Verschillende examenvragen aanvullingen wiskunde

(1)

Verschillende examenvragen

Aanvullingen Wiskunde

De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische

Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen.

Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen, examenvragen, voorbeeldexamens en veel meer, bijgehouden door je medestudenten.

(2)

2013-2014

Deel 1:

1) Geef de definitie van een kolomruimte van een matrix A. Voor welke waarde van k is het een kolomruimte van R, R5, +? Geef de definitie van eendeelruimte op R, R5, +. Geef de basis voor de kolomruimte van een matrix A = (...)

2) Leveren de volgende bewerkingen E23(...) E13(...)A en E13(...)E23(...) dezelfde uitkomst op voor vierkante matrix A van de n-de orde. Kunnen deze bewerkingen eveneens toegepast worden op een rechthoekige matrix B van de orde m x n? Waarom wel/niet?

3) Geef de vergelijkingstest en de derde convergentiestelling voor

∫

a b

f (x ) dx indien de singulariteit

in b zich bevindt en met de integraal

∫

a b

g ( x )dx

4) Definitie: negatief en positieve (semi)-definiete kwadratische vorm en een voorbeeld voor q(X): R5  R

5) Geef de definitie van een rijruimte... (gelijkwaardig aan (1)) Deel 2:

Gegeven: d ² y_{dx ² +} dy_{dx + y = b1 met y(0) = b2 en y’(0)= b3 met b1, b2, b3 element van R.}

a) geef de algemene uitwerking van deze differentiaalvergelijking met de methode van Laplace

b) Leg kort uit wat er verandert in a indien de randvoorwaarden veranderen naar y(1)= 0 en y’(1) = 0 Deel 3:

a) Geef de definitie van een orthogonale matrix voor R elemant van Rp x p. Wat is de determinantwaarde hiervan? Bewijs dit.

b) Wanneer is een matrix B orthogonaal diagonaliseerbaar? Aan welke voorwaarde moet de matrix uit a voldoen om B te kunnen diagonaliseren?

c) Aan welke voorwaarde moet B voldoen opdat de matrix orthogonaal diagonaliseerbaar is? Bewijs dit

Oefeningen:

1) Simplex methode: Is het minimalisatie of maximalisatie? Vul de resterende getallen in voor de 3 simplex schema’s. Definieer het oorspronkelijke probleem. Geef een antwoord voor het probleem

(3)

(het kan zijn dat je de simplex methode nog verder moet gebruiken). Verklaar een bepaalde waarde in één van de simplexschema’s.

2) Kwadratische vorm: diagonaliseer de kwadratische vorm.

3) Tekst over 2 ondernemingen die elke periode %-marktaandeel verliezen: geef een wiskunde formule voor dit. Onderneming 1 wil een marktaandeel van 70% halen op de lange termijn, is dit mogelijk met het aantal mensen dat hun elke periode trouw blijft?

2012-2013

1a) Definitie Beta functie (deel1: p. 10)

b)Bewijs: defintiegebied van Beta-functie (deel1: p. 10)

2a)Definitie: Theorema van Shur (deel2: p. 71)

b)Bewijs (deel2: p. 71)

c)Wat bij een symmetrische matrix? (deel2: p. 72-73)

3)Geef de definitie van een differentiaalvergelijking van de eerste orde (deel1: p.31 & 44)

4a)Definieer een toelaatbare oplossing bij de simplex methode. b) Wat is het verschil met een basisoplossing?

c) Staaf dit a.d.h.v. volgende beperkingen:

{

X 3−X 2 ≤−1X 1+ X 2 ≥ 3

5a)Geef de defintie van een Modale matrix. (deel2: p.65)

b)Wat is de determinant hiervan?

6a)Definieer een negatief definiete kwadratische vorm. (deel2: p.86)

b)Hoe kan je matrix A hieraan linken? (deel2: p.87).

c)Wat kan je zeggen over de eigenwaarden van deze matrix? (deel2: p. 88)

7a)Definitie: similiare matrix (deel2: p.63)

b)Geef een eigenschap van similaire matrices en bewijs (deel2: p.63)

8Stel A∈ Rnxn

en een verzameling (1) van matrices die orthogonaal similair zijn met A.Beschouw een tweede verzameling (2) van matrices die gelijkwaardig zijn met A.

a)Wat is het verband tussen deze twee verzamelingen?

9Eigenschap 8 op het formularium: β ( p , q )=Gamma ( p )Gamma(q )

Gamma(p +q) .

a)Wat zijn de voorwaarden waarvoor deze formule geldt. (p,q _{∈ R}+¿ 0

¿ ₎

b)Bewijs dat deze voorwaarden moeten gelden (deel1: p. 10)

(4)

d)Bewijs aan de hand van deze formule dat Gamma

(

1

2

)

=

√

π (deel1: p. 13)

10a)Definieer Bernouilli (deel1: p. 51).

b)Leg de eerste stap uit. (deel: p. 51)

11a)Wanneer artificiële gebruiken? b)Wat is de betekenis ervan?

12a)Wanneer is een matrix diagonaliseerbaar? (deel2: p. 63, vierkante matrix: p. 66).

b)Geef vb. niet-diagonaliseerbare matrix

13a)Definieer orthogonale matrix (deel2: p. 49).

b)Wat kan je zeggen over de eigenwaarden

14a)Definieer orthogonaal similaire matrices b) Bewijs een eigenschap hiervan (deel2: p.70).

15)Geef het verband tussen gelijkwaardige en similaire verzameling Rm xm

16)Bewijs:

∫

0 +oneindig e−t2 =

√

π 2 (deel1: p.13).

17a)Geef het verband van de vectorruimtes v.d. matrix die orthogonaal-similair zijn met Am

Oefeningen: 1 differentiaal en 1 grote LP.

2011-2012

1)Differentiaalvergelijking van 2e orde algemeen oplossen met Laplace-transformatie

2) a) Geef eigenschappen van elementaire matrices (deel2: p. 25-26)

b) bewijzen (deel2: p. 25-26)

3) Een convergentietest verder aanvullen [lim f(x)/g(x) = c ] (deel1: p.3)

4a) Stelling van Green (deel lijnintegralen) b) Bewijs van Green

c)Wat als K parametriseert?

5)Geef een verband tussen rang (A), rang(B) en rang (AB) indien A*B zinvol is.

6a)Definitie de algebraïsche multipliciteit en leg verband met meetkundige multipliciteit. b)Bereken beide multipliciteiten met gegeven voorbeeld.

7)a)Eigenschap: eigenwaarden en (algebraïsche en meetkundige) multipliciteit van similaire matrices

(deel2: p. 63)

(5)

8)Los een (algemene) differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficienten op

(deel1: p. 33).

9)definieer met behulp van y”(x) + ay = 1

10a) Wat kan je zeggen over de wortels van de karakteristieke vergelijking van een symmetrische

matrix (deel2: p. 56)

b) Bewijs (deel2: p. 56)

11)Geef het verband tussen de determinant en de eigenwaarden van een vierkante matrix (deel2: p. 57).

Oefeningen: zie extra bundel

2010-2011

1)Definitie: reëel kwadratische vorm (deel2: p. 82)

2)Convergentiestelling aanvullen (deel1: p.3)

3a)Definitie: Theorema van Schur (deel2: p. 71)

b)Bewijs (deel2: p. 71)

c)Wat bij een symmetrische matrix? (deel2: p. 72-73)

4)Definitie algemene multipliciteit en leg het verband met de algebraïsche multipliciteit

5a)Definitie: elementaire matrix om 2 rijen te verwisselen (deel2: p. 20)

b) werk uit op een 4x4 matrix

6)Werk de oplossingsmethode uit voor differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten met

Laplace-transformatie. (KUNNEN: deel1: p. 33 – 39)