uitwerkingen

Hoofdstuk 2

Goniometrische functies en harmonische trillingen §1 1a) Ja, periodieke golfbeweging

..b) f(x) = sin(x)

c) grafiek begint dalend d) periode 44022  4401 sec e) amplitude=2

2a) twee keer zo hoge frequentie: dus 880sec b) u₂ 2sin(8802t) c) d) nee ) 2 440 sin( 2 ) (t t u     + 2.sin(8802t) e) u(t)2sin(4402t) ₊ sin(8802t) 3. u3 2sin(13202t) ) 2 1760 sin( 2 4 t u     ) 2 2200 sin( 2 5 t u     4a) 2e _{t/m 8}e b) un 2sin(440n2t)      54u1 15u2 109u3 41u4 45u5 u 15u641u7101 u815u9 5. 6 101 5 5 1 4 2 1 3 109 2 107 1 5 2_{u u u u u u} u      6.

-§2 7. somgrafiek heeft dezelfde periode als u1(t) 8. y1 : ja 2 y :ja 3 y :nee 4 y :ja 5 y :nee

9. formule wordt niet geschreven als een sinusoïde. 10. 0,61 x1,03 _, 2,18 x2,60 17 , 4 75 , 3  x _, 5.32 x5,74 11a) Periode = 20 Amplitude = 10 Evenwicht = 15

Verschuiving: 5 naar rechts b) c) x4,03 _, x15,97 _, x24,03 , x35,97 _, x44,03 12a) b) Amplitude = 1 , Evenwicht = 0 c) f(x)cos(2x)

d) Formule van grafiek wordt niet geschreven als een sinusoïde. 13a) b) Ja, f(x)sin(2x) c) x0,26 _, x1,31 _, x3,40 _, 45 , 4  x d) Ja

14a) geen evenwichtstoestand b) nee

c) snijpunt x-as bij 0mod() 15a) b) x2,47_, x61,69_, x199,86 99 , 416  x _, x712,08 c) maxima steeds verder uit elkaar

bij toenemende x

16a) periode = 2π , Amplitude = 5 Evenwicht = 0

Verschuiving: 5,36 naar rechts b) f(x)5sin(x5,36)

c) maximum 5 als x0,64(mod2) minimum -5 alsx3,79(mod2) d) 0 x2,02_, 05,56 x2

17a) periode = 2π

b) Nee, grafiek niet de vorm van een sinus c) nulpunten: x0, x2,09_, 19 , 4  x _{, x2} max = 1,25 als x1,32_, 97 , 4  x min = 0 als x0, x2 min = -2 als

x





§3 18a) P1 en P2 hebben dezelfde

x-coordi-naat, dus cos()cos() b) sin()sin() c) sin( )sin() ) cos( ) cos(    d) sin2(_)_cos2(_)_1 19a) b) c)

d) Bij elke α bestaat een OQP_met

rechthoekszijden OQ cos() _en )

sin(



PQ _{, waarvoor geldt dat}

1

2 2_{ PQ }

OQ

20a) CBOBOCcos( ) cos() ) sin( ) sin(     CQ BP DE

b) OTQ _met O 

c)

-21a) cos()cos(()) zodat cos( )  ) sin( ) sin( ) cos( ) cos(      b) sin()cos(21  ) zodat sin( ) 

sin()cos()cos()sin() 22a) cos(2 ) cos2( ) sin2( )

x x

x  

b) sin(2x)2sin(x)cos(x) c) cos(2_x)_2cos2(_x)_1 ) ( sin 2 1 ) 2 cos( _{x  } 2 _x 23. Er geldt: ) cos( ) sin( 2 ) sin( ) sin(p  q    Gebruik nu : p q2 en p q2 24. ( ) 2 cos( ) sin( ₁₂1 ) 121       x x f 1,93sin(x121



) 25. f(x)2sin(121x)sin(21x) 26a) x1,57_, x5,76 b) x2,62_, x5,76 c) x0, x12



,

x





,x2 d) x0,52_, x2,62_, 67 , 3  x _, x5,76 27a) b) _f(_x)2sin(_x)cos(1₄



) 1,41sin(x) c) 2,36 x7,07(mod2) 28a) sin(x)0 _of sin(x)1 dus x0,21



,



(mod2



) b) cos(x)0 of sin(x) 21 dus _x ₂1



(mod



)_, of x0,52_,x2,62 _beide  2 mod c) 2sin(14



)sin(2x41



)0 zodat x81



(mod21



) d) x0,52 _, x1,05 _beide  2 mod

29a) y3 2cos(125



)cos(x41



) 0,52cos(x14) b) max = 0,27 als x`161



,



16 `15  x min= -1,27 als x`169



,



16 `7  x c) 2  x2,91_, 26 , 0 63 , 0    x  2 52 , 2  x §4 30. y'(0)1 _, y'()1 0 ) 1 ( ' ) ( ' ₂1 2 1



 _y



 y 31a) b) c) ja d) y₁'(x)cos(x) 32. y1'(x)sin(x) 33. h h h x h x h

x ) cos( ) 2sin( ) sin( ) cos(   _  12  21 ) sin( ) sin( ) sin( 2 1 2 1 2 1 _x h h h x     als h0 34a) f'(x)5cos(x) b) f'(x)5sin(x) c) f'(x)10cos(2x) d) f'(x)10sin(2x) e) f'(x)485 cos(210(x5)) 35a) b) max(4,19;9,65)_, ) 91 , 6 ; 38 , 8 min(

c) (0,2)_, (2,2 2)_, ) 2 4 , 4 (   

d) Ja, maximale/minimale helling als sin(0,5x)maximaal stijgt of daalt. Dus als 0,5x0(mod) D.w.z. als x0(mod2)

36a) _f'(_x)_2_xsin(_x)_x2_cos(_x) b) _g'(_x)_cos2(_x)_sin2(_x) 37. ) ( cos ) ( sin 1 ) ( ' ₂ 2 x x x k  

38a) f'(x)cos(x)xsin(x)_; yx

b) f'(x)8800 cos(440x) x y8800 c) f'(x)2sin(x)cos(x)_;y0 d) f'(x)3sin(2x)6xcos(2x); 0  y e) '( ) 2 cos(2 ) 2 2sin(2 ) x x x x x f   0  y f) f'(x)0; y 1 _(raaklijn?) 39. L(t)3,10,05cos(43 x) ) sin( ) ( ' 4₃ 151 x t L _

_

_ 

Maximale snelheid 151



l/sec 40a) b) y x121 c)

x





41a) b) raaklijn: y 4x 1 ) 1 ; 0 (   A

42a) f'(x)2sin(x)cos(x)cos(x) b) ) cos( ) ( sin 4 ) ( cos 2 ) ( ' _x 3 _x 2 _{x x} g    c) '( ) 4_sincos(2₍₂2_x)) x x h  d) k'(x)2cos(3x)6xsin(3x) 43a) x 0 ,

x





, x 2



3 1  x , x 132



b) Min(0,2)_{, Max}( ,21₄) 3 1



_{, Min} ) 0 , ( Max(1 ,2₄1) 3 2



_{, Min(2,2)} c) 0 p2 _{, p} ₂₄1

44a) f'(x)sin(2x)2xcos(2x) b) c) (0,0)_,(₂1



,0)_,(,0), ) 0 , 1 ( ₂1



_,(2,0) d) (3_,4_2) P §5 45a) u₁(t)sin(2t), ) 2 sin( ) ( 2 t t u   ) 2 sin( 2 t u  b) u₁(t)sin(2t), )) 25 , 0 ( 2 sin( ) ( 2 t  t u  )) 125 , 0 ( 2 sin( 2   t u  c) u1(t)sin(2t) )) 1 ( 2 sin( ) ( 2 t  t u  )) 5 , 0 ( 2 sin( 2    t u  (2sin(2t) ) d) u1(t)sin(4t) ) 2 sin( ) ( 2 t t u   ) cos( ) 3 sin( 2 t t u    

is geen sinusoide, want verschillende periodes e) als p=q 46a) u2sin(880t) Meerdere mogelijkheden )) ( 880 sin( 2 t c u   b) 440 Hz c) d) Nee e) u2sin(880(t0,5)) f) amplitude = 2 frequentie = 440 Hz 47a) u121sin(880



t) b) amplitude = 121 frequentie = 440 Hz 48. u2sin(660 t) cos(220t) 49a) Faseverschil = 1 b) u8cos(1)sin(2t1) amplitude = 8cos(1) 4,32 50a) y3 10cos(1)sin(x1)

Faseverschil = 1 b) y3 7,07sin(x41)

Faseverschil = 41

c) y3 1010sin(121x)cos(21x) d) y3 1010sin(220x)

51a) -b) Max(2,09;2,83) , Min(5,23;-0,83) Max(8,38;2,83) , Min(11,52;-0,83) c) 1,83 2 83 , 0 83 , 2  _  Amplitude Startpunt bij    2 23 , 5 09 , 2 x 52 , 0  Gemiddelde = 1 Periode = 2π c) u11,83sin(x0,52) 52a) y5sin(x0,93) b) y2,91sin(x0,17)3 c) y2,23sin(440(x0,003)) 53a) b) u'(t)cos(t)2cos(2t) c) verdubbelingsformule geeft: 2 ) cos( ) ( cos 4 ) ( ' _{t } 2 _{t  t } u Dan abc-formule d) x=0,93 en x=7,22 geeft y=1,76 x=2,57 en x=8,86 geeft y=-0,37 x=3,71 en x=9,99 geeft y=0,37 x=5,34 en x=11,63 geeft y=-1,76 54a) y 2,24sin(x1,11)5 b) y 1,41sin(50(x0,05)) c) geen harmonische trilling d) y 0,42sin(x1,36)10 55a) h(x)cos(x6) b) amplitude = 1 evenwicht = 0 c) (31



;1,87) , (131



;0,13) d) 13  x131 56a) y5sin(x0,93)20 b) ysin(100x)

c) geen harmonische trilling d) y1,60sin(x3,64)10 56a) h(t)0,88sin(t0,71) b) amplitude = 0,88

Toepassingen Optimale goot a) 19,5 l/m b) -c) ) ( sin ) ( cos ) (cos( 40 '_{  } 2 _{ } 2 _ W _40(2cos2(_)_cos(_)_1) 0 ' W , abc-formule,  1,05 d) -Paneel in de gang a) -b) ) ( cos ) ( sin ) ( sin 2 ) ( cos ' _{2 2} 3 3         l 0 ' l , 3 2 1 ) tan(  ,  0,67 Minimale waarde van l 4,16

c) Ja

Zuiger met drijfstang

a)

-b) 4+1=5, 4-1=3

c)  1,4 _,  4,8 _(rad) NB gelijkbenige driehoek met zijden van 4,4 en 1 d) x  12 , x112



maximale verschil = 0,13 Gedempte trillingen a) -b) u1 : amplitude = 1 u2 : afnemende amplitude c) (₈1



;0,92) _{, ( ;0,65)} 8 5



_, ) 45 , 0 ; 1 ( ₈1



_, ) 32 , 0 ; 1 ( ₈5



_, ) 23 , 0 ; 2 ( ₈1



_, ) 16 , 0 ; 2 ( ₈5



_, ) 11 , 0 ; 3 ( ₈1



_, ) 08 , 0 ; 3 ( ₈5



t t f( )0,8

d) Nee, andere t-waarden bij de toppen van u2 . ) 4 cos( 4 ' 1 t u  )) 4 cos( 4 ) 4 sin( ) 8 , 0 (ln( 8 , 0 ' 2 t t u _ t _ 0 ) ( ' ₈1 1



 u , u2'(81



)0 Zwevingen

a) golfbeweging met wisselende amplitude

b) tussen -2 en 2

Amplitudes van u1 en u2 optellen

c)

-Golven

a) Ja, y(x)sin(x) b) periode verandert

c) P gaat op en neer tussen y=-1 en y=1 d) Bij grotere waarde van ω gaat P

vaker op en neer

e) t

f) y(x) is functie van x

t-waarde bepaalt het “starpunt” Formule van f(x) in Geogebra aanpassen:

g) Vb: f(x)2sin(kxt) h) Vb: f(x)sin(kxt)0.4