2. Universele Taylorreeksen
2.2. Resultaten voor niet-enkelvoudig samenhangende gebieden
Dus wat nu als het gebied waarop de functie f holomorf is niet meer enkelvoudig sa- menhangend is? Melas bewees hierover de volgende stelling.
Stelling 2.4. ([6], 1) Zij K ⊂ C een samenhangende compacte verzameling zodat G = C \ K ook samenhangend is. Dan is voor iedere ζ ∈ G de klasse U (G, ζ) een dichte deelverzameling van H(G), en dus niet leeg.
Het bewijs hiervan gaat weer ongeveer hetzelfde als het geval van de eenheidsschijf dat we in Sectie 2.1 besproken hebben. We vinden dus voorbeelden van niet-enkelvoudig samenhangende gebieden waarvoor er universele Taylorreeksen bestaat. Zo is het com- plement van een gesloten schijf een voorbeeld. We hebben op dit moment nog geen gebieden gezien waarin een punt ligt waarvoor er geen universele Taylorreeks bestaat. Toch zijn deze gebieden er wel degelijk. In zijn artikel11 bespreekt Stephen J. Gardiner
een aantal van deze gebieden en geeft hij een aantal stellingen die dienen als een handig gereedschap om gebieden te vinden waarop geen functies met universele Taylorreeksen bestaan. Wij zullen ons nu concentreren op het eerste resultaat uit dit artikel, dat is Stelling 3. Hierin wordt gekeken naar het grootste gebied waarop een zekere deelrij van de deelsommen van de Taylorreeks om 0 lokaal uniform convergeert. We bewijzen hiertoe eerst een aantal lemma’s die het grootste gedeelte van het bewijs dekken. Lemma 2.5. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Als G \ U 6= ∅ dan is U begrensd en enkelvoudig samenhangend.
Bewijs. Merk ten eerste op dat {SNk}k uniform convergeert op alle compacte deelverza-
melingen van U . Dan convergeert {SNk(z)}k dus zeker puntsgewijs op U , dus is er voor
iedere z ∈ U een constante cz > 0 zodat |SNk(z)| ≤ cz voor alle k ∈ N. We vinden dus
voor alle z ∈ U dat
lim sup k→∞ Nkq|S Nk(z)| ≤ lim sup k→∞ Nk√cz = 1.
Stel nu dat U onbegrensd is. Omdat U onbegrensd is en 0 ∈ U bevat U een continue kromme E die van 0 naar ∞ loopt. Volgens Stelling 1.62 is E niet-dun bij alle punten van zijn aflsuiting op de Riemann-sfeer, en in het bijzonder is E niet-dun bij ∞ ∈ E. Ook op E geldt nu dat
lim sup
k→∞
Nkq|S
Nk(z)| ≤ 1. (2.1)
Omdat {SNk}kafkomstig is van de Taylorreeks van f om nul, convergeert deze rij uniform
naar f op een gesloten schijf D(0, R) die bevat is in de open convergentieschijf om 0.
Neem R1 > R zo dat D(0, R1) bevat is in die convergentieschijf en schrijf dan f (z) =
P∞
n=0cnz
n voor de Taylorreeks om 0. Dan is P∞
n=0|cn|R n
1 convergent, dus de termen
zijn begrensd. Er is dus een α > 0 zo dat |cn| < α/Rn1. Voor |z| ≤ R volgt dat
|f (z) − sNk(z)| = ∞ X n=Nk+1 cnzn ≤ α · ∞ X n=Nk+1 R R1 n = α · R R1 Nk+1 · ∞ X n=0 R R1 n = α 1 − R/R1 · R R1 Nk+1 = β · (R/R1)Nk+1 ≤ β · (R/R1)Nk.
We concluderen dus dat als z ∈ D(0, R), dan is lim sup k→∞ Nkq|f (z) − S Nk(z)| ≤ R/R1· lim sup k→∞ Nkpβ ≤ R/R 1 < 1. (2.2)
We gebruiken nu het volgende deelgeval van Stelling 1 uit [11], verkregen uit het be- wijs van onderdeel 2 van die stelling op pagina 196.
Stelling 1 uit [11] (vereenvoudigd). Zij Γ ⊂ C een samenhangende, compacte verzameling met tenminste twee punten en laat E ⊂ C een gesloten verzameling zijn die niet-dun is bij ∞. Stel dat {Pn}n een rij polynomen is waarvoor deg(Pn) ≤ dn voor een
zekere stijgende rij {dn}n⊂ Z, die aan de volgende eisen voldoet:
(i) er is een functie f : Γ → C zodat lim sup
n→∞
dnpkf − P
nkΓ < 1;
(ii) voor alle z ∈ E is
lim sup
n→∞
dnp|P
n(z)| ≤ 1.
Als G ⊃ Γ een gebied is waarop f een holomorfe voortzetting heeft, dan geldt voor elke compacte verzameling K ⊂ G dat
lim sup
n→∞
dnpkf − P
nkK < 1.
Merk op dat ook in ons geval E ⊂ C een gesloten verzameling is die niet-dun is bij ∞. Kies voor de rij polynomen onze rij {SNk}k, dat kan omdat deg SNk = Nk en dit
een stijgende rij is, en neem Γ = D(0, R). Dan heeft f een holomorfe voortzetting op G, en de eisen (i) en (ii) volgen uit respectievelijk (2.2) en (2.1), dus kunnen we hierop de stelling toepassen. We concluderen dat op iedere compacte verzameling K ⊂ G geldt dat lim supk→∞ Nkpkf − S
NkkK < 1. Er volgt voor alle ε > 0 dat kf − SNkkK < ε
wanneer k groot genoeg is en dus convergeert {SNk}k ook lokaal uniform op G. Daaruit
volgt dat G ⊂ U , maar dan is G \ U = ∅ wat in tegenspraak is met de eisen van de stelling. Dus U is begrensd.
We bewijzen nog dat U enkelvoudig samenhangend is. Bekijk een willekeurige enkel- voudig gesloten kromme J ⊂ U (dus een kromme zonder zelfdoorsnijding met samen- vallend begin- en eindpunt). Omdat J het beeld is van de eenheidscirkel (die compact is) onder een continue afbeelding, is J compact12. Dus per definitie van U is {S
Nk}k
uniform convergent op J en dus is er voor iedere ε > 0 een M ∈ N is zodat als k, ` ≥ M dan
|SNk(z) − SN`(z)| < ε voor alle z ∈ J.
Omdat SNk−SN`een holomorfe functie is op het binnengebied van J , en dit een begrensd
gebied is, volgt uit de Maximummodulusstelling13 dat deze bovengrens overal op het
binnengebied geldt, en dus is {SNk}kdaar uniform Cauchy. Maar dan is deze ook uniform
convergent op het binnengebied, dus ligt dit volledig in U . Aangezien J willekeurig was zien we dat U enkelvoudig samenhangend moet zijn.
Opmerking. Dit lemma heeft direct een paar belangrijke gevolgen. Omdat U begrensd is zien we dat U 6= C, dus vanwege stelling 1.38 is ∂U niet-polair. In het bijzonder bestaat er volgens lemma 1.43 een unieke Greense functie gU op U ! Verder is U enkelvoudig
samenhangend, dus ∂U is samenhangend. Stelling 1.28 zegt ons dat ieder randpunt dan regulier is, en dus zijn U en ˆC \ U beide reguliere gebieden. Het Dirichlet-probleem is daar dus oplosbaar!
Om tot de uiteindelijke stelling te komen gaan we een afschatting geven van een bepaalde subharmonische functie u∗. Hiervoor nemen we aan dat U ⊂ G, wat een redelijke aanname is omdat f per definitie van U een holomorfe voortzetting heeft tot U ∪ G. We laten eerst zien dat u∗ niet-positief is op U . Vervolgens bewijzen we dat deze ongelijkheid nog scherper kan, waarna zal blijken dat u∗ op heel G is begrensd door een speciale functie. In de uiteindelijke stelling bewijzen we vervolgens dat deze speciale functie subharmonisch is en op de rand van U continu naar nul gaat. We geven nu een opsomming van de lemma’s met afschattingen.
Lemma 2.6. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Neem aan dat U ( G en definieer u = lim sup
k→∞
log Nkq|S
Nk− f | op G.
Dan is u∗ subharmonisch op G en u∗ ≤ 0 op U , waarbij u∗ staat voor de half-continue
regularisatie van boven van u.
12Zie Propositie 7.5 uit [8]. 13Stelling 8.6.6 uit [14].
Bewijs. We tonen eerst aan dat u∗ subharmonisch is. Omdat 0 ∈ U en omdat U open is, is er een gesloten schijf D := D(0, ε) ⊂ U (met ε > 0). Dit is een (wegens stelling 1.38 niet-polaire) compacte verzameling, dus {SNk}k convergeert daar uniform.
In het bijzonder is er een M0 ∈ N zodat voor iedere k ∈ N en iedere z ∈ D geldt dat
|SNk(z)| ≤ M0. Dus
kSNkkD = sup{|SNk(z)| : z ∈ D} ≤ M0. (2.3)
Omdat SNk de deelsom van de Taylorreeks van f is, is dit een polynoom van graad
Nk. Vanwege het lemma van Bernstein (Lemma 1.58) vinden we dat als we schrijven
Dc:= ˆC \ D dat voor z ∈ Dc\ {∞} geldt dat
Nk s |SNk(z)| kSNkkD ≤ egDc(z,∞). Omdat gDc
(·,∞) per definitie begrensd is buiten omgevingen van {∞} (zie Definitie
1.42(i)) is er voor iedere begrensde omgeving een M1 ∈ N zodat
Nk
s
|SNk(z)|
kSNkkD
≤ eM1. (2.4)
Voegen we (2.3) en (2.4) samen dan vinden we dat voor iedere k ∈ N
Nk
q
|SNk(z)| ≤ NkpM
0eM1
voor z in een begrensde deelverzameling van Dc\ {∞}. Omdat {SNk}k op D sowieso al
uniform begrensd was vinden we dat de rij {Nkp|S
Nk|}k lokaal uniform begrensd is op C.
Op G geldt vanwege de driehoeksongelijkheid dat
Nk q |SNk − f | ≤ Nk q |SNk| + |f | ≤ Nk√2 · max Nk q |SNk|, Nkp|f| (2.5) en dus is Nkp|S
Nk − f | lokaal uniform begrensd op G. We zien dat log Nkp|SNk − f | een
subharmonische functie is voor elke k ∈ N (vanwege Voorbeeld 1.16(i)), dus uit de stelling van Brelot-Cartan (Stelling 1.60) volgt dat u∗ op G subharmonisch is. Om aan te tonen dat u∗ ≤ 0 op U bekijken we een z ∈ U . Omdat U ⊂ G en f holomorf is op G convergeert SNk(z) naar f (z), ofwel
Nkp|S
Nk(z) − f (z)| ≤ 1 voor zekere k ∈ N. Door de logaritme
te nemen zien we dat u(z) ≤ 0 en dus volgt er ook dat u∗(z) = lim supw→zu(z) ≤ 0 voor alle z ∈ U .
Lemma 2.7. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Neem aan dat U ( G en neem u als in Lemma 2.6. Dan is u∗ ≤ −gU(·, 0)
Bewijs. Merk ten eerste op dat de Greense functie inderdaad bestaat (zie de opmerking na Lemma 2.5). We zullen nu eerst een nieuwe schrijfwijze voor u∗ geven. Bekijk hiertoe de functie wk(z) := 1 Nk log f (z) − SNk(z) zNk
op G. Buiten z = 0 is de functie binnen de logaritme duidelijk holomorf aangezien f en SNk beide holomorf zijn op G, dus vanwege Voorbeeld 1.16(i) is wk subharmonisch
op G \ {0}. Schrijf nu f (z) = P∞
n=0cnz
n voor de Taylorreeks van f rond 0. Dan is
SNk(z) =
PNk
n=0cnzn dus vinden we dat
f (z) − SNk(z) zNk = P∞ n=1cNk+nz Nk+n zNk = ∞ X n=1 cNk+nz n (2.6)
waaruit volgt dat deze functie een ophefbare singulariteit heeft in 0. We kunnen deze dus holomorf voortzetten tot heel G en daarmee is wksubharmonisch op heel G. Herschrijven
we wk dan vinden we voor z ∈ G dat log Nkp|SNk(z) − f (z)| = log |z| + wk(z) en dus is
u∗(z) = log |z| + lim sup
a→z
lim sup
k→∞
wk(a). (2.7)
We schrijven nu w(z) := lim supk→∞wk(a) voor z ∈ G en gaan aantonen dat w∗ een
subharmonische functie is op G. Bekijk weer een gesloten schijf D(0, R) die bevat is in de open convergentieschijf van de Taylorreeks om 0 van f . Neem R1 > R zo dat D(0, R1)
bevat is in die convergentieschijf. Dan is P∞
n=0|cn|Rn1 convergent, dus de termen zijn
begrensd. Er is dus een α > 0 zo dat |cn| < α/Rn1. Voor |z| ≤ R volgt uit (2.6) dat
wk(z) ≤ 1 Nk log ∞ X n=1 |cNk+n|R n ! ≤ 1 Nk log ∞ X n=1 α RNk+n 1 Rn ! = log α Nk + 1 Nk log ∞ X n=1 R R1 n!
− log R1 → − log R1 als k → ∞.
Dus supk∈Nwk is lokaal naar boven begrensd op G. Uit Stelling 1.60 van Brelot-Cartan
volgt dat w∗ subharmonisch is op G.
Vanwege Lemma 2.5 is U begrensd, dus volgens Lemma 1.45 is de Greense functie op U in 0 gegeven door
gU(z, 0) =
Z
∂U
log |ζ| dωU(z, ζ) − log |z|.
De eerste term is de gegeneraliseerde Poisson integraal PG(φ0) waarbij φ0(ζ) = log |ζ|
zoals eerder. Omdat deze (per definitie van de harmonische maat) gelijk is aan de Perron functie, is het een harmonische functie. Als we Stelling 1.54 bekijken dan zien we dat
de Greense functie niet-negatief is. Dit is dus een niet-negatieve, superharmonische functie op U (want − log |z| is superharmonisch) van de vorm − log | · | − w met w een subharmonische functie. We beweren dat gU zelfs de kleinste functie is met deze
eigenschappen. Immers, laat 0 ≤ h(z) := − log |z| − w(z) een superharmonische functie zijn op U waarbij w subharmonisch is op U . Dan is gU(z, 0) − h(z) subharmonisch op
U \ {0} omdat gU(·, 0) daar per definitie harmonisch is, en −h(z) is subharmonisch.
Omdat ∂(U \ {0}) niet-polair is (gebruik Stelling 1.38) en omdat voor nagenoeg alle ζ ∈ ∂(U \ {0}) (namelijk nagenoeg overal op ∂U ) geldt dat
lim sup
z→ζ
(gU(z, 0) − h(z)) = lim
z→ζgU(z, 0) − lim supz→ζ h(z) ≤ 0.
We kunnen dus de uitbreiding van het maximumprincipe toepassen (Stelling 1.37) en we vinden dat gU(z, 0) − h(z) ≤ 0 voor alle z ∈ U \ {0}. Dus gU(z, 0) ≤ h(z) op U \ {0}.
Verder is h(0) = lim sup z→0 h(z) ≥ lim sup z→0 gU(z, 0) = gU(0, 0)
zodat gU(·, 0) ≤ h op heel U . We concluderen dat de Greense functie op U de kleinste
niet-negatieve, superharmonische functie van de vorm − log | · | − w is. Andersom is −gU(·, 0) dus de grootste niet-positieve, subharmanische functie van die vorm. Volgens
Lemma 2.6 is u∗ subharmonisch en niet-positief, en we hebben bij (2.7) u∗ precies in deze vorm geschreven. We concluderen dus dat
u∗(z) ≤ −gU(z, 0) voor alle z ∈ U.
Lemma 2.8. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Stel U ( G en K ⊂ C \ U is een compacte (eventueel lege) deelverzameling waarop {SNk}k uniform begrensd is. Laat V = ˆC \ (U ∪ K) en
v(z) := −gU(z, 0) als z ∈ U, gV(z, ∞) als z ∈ V, 0 als z ∈ C \ (U ∪ V ). Laat u zoals in Lemma 2.6, dan is u∗ ≤ v∗ op G.
Bewijs. In Lemma 2.5 bewezen we dat U begrensd is, dus vanwege Propositie A.2 (uit de appendix) is er een rij compacte deelverzamelingen {Ln}n∈N in U zodat U = ∪n∈NLn
en Ln ( Ln+1. Definieer ωn := ˆC \ (Ln∪ K) en merk op dat ∞ ∈ ωn. Schrijf C voor
de samenhangscomponent van ωn die ∞ bevat. Uit het lemma van Bernstein (Lemma
1.58) volgt dat voor k, n ∈ N geldt dat
Nk
s
|SNk(z)|
kSNkkLn∪K
Merk op dat we de Greense functie zo hebben gedefinieerd dat deze buiten C gelijk is aan 0 (zie de opmerking na Definitie 1.42). Voor z ∈ Ln∪K geldt zeker dat kSNkkLn∪K ≥
|SNk(z)|, dus we vinden dat Nk
s
|SNk(z)|
kSNkkLn∪K
≤ 1 = e0 = egωn(z,∞).
Als z in een begrensde component A van ωnzit dan kunnen we de maximummodulusstel-
ling14op het inwendige toepassen. Immers, A is gesloten omdat ωnopen is, dus voor alle
ζ ∈ ∂A ⊂ ∂(Ln∪ K) is |SNk(ζ)| ≤ kSNkkA ≤ kSNkkLn∪K. De maximummodulusstelling
impliceert dus dat |SNk(z)| ≤ kSNkkLn∪K voor alle z ∈ A. We concluderen dat Nk s |SNk(z)| kSNkkLn∪K ≤ egωn(z,∞) voor alle z ∈ C, ofwel log Nk q |SNk(z)| ≤ gωn(z, ∞) + log Nk q kSNkkLn∪K.
Verder is {SNk}kuniform begrensd op Ln∪K dus er is een M ∈ N zodat kSNkkLn∪K < M
voor alle k ∈ N, waaruit volgt dat voor alle z ∈ C lim sup k→∞ log Nkq|S Nk(z)| ≤ gωn(z, ∞) + lim sup k→∞ log NkqkS NkkLn∪K ≤ gωn(z, ∞). (2.8)
Uit (2.5) volgt dat op G u ≤ lim sup k→∞ log Nk√2 · max Nk q |SNk|, Nkp|f| = lim sup k→∞ log 2 + log(max(|SNk|, |f |)) Nk ≤ max lim sup k→∞ log |SNk| Nk , lim sup k→∞ |f | Nk = max lim sup k→∞ log |SNk| Nk , 0 = lim sup k→∞ log Nkq|S Nk| + .
We vinden met (2.8) en Stelling 1.54 (die zegt dat de Greense functie niet-negatief is) dus dat voor iedere n ∈ N
u(z) ≤ lim sup k→∞ log Nk q |SNk(z)| + ≤ gωn(z, ∞) als z ∈ G.
In het bijzonder geldt dit voor de limiet en we vinden dat u(z) ≤ lim
n→∞gωn(z, ∞) voor alle z ∈ G. (2.9)
Merk op dat ωn → V ∪ ∂U als n → ∞. We gaan nu aantonen dat voor de Greense
functies zelfs gωn(·, ∞) → gV(·, ∞) op G.
Laat Ω = ˆC \ L1. Omdat L1 6= ∅ bestaat C \ ∂Ω uit ten minste twee samenhangscom-
ponentenen, dus volgt uit Stelling 1.48(ii) dat Ω een Greense verzameling is. Verder is V ⊂ ωn⊂ Ω voor alle n ∈ N, dus uit Stelling 1.52 volgt dat
gωn(z, ∞) = gΩ(z, ∞) − R Ω\ωn gΩ(·,∞)(z) en dat gV(z, ∞) = gΩ(z, ∞) − R Ω\V gΩ(·,∞)(z). (2.10)
Merk nu op dat Ω \ ωn = Ω ∩ (Ln∪ K) ↑ Ω ∩ (U ∪ K) als n → ∞ en dat deze rij
verzamelingen stijgend is. Uit Stelling 1.51 volgt nu dat RΩ\ωn
gΩ(·,∞)→ R
Ω∩(U ∪K)
gΩ(·,∞) als n → ∞.
Omdat U niet-dun is in alle punten van zijn rand (want U is samenhangend en bevat meer dan ´e´en punt, zie Stelling 1.62) volgt per definitie voor ζ ∈ ∂U dat iedere functie u die superharmonisch is op G voldoet aan
lim inf
z→ζ u(z) = u(ζ) (z ∈ U ).
Dus als v ≥ u op Ω ∩ (U ∪ K) een superharmonische functie op G is, dan geldt voor alle ζ ∈ ∂U dat
u(ζ) = lim inf
z→ζ u(z) ≤ lim infz→ζ v(z) = v(ζ) (z ∈ U ),
dus er volgt dat v ≥ u op Ω ∩ (U ∪ K). Anderzijds is het ook duidelijk dat als v ≥ u op Ω ∩ (U ∪ K) dat dan hetzelfde geldt op Ω ∩ (U ∪ K). Er volgt dat
RΩ∪(U ∩K)g
Ω(·,∞) = R
Ω∪(U ∩K) gΩ(·,∞)
en aangezien Ω ∩ (U ∪ K) = Ω \ V volgt er uit de uitdrukkingen bij (2.10) dat lim
n→∞gωn(z, ∞) = gΩ(z, ∞) − R
Ω∩(U ∪K)
gΩ(·,∞) (z) = gV(z, ∞).
Vullen we dit in bij (2.9) dan concluderen we dat
u(z) ≤ gV(z, ∞) voor alle z ∈ G.
Omdat per conventie gV = 0 buiten V vinden we hiermee ook dat u(z) ≤ 0 op G \ V .
Combineren we deze twee resultaten met Lemma 2.7 dan concluderen we dat u∗ ≤ v∗
op G.
Hiermee zijn we in staat om de stelling te bewijzen. We zullen aantonen dat v∗ subharmonisch is en convergeert naar nul op de rand van U .
Stelling 2.9. Zij G een gebied rond 0 en f ∈ H(G). Kies {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N
een deelrij en definieer U als het grootste gebied rond 0 waarop {SNk}k lokaal uniform
convergeert. Stel G\U 6= ∅ en K ⊂ C\U is een compacte (eventueel lege) deelverzameling waarop {SNk}k uniform begrensd is. Laat V = ˆC \ (U ∪ K) en schrijf v
∗ voor de half-
continue regularisatie van boven van de functie
v(z) := −gU(z, 0) als z ∈ U, gV(z, ∞) als z ∈ V, 0 als z ∈ C \ (U ∪ V ).
Dan is v∗ subharmonisch op G ∪ (C \ ∂U ) en v∗(z) → 0 als z → ζ ∈ ∂U .
Bewijs. Omdat v∗ zeker half-continu van boven is bekijken we de middelwaarde eigen- schap. We bekijken ξ ∈ G ∩ ∂U en D(ξ, r) ⊂ G. Als u∗(ξ) < 0 dan geldt dat
0 > u∗(ξ) = lim sup
z→ξ
u(z) = lim sup
z→ξ
lim sup
k→∞
log Nkq|S
Nk(z) − f (z)|.
En dus is er een δ > 0 en een omgeving van ξ zodat log Nkp|S
Nk(z) − f (z)| < −δ voor
alle z in die omgeving van ξ en k groot genoeg. Er volgt dat voor z in een omgeving van ξ geldt dat
|SNk(z) − f (z)| <
1 eδ
Nk
→ 0 als k → ∞
dus dan convergeert SNk uniform naar f op die omgeving van ξ. Maar per definitie van
U geldt dan dat ξ ∈ U , wat niet kan aangezien ξ ∈ ∂U en U is open. Dit geeft een tegenspraak dus moet wel u∗(ξ) ≥ 0. In Lemma 2.8 bewezen we al dat u∗ ≤ v∗ op G en
in het bijzonder dat u∗ ≤ 0 op C \ (U ∪ V ) = ∂U ∪ K. We concluderen dus dat u∗ = 0 op G ∩ ∂U . Er volgt dat
v∗(ξ) = 0 = u∗(ξ) ≤ 1 2π Z 2π 0 u∗(ξ + reit) dt ≤ 1 2π Z 2π 0 v∗(ξ + reit) dt.
Dus v∗ voldoet aan de lokale benedenmiddelwaarde eigenschap en is dus subharmonisch op G ∩ ∂U . Op C \ ∂U is v∗ ook subharmonisch. Dit volgt uit de subharmoniciteit op U ∪ V aangezien v = 0 op C \ (U ∪ V ). Aangezien per definitie geldt dat gU(·, 0)
harmonisch is op U \ {0} en gV(·, ∞) harmonisch is op V \ {∞} hoeven we alleen na
te gaan dat gU(·, 0) superharmonisch is in 0. Maar dit is een direct gevolg van Definitie
1.45(ii), omdat gU(0, 0) = −∞. Omdat (G ∩ ∂U ) ∪ (C \ ∂U ) = G ∪ (C \ ∂U ) volgt dat
v∗ daar subharmonisch is. We tonen nu nog aan dat v∗ → 0 op ∂U .
Vanwege de opmerking na Lemma 2.5 is U regulier en is elk punt in ∂U ∩ ∂V een regulier randpunt van V . Volgens Stelling 1.54 is dus
lim
en hetzelfde geldt voor gV(·, ∞) voor alle ζ ∈ ∂U ∩ ∂V . Als ζ ∈ ∂U \ ∂V , dan is er
een omgeving van ζ die in U ∪ K ligt die klein genoeg is zodat lim supz→ζv(z) = 0 voor zowel z ∈ U als z ∈ K. Omdat v = 0 op C \ (U ∪ V ) volgt dat limz→ζv(z) = 0 voor alle
ζ ∈ ∂U , dus v is continu in de punten van ∂U . In het bijzonder geldt voor alle ζ ∈ ∂U dat
v∗(ζ) = lim sup
z→ζ
v(z) = lim
z→ζv(z) = v(ζ) = 0
en dus is limz→ζv∗(z) = limz→ζv(z) = 0. Hiermee is de stelling bewezen.
Deze stelling heeft een aantal gevolgen die terug te vinden zijn in het artikel van Gardiner15. Een daarvan is de volgende.
Gevolg 2.10. Stel G ( C is een gebied en ζ ∈ G. Laat r = min({|z − ζ| : z ∈ C \ G}) en stel dat G \ D(ζ, r) een begrensde component A heeft. Als U (G, ζ) 6= ∅ dan is
Wζ := (A ∪ D(ζ, r))◦∩ G
enkelvoudig samenhangend.
Voordat we dit gevolg bewijzen geven we eerst een voorbeeld om de situatie uit te leggen.
Voorbeeld 2.11. Een voorbeeld van een onbegrensd gebied G waarvan wel een be- grensde component A overblijft zie je in Figuur 2.1.
C \ G A
D(ζ, r)
ζ
Figuur 2.1.: Een onbegrensd gebied waarvan een begrensde component overblijft. Bewijs. We nemen zonder verlies van algemeenheid aan dat ζ = 0. Merk op dat als G enkelvoudig samenhangend is, dan ook A en dus ook (A ∪ D(0, r))◦. Maar dan is
W0 sowieso enkelvoudig samenhangend en is het resultaat triviaal. We kijken dus naar
een gebied G dat niet-enkelvoudig samenhangend is. Stelling 2(ii) uit [10] vertelt ons dan dat C \ G dun bij ∞ moet zijn als we willen dat U (G, 0) 6= ∅. In het bijzonder moet G dus onbegrensd zijn. Aangezien A een samenhangscomponent is die aan D(0, r) grenst, is A ∪ D(0, r) samenhangend en dus is W0 samenhangend. Omdat U (G, 0) 6= ∅
kunnen we een f ∈ U (G, 0) kiezen. Laat nu q een willekeurig polynoom zijn en kies R > sup{|z| : z ∈ A} en K = D(0, R) \ G. Dan is K een compacte verzameling in C \ G (en merk op dat ∂A ∩ ∂G ⊂ K). Omdat G samenhangend en onbegrensd is, is ook C \ K samenhangend en dus convergeert er een deelrij {SNk}k ⊂ {SN(f, 0)}N naar q, uniform
op K. Definieer nu U , V en v∗ zoals in Stelling 2.9, waarbij v∗ volgens die stelling dus subharmonisch is. Dan geldt dat D(0, r) ⊂ U omdat D(0, r) ⊂ G en f is holomorf op G, dus de Taylorreeks om 0 convergeert uniform op compacta in D(0, r). Er volgt dat
∂W0 = (∂D(0, r) \ ∂A) ∪ (∂A ∩ ∂G) ⊂ U ∪ K.
Omdat ∂(U ∪ K) ⊂ ∂U ∪ K en v∗ = 0 op ∂U ∪ K = C \ (U ∪ V ) (per definitie op K en vanwege de stelling overal op ∂U ) geldt datzelfde op ∂(U ∪ K). Uit Stelling 1.17(ii), het maximumprincipe voor subharmonische functies, volgt dat v∗ ≤ 0 op U ∪ K. Als v∗(w) = 0 voor een w ∈ W0, dan neemt v∗ een lokaal maximum aan in w en dus is deze
op U ∪ K constant. Maar dat kan niet want v∗(z) = −gU(z, 0) voor nagenoeg alle z ∈ U
en deze functie is zeker niet constant. We concluderen dus dat v∗(z) < 0 op W0. Maar
dan volgt dat W0∩ (C \ (U ∪ V )) = ∅ en aangezien W0 ⊂ U ∪ K is ook W0∩ V = ∅. Er
moet dus wel gelden dat W0 ⊂ U , en zelfs dat W0 ⊂ U ∩ G (per definitie van W0).
Stel nu dat W0 ⊂ U ∩ G niet enkelvoudig samenhangend is. Dan heeft C \ W0 dus een
begrensde samenhangscomponent L, en omdat U enkelvoudig samenhangend is vanwege Lemma 2.5 is ook L ⊂ U . Dus {SNk}k convergeert uniform op L, en wel naar de
holomorfe voortzetting van f tot U . Merk op dat per definitie van r de component L niet is bevat in D(0, r), dus het is een gat afgesneden door A ⊂ D(0, R) en in het bijzonder bevat in D(0, R) ∩ (C \ G) = D(0, R) \ G = K. Dus L ∩ K 6= ∅, en omdat {SNk}k op K naar ons willekeurige polynoom q convergeerde, geldt dit dus ook op L.
Maar dat betekent dat q niet volledig willekeurig gekozen kan worden, aangezien de limiet op heel L de holomorfe voortzetting van f is. Dit is een tegenspraak en dus moet W0 wel enkelvoudig samenhangend zijn.
Voorbeeld 2.12. We kunnen Voorbeeld 2.11 eenvoudig aanpassen om een Wζ te vin-
den die niet-enkelvoudig samenhangend is. Zie bijvoorbeeld Figuur 2.2. Vanwege het bewezen gevolg is voor zo’n gebied U (G, 0) = ∅! We kunnen hieruit dus concluderen dat als het gebied G niet-enkelvoudig samenhangend is, U (G, 0) best leeg kan zijn en dit geval dus echt anders is dan wanneer G wel enkelvoudig samenhangt.
We hebben dus een voorbeeld gevonden van een niet-enkelvoudig samenhangend ge- bied G waarvoor U (G, ζ) leeg is. Aan de andere kant heeft Melas16, zoals eerder genoemd
bij Stelling 2.4, bewezen dat wanneer K ⊂ C een samenhangende compacte verzameling
C \ G A
C \ G
D(ζ, r)
ζ
Figuur 2.2.: Voorbeeld van een gebied waarbij Wζ niet enkelvoudig samenhangend is.
is zodat G = C\K ook samenhangend is, dan is U (G, ζ) ⊂ H(G) dicht voor iedere ζ ∈ G. Het is tot op heden nog niet duidelijk wanneer er op een niet-enkelvoudig samenhangend gebied een universele Taylorreeks bestaat.