Universele Taylorreeksen
Robbert Evers
20 augustus 2014
Bachelorscriptie
Begeleiding: prof. dr. Tom Koornwinder
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
Een functie, holomorf op een gebied G, waarvan rijen deelsommen van de Taylorreeks om een punt in G kunnen convergeren naar bijna willekeurige holomorfe functies op compacta in C \ G wordt ook wel een functie met een universele Taylorreeks genoemd. In deze scriptie laat ik een aantal resultaten zien over het wel of niet bestaan van zulke functies. Het blijkt dat voor enkelvoudig samenhangende gebieden G deze eigenschap veelvoorkomend is, maar voor niet-enkelvoudig samenhangende gebieden is het nog altijd een open probleem. Door potentiaaltheoretische resultaten te gebruiken over onder andere subharmonische- en Greense functies kan hier het een en ander over gezegd worden. De scriptie besluit met een uitgebreide uitwerking van zo’n resultaat en een gevolg ervan uit een recent artikel van Stephen J. Gardiner.
Het zal blijken dat op een enkelvoudig samenhangend gebied de verzameling van universele Taylorreeksen een dichte deelverzameling is van de verzameling holomorfe functies. Op een niet-enkelvoudig samenhangend gebied is echter nog niet duidelijk wanneer er precies universele Taylorreeksen voorkomen. Zo zijn er voorbeelden waarbij de verzameling weer dicht is in de holomorfe functies, maar andere voorbeelden laten weer gebieden zien waarbij de verzameling universele Taylorreeksen leeg is.
Titel: Universele Taylorreeksen
Auteur: Robbert Evers, robbert.evers@student.uva.nl, 10217037 Begeleiding: prof. dr. Tom Koornwinder
Tweede beoordelaar: prof. dr. Jan Wiegerinck Einddatum: 20 augustus 2014
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1. Potentiaaltheorie 6
1.1. (Sub)harmonische functies . . . 6
1.2. Het Dirichlet-probleem . . . 12
1.3. Potentialen . . . 15
1.4. Greense functies en capaciteit . . . 17
1.5. Half-continue regularisatie en dunne verzamelingen . . . 23
2. Universele Taylorreeksen 26 2.1. Enkelvoudig samenhangende gebieden . . . 27
2.2. Resultaten voor niet-enkelvoudig samenhangende gebieden . . . 30
2.3. Voorbeeld van een open probleem . . . 41
3. Terug- en vooruitblik 43
4. Populaire samenvatting 44
Bibliografie 46
A. Gebruikte topologische resultaten 48 B. Approximatie van holomorfe functies 49 C. Polaire verzamelingen en capaciteit 50
Inleiding
Dat de complexe functietheorie een klassiek onderdeel is van de wiskunde zal geen verras-sing zijn. Grote namen als Cauchy, Riemann en Weierstrass zijn te vinden in zo ongeveer ieder boek betreffende dit onderwerp, en elk van deze wiskundigen heeft daarnaast zo zijn eigen benadering van het vakgebied. Zo vinden we bij Weierstrass bijvoorbeeld vooral machtreeksen, maar bij Cauchy stellingen die complexe integratie betreffen1. Nu
bestaat het vakgebied natuurlijk niet alleen uit calculus en de theorie daaromheen, maar zijn er ook grote deelgebieden als bijvoorbeeld Potentiaaltheorie2, Complexe Dynamische
Systemen en gedeelten van Parti¨ele Differentiaalvergelijkingen3. In elke tak van de
com-plexe functietheorie speelt echter de approximatie van holomorfe functies een rol, omdat deze theorie ingewikkelde problemen kan versimpelen. Een polynoom bijvoorbeeld is al een stuk concreter dan een willekeurige holomorfe functie. Stellingen van onder andere Runge en Mergelyan4 tonen aan dat lokale benaderingen met polynomen helemaal niet zo ongewoon zijn.
In 1970 introduceerde de Duitse wiskundige Wolfgang Luh5 het begrip van universele
Taylorreeksen zoals we deze later zullen tegenkomen. Kort gezegd heeft een functie die holomorf is op een gebied G een universele Taylorreeks als rijen van deelsommen van de Taylorreeks zo ongeveer iedere holomorfe functie uniform op willekeurige compacta in het complement van G (met zelf samenhangend complement) kunnen benaderen. Zo’n functie met een universele Taylorreeks lijkt misschien wel de heilige graal van de approximatie van holomorfe functies te zijn, maar toch zal de zeldzaamheid blijken mee te vallen. Dat wil helaas niet zeggen dat er ook een hele reeks concrete functies te geven is met een universele Tayloreeksen. Tot op heden is er naar mijn idee nog geen expliciete functie bekend die een universele Taylorreeks heeft.
Het is mijn doel om in deze scriptie een misschien onverwachts verband te laten zien tussen de potentiaaltheorie en universele Taylorreeksen. Ik probeer daarnaast kort een indruk te geven van de huidige stand van zaken wat betreft deze universele reeksen.
Ondanks dat het hoofdonderwerp van deze scriptie een onderwerp is uit de approxi-matie van holomorfe functies, zal een groot deel theorie afkomstig zijn uit de potenti-aaltheorie. Hiermee zullen we dan ook beginnen in het eerste hoofdstuk. Dit onderwerp sluit in principe aan bij het college Functietheorie uit het tweede jaar van de bachelor aan de Universiteit van Amsterdam. De verwijzingen naar bekende resultaten zullen
1Zie [14].
2Zie hiervoor bijvoorbeeld de boeken van Thomas Ransford [15] of David H. Armitage en Stephen J.
Gardiner [1].
3Het boek dat in deze scriptie gebruikt wordt is van Peter J. Olver, zie [13]. 4Zie Stelling B.2 en B.3 in de Appendix.
dan ook de daarbij gebruikte syllabus Analyse 3: Functietheorie van Peter de Paepe en Jan Wiegerinck gebruiken. In eerste instantie werken we toe naar een versoepeling van het begrip harmonische functie, welke subharmonische functies genoemd zullen worden. Daarnaast bekijken we in het Dirichlet-probleem wanneer we harmonische functies kun-nen vinden met bepaalde randvoorwaarden. Als we daarna een aantal kernbegrippen van de potentiaaltheorie hebben besproken volgt een belangrijk stuk over Greense func-ties waarin we een aantal stellingen tegenkomen die later cruciaal zullen zijn voor het deel van het verslag over universele Taylorreeksen. Voor degenen die het vak Parti¨ele Differentiaalvergelijkingen hebben gevolgd bespreken we hier ook kort een link tussen de vakgebieden en overeenkomstige begrippen. We sluiten het hoofdstuk over poten-tiaaltheorie af met een sectie over begrippen rondom gedragingen van subharmonische functies.
In het tweede hoofdstuk bespreken we dan daadwerkelijk de universele Taylorreeksen. Dit splitsen we op in twee delen, namelijk een deel over enkelvoudig samenhangende gebieden en een deel over niet-enkelvoudig samenhangende gebieden. Vooral dit laatste deel is technisch, maar wel de kern van de scriptie. Het hoofdstuk besluit met een voorbeeld van een specifiek open probleem in dit onderwerp.
Dat mijn scriptie een onderwerp binnen de complexe functietheorie zou bevatten was voor mij vrij snel duidelijk. Het gelijknamige vak aan het slot van het tweede jaar vond ik uitdagend en vooral heel leuk. De keuze van mijn begeleider was dan ook snel gemaakt, wie beter dan Jan Wiegerinck, de docent van het vak zelf? In eerste instantie was mijn blik gericht op overconvergente machtreeksen, maar in de zoektocht naar een onderwerp stuitten wij op de aansprekende universele Taylorreeksen. Helaas moest mijn begeleider zijn hulp onderbreken wegens medische omstandigheden en kreeg ik een nieuwe begeleider toegewezen. Ik wil Jan Wiegerinck heel erg bedanken voor zijn hulp en uitleg aan het begin van mijn scriptie, en wens hem nog veel herstel toe. Ook Tom Koornwinder, mijn nieuwe begeleider, wil ik bedanken voor zijn hulp en alle tijd die hij voor mij heeft vrijgemaakt. Hij heeft mij ontzettend veel geleerd en gaf uitgebreide feedback. Tot op het laatste moment was hij altijd zeer scherp en hij heeft mij tot in de meest subtiele punten op fouten gewezen. Hier ben ik hem zeer dankbaar voor.
Als laatste wil ik ook nog een dankwoord richten aan Stephen Gardiner (Professor aan het University College Dublin), die open stond voor vragen van mij en mijn begeleider en ons uitgebreid heeft geholpen bij een probleem in het bewijs van Lemma 2.8. Daarnaast heeft hij voor ons het subtiele probleem toegelicht dat besproken wordt in sectie C van de Appendix.
1. Potentiaaltheorie
Voordat we aan de slag gaan met Universele Taylorreeksen zullen we eerst een basis moeten leggen in de potentiaaltheorie. Dit is een vervolg op de stof uit het tweedejaars-vak over ‘Complexe Functietheorie’ en zal grotendeels gebaseerd zijn op het boek van Thomas Ransford [15].
1.1. (Sub)harmonische functies
Herinner uit het college Functietheorie1 dat een gebied een niet-lege, open en
samenhan-gende deelverzameling G ⊂ C is, en verder de volsamenhan-gende definitie: Definitie 1.1. Harmonische functie.
Zij U ⊂ C open. Een functie h : U → R heet harmonisch als deze C2 is en als
4h := hxx+ hyy = 0.
We beginnen met een elementair resultaat over harmonische functies. Het eerste deel van deze stelling komt direct uit de syllabus Functietheorie, het tweede deel is daar een opgave uit.
Stelling 1.2. ([15], 1.1.2) Als G ⊂ C een gebied is, dan geldt dat
(i) als h = <e(f ) voor een holomorfe functie f op G, dan is h harmonisch op G; (ii) als G enkelvoudig samenhangend is en h is op G harmonisch, dan is er een (op het
optellen van constantes na) unieke holomorfe functie f op G waarvoor h = <e(f ). Omdat open omgevingen enkelvoudig samenhangend kunnen worden genomen en holo-morfe functies C∞ zijn, hebben we direct het volgende gevolg:
Gevolg 1.3. ([15], 1.1.4) Als h harmonisch is op een open U ⊂ C, dan is h ∈ C∞(U ). Gevolg 1.4. ([15], 1.1.5) Als U1, U2 ⊂ C open zijn en f : U1 → U2 holomorf, dan geldt
voor iedere harmonische functie h op U2 dat h ◦ f harmonisch is op U1.
Opmerking. Dit laatste gevolg geeft ons de mogelijkheid om de definitie van harmoniciteit naar de Riemannsfeer bC uit te breiden. Immers, als U ⊂ bC een open omgeving is van ∞ en φ : U → C conform, dan noemen we h harmonisch op U als h ◦ φ−1 harmonisch is op φ(U ). Vanwege het gevolg is dit welgedefinieerd (dus niet afhankelijk van de gekozen φ).
Net als bij holomorfe functies, hebben ook harmonische functies een identiteits- en maximumprincipe.
Stelling 1.5. (Identiteitsprincipe voor harmonische functies)([15], 1.1.7)
Zij h en k harmonisch op een gebied G ⊂ C. Als er een niet-lege open deelverzameling U ⊂ G is waarop h ≡ k, dan is h ≡ k op heel G.
Stelling 1.6. (Maximumprincipe voor harmonische functies)([15], 1.1.8) Zij h harmonisch op een gebied G ⊂ C.
(i) Als h een lokaal maximum op G aanneemt, dan is h constant.
(ii) Als h continu voortzetbaar is tot G en h ≤ 0 op ∂G, dan is ook h ≤ 0 op G. Een belangrijk gevolg van Stelling 1.2 is dat harmonische functies zich lokaal als een gemiddelde gedragen. Meer formeel zeggen we voor r > 0 en U ⊂ C open met a ∈ U dat een functie h : U → R aan de lokale middelwaarde eigenschap op de open schijf D(a, r) rond a met straal r voldoet, als geldt dat
h(a) = 1 2π
Z 2π
0
h(a + reiϑ) dϑ.
De volgende stelling laat zien hoe harmonische functies zich door deze eigenschap laten karakteriseren.
Stelling 1.7. (Middelwaarde eigenschap)([15], 1.1.6/1.2.7)
(i) Zij a ∈ C en r > 0. Als h een harmonische functie is op een open omgeving van de schijf D(a, r), dan voldoet h op D(a, r) aan de lokale middelwaarde eigenschap. (ii) Zij U ⊂ C open en h : U → R continu. Als er voor iedere a ∈ U een r > 0 is zodat h voor iedere 0 ≤ ρ < r aan de lokale middelwaarde eigenschap voldoet op D(a, ρ), dan is h harmonisch op U .
Deze stelling heeft een fijn gevolg vanwege de continu¨ıteit van integralen:
Gevolg 1.8. ([15], 1.2.8) Als (hn)n∈N een rij harmonische functies is op een open
verzameling U die lokaal uniform naar de functie h convergeert, dan is ook h harmonisch op U .
Voor een aantal problemen die we tegen zullen komen zijn harmonische functies niet flexibel genoeg. Om dit te verhelpen zullen we gaan kijken naar functies waar minder restrictie op ligt. Om te beginnen zullen we hierbij geen continu¨ıteit meer eisen maar dit iets versoepelen.
Voorbeeld 1.9. Bekijk de functie f : [−1, 1] → R gegeven door f (x) = 0 als x 6= 0 en f (0) = 1. Deze functie is bijna overal continu, en we kunnen hem benaderen door bijvoorbeeld de continue functies fn: [−1, 1] → R gegeven door
fn(x) = 0 als n1 < |x| ≤ 1 nx + 1 als − n1 ≤ x < 0 −nx + 1 als 0 ≤ x ≤ 1n.
Merk op dat we hiermee de functie benaderen vanaf boven, en dat er geen continue functies zijn die f vanaf beneden benaderen. Het probleem zit duidelijk bij x = 0, vanaf beneden kan een continue functie niet in de buurt van 1 komen zonder f te doorkruisen. We zien dat {x ∈ [−1, 1] : f (x) < 1} open is in [−1, 1], en zelfs dat voor alle α ∈ R de verzameling {x ∈ [−1, 1] : f (x) < α} open is. Een functie zoals f zullen we half-continu van boven noemen (vergelijk de topologische definitie van continu¨ıteit).
x y
Figuur 1.1.: Met fn kunnen we f van boven benaderen.
Definitie 1.10. Zij u : X → [−∞, ∞i een functie op een topologische ruimte X waar-voor {x ∈ X : u(x) < α} ⊂ X open is waar-voor iedere α ∈ R. Dan noemen we u half-continu van boven. Als v : X → h−∞, ∞] een functie is waarvoor −v half-continu van boven is, dan noemen we v half-continu van onder.
Het volgende lemma geeft een analoge definitie van half-continu¨ıteit die duidelijk maakt waarom we in de benaming het woord half gebruiken.
Lemma 1.11. Een functie u : X → [−∞, ∞i op een topologische ruimte X is half-continu van boven dan en slechts dan als lim supy→xu(y) ≤ u(x) voor alle x ∈ X. Bewijs. ’⇒’ Als u half-continu van boven is, dan is voor x ∈ X
lim sup y→x u(y) = inf V sup y {u(y) : y ∈ V \ {x}} : x ∈ V ⊂ X open ≤ sup y
{u(y) : y ∈ {z ∈ X : u(z) < u(x)}} ≤ u(x).
‘⇐’ Stel dat lim supy→xu(y) ≤ u(x) voor alle x ∈ X. Dan is er voor iedere x ∈ X en elke ε > 0 een open omgeving V van x zodat voor alle y ∈ V geldt dat u(y) ≤ u(x) + ε. Dus voor iedere α ∈ R geldt dat als u(x) < α (dus er is een ε > 0 zodat ook u(x)+ε < α), dan is er een open omgeving V van x zodat v(y) < α voor alle y ∈ V . We zien dat V ⊂ {x ∈ X : u(x) < α} en dus is deze verzameling open.
Gevolg 1.12. Zij X een topologische ruimte met een functie u : X → h−∞, ∞i. Dan geldt dat
u is continu ⇐⇒ u is half-continu van zowel boven als onder.
De volgende stelling, die al bekend is voor continue functies2 geldt ook voor
half-continue functies.
Stelling 1.13. ([15], 2.1.2) Als u half-continu van boven is op X en K ⊂ X compact, dan is u naar boven bengrensd op K en neemt daar een maximum aan.
Merk op dat Lemma 1.11 niet zegt dat een van boven half-continue functie altijd continu te benaderen is. De volgende stelling zegt dat dit kan zodra u naar boven begrensd is.
Stelling 1.14. ([15], 2.1.3) Zij u een naar boven begrensde, van boven half-continue functie op een metrische ruimte (X, d). Dan bestaat er op X een rij re¨eelwaardige, continue functies (φn)n∈N zodat φ1 ≥ φ2 ≥ · · · ≥ u en limn→∞φn = u.
Omdat een harmonische functie lokaal gedefinieerd wordt door de middelwaarde eigen-schap (zie Stelling 1.7), lijkt het erop dat zo’n functie erg beperkt is. Denk bijvoorbeeld maar aan een functie op R: als die in elk punt gelijk moet zijn aan het gemiddelde op een kleine omgeving, dan lijkt het erop dat hij wel lineair moet zijn (in R is de Laplaciaan ook gewoon de tweede afgeleide, als die gelijk is aan nul dan is de functie lineair.) Om dit te versoepelen zouden we kunnen kijken naar iets dat analoog is aan convexe en concave functies in R. Dan willen we dus dat de middelwaarde eigenschap een ongelijkheid wordt, zodat de functie iets meer vrijheid krijgt. We passen dit toe in de volgende definitie.
Definitie 1.15. Zij U ⊂ C open en u : U → [−∞, ∞i half-continu van boven op U . Stel dat u aan de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap voldoet, dat wil zeggen, voor iedere a ∈ U bestaat er een r > 0 zodat als 0 ≤ ρ < r dan is
u(a) ≤ 1 2π
Z 2π
0
u(a + ρeit) dt.
Dan noemen we u subharmonisch. Als v : U → h−∞, ∞] zodat −v subharmonisch is, dan noemen we v superharmonisch.
In deze definitie is het niet direct duidelijk dat de vereiste integraal ook daadwerkelijk bestaat, de functie hoeft immers niet continu te zijn. De functie is wel half-continu van boven en dus is u−1([−∞, ai) ⊂ U een open verzameling voor elke a ∈ R. Dit is dus een Lebesgue meetbare verzameling en dus is u een Lebesgue meetbare functie3, zodat de integraal welgedefinieerd is. Vanwege Stelling 1.13 is u naar boven begrensd op elke schijf D(a, ρ), dus ook de integraal is begrensd.
2Zie bijvoorbeeld stelling 21.5 uit [16]. 3Wegens Stelling 3.3 uit [3].
Voorbeeld 1.16. (i) Bekijk u(z) = log |f (z)| op een open verzameling U ⊂ C, waar-bij f op U een holomorfe functie is. Als f ≡ 0 op een schijfje in U dan is u ≡ −∞, en dus is u daar dan zeker subharmonisch. We kunnen dus aannemen dat f ge¨ısoleerde nulpunten heeft. Buiten de nulpunten van f is u duidelijk continu. Bekijk nu a ∈ U zodat f (a) = 0 maar f (z) 6= 0 als z in een kleine omgeving van a ligt. Aangezien f continu is geldt er dat lim supz→au(z) = lim supz→0log |z| = −∞ = u(a) waaruit volgt dat u half-continu van boven is. Merk op dat er geldt dat u(a) = −∞ en dus voldoet u in de nulpunten van f zeker aan de lokale be-nedenmiddelwaarde eigenschap. Waar f (a) 6= 0 is u zelfs harmonisch, want dan is log(f (z)) lokaal holomorf en dus is u(z) = <e(log(f (z))) harmonisch vanwege Stelling 1.2(i). We concluderen uit Stelling 1.7 dus dat u op heel U aan de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap voldoet en daarmee subharmonisch is.
(ii) Als een lastiger voorbeeld bekijken we de functie u : C → [−∞, ∞i, gedefinieerd door u(z) := ∞ X n=1 2−nlog |z − 2−n|.
Merk op dat de termen van deze som continu zijn op C \ ({0} ∪ {2−n : n ∈ N}). Op een compacte deelverzameling K van C \ ({0} ∪ {2−n: n ∈ N}) is er een c > 0 zodat | log |z − 2−n|| < c voor alle n ∈ N. Er volgt dat wanneer z ∈ K
|u(z)| ≤ ∞ X n=1 2−n| log |z − 2−n|| < c · ∞ X n=1 2−n= c · 1 1 − 2−1 − 1 = c. Dus u is een absoluut uniform convergente reeks continue functies en zelf dus ook continu op K. Verder kunnen we voor iedere k ∈ N de functie schrijven als
u(z) = 2−klog |z − 2−k| +
∞
X
n=1,n6=k
2−nlog |z − 2−n|.
De eerste term is half-continu van boven op een kleine omgeving van 2−kwegens (i), en de tweede term is daar gewoon continu wegens de uniforme convergentie. Ge-bruikmakend van Lemma 1.11 is het direct duidelijk dan de som van deze twee termen opnieuw half-continu van boven is op een omgeving van 2−k. Toepassen voor iedere k ∈ N geeft dat u half-continu van boven is op C \ {0}. Maar dit geldt ook in 0, want door de driehoeksongelijkheid toe te passen zien we dat de uniforme convergentie geeft dat
lim sup
z→0
u(z) ≤ lim sup
z→0 ∞ X n=1 2−nlog(|z| + 2−n) = lim z→0 ∞ X n=1 2−nlog(|z| + 2−n) = ∞ X n=1 2−nlog(2−n) = u(0).
Dus u is half-continu van boven op heel C. Wat rest is de benedenmiddelwaarde eigenschap. Omdat u op C \ ({0} ∪ {2−n: n ∈ N}) wordt gegeven door een lokaal uniform convergente reeks van harmonische functies vinden we met Gevolg 1.8 dat u daar zelf ook harmonisch is en vanwege Stelling 1.7 dus aan de middelwaarde eigenschap voldoet. Als a = 2−k voor een k ∈ N dan is er een M ∈ N zodat P∞ n=1,n6=k2 −nlog |a − 2−n| ≤ M , dus is u(a) = 2−klog |a − 2−k| + ∞ X n=1,n6=k 2−nlog |a − 2−n| ≤ −∞ + M = −∞ en is de benedenmiddelwaarde eigenschap ook duidelijk. We willen dus alleen nog weten of deze ook geldt als a = 0. Merk op dat 2−n → 0 als n → ∞, dus voor iedere ρ > 0 is er een n ∈ N zodat ρ > 2−n. Dan geldt dus dat 0 /∈ D(ρ, 2−n)
zodat de functie log(·) daar holomorf is, en vanwege Stelling 1.2(i) is log | · | daar dus harmonisch. Omdat
1 2π Z 2π 0 u(0 + ρeit) dt = ∞ X n=1 1 2π Z 2π 0 log |ρeit− 2−n| dt
bekijken we deze laatste integraal. Door s = −t te substitueren, vertelt de mid-delwaarde eigenschap (Stelling 1.7) ons dat
1 2π Z 2π 0 log |ρeit− 2−n| dt = 1 2π Z 2π 0
(log |2−ne−it− ρ| + log |eit|) dt
= 1 2π Z 2π 0 log |2−ne−it− ρ| dt = 1 2π Z 2π 0
log |2−neis− ρ| ds = log | − ρ| = log(ρ), en dus is 2π1 R02πu(ρeit) dt = P∞
n=12
−nlog(ρ) ≥ u(0). Dus u voldoet ook aan
de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap en is dus subharmonisch op C. In voorbeeld 1.63(ii) zullen we zien dat u discontinu is in 0. Dit is dus een voorbeeld van een functie die wel subharmonisch is en niet continu.
Net als harmonische functies voldoen ook subharmonische functies aan een maximum-principe.
Stelling 1.17. (Maximumprincipe voor subharmonische functies)([15], 2.3.1) Zij G ⊂ C een gebied en u een subharmonische functie op G.
(i) Als u op G een globaal maximum aanneemt, dan is u constant op G. (ii) Als lim supz→ζu(z) ≤ 0 voor alle ζ ∈ ∂G, dan is u ≤ 0 op G.
Uit twee subharmonische functies zouden we ook een nieuwe subharmonische functie kunnen maken. Hoe dit gaat vertelt het volgende plaklemma.
Lemma 1.18. (Plaklemma)([15], 2.2.3(i)/2.4.5)
Zij u subharmonisch op U ⊂ C open en v subharmonisch op V ⊂ U open. (i) Dan is max(u, v) subharmonisch op V en
(ii) als bovendien
lim sup
z→ζ
v(z) ≤ u(ζ)
voor ζ ∈ U ∩ ∂V , dan is ook ˜u subharmonisch op U , waarbij ˜
u = (
max(u, v) op V u op U \ V.
We kunnen subharmoniciteit ook uitdrukken met de Laplaciaan, zoals we dat gedaan hebben bij harmonische functies. De volgende propositie geeft deze karakterisatie. Propositie 1.19. ([15], 2.4.4) Zij U ⊂ C open. Een functie u : U → R die C2 is, is
subharmonisch dan en slechts dan als 4u ≥ 0.
1.2. Het Dirichlet-probleem
Een belangrijke eigenschap van een harmonische functie is dat, als zijn domein mooi genoeg is, deze uniek wordt vastgelegd door het gedrag op de rand. Een voorbeeld van een toepassing hiervan is het volgende. Bekijk op een gebied G de parti¨ele differenti-aalvergelijking uxx+ uyy = 0 met randvoorwaarde u = φ op ∂G, waarbij φ : ∂G → R
een continue functie is. Merk op dat het oplossen van deze differentiaalvergelijking pre-cies hetzelfde is als het vinden van een harmonische functie. Doordat een harmonische functie vastligt door zijn randwaarde is de oplossing uniek. Merk op dat hiermee de existentie van zo’n oplossing nog niet verzekerd is. Het zoeken naar zulke oplossingen heet ook wel het ‘Dirichlet-probleem’.
Definitie 1.20. Zij G ⊂ C een gebied en φ : ∂G → R een continue functie. We noemen een harmonische functie h op G een oplossing voor het Dirichlet-probleem als
lim
z→ζh(z) = φ(ζ) voor alle ζ ∈ ∂G.
Stelling 1.21. ([15], 1.2.2) Een oplossing voor het Dirichlet-probleem is uniek (gegeven G en φ).
We bekijken nu eerst het Dirichlet-probleem op een open schijf D := D(a, r) rond a ∈ C met straal r > 0 (we schrijven ook wel D voor D(0, 1)). Hiervoor kunnen we al een concrete oplossing geven.
Definitie 1.22. De afbeelding P : D ×∂ D → R : (z, ζ) 7→ <e ζ + z ζ − z = 1 − |z| 2 |ζ − z|2
heet de Poisson-kern. Gegeven een (Lebesgue-)integreerbare functie φ : ∂D → R de-fini¨eren we de Poisson-integraal van φ op D door
PD(φ)(z) = 1 2π Z 2π 0 P z − a r , e iϑ · φ(a + reiϑ) dϑ.
Stelling 1.23. ([15], 1.2.4) Als φ : ∂D(a, r) → R continu is, dan is PD(φ)(z) de unieke
oplossing van het Dirichlet-probleem voor φ op D(a, r).
Blijkbaar heeft het Dirchlet-probleem dus een unieke oplossing als het domein een schijf is. We vragen ons nu af of we altijd zo’n expliciete oplossing kunnen vinden, en zo niet, welke eisen we dan nog meer op moeten leggen.
Voorbeeld 1.24. Bekijk G = D \{0} de gepuncteerde eenheidsschijf. Dan is ∂G = C(0, 1) ∪ {0}, dus definieer φ : ∂G → R door φ(0) = 1 en φ(z) = 0 anders. Stel nu dat h een oplossing is. Dan is h harmonisch en continu voortzetbaar tot ∂G en dus volgt uit een uitbreiding van het maximumprincipe4 en de eis dat φ(z) = 0 op C(0, 1) dat h ≤ 0
op D. Maar dan is
lim
z→0h(z) ≤ 0 < 1 = φ(0)
en dus kan h dan geen oplossing zijn.
We zien dus dat zo’n oplossing niet hoeft te bestaan. We zoeken dus eisen die vol-doende zijn om wel oplossingen te genereren. Hiertoe gebruiken we de Perron methode, die berust op de volgende definitie:
Definitie 1.25. Zij G ⊂ C een gebied en φ : ∂G → R een begrensde functie. Schrijf U voor de verzameling van alle subharmonische funties u op G waarvoor
lim sup
z→ζ
u(z) ≤ φ(ζ), ζ ∈ ∂G. De functie
HGφ : G → R, gegeven door HGφ = sup u∈U
u heet de Perron functie.
Merk op dat als h een oplossing is van het Dirichlet-probleem, dan is h harmonisch en dus zeker subharmonisch (4h = 0 ≥ 0), en lim supz→ζh(z) = limz→ζh(z) = φ(ζ)
dus h ∈ U , en dus is h ≤ HGφ (per definitie van de Perron functie). Maar anderzijds
geldt voor alle subharmonische functies u ∈ U dat u ≤ h, vanwege het maximumprincipe
(Stelling 1.17(ii)). In het bijzonder is dus ook HGφ ≤ h en dus is h = HGφ. We
con-cluderen dat een oplossing van het probleem altijd gelijk zal zijn aan de Perron functie. Andersom is de Perron functie van een begrensde functie een begrensde harmonische functie.5
Voorbeeld 1.26. Merk op dat in het vorige voorbeeld een probleem ontstaat omdat 0 teveel afgezonderd is van de rest van de rand. De waarde die we aan nul toekennen heeft daardoor te weinig invloed op de resulterende oplossing. Als we een kleine open schijf N rond 0 bekijken dan is ∂G∩N = {0} een puntsverzameling. Voor kleine open omgevingen rond andere randpunten is dit duidelijk niet het geval. Merk op dat G ∩ N = N \ {0}. Als b nu een niet-positieve subharmonische functie op G ∩ N is, dan kunnen we deze uitbreiden tot een subharmonische functie ˜b op heel N door ˜b(0) = lim supz→0b(z) met z ∈ N \ {0} en ˜b = b op N \ {0}. Omdat b begrensd (door 0) is volgt dat ˜b eindig is op heel N en omdat lim sup z→0 ˜b(z) = lim sup z→0 b(z) = ˜b(0)
is ˜b half-continu van boven. Omdat −b ≥ 0 volgt uit het lemma van Fatou6 en de eis
dat b subharmonisch is dat er een r > 0 is zodat als 0 ≤ ρ < r dan ˜b(0) = lim sup z→0 b(z) ≤ lim sup z→0 1 2π Z 2π 0 b(z + ρeit) dt = − lim inf z→0 1 2π Z 2π 0 −b(z + ρeit) dt ≤ − 1 2π Z 2π 0 lim inf z→0 −b(z + ρe it) dt = 1 2π Z 2π 0 lim sup z→0 b(z + ρeit) dt ≤ 1 2π Z 2π 0 b(0 + ρeit) dt = 1 2π Z 2π 0 ˜b(0 + ρeit) dt.
Dus ˜b is subharmonisch op heel N . Stel nu dat b op G ∩ N strikt negatief was, en dat lim supz→0b(z) = 0. Dan is ˜b ≤ 0 op N want ˜b(0) = lim supz→0b(z) = 0. Dus ˜b neemt een lokaal maximum aan op N . Vanwege het maximumprincipe (Stelling 1.17(i)) is ˜b dus constant op N dus ˜b ≡ 0, maar dat is in tegenspraak met de aanname dat b strikt negatief is. Dus zo’n functie kan niet bestaan. In dit geval noemen we 0 een irregulier randpunt van G.
Definitie 1.27. Zij G ( ˆC een gebied en ζ ∈ ∂G. Een barri`ere bij ζ is een subharmo-nische functie b op G ∩ N waarbij N een open omgeving van ζ is die voldoet aan
b < 0 op G ∩ N en lim
z→ζb(z) = 0.
5zie Stelling 4.1.2 uit [15] 6zie Stelling 4.11 uit [3]
Als er een barri`ere bestaat bij ζ, dan heet ζ een regulier randpunt. Een gebied waarvan alle randpunten regulier zijn heet zelf ook regulier.
Opmerking. Als ζ = ∞ dan bekijken we de conforme afbeelding φ : G → C : z → 1z op
een open omgeving N ⊂ ˆC. Dus een barri`ere bij ∞ is een subharmonische functie b op φ(G ∩ N ) zodat b < 0 en limz→0b(z) = 0.
De eerste opmerking in het laatste voorbeeld was dat er in 0 een probleem ontstaat doordat het teveel afgezonderd is van de rest van de rand. Dat de andere randpunten wel gewoon regulier zijn volgt uit de volgende stelling.
Stelling 1.28. ([15], 4.2.2) Als G ( ˆC een gebied is en ζ is een randpunt van G zodat de samenhangscomponent van ∂G die ζ bevat niet alleen uit {ζ} bestaat, dan is ζ regulier.
Het blijkt dat regulariteit de cruciale eigenschap is die een oplossing van het Dirichlet probleem verzekerd. De volgende stelling maakt dit precies.
Stelling 1.29. ([15], 4.1.5) Zij G ( ˆC een gebied en ζ ∈ ∂G een regulier randpunt. Als φ : ∂G → R een begrensde functie is die continu is bij ζ, dan is limz→ζHGφ(z) = φ(ζ).
Gevolg 1.30. (Oplossing van het Dirichlet Probleem)([15], 4.1.6)
Als G ( ˆC een regulier gebied is en φ : ∂G → R een continue functie, dan is er een unieke harmonische functie h op G zodat voor alle ζ ∈ ∂G
lim
z→ζh(z) = φ(ζ).
Opmerking. De unieke harmonische functie die in Gevolg 1.30 wordt genoemd is na-tuurlijk de Perron functie HGφ. We hebben nu op de schijf twee mogelijke oplossingen
gevonden, namelijk de Poisson-integraal en de Perron functie. Omdat de oplossing uniek is zijn deze dus gelijk op de schijf!
1.3. Potentialen
Een belangerijk onderdeel van de potentiaaltheorie is natuurlijk het begrip potentiaal. Potentialen zijn zekere subharmonische functies die de bijzondere eigenschap hebben dat iedere subharmonische functie lokaal is uit te drukken in een potentiaal.7 Zoals de naam
doet vermoeden komt de potentiaal zoals wij deze hier zullen defini¨eren overeen met het natuurkundige begrip elektrische potentiaal, dat is de potenti¨ele energie per eenheid lading in een elektrisch veld. Vandaar dat de potentiaal een functie van een maat is, waarbij de maat correspondeert met een ladingsverdeling over het elektrisch veld. In het
7Voor een subharmonische functie u 6≡ −∞ en een relatief compacte open verzameling U bestaat er
een maat µ en een harmonische functie h op U zodat u = pµ+ h. Deze stelling wordt ook wel de
bijzonder bekijken we hier Borel-maten, waarmee we een positieve maat op de Borel σ-algebra van een topologische ruimte X bedoelen8. De drager van een Borel-maat µ is
de verzameling
supp µ := {x ∈ X | µ(U ) > 0 voor elke open omgeving U van x}.
Definitie 1.31. Als µ een eindige Borel-maat is op C met compacte drager, dan is zijn potentiaal gedefinieerd als de functie
pµ: C → [−∞, ∞i
z 7→ Z
log |z − w| dµ(w).
Gebruikmakend van Voorbeeld 1.16(i) zien we dat pµ inderdaad subharmonisch is.
Merk op dat de functie φw(z) := log |z − w| de potentiaal van een puntmaat in w ∈ C
is. Dit kun je vergelijken met de potentiaal van een puntlading in w.
Stelling 1.32. ([15], 3.1.2) Voor iedere eindige Borel-maat µ op C met compacte drager is pµ een subharmonische functie op C en harmonisch op C \ (supp µ). Als z → ∞ dan
is
pµ(z) = µ(C) log |z| + O(|z|−1).
De totale energie van het elektrisch veld is de potenti¨ele energie van alle ladingen die het veld veroorzaakt samen. Vandaar dat we analoog de volgende definitie bekijken. Definitie 1.33. Als µ een eindige Borel-maat is op C met compacte drager, dan is zijn energie gedefinieerd als I(µ) :=R pµ(z) dµ(z).
Definitie 1.34. 9
(i) Een deelverzameling E ⊂ C heet polair als I(µ) = −∞ voor iedere eindige Borel-maat µ 6= 0 op C waarvoor supp µ een compacte deelverzameling van E is.
(ii) Zij S ⊂ C een deelverzameling. Als een eigenschap geldt op S \ E voor een zekere polaire verzameling E dan zeggen we dat deze eigenschap nagenoeg overal op S geldt.
Je kunt een polaire verzameling vergelijken met een maattheoretische nulverzameling. In het bijzonder geldt de volgende stelling.
Stelling 1.35. ([15], 3.2.4) Iedere polaire verzameling is een Lebesgue nulverzameling.
8Voor meer details, zie bijvoorbeeld [3].
9Deze definitie van een polaire verzameling is niet de definitie die in het algemeen gebruikt wordt. Zie
Deze eigenschap geldt dit niet andersom: de Cantor-verzameling is een voorbeeld van een niet-polaire verzameling die wel maat nul heeft10.
Merk op dat als we voor E een puntsverzameling {w} ⊂ C nemen, dan kan de drager van de maat dus alleen w bevatten. Dat kan alleen als µ(U ) > 0 voor iedere open omgeving U van w, en als w /∈ U dan moet ook µ(U ) = 0. Zo’n maat is dus gedefinieerd door µ(E) = c > 0 als w ∈ E en µ(E) = 0 als w /∈ E. Maar dan is de potentiaal gegeven door pµ(z) = c · log |z − w|. In het bijzonder is pµ(w) = −∞. De energie van zo’n maat
is dus
I(µ) = Z
pµ(z)dµ(z) = −∞ · c = −∞
aangezien µ(E) = 0 als w /∈ E. Dus een puntsverzameling is altijd polair. Het is ook duidelijk dat deelverzamelingen van polaire verzamelingen weer polair zijn, omdat er dan alleen maar minder maten worden bekeken, en die hadden allemaal al oneindige energie omdat de grotere verzameling al polair was. Anderzijds hebben we het volgende lemma.
Lemma 1.36. ([15], 3.2.5) Een aftelbare vereniging van polaire verzamelingen is polair. Een direct gevolg is dat alle aftelbare verzamelingen van C polair zijn, aangezien de puntsverzamelingen dit ook zijn.
Via polariteit van de rand verzamelingen kunnen we het maximumprincipe (Stelling 1.17) voor subharmonische functies uitbreiden door middel van de volgende stelling. Stelling 1.37. ([15], 3.6.9) Zij G ⊂ C een gebied en u een naar boven begrensde subharmonische functie op G.
(i) Als ∂G polair is, dan is u constant.
(ii) Als ∂G niet-polair is en lim supz→ζu(z) ≤ 0 voor nagenoeg elke ζ ∈ ∂G, dan is u ≤ 0 op G.
Om te controleren of een open verzameling een niet-polaire rand heeft is de volgende stelling vaak handig.
Stelling 1.38. ([1], 5.1.5.(ii)) Als U ⊂ C een niet-lege open verzameling is zodanig dat ∂U polair is, dan is U samenhangend en U = C.
1.4. Greense functies en capaciteit
We komen nog even terug op het Dirichlet probleem. We hebben hiervoor twee oplos-singen gegeven op de schijf, namelijk de Poisson-integraal en de Perron functie, en van-wege de uniciteit van oplossingen zijn deze functies daar dus gelijk. Omdat de Poisson-integraal een expliciete oplossing geeft zou het fijn zijn als we deze zouden kunnen uitbreiden naar andere gebieden, maar om een oplossing te blijven moet deze nog wel gelijk blijven aan de Perron functie. Hiertoe geven we de volgende definitie.
Definitie 1.39. Als G ( ˆC een gebied is en B(∂G) is de σ-algebra van Borel-deelverzamelingen van ∂G, dan noemen we een functie ωG: G × B(∂G) → [0, 1] een harmonische maat als
(i) Voor alle z ∈ G en voor B ⊂ ∂G is B 7→ ωG(z, B) een Borel kansmaat op ∂G.
(ii) Voor iedere continue functie φ : ∂G → R geldt dat HGφ = PGφ op G, waarbij
PGφ : G → R : z 7→
Z
∂G
φ(ζ) dωG(z, ζ)
de gegeneraliseerde Poisson integraal genoemd wordt.
Lemma 1.40. ([15], 4.3.2) Als G ( ˆC een gebied is zodat ∂G niet-polair is, dan is er een unieke harmonische maat voor G.
Voorbeeld 1.41. Omdat we de Poisson integraal op D al kennen (zie Definitie 1.22) hebben we al een voorbeeld van een harmonische maat gevonden, er moet namelijk gelden dat dωD(z, ζ) = 2π1 P (z, ζ)|dζ|. Dus de harmonische maat op D is
ωD(z, B) = 1 2π
Z
B
P (z, ζ) |dζ|.
Ook belangrijk zijn de Greense functies, die te vinden zijn door middel van harmoni-sche maten.
Definitie 1.42. Als G ( ˆC een gebied is dan is een Greense functie voor G een afbeel-ding gG : G × G → h−∞, ∞] zodat voor alle w ∈ G
(i) gG(·, w) is harmonisch op G \ {w} en begrensd buiten iedere omgeving van w,
(ii) gG(w, w) = ∞ en als z → w dan is
gG(z, w) =
(
log |z| + O(1), w = ∞, − log |z − w| + O(1), w 6= ∞, (iii) voor nagenoeg elke ζ ∈ ∂G gaat gG(z, w) → 0 als z → ζ.
Opmerking. Als we spreken over een Greense functie gU(·, w) (w ∈ U ) voor een
niet-lege, open verzameling U die eventueel niet samenhanged is, dan bedoelen we hiermee de functie die gelijk is aan de Greense functie op de component van U die w bevat en gelijk is aan 0 (overal) daarbuiten.
Lemma 1.43. ([15], 4.4.2) Als G ( ˆC een gebied is zodat ∂G niet polair is, dan is er een unieke Greense functie voor G.
Voorbeeld 1.44. (i) Op D is de Greense functie gegeven door gD(z, w) = log 1 − zw z − w . Omdat f (z) = log 1−zw z−w
lokaal holomorf is op D \{w} en omdat gD(z, w) =
<e(f (z)) is gD(·, w) daar harmonisch vanwege Stelling 1.2(i). Verder is deze functie duidelijk begrensd buiten omgevingen van w, en is gD(w, w) = ∞. We zien dat
gD(z, w) = − log |z − w| + log |1 − zw| = − log |z − w| + O(1) als z → w (merk hierbij op dat ∞ /∈ D). Als laatste gaat ook gD(z, w) → log(1) = 0 als z → ζ ∈ ∂ D. Dit is dus inderdaad een Greense functie.
(ii) Een ander voorbeeld is de Greense functie op Dc := ˆ
C \ D(a, r) voor a ∈ C en r > 0, waarbij dus w´el ∞ ∈ Dc. Merk hiertoe op dat φ : C → C : z → z−ar een conforme afbeelding is zodat φ(Dc) = D. Dus we bekijken de samenstelling:
gDc(z, w) = g D(φ(z), φ(w)) = log 1 −z−ar · r w−a r z−a − r w−a = log (z − a)(w − a) − r2 ·(w−a)2 |w−a|2 (w − z)r . We beweren dat dit een Greense functie is. In het bijzonder is de Greense functie in w = ∞ dan gegeven door
gDc(z, ∞) = log z − a r .
Op dezelfde manier als bij D vinden we dat gDc(·, w) harmonisch is op Dc\ {w}
(merk hiertoe op dat a /∈ Dc), en ook de begrensdheid is direct. We zien verder
dat voor w 6= ∞ gDc(z, w) = − log |z − w| + log (z − a)(w − a) r − r · (w − a)2 |w − a|2
= − log |z − w| + O(1) als z → w en dat
gDc(z, ∞) = log |z| + log |1 − a/z| − log r = log |z| + O(1) als z → ∞.
Merk op dat als z → ζ ∈ ∂(Dc) dan φ(z) → φ(ζ) ∈ ∂ D, dus
gDc(z, w) = g
D(φ(z), φ(w)) → log(1) = 0 als z → ζ ∈ ∂(D c).
Dit is dus inderdaad de Greense functie voor Dc.
De volgende stelling laat zien dat een Greense functie op een begrensd gebied te maken is door een harmonische maat te gebruiken.
Stelling 1.45. ([15], 4.4.7) Als G ⊂ C een begrensd gebied is, dan is gG(z, w) = Z ∂G log |ζ − w| dωG(z, ζ) − log |z − w| de Greense functie op G.
Opmerking. Dat deze functie ook daadwerkelijk aan de definitie van een Greense functie voldoet, volgt uit het feit dat voor φw(z) = log |z − w| geldt
gG(z, w) = PG(φw)(z) − φw(z).
Dit is een Greense functie aangezien PG(φw) gelijk is aan de Perron functie, en die
harmonisch en begrensd is op het begrensde gebied G. Verder gaat PG(φw)(z) → φw(ζ)
als z → ζ ∈ ∂G.
In het vak Parti¨ele Differentiaalvergelijkingen zijn Greense functies ge¨ıntroduceerd als oplossingen van differentiaalvergelijkingen die als randvoorwaarde aan de Dirac-delta distributie voldoen11. Zij G ⊂ C een begrensd gebied. De Dirac-delta distributie δ
ξ in
ξ ∈ G is gedefinieerd als δξ(x) = 0 voor alle x ∈ G \ {ξ} en R δξ(x) dx = 1. Het volgende
lemma toont aan dat deze definities inderdaad overeenkomen als de differentiaalverge-lijking door de Laplaciaan gegeven is.
Lemma 1.46. Als G ⊂ C een begrensd gebied is dan is een oplossing van de differenti-aalvergelijking
4u = δw met u = 0 op ∂G
een Greense functie voor G (op vermenigvuldiging met een constante na), waarbij w ∈ G vast gekozen is.
Bewijs. We gaan de definitie na, dus schrijf gGvoor een oplossing van de
differentiaalver-gelijking. Merk op dat δw(z) = 0 als z 6= w, dus gG is harmonisch op G \ {w}. Vanwege
Stelling 6.19 uit [13] is gG(z, w) = v(z, w) + g0(z, w) waarbij g0 = −2π1 log |z − w| en
v is de harmonische functie die de differentiaalvergelijking 4v = 0 oplost op G met v(ζ, w) = 2π1 log |ζ − w| als ζ ∈ ∂G. Maar deze laatste eis vraagt om een harmonische functie op G die op de rand gelijk is aan een continue functie en dat is het Dirichlet-probleem. De bijbehorende oplossing is dus PG(2π1 φw) = 2π1 PG(φw). Samenvattend
vinden we
2π · gG(z, w) = PG(φw)(z) − log |z − w|
en vanwege Stelling 1.45 is dit een Greense functie op G.
Als f en g functies op een verzameling E ⊂ C naar [−∞, ∞] zijn, zodat f ≤ g op E, dan heet f een minorant van g en andersom heet g een majorant van f .
Definitie 1.47. Een open verzameling U ⊂ C heet een Greense verzameling als voor elke w ∈ U de functie ψw(z) := − log |z − w|, een subharmonische minorant heeft op U
die op geen van de componenten van U identiek −∞ is.
Het is duidelijk dat een open deelverzameling van een Greense verzameling zelf ook weer een Greense verzameling is. Om te controleren of de definitie niet te zwak is, dus dat niet iedere open verzameling een Greense verzameling is, bekijken we de hele verzameling C. Immers, als deze een Greense verzameling is, dan ook alle open deelverzamelingen. Stel dat er een subharmonische minorant u van ψ0 op C is. Dan is u ≤ ψ0 op C en
dus geldt vanwege het maximumprincipe op een schijf D(0, r) met straal r > 0 dat u(z) ≤ u(ζ) voor z ∈ D(0, r) en ζ ∈ ∂D(0, r). In het bijzonder is u(z) ≤ ψ0(r) = − log r
voor z ∈ D(0, r). Omdat r willekeurig groot kan worden vinden we dat u ≡ −∞, maar dat is uitgesloten.
Twee belangrijke manieren om te bepalen of een verzameling Greens is, wordt gegeven door de volgende stelling.
Stelling 1.48. ([1], 4.1.2(iv)/4.1.2(v)) Zij U ⊂ C een open verzameling.
(i) Als ψw een subharmonische minorant heeft voor een w ∈ U , dan is U Greens.
(ii) Als C \ ∂U niet samenhangend is, dan is U een Greense verzameling.
De eigenschap van een Greense verzameling waarin wij nu interesse hebben, is dat de bijbehorende Greense functie kan worden doorgevoerd naar een kleinere deelverzameling door een zogenaamde gereduceerde functie er vanaf te halen. We schrijven U+(U ) voor
de verzameling van niet-negatieve superharmonische functies op een verzameling U . Definitie 1.49. Als U een Greense verzameling is, en u ∈ U+(U ), dan is de gereduceerde
functie van u ten opzichte van E ⊂ U gedefinieerd als
RuE(z) := inf{v(z) : v ∈ U+(U ) en v ≥ u op E} (z ∈ U ).
Het is duidelijk dat u ≥ RE
u ≥ 0 en dat u = REu op E. Een belangrijke eigenschap van
deze gereduceerde functies is het nette gedrag onder het nemen van deelverzamelingen. De volgende stellingen illustreren dit.
Stelling 1.50. ([1], 5.3.4(i)/5.3.4(ii)) Zij U een Greense verzameling, E ⊂ U een deelverzameling en u ∈ U+(U ).
(i) Als u ≤ u0 ∈ U+(U ) op E, dan is REu ≤ REu0.
(ii) Als E ⊂ F ⊂ U dan is RE
u ≤ RFu.
Stelling 1.51. ([1], 5.7.3(iv)) Zij U een Greense verzameling en u ∈ U+(U ). Als
{En}n een stijgende rij verzamelingen is, en E = ∪n∈NEn, dan convergeert
REn
u → R E
u als n → ∞.
De schrijfwijze voor een Greense functie zoals eerder genoemd wordt beschreven in de volgende stelling.
Stelling 1.52. ([1], 5.7.4(iii)) Zij V ⊂ U een open deelverzameling van een Greense verzameling. Dan geldt voor alle z, w ∈ V dat
gV(z, w) = gU(z, w) − R U \V gU(·,w)(z).
Omdat RuE ≥ 0 voor alle E ⊂ U en u ∈ U+(U ) volgt ook meteen het gedrag van een
Greense functie onder het nemen van deelverzamelingen.
Gevolg 1.53. Zij U een Greense verzameling, en V ⊂ U een open deelverzameling. Dan geldt voor alle z, w ∈ V dat gV(z, w) ≤ gU(z, w).
Een Greense functie geeft ook een methode om te bepalen of een punt regulier is of niet.
Stelling 1.54. ([15], 4.4.3/4.4.9) Zij G ( ˆC een gebied met niet-polaire rand, laat w ∈ G en ζ ∈ ∂G. Dan geldt voor alle z ∈ G dat gG(z, w) > 0 en
lim
z→ζgG(z, w) = 0 ⇐⇒ ζ is een regulier randpunt van G.
Een Greense functie is dus een handig middel om te controleren of een gebied regulier is. Net zo is er een functie waarmee je kunt bepalen welke verzamelingen polair zijn. Je kunt dan gebruik maken van een capaciteitsfunctie. In dit geval bekijken we de logaritmische capaciteit, maar zullen deze doorgaans gewoon capaciteit noemen.
Definitie 1.55. Zij E ⊂ C een deelverzameling en schrijf B(E) voor de verzameling Borel-kansmaten op C met compact support in E. De logaritmische capaciteit van E is
c(E) := sup
µ∈B(E)
eI(µ).
Merk op dat als E polair is, dan is I(µ) = −∞ voor alle µ ∈ B(E) dus c(E) = e−∞= 0. Als een (minder triviaal) voorbeeld van de capaciteit van een verzameling bekijken we een schijf. Hiertoe gebruiken we de volgende stelling.
Stelling 1.56. ([15], 5.2.1) Als K ⊂ C een niet-polaire, compacte verzameling is en G is de component van ˆC \ K die ∞ bevat, dan is
gG(z, ∞) = log |z| − log c(K) + o(1) als z → ∞.
Voorbeeld 1.57. Bekijk de gesloten schijf D(a, r) voor a ∈ C en r > 0. Dit is een niet-polaire, compacte verzameling in ˆC en het complement is de samenhangende verzameling Dc uit Voorbeeld 1.44. We vonden daar dat de Greense functie in oneindig gegeven is door gDc(z, ∞) = log |z − a| − log r. Als z → ∞ dan is
gDc(z, ∞) = log |z| − log r + o(1)
Een ander belangrijk resultaat over de capactiteit en Greense functie van een verza-meling als K in de voorgaande stelling is het lemma van Bernstein.
Lemma 1.58. (Lemma van Bernstein)([15], 5.5.7(a))
Zij K ⊂ C een niet-polaire, compacte deelverzameling en G de component van ˆC \ K die ∞ bevat. Als q een polynoom van graad n ≥ 1 is, dan is
n
s |q(z)| kqkK
≤ egG(z,∞) als z ∈ G \ {∞},
waarbij k · kK de supremum-norm op K is, dat wil zeggen: kf kK = sup{|f (z)| : z ∈ K}.
1.5. Half-continue regularisatie en dunne
verzamelingen
Toen we spraken over functies die half-continu van boven zijn hebben we gezien dat deze functies van boven goed te benaderen zijn, maar dat dit van onder niet zo hoeft te zijn. Als gevolg hiervan is de limiet van een dalende rij subharmonische functies zeker weer subharmonisch12, maar dit hoeft niet zo te zijn voor een stijgende rij. Als we toch
nog iets willen doen met de limiet van zo’n rij, dan kunnen we daarvoor een functie maken die zeer op de originele functie lijkt maar daarnaast ook half-continu van boven is. Dit doen we door middel van de lim sup. Ter herinnering: als u een functie is op een toplogische ruimte X, dan is voor x, y ∈ X
lim sup
y→x
u(y) := inf{sup{u(y) : y ∈ U } : U ⊂ X is een open omgeving van x}. Definitie 1.59. Als u : X → [−∞, ∞i een lokaal naar boven begrensde functie is op een topologische ruimte X, dan is de functie
u∗ : X → [−∞, ∞i : x 7→ lim sup
y→x
u(y) de half-continue regularisatie van boven van u.
We gaan na dat u∗ inderdaad half-continu van boven is. Kies α ∈ R willekeurig en x ∈ X zodat u∗(x) < α. Per definitie bestaat er een open omgeving V ⊂ X van x zodat sup{u(y) : y ∈ V } < α. Voor alle z ∈ V is V ook een open omgeving, dus
v∗(z) ≤ sup{u(y) : y ∈ V } < α
en we concluderen dat V ⊂ {x ∈ X : u∗(x) < α}. Dus deze verzameling is open en u∗ is half-continu van boven. Merk op dat u∗ ≥ u op X en dat dit de kleinste half-continue functie van boven is die hieraan voldoet. De volgende stelling vertelt waarom de half-continue regularisatie van boven nuttig en belangrijk is.
Stelling 1.60. (De (versterkte) Stelling van Brelot-Cartan)([15], 3.4.2)
Als {un}neen rij subharmonische functies is op een open U ⊂ C, en als supn∈Nunlokaal
naar boven begrensd is op U , dan is de half-continue regularisatie u∗ van de functie u = lim supn→∞un daar subharmonisch en nagenoeg overal gelijk aan u.
Merk op dat een subharmonische functie u zeker niet continu hoeft te zijn, omdat het half-continu van boven zijn alleen zegt dat voor ζ ∈ U geldt lim supz→ζu(z) ≤ u(ζ). Omdat we hier een subharmonische functie bekijken geldt op kleine schijfjes rond ζ de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap: u(ζ) ≤ 2π1 R2π
0 u(ζ + ρe
it) dt voor ρ > 0 klein
genoeg, maar als de eerste ongelijkheid strikt zou zijn, dus als lim supz→ζu(z) < u(ζ), dan volgt dat supt∈[0,2π]u(ζ + ρeit) < u(ζ), ofwel u(ζ + ρeit) ≤ u(ζ) − δ voor zekere δ > 0 en alle t ∈ [0, 2π]. Invullen bij de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap resulteert in
u(ζ) ≤ 1 2π Z 2π 0 u(ζ + ρeit) dt ≤ 1 2π Z 2π 0 (u(ζ) − δ) dt = u(ζ) − δ,
wat duidelijk een contradictie is. We kunnen dus concluderen dat op zekere kleine omgevingen van ζ
lim sup
z→ζ
u(z) = u(ζ).
Dus u(ζ) ligt vast door het gedrag van u op een kleine schijf rond ζ. Er kunnen ook kleinere deelverzamelingen bij ζ van zo’n schijf zijn die deze eigenschap hebben ten opzichte van subharmonische functies. Zulke verzamelingen zullen we niet-dun noemen. Definitie 1.61. Als S ⊂ C een verzameling is, dan heet deze niet-dun bij ζ ∈ C als ζ ∈ S \ {ζ} en als voor iedere subharmonische functie u op een omgeving van ζ geldt dat voor z ∈ S \ {ζ}
lim sup
z→ζ
u(z) = u(ζ). In alle andere gevallen zeggen we dat S dun is bij ζ.
Als ζ ∈ S◦ dan ligt er ook een kleine schijf rond ζ in S◦, omdat deze verzameling open is, en dus volgt uit de redenatie die we hierboven hielden dat S◦ niet-dun is bij ζ. Omdat S◦ ⊂ S volgt hetzelfde voor S. Dus iedere verzameling is niet-dun bij de punten van zijn inwendige. We kunnen dit voor samenhangende verzamelingen ook uitbreiden tot de afsluiting, volgens de volgende stelling.
Stelling 1.62. ([15], 3.8.3) Een samenhangende verzameling die meer dan ´e´en punt bevat is niet-dun bij alle punten van zijn afsluiting.
Anderzijds kunnen we ook voorbeelden van dunne verzamelingen geven. Een triviaal voorbeeld is dat D dun is bij 2 omdat 2 /∈ D \{2}. Minder triviale voorbeelden voldoen juist niet aan de tweede eis.
(i) Kies een subharmonische functie u met een discontinu¨ıteit in ζ ∈ C en kies α ∈ R zodanig dat lim infz→ζu(z) < α < u(ζ). Laat S = {z ∈ C : u(z) < α} zodat S
open is en ζ ∈ ∂S. Er geldt dat als z ∈ S \ {ζ}, dan is lim supz→ζu(z) ≤ α < u(ζ) dus S is dun bij ζ.
(ii) Bekijk de functie u : D → [−∞, ∞i uit Voorbeeld 1.16(ii) gedefinieerd door u(z) :=
∞
X
n=1
2−nlog |z − 2−n|.
We bewezen in dat voorbeeld dat deze functie subharmonisch is op C. Merk op dat u(0) = ∞ X n=1 2−nlog |2−n| = − log(2)· ∞ X n=0 n 2n = − log(2)· x · d dx 1 1 − x x=12 = − log(4) terwijl we in het voorbeeld ook zagen dat u(2−k) = −∞ voor alle k ∈ N, zodat er geldt dat lim k→∞u(2 −k ) = lim k→∞−∞ = −∞
en dus is de functie discontinu in 0. In het bijzonder vinden we een verzameling die dun is bij 0, namelijk
S := [
n∈N
D(2−n, 2−(n+2)).
Er is immers een subharmonische functie, namelijk u, zodat lim supz→0u(z) < u(0) voor z ∈ S.
0 1
2
2. Universele Taylorreeksen
Het hoofdonderwerp van deze scriptie is natuurlijk universele Taylorreeksen. Een holo-morfe functie op een gebied G ( C is altijd analytisch1, dus voor elke a ∈ G is zo’n
functie gelijk aan zijn Taylorreeks om a op de open convergentieschijf D(a, r) met straal r > 0. Op D(a, r) is de machtreeks lokaal uniform convergent2, wat betekent dat de
rij van parti¨ele sommen uniform convergeert op elke schijf D(a, ρ) waarvoor 0 < ρ < r. Buiten de afsluiting van de convergentieschijf is de reeks divergent. Het zou eventueel wel zo kunnen zijn dat een deelrij van de rij van parti¨ele sommen convergent is. Omdat dit een andere sommatie oplevert hoeft dit ook niet meer te convergeren naar de originele functie, dus de Taylorreeks van zo’n functie kan een andere functie benaderen buiten de convergentieschijf. Een universele Taylorreeks is een Taylorreeks die dit inderdaad doet, en wel zo dat deze convergeert naar bijna willekeurige functies. Merk op dat de originele functie buiten G niet-gedefinieerd is, maar eventueel wel een holomorfe voortzetting. Daar convergeren de parti¨ele sommen dus zeker naar een andere functie. De vraag is dus welke functies Taylorreeksen hebben die dit goed genoeg doen. We schrijven H(G) voor de verzameling functies holomorf op G.
Definitie 2.1. Als ζ ∈ G en f ∈ H(G) dan zeggen we dat f een universele Taylorreeks om ζ heeft als de rij deelsommen {SN(f, ζ)}N met
SN(f, ζ)(z) := N X n=0 f(n)(ζ) n! (z − ζ) n voldoet aan:
Voor iedere compacte verzameling K ⊂ C \ G met samenhangend complement en voor iedere functie g continu op K en holomorf op K◦ is er een deelrij {SNk(f, ζ)}k die op
K uniform naar g convergeert.
Zo’n universele Taylorreeks lijkt redelijk bijzonder, dus het is interessant om te weten wanneer er functies bestaan die een universele Taylorreeks hebben. We schrijven dus U (G, ζ) ⊂ H(G) voor de verzameling van holomorfe functies met een universele Taylor-reeks om ζ ∈ G en proberen te achterhalen wanneer deze verzameling niet-leeg is. Het blijkt dat er een duidelijk onderscheid ligt tussen gebieden die enkelvoudig samenhan-gend zijn, en gebieden die dit niet zijn. We zullen als eerste gaan kijken naar het eerste geval, dus enkelvoudig samenhangende gebieden.
1Zie bijvoorbeeld Stelling 5.5.2. uit [14]. 2Zie Gevolg 1.5.2. uit [14].
2.1. Enkelvoudig samenhangende gebieden
In deze sectie bekijken we de open eenheidsschijf D als voorbeeld van een enkelvoudig samenhangend gebied. Het volledige bewijs voor algemene enkelvoudig samenhangende gebieden is te vinden in het artikel van Antonios Melas en Vassili Nestoridis3.
Ten eerste een opmerking wat betreft de ruimte H(G) van holomorfe functies op een enkelvoudig samenhangend gebied G ( C. Vanwege de afbeeldingstelling van Riemann4 is zo’n gebied conform equivalent aan D. Omdat deze te schrijven is als een vereni-ging van stijgende compacte verzamelingen (bijvoorbeeld de kleinere gesloten schijven om nul met rationale straal), en omdat compactheid behouden blijft onder een continue afbeelding5 geldt ditzelfde voor G. We bekijken nu H(G) als ruimte met de topologie van lokale uniforme convergentie. Dat wil zeggen dat een rij functies {fn}n ⊂ H(G)
convergeert naar een limiet f dan en slechts dan als voor iedere compacte K ⊂ G de rij fn|K convergeert naar f |K uniform op K. Omdat G te schrijven is als vereniging van
compacte verzamelingen is dit welgedefinieerd. Verder is de ruimte hiermee metriseer-baar, doordat we op compacta werken waar we de supremumnorm hebben gedefinieerd. Dit is een norm op de ruimte van continue functies die afbeelden naar een complete ruimte, in het bijzonder op de ruimte C(K, C) van continue funties met waarden in C. Specifieker, als K ⊂ G compact is en f, g ∈ C(K, C), dan is
dK(f, g) := kf − gkK = sup{|f (z) − g(z)| : z ∈ K}.
Deze metriek kunnen we gebruiken om een metriek te maken op heel G. Schrijf G = ∪n∈NKn waarbij {Kn}n ⊂ G de eerdergenoemde stijgende rij compacte verzamelingen
is. Dan is de metriek op C(G, C) gedefinieerd als ρ(f, g) = ∞ X n=1 2−n dKn(f, g) 1 + dKn(f, g) f, g ∈ C(G, C).
Omdat 1+xx ≤ 1 voor alle x ∈ R≥0 geldt voor alle f, g ∈ H(G) dat ρ(f, g) ≤ P ∞ n=12
−n
en aangezien deze som convergent is (het is een geometrische reeks) geldt hetzelfde voor ρ(f, g). Dat dit een welgedefinieerde metriek is, en dus onafhankelijk van de gekozen rij compacta, wordt bewezen in Propositie 1.6 en Gevolg 1.11 uit sectie VII van [2]. In Propositie 1.12 die daar direct op volgt wordt bewezen dat C(G, C) compleet is onder deze metriek, wat eigenlijk een gevolg is van de compleetheid van C. De stelling van Weierstrass6 zegt dat de limietfunctie van een lokaal uniform convergente rij holomorfe
functies op G weer holomorf is op G. Dus iedere convergente rij in H(G), die vanwege de topologie van lokale uniforme convergentie op iedere compacte verzameling convergeert, heeft een limiet in H(G). Dus H(G) is een gesloten deelverzameling van C(G, C) en daarom ook compleet.
3Zie [7].
4Zie Stelling 4.4.11. uit [15] voor een mooi bewijs dat Greense functies gebruikt. 5Zie bijvoorbeeld Propositie 7.5 uit [8].
Vassili Nestoridis vond in 19967 een manier om U (D, 0) te schrijven als een aftelbare doorsnede van open dichte verzamelingen. Omdat U (D, 0) ⊂ H(D) en deze ruimte compleet is volgt dan uit de stelling van Baire dat ook deze doorsnede dicht is8! Om dit
te bewijzen gebruikte hij het volgende lemma:
Lemma 2.2. ([12], 2.1) Er bestaat een rij {Km}m∈N ⊂ C \ D van compacte oneindige
verzamelingen met samenhangend complement, zo dat er voor iedere niet-lege compacte verzameling K ⊂ C\D met samenhangend complement een m ∈ N is waarvoor K ⊂ Km.
We nemen dus {Km}m∈N zoals in het lemma, en verder bekijken we ook de rij {pj}j∈N
die een aftelling vormt van alle polynomen met co¨efficienten uit Q + Qi. Bekijk voor m, j, k ∈ N en N ∈ Z≥0 de verzameling EN(m, j, k) := f ∈ H(D) : kSN(f, 0) − pjkKm < 1 k .
Nestoridis laat in Lemma 2.3 uit [12] (door middel van een technisch bewijs) zien dat al deze verzamelingen open zijn in H(D). Er volgt dat ook E(m, j, k) := ∪N ≥0EN(m, j, k)
open is in H(D) en in Lemma 2.4 uit zijn artikel bewijst Nestoridis dat deze verzameling dicht is in H(D) voor iedere m, j, k ∈ N. We bekijken nu de doorsnede ∩m,j,k∈NE(m, j, k).
Deze verzameling bestaat uit holomorfe functies, waarvan bepaalde deelsommen van de Taylorreeks om 0 willekeurig goed alle polynomen uit de rij {pj}j∈N kunnen benaderen
op elke compacte verzameling uit de rij {Km}m∈N. Als f een universele Taylorreeks om
0 heeft, dan is f zeker bevat in deze doorsnede. Deelsommen van de Taylorreeks kunnen dan immers iedere willekeurige holomorfe functie (die continu is op de rand) op iedere compacte verzameling met samenhangend complement uniform benaderen, en in het bijzonder dus de polynomen uit onze rij die op heel C holomorf zijn en overal continu. Dus we zien dat U (D, 0) ⊂ ∩m,j,k∈NE(m, j, k), maar de inclusie andersom geldt ook! Dit
bewijst Nestoridis in zijn eerder genoemde artikel in Lemma 2.2. We zullen het bewijs hier ook nalopen omdat het informatie geeft over de structuur van U (D, 0).
Lemma 2.3. We kunnen op de eenheidsschijf D de verzameling van universele Taylor-reeksen rond 0 schrijven als
U (D, 0) = \
m,j,k∈N
E(m, j, k).
Bewijs. Stel f ∈ ∩m,j,k∈NE(m, j, k) en K ⊂ C \ D is een niet-lege, compacte verzameling met samenhangend complement. Laat g : K → C een continue functie zijn die op K◦ holomorf is. We willen aantonen dat f ∈ U (D, 0) dus zoeken we een stijgende rij {Nk}kzodat de bijbehorende deelrij {SNk(f, 0)}kop K uniform naar g convergeert. Laat
hiertoe {εk}k ⊂ R>0 een dalende rij zijn die naar 0 convergeert. Stel we hebben voor
een k ∈ N al een rij {N`}`∈{0,...,k} gevonden waarvoor
kSN`(f ) − gkK < ε`.
7Zie zijn artikel [12].
Dan zoeken we dus nu een Nk+1 zodat ditzelfde geldt met εk+1. Volgens de stelling van
Mergelyan9 kunnen we g uniform op K benaderen met polynomen. Omdat Q + Qi ⊂ C
een dichte verzameling is kunnen we dit net zo goed doen door alleen polynomen te gebruiken met co¨efficienten uit Q + Qi, dus we vinden een j zodat en een bijbehorend polynoom uit de rij {pj}j∈N zodat
kh − pjkK <
εk+1
2 .
We mogen aannemen dat f (0) 6= pj(0) voor deze j. Vanwege Lemma 2.2 is er in
de rij {Km}m∈N van compacte verzamelingen een m ∈ N zodat K ⊂ Km. Omdat
f ∈ E(m, j, s) voor iedere s ∈ N is er in het bijzonder een ns≥ 0 zodat
kSns(f ) − pjkKm <
1 s.
We gaan aantonen dat de rij {ns}sonbegrensd moet zijn. Immers, als de rij een begrensde
deelrij bevat, dan is er een λ ∈ Z≥0 zodat ns = λ voor oneindig veel s ∈ N. Laten we
dan s → ∞ dan vinden we dat Sλ(f ) = pj op Km, en omdat Km oneindig is volgt dat
Sλ(f ) ≡ pj. In het bijzonder is dan pj(0) = Sλ(f )(0) = f (0) maar dit is in tegenspraak
met onze aanname. Dus {ns}s moet wel onbegrensd zijn. Maar dat betekent dat we
Nk+1 = ns zo kunnen kiezen dat 1s < εk+1 2 en ns > Nk. We vinden dat kSNk+1(f ) − hkK = kSns(f ) − hkK ≤ kSns(f ) − pjkK+ kh − pjkK ≤ kSns(f ) − pjkKm+ kh − pjkK < 1 s + εk+1 2 < εk+1 2 + εk+1 2 = εk+1.
Dus een deelsom van de Taylorreeks van f benadert h uniform op K, en aangezien h en K willekeurig waren vinden we dat f ∈ U (D, 0), ofwel ∩m,j,k∈NE(m, j, k) ⊂ U (D, 0).
We merkten net al op dat de andere inclusie duidelijk is, dus we concluderen dat er een gelijkheid geldt.
We hebben hiermee dus gevonden dat U (D, 0) gelijk is aan een verzameling die dicht ligt in H(D). Dat betekent dat bijna iedere holomorfe functie op D een universele Tay-lorreeks om 0 heeft! Dit geldt, zoals eerder gezegd, zelfs voor willekeurige enkelvoudig samenhangend verzamelingen. Toch is het niet zo eenvoudig om een voorbeeld te ge-ven. In 2012 is er een procedure gevonden waarmee de co¨efficienten van de Taylorreeks berekend kunnen worden10, maar dit is een oneindig proces en geeft dus nog steeds
geen expliciet voorbeeld. Dat het zo lastig is om een voorbeeld te vinden is vanwege de aard van zo’n universele Taylorreeks. Zo moet de reeks bijvoorbeeld altijd oneindig veel co¨efficienten ongelijk aan nul hebben, omdat de functie anders een polynoom is. Een polynoom is holomorf op heel C, dus de deelsommen van de Taylorreeksen convergeren dan ook op heel C naar dat ene polynoom (de Taylorreeks van een polynoom is natuur-lijk het polynoom zelf). Maar zelfs met oneindig veel co¨efficienten kan een reeks nog altijd teveel convergeren.
9Zie hiervoor Stelling B.3 uit de Appendix. 10Dit gebeurt in [9]
2.2. Resultaten voor niet-enkelvoudig
samenhangende gebieden
Dus wat nu als het gebied waarop de functie f holomorf is niet meer enkelvoudig sa-menhangend is? Melas bewees hierover de volgende stelling.
Stelling 2.4. ([6], 1) Zij K ⊂ C een samenhangende compacte verzameling zodat G = C \ K ook samenhangend is. Dan is voor iedere ζ ∈ G de klasse U (G, ζ) een dichte deelverzameling van H(G), en dus niet leeg.
Het bewijs hiervan gaat weer ongeveer hetzelfde als het geval van de eenheidsschijf dat we in Sectie 2.1 besproken hebben. We vinden dus voorbeelden van niet-enkelvoudig samenhangende gebieden waarvoor er universele Taylorreeksen bestaat. Zo is het com-plement van een gesloten schijf een voorbeeld. We hebben op dit moment nog geen gebieden gezien waarin een punt ligt waarvoor er geen universele Taylorreeks bestaat. Toch zijn deze gebieden er wel degelijk. In zijn artikel11 bespreekt Stephen J. Gardiner
een aantal van deze gebieden en geeft hij een aantal stellingen die dienen als een handig gereedschap om gebieden te vinden waarop geen functies met universele Taylorreeksen bestaan. Wij zullen ons nu concentreren op het eerste resultaat uit dit artikel, dat is Stelling 3. Hierin wordt gekeken naar het grootste gebied waarop een zekere deelrij van de deelsommen van de Taylorreeks om 0 lokaal uniform convergeert. We bewijzen hiertoe eerst een aantal lemma’s die het grootste gedeelte van het bewijs dekken. Lemma 2.5. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Als G \ U 6= ∅ dan is U begrensd en enkelvoudig samenhangend.
Bewijs. Merk ten eerste op dat {SNk}k uniform convergeert op alle compacte
deelverza-melingen van U . Dan convergeert {SNk(z)}k dus zeker puntsgewijs op U , dus is er voor
iedere z ∈ U een constante cz > 0 zodat |SNk(z)| ≤ cz voor alle k ∈ N. We vinden dus
voor alle z ∈ U dat
lim sup k→∞ Nkq|S Nk(z)| ≤ lim sup k→∞ Nk√cz = 1.
Stel nu dat U onbegrensd is. Omdat U onbegrensd is en 0 ∈ U bevat U een continue kromme E die van 0 naar ∞ loopt. Volgens Stelling 1.62 is E niet-dun bij alle punten van zijn aflsuiting op de Riemann-sfeer, en in het bijzonder is E niet-dun bij ∞ ∈ E. Ook op E geldt nu dat
lim sup
k→∞
Nkq|S
Nk(z)| ≤ 1. (2.1)
Omdat {SNk}kafkomstig is van de Taylorreeks van f om nul, convergeert deze rij uniform
naar f op een gesloten schijf D(0, R) die bevat is in de open convergentieschijf om 0.
Neem R1 > R zo dat D(0, R1) bevat is in die convergentieschijf en schrijf dan f (z) =
P∞
n=0cnz
n voor de Taylorreeks om 0. Dan is P∞
n=0|cn|R n
1 convergent, dus de termen
zijn begrensd. Er is dus een α > 0 zo dat |cn| < α/Rn1. Voor |z| ≤ R volgt dat
|f (z) − sNk(z)| = ∞ X n=Nk+1 cnzn ≤ α · ∞ X n=Nk+1 R R1 n = α · R R1 Nk+1 · ∞ X n=0 R R1 n = α 1 − R/R1 · R R1 Nk+1 = β · (R/R1)Nk+1 ≤ β · (R/R1)Nk.
We concluderen dus dat als z ∈ D(0, R), dan is lim sup k→∞ Nkq|f (z) − S Nk(z)| ≤ R/R1· lim sup k→∞ Nkpβ ≤ R/R 1 < 1. (2.2)
We gebruiken nu het volgende deelgeval van Stelling 1 uit [11], verkregen uit het be-wijs van onderdeel 2 van die stelling op pagina 196.
Stelling 1 uit [11] (vereenvoudigd). Zij Γ ⊂ C een samenhangende, compacte verzameling met tenminste twee punten en laat E ⊂ C een gesloten verzameling zijn die niet-dun is bij ∞. Stel dat {Pn}n een rij polynomen is waarvoor deg(Pn) ≤ dn voor een
zekere stijgende rij {dn}n⊂ Z, die aan de volgende eisen voldoet:
(i) er is een functie f : Γ → C zodat lim sup
n→∞
dnpkf − P
nkΓ < 1;
(ii) voor alle z ∈ E is
lim sup
n→∞
dnp|P
n(z)| ≤ 1.
Als G ⊃ Γ een gebied is waarop f een holomorfe voortzetting heeft, dan geldt voor elke compacte verzameling K ⊂ G dat
lim sup
n→∞
dnpkf − P
nkK < 1.
Merk op dat ook in ons geval E ⊂ C een gesloten verzameling is die niet-dun is bij ∞. Kies voor de rij polynomen onze rij {SNk}k, dat kan omdat deg SNk = Nk en dit
een stijgende rij is, en neem Γ = D(0, R). Dan heeft f een holomorfe voortzetting op G, en de eisen (i) en (ii) volgen uit respectievelijk (2.2) en (2.1), dus kunnen we hierop de stelling toepassen. We concluderen dat op iedere compacte verzameling K ⊂ G geldt dat lim supk→∞ Nkpkf − S
NkkK < 1. Er volgt voor alle ε > 0 dat kf − SNkkK < ε
wanneer k groot genoeg is en dus convergeert {SNk}k ook lokaal uniform op G. Daaruit
volgt dat G ⊂ U , maar dan is G \ U = ∅ wat in tegenspraak is met de eisen van de stelling. Dus U is begrensd.
We bewijzen nog dat U enkelvoudig samenhangend is. Bekijk een willekeurige enkel-voudig gesloten kromme J ⊂ U (dus een kromme zonder zelfdoorsnijding met samen-vallend begin- en eindpunt). Omdat J het beeld is van de eenheidscirkel (die compact is) onder een continue afbeelding, is J compact12. Dus per definitie van U is {S
Nk}k
uniform convergent op J en dus is er voor iedere ε > 0 een M ∈ N is zodat als k, ` ≥ M dan
|SNk(z) − SN`(z)| < ε voor alle z ∈ J.
Omdat SNk−SN`een holomorfe functie is op het binnengebied van J , en dit een begrensd
gebied is, volgt uit de Maximummodulusstelling13 dat deze bovengrens overal op het
binnengebied geldt, en dus is {SNk}kdaar uniform Cauchy. Maar dan is deze ook uniform
convergent op het binnengebied, dus ligt dit volledig in U . Aangezien J willekeurig was zien we dat U enkelvoudig samenhangend moet zijn.
Opmerking. Dit lemma heeft direct een paar belangrijke gevolgen. Omdat U begrensd is zien we dat U 6= C, dus vanwege stelling 1.38 is ∂U niet-polair. In het bijzonder bestaat er volgens lemma 1.43 een unieke Greense functie gU op U ! Verder is U enkelvoudig
samenhangend, dus ∂U is samenhangend. Stelling 1.28 zegt ons dat ieder randpunt dan regulier is, en dus zijn U en ˆC \ U beide reguliere gebieden. Het Dirichlet-probleem is daar dus oplosbaar!
Om tot de uiteindelijke stelling te komen gaan we een afschatting geven van een bepaalde subharmonische functie u∗. Hiervoor nemen we aan dat U ⊂ G, wat een redelijke aanname is omdat f per definitie van U een holomorfe voortzetting heeft tot U ∪ G. We laten eerst zien dat u∗ niet-positief is op U . Vervolgens bewijzen we dat deze ongelijkheid nog scherper kan, waarna zal blijken dat u∗ op heel G is begrensd door een speciale functie. In de uiteindelijke stelling bewijzen we vervolgens dat deze speciale functie subharmonisch is en op de rand van U continu naar nul gaat. We geven nu een opsomming van de lemma’s met afschattingen.
Lemma 2.6. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Neem aan dat U ( G en definieer u = lim sup
k→∞
log Nkq|S
Nk− f | op G.
Dan is u∗ subharmonisch op G en u∗ ≤ 0 op U , waarbij u∗ staat voor de half-continue
regularisatie van boven van u.
12Zie Propositie 7.5 uit [8]. 13Stelling 8.6.6 uit [14].
