ( 3) 3 3 2 3 2 3 3 8 3 3 12 1 3 3 3 3 3 z i z i i z i i i i i i i z i i i                           1 1 2 2 2 3 1 1 2 2 2 ( 2 )( 3) ... 3 ... 3 1 3 z i z i i i z i           T-6 a. _{| 1 i| 1}2_12 _{ 2 en} 1 1 4 arg(1_{ }i) tan ( 1) _{  }  : 1 4 1 i 2 e i  _{   }  b. 1 4 10 _{( 2e} i₎10 _{32 e} 2,5i _{32(cos( 2,5 ) isin( 2,5 )) 32i}  _  _{ }  _{ }  _{ }  _{ } c. _z4 _4ei _{4(cos(   k 2 ) isin(   k 2 ))} 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2(cos( ) sin( )) 2( 2 2) 1 , 2( 2 2) 1 , 2( 2 2) 1 2( 2 2) 1 z k i k z i i z i i z i i en z i i                                 T-7 a. 4 1 1 4 4 32 2 32 2 64(cos( 2 ) sin( 2 )) z   i    k  i   k  1 1 1 1 16 2 16 2 1 1 16 16 9 9 16 16 1 1 16 16 9 9 16 16 2 2(cos( ) sin( )) 2 2(cos( ) sin( )) 2,77 0,55 2 2(cos( ) sin( )) 0,55 2,77 2 2(cos(1 ) sin(1 )) 2,77 0,55 2 2(cos(1 ) sin(1 )) 0,55 2,77 z k i k z i i z i i z i i z i i                                     b. _z3 _{ 125 125(cos(  k 2 ) isin(  k 2 ))} 1 2 1 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 5(cos( ) sin( )) 2 2 3, 5, 2 2 3 z k i k z i z z i                 T-8 a. b. | 3 i| 2 en 1 6 arg( 3 i) 

A wordt gedraaid over 30° en 2 keer zo groot.

d. 1 2 1 2 2 2 | |  ( 3) ( )  en 1 12 1 2 1 1 6 3 arg( ) tan ( _  )_  Gebied A wordt over 1

6 radialen gedraaid.

T-9

a. De functie f verschuift ieder complex getal 2 naar rechts

De punten waarvoor Im( )z b komen weer op de lijn met Im( )z b terecht. b. Alle punten op de lijn met richtingscoëfficiënt 2

1

b b .

T-10

a. Het beeld is de cirkel met middelpunt z  2 3i en straal 1

b. B is een cirkel met middelpunt i en straal 3. Het beeld van B is dus ook een cirkel met middelpunt z  2 4i en straal 3.

c. 1

4

( )

Arg z   is de halflijn vanuit 0 met een hellingshoek van 45°.

Het beeld onder f is de halflijn die begint in z  2 3i en schuin naar boven gaat (onder een hoek van 45°).