2. Universele Taylorreeksen
2.3. Voorbeeld van een open probleem
De resultaten die gevonden worden wat betreft universele Taylorreeksen op niet-enkelvoudig samenhangende gebieden zijn veelal specifiek gericht op gebieden van een bepaalde vorm. Een volledige en voldoende set voorwaarden is nog niet gevonden. In zijn artikel17oppert Gardiner het volgende open probleem.
Open probleem. Kies ξ ∈ C en r > 0 zodanig dat 0 /∈ D(ξ, r). Als G = C \ (D(ξ, r) ∪ {ξ0})
waarbij ξ0 ∈ D(ξ, r), en/
p|ξ|2− r2 ≤ |ξ
0| < |ξ| + r,
is U (G, 0) dan niet-leeg?
Het is al bekend dat U (G, 0) ⊂ H(G) dicht is wanneer |ξ0| ≥ |ξ| + r. Een gevolg in
het artikel van Gardiner zegt het volgende:
Stelling 2.13. ([4], Gevolg 2) Als D(ζ, R) \ G niet-leeg en polair is voor een zekere R > 0, en als C \ G niet-polair is, dan is U (G, ζ) = ∅.
Laat G ons gebied zijn, dus kies ζ = 0. Als R = |ξ| − r dan is D(ζ, R) \ G = {ξ0}, dus niet-leeg en polair. Verder heeft C \ G Lebesguemaat groter dan nul, dus is
deze verzameling ook zeker niet polair (zie ook Stelling 1.35). We kunnen hierop dus
voorgaande stelling toepassen om te concluderen dat U (G, 0) = ∅. Gardiner zelf laat zien dat U (G, 0) = ∅ ook nog geldt als |ξ0| <p|ξ|2− r2. Voor het gebied dat overblijft
is het nog onbekend wat er gebeurt met U (G, 0). Het is dus interessant om te weten wat er gebeurt in dit gebied, ingeklemd tussen zulke extremen.
0
r
ξ ξ0
3. Terug- en vooruitblik
Terugkijkend op een jaar scriptie ben ik erg tevreden met het resultaat. Ik heb veel geleerd en ben enthausiast over het onderwerp. Omdat ik tussendoor ben gewisseld van begeleider is ook het een en ander veranderd wat betreft de inhoud van mijn scriptie. Oorspronkelijk was mijn plan om het volledige artikel van Gardiner te bespreken en daarnaast de stelling van Runge te bewijzen. Uiteindelijk heb ik hierin een stapje terug gedaan omdat al snel bleek dat vooral het artikel van Gardiner [4] flink meer voeten in aarde had dan ik in eerste instantie voor ogen had. Naar advies van Tom Koornwinder ben ik gaan kijken naar het artikel van Nestoridis en Melas [12] om eerst te bekijken hoe er in het algemeen omgegaan wordt met universele Taylorreeksen en mijn begrip voor het onderwerp te verbeteren.
Voor de stelling van Runge had ik in eerste instantie wel een groot deel van het bewijs gemaakt, maar aangezien dit niet meer paste in het vernieuwde kader van de scriptie heb ik in overleg met mijn begeleider besloten om deze toch weg te laten.
Een eventueel interessant onderwerpen dat ik ook nog had kunnen bekijken is bijvoor- beeld het artikel van Mouze, Nestoridis, Papadoperakis en Tsirivas [9] om te kijken op welke manier er geprobeerd wordt een concrete universele Taylorreeks te geven.
Over de zin van dit onderwerp is nog wel enige discussie mogelijk, aangezien alle bewijzen die de existentie van universele Taylorreeksen aantonen niet-constructief zijn. Er is daardoor dan ook nog geen concrete functie bekend die een universele Taylorreeks heeft. Toch ben ik van mening dat het onderwerp nog steeds heel veel potentie bied. Om dit te illustreren verwijs ik graag naar Gevolg 3 in het artikel van Gardiner [4]. Hier wordt door middel van een convergente rij deelsommen van een Taylorreeks een verband aangetoond tussen dunne verzamelingen en het bestaan van bepaalde lacunaire machtreeksen. Maar ook het onderwerp universele Taylorreeksen zelf is zeer interessant. Er is voor mij nog een heleboel dat ik graag zou willen doen binnen dit onderwerp. Niet alleen hoop ik de ontwikkelingen omtrent de universele Taylorreeksen te kunnen blijven volgen, ook kijk ik uit naar het vervolgvak van Functietheorie in de master. Omdat mijn onderwerp in eerste instantie over overconvergentie en lacunaire machtreeksen zou gaan zou ik het ook interessant vinden om hier meer over te leren.
Ik vond het schrijven van deze scriptie een leerzaam en uitdagend proces en ben tevreden over het resultaat!
4. Populaire samenvatting
Als ik iemand vertel dat ik mij bezig houd met wiskunde, dan krijg ik eigenlijk altijd dezelfde vraag terug: “Wat doe je dan?” Voor mij is dit een lastige vraag, en meestal breng ik het er makkelijk vanaf door te reageren met iets in de trant van: “Van alles, dat kan ik niet zo simpel uitleggen.” Toch is dat denk ik niet helemaal waar, want er zijn wel degelijk dingen die een wiskundige doet. Zo wordt een wiskundige bijvoorbeeld gelukkig als hij ergens een patroon of structuur in kan ontdekken. Hoe meer structuur, hoe vrolijker de wiskundige. Universele objecten bieden natuurlijk een geweldige structuur en zijn daarom wiskundig zeer interessant.
Bekijk eens het volgende (oneindig lange) rijtje:
. . .
Je zult het waarschijnlijk wel met mij eens zijn dat hier een patroon in zit. Als je het rijtje maar ver genoeg volgt, dan kun je altijd een stukje vinden met alleen maar meloenen achter elkaar zo lang als jij maar wilt. We zeggen ook wel dat het rijtje convergeert naar een meloen. Het is duidelijk dat niet alle rijtjes convergeren, want bijvoorbeeld
. . .
zal, hoe ver je ook loopt, nooit een rijtje van ´e´en fruitsoort worden. Toch zit er duidelijk wel een structuur in. Als je nu dit rijtje neemt, maar steeds alle meloenen, appels en aardbeien overslaat, dan zie je dat je een rijtje krijgt van alleen maar bananen en dat rijtje is duidelijk convergent. Hetzelfde kun je doen voor elk ander van deze fruitstukken, dus voor al het fruit is er een deelrijtje dat er naartoe convergeert. Voor de verzameling
, , , is het rijtje dus universeel !
Ook zou je kunnen kijken naar rijtjes van andere dingen dan fruit. Neem bijvoorbeeld de volgende somreeks: 1 + x +x 2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + . . .
waarbij n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1. Als je de afgeleide uitrekent dan krijg je weer precies dezelfde somreeks. Een bekende functie die deze eigenschap ook heeft is f (x) = ex, en
het blijkt zelfs dat deze somreeks en de functie hetzelfde zijn! Meer precies: de somreeks is de Taylorreeks van f (om nul). Zo’n somreeks is eigenlijk ook een rijtje, kijk maar:
1 1 + x 1 + x + x 2 2! 1 + x + x 2 2! + x3 3! .. .
We noemen dit een rij deelsommen. Je kunt van zo’n rij deelsommen ook deelrijtjes nemen. Kies maar een toenemend rijtje getallen, dan kun je daarbij een bijbehorende rij deelsommen vinden door steeds de deelsom te kiezen die tot de bijbehorende macht van x telt. Dus bij het rijtje {1, 3, 5, . . . } vind je bijvoorbeeld de deelsommen
1 + x 1 + x +x 2 2! + x3 3! 1 + x +x 2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! .. .
Als je zo’n rijtje maar lang genoeg volgt dan convergeert die misschien wel, net als bij het fruit, naar een andere som dan je eerst had, en die hoort dan misschien ook wel bij een andere functie! Als je met de Taylorreeks van een functie zo goed als alle andere functies kan benaderen door rijen van deelsommen te nemen, dan zeggen we dat de functie een universele Taylorreeks heeft. Helaas gaat dat bij f (x) = ex niet, want bij
die functie kom je altijd uiteindelijk weer bij de originele somreeks uit.
Nu leven functies altijd op bepaalde gebieden. De natuurlijke logaritme bijvoorbeeld bestaat niet in 0, want er is geen x zodat ex = 0. De natuurlijke logaritme heeft een
Taylorreeks om 1 en omdat dit gewoon een som is zou je met deelrijen daarvan misschien wel een waarde in 0 kunnen vinden. In ieder geval kan de somreeks niet weer naar de natuurlijke logaritme convergeren, want die bestaat daar niet! In mijn scriptie bekijk ik functies die bestaan op bepaalde gebieden en wil ik nagaan of er functies bestaan die een universele Taylorreeks hebben. Zo is een van de resultaten dat als het gebied waarop de functie gedefinieerd is geen gaten heeft (het gebied waar 1x bestaat heeft bijvoorbeeld een gat bij 0), dat dan bijna alle functies een universele Taylorreeks hebben! Toch is het niet makkelijk om ze te vinden, doordat de functies die eraan voldoen hele vervelende eigenschappen hebben. Bedenk maar dat er oneindig veel functies bestaan, dus als bijna alle functies een universele Taylorreeks hebben, dan zouden er alsnog oneindig veel kunnen zijn die dit niet hebben! Misschien zit er wel een patroon in waarmee je de functies makkelijk kunt vinden, maar zoiets is tot nu toe nog niet ontdekt...
Bibliografie
[1] D.H. Armitage en S.J. Gardiner, Classical Potential Theory, Springer, 2001. [2] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable (2e editie), Springer, 1978. [3] M. Capi´nski en E. Kopp, Measure, Integral and Probability (2e editie), Springer,
2004.
[4] S.J. Gardiner, Existence of Universal Taylor Series for Nonsimply Connected Do- mains, Springer (Constructive Approximation), 35, 245-257, 2012.
[5] W. Luh, Approximation analytischer Funktionen durch ¨uberkonvergente Potenz- reihen und deren Matrix-Transformierten, Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen, 88, 1-56, 1970.
[6] A. Melas, Universal functions on nonsimply connected domains, Annales de l’institut Fourier, 51, 1539-1551, 2001.
[7] A. Melas en V. Nestoridis, Universality of Taylor Series as a Generic Property of Holomorphic Functions, Advances in Mathematics, 157, 138-176, 2001.
[8] B.J.J. Moonen, Syllabus Topologie, Universiteit van Amsterdam, 2011.
[9] A. Mouze, V. Nestoridis, I. Papadoperakis en N. Tsirivas, Determination of a Uni- versal Series, Springer (Computational Methods and Function Theory), 12, 173- 199, 2012.
[10] J. M¨uller, V. Vlachou en A. Yavrian. Universal overconvergence and Ostrowski-gaps, Bulletin London Mathematical Society, 38, 597-606, 2006.
[11] J. M¨uller en A. Yavrian, On polynomial sequences with restricted growth near infi- nity, Bulletin London Mathematical Society, 34, 189-199, 2002.
[12] V. Nestoridis, Universal Taylor series, Annales de l’institut Fourier, 46, 1293-1306, 1996.
[13] P.J. Olver, Introduction to Partial Differential Equations, Springer, 2014.
[14] P.J.I.M. de Paepe en J.J.O.O. Wiegerinck, Syllabus Analyse 3: Functietheorie, Uni- versiteit van Amsterdam, 2012.
[15] T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, 1995.
[16] K.A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer, 1980.
[17] W. Rudin, Real and Complex Analysis (international edition), McGraw-Hill Book Company, 1986.
A. Gebruikte topologische
resultaten
Een zeer belangrijk resultaat uit de topologie dat in vele vakgebieden een belangrijke rol speelt is de Categoriestelling van Baire. Ook wij zullen deze nodig hebben.
Stelling A.1. (De stelling van Baire)([8], 8.11/8.13)
Als X een niet-lege, complete metrische ruimte is, en An ⊂ X is open en dicht voor
iedere n ∈ N, dan is ∩n∈NAn⊂ X ook dicht.
De volgende propositie over de structuur van begrensde gebieden zal een gereedschap blijken te zijn in het bewijs van Lemma 2.8.
Propositie A.2. Als G ⊂ C een begrensd gebied is, dan is er een rij van compacte verzamelingen {Kn}n∈N ⊂ G zodat
G = [
n∈N
Kn
en Kn( Kn+1.
Bewijs. We bewijzen dit door te laten zien dat de rij verzamelingen Kn := G \
[
ζ∈∂G
D(ζ, 1/n) !
aan de gevraagde eisen voldoet. Ten eerste is er voor iedere z ∈ G een εz > 0 zodat
D(z, εz) ⊂ G, omdat G een gebied is en dus een open verzameling. Kies m ∈ N zodat
εz > m1, dan geldt voor alle ζ ∈ ∂G dat z /∈ D(ζ, 1/m), en dus is z /∈ ∪ζ∈∂GD(ζ, 1/m).
Er volgt dat z ∈ Km ⊂ ∪n∈NKn en dus is G ⊂ ∪n∈NKn. Andersom is Kn ⊂ G voor
iedere n ∈ N en dus volgt er dat G = ∪n∈NKn. We willen dus aantonen dat iedere Kn
compact is. Bekijk een convergent rijtje {zi}i∈N ⊂ Kn en stel dat z := limi→∞zi ∈ K/ n.
Dan geldt dus voor alle ζ ∈ ∂G dat er een 0 < ε < n1 is zodat z ∈ D(ζ, ε). Maar D(ζ, ε) ∩ Kn = ∅ en dus is er in het bijzonder een 0 < δ < ε zodat D(z, δ) ⊂ D(ζ, ε) en
dus D(z, δ)∩Kn= ∅. We concluderen dat z /∈ Knmaar dan kan dit geen limietpunt zijn.
Dit is een tegenspraak dus moet wel z ∈ Kn waaruit volgt dat Kn gesloten is. Omdat
Kn ⊂ G en G begrensd is, geldt ditzelfde voor Kn en dus is Kn compact1. Wat rest is
aan te tonen dat Kn ( Kn+1 voor iedere n ∈ N. Omdat D(ζ, 1/(n + 1)) ( D(ζ, 1/n)
voor iedere n ∈ N en ζ ∈ ∂G volgt dat ∪ζ∈∂GD(ζ, 1/(n + 1)) ( ∪ζ∈∂GD(ζ, 1/n) voor elke
n ∈ N dus is Kn( Kn+1.
B. Approximatie van holomorfe
functies
Over de approximatie van holomorfe functies bestaan een aantal klassieke resultaten. Een hiervan is de stelling van Runge.
Stelling B.1. (De stelling van Runge)([2], 1.7 van sectie VIII)
Zij K ⊂ C een compacte deelverzameling en f een holomorfe functie op een open omge- ving G van K. Zij P een verzameling die niet-lege doorsnede heeft met iedere begrensde samenhangscomponent van ˆC \ K, dan bestaat er een rij van rationale functies die op K uniform naar f convergeert zodat de polen van deze functies allemaal in P liggen.
Een ander bewijs van deze stelling is te vinden in [17], Stelling 13.6. Deze stelling heeft een belangrijk gevolg.
Gevolg B.2. Zij K ⊂ C een compacte deelverzameling met samenhangend complement en f een holomorfe functie op een open omgeving G van K. Dan is er een rij polynomen die op K uniform naar f convergeert.
Bewijs. Kies in de stelling van Runge P = {∞}, die duidelijk niet-lege doorsnede heeft met (de enige samenhangscomponent van) ˆC \ K aangezien K ⊂ C. Dus er bestaat een rij van rationale functies op K die uniform naar f convergeert zodat de polen van deze functies allemaal in oneindig liggen. Maar een rationale functie die holomorf is op C, is een polynoom. Dus de rij bestaat uit polynomen.
Dit gevolg heeft een sterkere versie, waarbij de functie f niet meer holomorf op een omgeving van K hoeft te zijn, maar alleen nog maar op K◦. Deze klassieke stelling komt van Russisch wiskundige Sergey Mergelyan.
Stelling B.3. (De stelling van Mergelyan)([17], 20.5)
Zij K ⊂ C een compacte deelverzameling met samenhangend complement en f een functie die holomorf is op K◦ en continu is op K. Dan is er een rij polynomen die op K uniform naar f convergeert.
De eisen bij deze stelling verklaren de eisen die gesteld worden in de definitie van een universele Taylorreeks!
C. Polaire verzamelingen en
capaciteit
De definities die wij hier geven voor polaire verzamelingen en capaciteit zijn redelijk ongewoon binnen het vakgebied. De meer algemeen gebruikte definities zijn te vinden in hoofdstuk 5 van het boek van Armitage en Gardiner [1]. De capaciteitsfunctie c wordt daar eerst gedefinieerd voor compacte verzamelingen, en dan als volgt uitgebreid: Definitie C.1. 1 Zij U een Greense verzameling. Als E ⊂ U een deelverzameling is dan definieren we de (logaritmische) binnencapaciteit van E als
c∗(E) = sup{c(K) : K is een compacte deelverzameling van E}.
De (logaritmische) buitencapaciteit van E is gedefinieerd als
c∗(E) = inf{c∗(V ) : V is een open verzameling die E bevat}.
Als c∗(E) = c∗(E) dan heet E (log)-capaciteerbaar. De capaciteit van E is dan gedefini-
eerd als c(E) := c∗(E) = c∗(E).
De definitie voor de logaritmische capaciteit zoals wij die gezien hebben is hier in het algemeen niet equivalent mee. Je kunt zelfs nagaan dat de definitie die wij hebben gege- ven voor de capaciteit equivalent is met de binnencapaciteit hierboven. In het bijzonder is een polaire verzameling in het algemeen gedefinieerd door de volgende eigenschap: Stelling C.2. ([1], 5.8.7(ii)) Een begrensde verzameling E is polair dan en slechts dan als c∗(E) = 0.
Dit is duidelijk niet hetzelfde als onze definitie van een polaire verzameling, aange- zien we daar niet de buitencapaciteit aan nul gelijkstellen, maar de gehele logaritmische capaciteitsfunctie uit onze definitie, wat in dit geval dus overeenkomt met de binnenca- paciteit. Nu geldt de volgende stelling:
Stelling C.3. (De stelling van Choquet)([1], 5.6.4)
Iedere analytische deelverzameling van een Greense verzameling is capaciteerbaar. Over analytische verzamelingen zal ik niet verder uitweiden dan opmerken dat iedere Borelverzameling van RN analytisch is2. Als gevolg hiervan zijn de definities op Borel-
verzamelingen wel equivalent. In het bijzonder volgt uit Stelling 3.5.1 uit het boek van Ransford [15] dat een verzameling die polair is in de zin van Armitage en Gardiner [1] ook polair is in de zin van Definitie 1.34.
1Zie Definitie 5.8.2 en 5.8.5 in [1].