Hoofdstuk 7 Meetkunde rekenen of redeneren

(1)

Hoofdstuk 7:

Meetkunde: rekenen of redeneren

V-1 a. _AC_ ₁₄2_₁₃2 __{3 3} __5,2 _b. _DF _ ₁₃2_₅2 _₁₂ 1 13 14 1 13 14 cos ( ) 22 sin ( ) 68 ABC ACB           1 5 13 1 5 13 sin ( ) 23 cos ( ) 67 EDF DEF           c. _RPQ_180 _90_57 _33 16 16 tan(57 ) tan(57 ) 10,4 QR QR   _   16 16 sin(57 ) sin(57 ) 19,1 PQ PQ   _   V-2 V-3

a. de overeenkomstige hoeken zijn even groot:   A D,   B E en   C F. b. de factor is 3

c. AC DF3 4 en EF  3 BC 15

V-4

a. BAC EDC (F-hoeken) en ABC DEC (F-hoeken) (En hoek C is gemeenschappelijk.)

b. 9 8 6 12 BC _  _ 1 2 1 2 13 1 9 DE   c. BE BC EC 12 8 4  V-5

a. BAC EDC (Z-hoeken) en ABC DEC (Z-hoeken) (En ACB DCE (overstaande hoeken))

b. 10x 25 (42 x) 10 1050 25 35 1050 30 x x x x     c. de verhouding is 25 5 10  2 AC  57 AD30 en CD 27 AD12 V-6 a./b. omdat MA MB c./d. NC ND (straal) CDN V is dus gelijkbenig: NCQ NDQ

Verder is _DQN _{ }CQN _90_{(gegeven), dus volgt uit de hoekensom van een}

driehoek dat CNQ DNQ. Ofwel Q ligt op de bissectrice van CND. V-7

a./b. ABD BAE (gelijkbenige driehoek) en _ADB_{ }BEA_90_{omdat AD en BE}

hoogtelijnen zijn. Dus de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. c. AB BA , BDAE en BE AD graden 0 30 45 60 90 sinus 0 1 2 21 2 12 3 1 cosinus 1 1 2 3 21 2 1 2 0 1 2 13 AB BC... AC 9 ... DE EC 8 CD6 25 AB AC x 10 DE  CD42x

(2)

1 a. sin(64 )  RS₁₂ _b. 10,8 15 sin(Q) PRQ1806446 70 12sin(64 ) 10,8 RS    _{ }Q 46 c. _PS _ ₁₂2__10,82 __5,3_,_QS _ ₁₅2__10,82 __10,4_en_PQ _15,7

d. _{sin(70 )}15,7 16,69, _{sin(64 )}15 16,69 en ook _{sin(46 )}12 16,69

2 a./b. c. sin( ) h b   sin( ) h a   sin( ) h b  h a sin( ) d. bsin( ) asin( ) sin( ) sin( ) b a 

  en dus sin( ) sin( )

b a    e. de hoogtelijn uit A. 3 a.  _180_49_88 _43 _b. _ _₁₈₀ _₁₀₀_₄₂ _₃₈ 5 sin(88 ) sin(49 ) 5 sin(43 ) sin(49 ) 5

sin(49 ) sin(88 ) sin(43 ) 6,6 4,5 AC AB AC AB              3,4 sin(38 ) sin(42 ) 3,4 sin(100 ) sin(42 ) 3,4

sin(42 ) sin(38 ) sin(100 ) 3,1 5,0 AB BC AB BC              c.  _180 _67_53 _60 _e. 12 14

sin( ) sin( ) sin(33 )

AC      45 sin(53 ) sin(60 ) 45 sin(67 ) sin(60 ) 45

sin(60 ) sin(53 ) sin(67 ) 41,5 47,8 AB BC AB BC              12 sin(33 ) 14 12 sin(119 ) sin(28 ) sin( ) 28 180 33 28 119 22,4 AC                   

d. Deze kun je met de sinusregel niet oplossen. 4 a. 6 13 sin(23 ) sin(_B) 13 sin(23 ) 6 sin(B)  0,85 b. _{ }B 58

c. sin(180 _58 ) sin(122 ) 0,85 _  _ _{: klopt}

d. _{ }B 122 5 a. 4 8 sin(27 )  sin(_BDC) 8 sin(27 ) 4 sin( ) 180 65 115 BDC BDC          

(3)

b. _ADC _180 _{ }BDC_65_{(gestrekte hoek)} 65 CAD ADC      (gelijkbenige driehoek) 180 2 65 50 ACD   

     (hoekensom van een driehoek)

180 115 27 38

DCB    

     (hoekensom van een driehoek)

c. 4 sin(65 ) sin(50 ) AD    4 sin(27 ) sin(38 ) BD    4 sin(50 ) sin(65 ) 3,4 AD   4 sin(38 ) sin(27 ) 5,4 BD   6 a. 10 12 sin(30 )  sin(_B) 6 12 sin(30 )  sin(_E) 12 sin(30 ) 10 sin( ) 0,6 37 143 B B B            12 sin(30 ) 6 sin( ) 1 90 E E       

7 Als Q de loodrechte projectie van P op de x-as is, dan is VOPQ een rechthoekige driehoek. Hierin geldt de stelling van Pythagoras:

2 2 2 2 2 cos ( ) sin ( ) 1 OQ QP OP x x     8 a. sin(80 ) CD10  _ 10 sin(80 ) 9,85 CD_  _ b. _AD_ ₁₀2__(9,85)2 __1,74_en_BD _{15 1,74 13,26}  c. _BC _ _(9,85)2__(13,26)2 __16,52 9 a. sin( ) CD b   cos( ) AD b   sin( ) CD b  cos( ) cos( ) AD b BD c AD c b       

b. _a2 __{( sin( ))}_b _ 2_₍_{c b}_ _{cos( ))}_ 2 __b2_{sin ( )}2 _ __c2_₂_bc_{cos( )}_ __b2_{cos ( )}2 _

2 2_{(sin ( ) cos ( ))}2 2 2 ₂ _{cos( )} 2 2 ₂ _{cos( )}

a b    c  bc  b c  bc  10 a. _BC2 _₁₅2_₁₉2_{ }_{2 15 19 cos(39 ) 143,03}_ _  _ _BC __11,96 b. _QR2 _₃₅2_₁₃2_{ }_{2 35 13 cos(125 ) 1915,95}_ _  _ _QR __43,77 c. ₁₂2 _₁₅2_₁₈2_{ }_{2 15 18 cos(}_ _ __L₎ ₁₅2 _₁₂2_₁₈2_{ }_{2 12 18 cos(}_ _ __M₎ cos( ) 0,75 41 L L      cos( ) 0,5625 56 M M     

(4)

11 a. ₉2 _₁₄2_₈2_{ }_{2 14 8 cos(}_{ } __F₎ _c./d. ₁₄2 _₉2_₈2_{   }_{2 9 8 cos(}__D₎ cos( ) 0,80 37 F F      cos( ) 0,35 111 D D       b. 9 8 sin(37 ) sin(_E) 3732 111 180 8 sin(37 ) 9 sin( ) 0,53 32 E E        12 a. _AH _ ₃2 _₄2 _₅_,_AF _ ₁₂2_₄2 __{4 10}_en_FH _ ₃2_₁₂2 __{3 17} b. 153 25 160 2 5 4 10 cos(      A) cos( ) 0,25 75 25 153 160 2 3 17 4 10 cos( ) cos( ) 0,92 23 180 75 23 82 A A F F F H                           13 ₂₁2 _₁₇2_₂₈2_{ }_{2 17 28 cos(}_ _ __A₎ 2 2 2 cos( ) 0,66 48 17 14 2 17 14 cos(48 ) 169 13 A A CD CD               14 a. ₆₅2 _₅₆2_₃₃2_{ }_{2 56 33 cos( )}_ _ _ cos( ) 0 90     

b. VABC is een rechthoekige driehoek

c. _{   }2 a b cos(90 ) 0 _ _{en dan blijft over:}_c2 __a2__b2

15

a. MA MC (straal), dus _BAC _{ }ACM _54_{(gelijkbenige diehoek)}

180 2 54 72

AMC   

     (hoekensom van een driehoek)

180 72 108 BMC        (gestrekte hoek) MB MC (straal), dus 1 2(180 108 ) 36 ABC        180 54 36 90 ACB          b. _BCM _40_{(gelijkbenige driehoek)} 180 2 40 100 BMC   

     (hoekensom van een driehoek)

180 100 80 AMC        (gestrekte hoek) 1 2(180 80 ) 50 BAC ACM          50 40 90 ACB ACM BCM           

(5)

16 a./b.

c. de diagonalen van een rechthoek delen elkaar middendoor.

d. MA MB MC  MD, dus M is het midden van

AB en CD.

17 _ADM_35_{(gelijkbenige driehoek)} 90 ADB ACB      (Thales) 90 35 55 BDM        55 ABD    (gelijkbenige driehoek) 45 ABC BAC      (gelijkbenige driehoek)

18 AB is een middellijn (omgekeerde stelling van Thales: _{ }C 90₎ 90

ADB 

  (Thales)

360 180

DAC DBC  ACB ADB 

         (hoekensom van een vierhoek) 19

a. F ligt op een cirkel met middellijn BH (Thales) D ligt op een cirkel met middellijn BH (Thales) B, D, H en F liggen op één cirkel.

b. E en D liggen op een cirkel met middellijn AB (Thales).

Dus A, B, D en E liggen op één cirkel. c. op het midden van AB

d. AFHE, FBDH, DCEH, ACDF

e. Ja, dan kloppen de beweringen ook: zie tekening 20

a. omdat D op het midden ligt van AC en E op het midden van BC.

b. ADEF is een rechthoek

c./d. ADE  AFE  AGE 90, dus volgt uit de omgekeerde stelling van Thales dat

D, F en G op een cirkel liggen met middellijn AE.

21 a. _ACB_90_(Thales) 8 cos(30 ) 8cos(30 ) 4 3 AC AC      b. _DB2 __{(8 3)}2_₈2_{ }_{2 8 3 8 cos(30 ) 64}_{ }  _ 8 DB c. _AEB_90_(Thales) ABD

V is een gelijkbenige driehoek (AB BD ), dus _ADB_30_. 60

DBC ABC 

    en dus is ook _ABE _60

(6)

22 _ADB_{ }ACB_90_(Thales) 2 ₉ 2 AD  AS en _AD2 __{121 (2 )}_ _r 2_:_AS2 _₄_r2__{121 9 4}_{ } _r2_₁₁₂ 2 2 64 BC CS en _BC2_₍₂__CS₎2 __{(2 )}_r 2_:₆₄__CS2_₄_CS2 __{64 3}_ _CS2 _₄_r2 AS CS , dus _{64 3(4}_ _r2__{112) 4}_ _r2 2 2 8 272 34 34 r r r    23 a. _x2__y2_₁₀_x_₁₀_y __{49 0}_ 2 2 2 2 10 25 10 25 49 50 ( 5) ( 5) 1 x x y y x y            

Een cirkel met middelpunt M(5, 5) en straal 1. b. OM 5 2

c. De stralen naar de raakpunten staan loodrecht op de raaklijnen

2 2

(5 2) 1 7

OR  

24 a.

b. _MAP _{ }MBP _90_{. De stelling van Pythagoras geldt dus in beide driehoeken}

waarbij MP gelijk is en ook MA MB (straal). Dus PA PB .

c. De driehoeken APM en BPM hebben drie overeenkomstige even grote zijden. De twee driehoeken zijn dus gelijkvormig. En dus APM  BPM. Met andere woorden: PM is de deellijn van APB.

c. VAPB is gelijkbenig met PA PB en dus zijn de basishoeken ook gelijk. 25 VPAB is een gelijkbenige driehoek waardoor 180 60

2 60

PAB PBA _  _

    

PAM

V is een 30°-60°-90°-driehoek. De zijden verhouden zich dus als a: 2 :a a 3

met a5. Dus PM 10 en PA5 3.

26 DQ DB 3 PA PB 13 CA CQ 5 PC PA CA  8

27

a. AB is een raaklijn aan de cirkels. De straal door het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn: MAB NBS 90. En dus is MA // NB (F-hoeken)

b. SB SP en SA SP , dus SA SB : S is het midden van AB. c. MS is de deellijn van ASP: ASM  MSP

NS is de deellijn van BSP: BSN  NSP 2 2 180 ASP BSP MSP PSN          (gestrekte hoek) 90 MSP PSN MSN        28 VNSQ: VMSP met factor 25 10 2,5 2,5(10 ) 49 1,5 24 16 CS CS CS CS      2 2 ₂₆2 ₁₀2 ₂₄ 2,5 60 60 24 36 QS NS NQ PS QS PQ           

(7)

29

a. De raakpunten zijn P, Q, R en S.

De vier zijden van het trapezium zijn raaklijnen aan de cirkel, dus AP AS, BP BQ, CQ CR en DR DS . 25 AB CD AP PB CR RD AS BQ CQ DS AS SD BQ QC AD BC                  b. _BP _ _BC2__PC2 _₅ c. AB CD AP 5 CD 2 CD 5 25 10 CD en dan is AB15

30 MAB90 (raaklijn en straal)

P is de loodrechte projectie van C op AM. 24 PC  en PM 15 8 7  . 2 2 7 24 25 MC    en _CD_ ₂₅2_₁₅2 _₂₀ 31

a. omdat AB en AC raaklijnen zijn aan de cirkel. b. AM: y x en BC: 1 21 28 x y   ofwel: 4x3y 84 c. 4x3x 7x 84 12 x M(12, 12) en de straal is 12. d. ARAS r en BS 21r e. VABC: VSBM f. 1 2 21 ABM Opp_V   r en 1 2 28 ACM Opp_V   r 21 21 28 r r   g. 1 1 1 2 21 28 2 21 2 28 ABC Opp_V      r   r 21 28(21 ) 588 28 49 588 12 r r r r r       49 588 12 r r   32 NS NT 15 2 2 15 9 12 SQ   QT ofwel ST 24 24 PQ MN  , en dus is PS24 12 12  33 a. 2 5 : 2 OR y   x PQ: 5 12 y  x b en gaat door R(5, -12): 5 1 12 12 12 5 14 b      5 1 12 1412 y  x 1 2 ( 13, 19 ) P   en 2 3 (13, 8 ) Q  1 2 19 ₁ 13 12 OP rc  _  en 823 2 13 3 OQ rc     : rc_OPrc_OQ  1 dus POQ90 b. Stel: A(-13, 0) en B(13, 0)

PA en PR zijn raaklijnen aan de cirkel met middelpunt O. Dan is OP de bissectrice

van AOR. Met andere woorden: AOP  POR

Zo geldt ook dat Q op de bissectrice ligt van BOR. Ofwel: BOQ QOR 

2 2 180

AOB AOR ROB   

        (gestrekte hoek)

90

POQ POR ROQ   

(8)

34 a.

b. VAOC is een 30°-60°-90°-driehoek. De zijden verhouden zich als a: 2 :a a 3 met a6

(0, 6 3)

C en D(3, 3 3)

c. Van A naar D is 9 eenheden naar rechts en 3 3

omhoog. Dat is per eenheid naar rechts 1

3 3 omhoog. (0, 2 3) Z en F(0, 4 3) d. 3 3 3 3 ED rc   en 4 3 3 3 1 0 3 3 3 DF rc      : rc_EDrc_DF  1 dus EDF 90

e. yep! Volgende vraag.

f. De zwaartelijnen delen elkaar door in de verhouding 1 : 2. In een gelijkzijdige driehoek zijn ze ook even lang. Dus EZ DZ . En omdat F op het midden ligt van CZ is ook FZ EZ. De punten E, D en F liggen op een cirkel met middelpunt Z. Dus is _EDF _90_(Thales)

35 a. DF: 1 2 6 y   x AE: y 2x 1 2 1 2 2 4 5 5 6 2 2 6 2 4 E E x x x x en y       2 2 2 4 5 5 (6 2 ) (0 4 ) 6 BE     

b. omdat _ABF _{ }AEF _90_{volgt dat B en F op een cirkel liggen met middellijn AF}

(Thales). Dus liggen A, B, F en E op één cirkel.

c. AF is een middellijn, dus moet AGF 90 zijn (Thales). G is het midden van AD.

DF // GB. De driehoeken ASG en AED zijn gelijkvormig met factor 2: AS SE . d. ASG90, dus E is het spiegelbeeld van A bij spiegeling in de lijn SB.

ASB

V en VESB zijn elkaars spiegelbeeld in SB. Hieruit volgt: AB BE

36 a. MC: y 2x en MK: 1 2 y   x b. B(p, 0), C(p, 2p) en K(-p, 1 2p) c. 1 2 2 tan( ) p p BCM    2 1 2 1 2 2 4 2 2 2 ( ) ( ) 1 ₁ ₁ 4 2 5 (2 ) tan( ) p p _pp p p MCK        

d. het snijpunt van KM met BC is L. De driehoeken AMK en BML zijn gelijkvormig met factor 1. Met andere woorden MK ML. L is het spiegelbeeld van K bij spiegeling in MC. VKMC en VLMC zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn MC. Hieruit volgt: LCM  KCM .

37 PA en PC zijn raaklijnen aan de cirkel: P ligt op de deellijn van APC:

APM MPQ

  

AP // MQ: APM  PMQ (Z-hoeken)

PMQ MPQ

(9)

38 a. ₍₆__a₎2 __a2__{64 2 8 cos(103 )}_ _a_{ }  2 2 36 12 64 3,6 8,4 28 3,3 a a a a a a        b. 9,3 8 sin(103 ) sin(C) 8 sin(103 ) 9,3 2 2 3 sin( ) 0,84 57 3,3 3,3 2 3,3 3,3 cos(57 ) 10 3,2 C C AB AB                 39

a. C en D liggen op een cirkel met middellijn AB: _ACB _{ }ADB _90_(Thales)

ASD BSC V : V met factor 9 10 9 9 2 10 10 6 55 DS  CS   

b. VBCS is een rechthoekige driehoek. _BC_ ₁₀2_₆2 _₈

2 2

15 8 17

AB   , waarmee de straal gelijk wordt aan 1 2

8 .

40

a. ABC en CAB2 (gegeven)

180 2 PAD      (gestrekte hoek) PAD V is gelijkbenig, dus 180 (180 2 ) 2 PDA DPA _ _       

b. BDS  PDA (overstaande hoeken) DBS

V is gelijkbenig en dus is SB SD

In de rechthoekige driehoek BCD is BCD90 en ook CDS90 

CDS

V is een gelijkbenige driehoek waarbij CS DS B, D en C liggen op een cirkel met middelpunt S.

41

a. MA en NA staan beide loodrecht op dezelfde raaklijn.

b. MA MB (straal) BAM    en _BAN _180 _ 90 ABD      en daarmee is _AND_360_(180_) (90_ _) 90_  _2 180 2 ANF      En omdat AN NF (straal) is 180 (180 2 ) 2 NAF _ _      En daarmee is BAF 180 42 a. MD4 en MC 2: _CD_ ₄2_₂2 __{2 3}

Teken de rechthoek PQSK met S op QL.

4

KL en LS LQ SQ LQ PK      3 1 2

2 2

4 2 2 3

(10)

b. MT MU TU  4 r , KT KV VT  1 r en KM  AM AK 3 2 2 2 2 2 (1 ) 3 (4 ) 2 3 (4 ) cos( ) 1 2 9 16 8 6(4 ) cos( ) (24 6 ) cos( ) 24 10 24 10 12 5 cos( ) 24 6 12 3 r r r r r r r r r r r r r r                                 c. 12 5 7 4 12 3 4 r r r r  _    2 2 2 12 13 (12 5 )(4 ) (12 3 )(7 4) 5 32 48 21 96 48 26 128 96 (26 24)( 4) 0 4 r r r r r r r r r r r r r r                    

Test jezelf

T-1 12 7 sin(83 ) sin(_R) 12 sin(83 ) sin(62 ) PR    7 sin(83 ) 12 sin( ) 0,58 35 180 83 35 62 R R Q                 12 sin(62 ) sin(83 ) 10,6 PR    T-2 a. _BC2 _₁₇2 _₂₃2 _{ }_{2 17 23 cos(56 ) 380,7}_ _  _ 19,5 BC  b. ₉2 _₂₀2_₁₃2_{ }_{2 20 13 cos(}_ _ __P₎ ₂₀2 _₉2_₁₃2_{  }_{2 9 13 cos(}_ __Q₎ cos( ) 0,94 20 P P      cos( ) 0,64 130 Q Q       180 20 130 30 R          T-3 a. 180 70 2 55 ABC BAC _  _      (gelijkbenige driehoek) b. _AEB_90_(Thales) 180 90 70 20 CAE          c.  _90 d. 180 1 2 90 2 CAM _ _ _     1 1 2 2 90 90 (90 ) CAE EAM AEM                  

(11)

T-4

a. Teken punt S op MP zo dat PQNS een rechthoek is.

2 2 8 2 2 15 PQ NS    b. VNQR: VMPR met factor 2 3 1 2 3 2 3 1 2 15 2 15 3 15 QR QR QR QR       T-5 a. B(0, 8), D(4, 0), F(0, 4) en G(4, 8) b. BD: y  2x8 c. AE: 1 2 y  x d. ₍_x_₄₎2_₍_y _₄₎2 _₁₆ 1 2 1 2 3 1 5 5 2 8 2 8 3 1 x x x x en y       2 2 2 4 5 ( 4) ( 2 4) 16 5 24 16 (5 4)( 4) 0 4 x x x x x x x x               4 2 5 5 ( , 6 ) S en D(4, 0) d. 4 2 3 2 4 5 5 5 ( ) ( 1 ) 5 DE     en 4 2 3 2 4 5 5 5 ( ) (1 ) 5 BS    

e. De berekeningen gaan analoog aan die hierboven. T-6

a. VADB: VEDA (_{   }A E 90_en__D_{is gemeenschappelijk)}

ABD EAD 

   

En dan is EAB  ADE 

b. DG is een middellijn, dus _GSD_90_(Thales).

c. _GDA_90_{, dus}__GDS _{  }_ _SGB_en__DGS _ _{ }_SBG

d./e. VADE: VGBS met factor 1 want AD GB . Dus is AE GS en ook DE BS T-7 DSC CBP (Z-hoeken)

PB PC (beide raaklijnen aan de cirkel), dus CBP  BCP (gelijkbenige driehoek)

BCP SCD

   (overstaande hoeken)

DSC SCD

   en dus is DS DC (gelijkbenige driehoek) T-8

a.

b. VSAD: VSBC met factor 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 24 24 36 36 15 39 AS AS AS AS SD          c. 1 2 60 30 SBM Opp_V    r r, 1 1 2 25 122 BCM Opp_V    r r en 1 1 2 65 322 SCM Opp_V    r r 1 2 1 1 2 2 60 25 750 30 12 32 75 750 10 SBC SBC Opp Opp r r r r r           V V

(12)

Extra oefening – Basis

B-1

a. _{ }A 180_12_82 _86

22

sin(82 ) sin(12 ) sin(86 )

AC BC      22 sin(12 ) sin(82 ) 4,6 AC   en 22 sin(86 ) sin(82 ) 22,2 BC    b. 7 14 sin(21 )  sin(F) 14 sin(21 ) 7 sin( ) 0,72 46 134 F F F           

En dan is hoek E ongeveer 113° of ongeveer 25° B-2 a. _ML2 _₁₅2 _₁₃2_{ }_{2 15 13 cos(47 ) 128}_ _  _ 11,3 ML b. ₈2 _₁₀2 _₁₇2_{ }_{2 10 17 cos(}_ _ __S₎ ₁₀2 _₈2_₁₇2_{  }_{2 8 17 cos(}_ __T₎ cos( ) 0,96 17 S S      cos( ) 0,93 22 T T      180 17 22 141 U         

B-3 CE is een middellijn, dus _CDE_90_(Thales)

De twee rechte hoeken zijn F-hoeken waardoor AB // DE. B-4

a. CR en CP zijn raaklijnen, dus CR CP

Zo zijn ook BR BQ en AQAP 2 c AQ BQ BR AP   BC CR AC CP         a r b r a b r b. _b_ ₆2_₄2 __{2 5} 2 4 2 5 6 2 5 2 5 1 r r        B-5 a. _AC_ ₆₀2_₂₅2 _₆₅ MAC

V is een gelijkbenige driehoek. De loodlijn door M op AC gaat door het midden van AC: 1 2 (30, 12 ) P 25 60 AC rc  en dus is 60 2 25 25 MP rc     MP: 2 5 2 y   x b met 1 2 1 2 5 2 12 2 30 84 b    r b. _ACD_90_(Thales) ABC DCA V : V met factor 2 65r 2 65 65 1 50 2 25 65 65 84 r r     

(13)

Extra oefening – Gemengd

G-1 OppABCD OppVABM OppVBCM OppVCDM OppVADM 

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) AB r BC r CD r AD r r AB BC CD AD r omtrek                     1 2 ABCD Opp r omtrek  

G-2 Noem DES  en teken EM DE EM, dus _MES _90_

90

MAS  

   want driehoek AME is gelijkbenig

Omdat _AMS _90_is__ASM _₁₈₀_₉₀_₍₉₀ __₎__ _{(hoekensom driehoek)}

ESD 

  (overstaande hoeken)

DES ESD

   , dus DS DE (gelijkbenige driehoek)

G-3 ₆2 _₇2_₈2 _{   }_{2 7 8 cos(}__ABC₎ 11 16 11 16 2 2 2 1 2 1 2 cos( ) cos( ) 4 7 2 4 7 cos( ) 103 103 ABC DBE DE DBE DE              

G-4 Teken de loodlijn op door M op PQ. (Deze gaat door het midden S van PQ)

SMC ABC

V : V (_{   }S A 90_en__C_{is gemeenschappelijk) met factor}

2 2 60 36 2 12 8 25 2 5 2 2 2 36 15 15 8 17 MS MS r MP        G-5 a. c. ₇2 _₉2_₈2_{   }_{2 9 8 cos(}__B₎ 2 3 cos(B) b. 2 2 2 2 3 4 9 2 4 9 49 AD        7 AD

(14)

Uitdagende opdrachten

U-1 a. _a2 __b2 __c2_₂_bc__cos(__A₎ 2 2 2 2 2 2 2 cos( ) cos( ) 2 bc A b c a b c a A bc          b. _x2 __b2__p2_₂_bp__cos(__A₎ c. ₂ ₂ ₂ 2 2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 2 b c a pb pc pa bc c x _b _p _ bp_   _b _p _   2 2 2 2 2 2 2 2₍ ₎ ₍ ₎ 2 2 x c cb cp pb pc pa a p b c p  cp p c a p b q cpq 

d. Als CD een zwaartelijn is, dan geldt: 1 2 p q  c 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 z c a c b c c c c a c b c c c z a b c                  U-2 a. driehoek BCM is gelijkbenig

de middelloodlijn uit M deelt de tophoek middendoor: 180 2

1 2 90

M    

   

b. 2 _2 _2 _180_{(hoekensom van een driehoek)} 1 90 M A                       c. 12 1 sin( ) sin( ) 2 a a A M R R      d. 2 sin(R A)a 2sin( ) a R A   e. 1 2 sin( ) O bc A 1 2 2 sin( A) O O bc bc    2 2 O 4 bc a abc R O    f. _a_ ₉2_₁₂2 _₁₅_,_b_ ₅2_₁₂2 _₁₃_en_c ₁₄ 1 8 1 2 15 13 14 8 4 14 12 R        U-3 Stel ADx Dan is BD BE 14x. 16 (14 ) 2 CF CE   x  x en is AF 10 (2 x) 8 x Omdat AF AD moet x  8 x, ofwel x 4

4