Diversicatie binnen een S&P100 aandelenportefeuille door netwerkanalyse

Universiteit van Amsterdam

Diversificatie binnen een S&P100 aandelenportefeuille

door netwerkanalyse

Auteur:

Jelle Bleeker (10655174)

Begeleider: Dr. M. J. (Marco) van der Leij

23 juni 2016

Bachelorscriptie econometrie

2015-2016 2e semester, blok 5&6

Samenvatting

In deze paper wordt een studie verricht naar de effecten van dynamische afhan-kelijkheid tussen S&P100 aandelen, op de samenstelling van het optimaal gediver-sificeerde portfolio. Om deze verbondenheid tussen aandelen te schatten, wordt gebruikgemaakt van het nets algoritme. Dit op lasso gebaseerde algoritme stuwt co¨effici¨enten richting nul; hierdoor worden alleen de sterkste causale verbanden ge-detecteerd. Vervolgens is per periode zowel het netwerk als het optimale portfolio geschat. Met behulp van een PageRank-analyse op het netwerk, kan geconcludeerd worden dat de netwerkschattingen betere inzichten verlenen voor het verklaren van de bijbehorende optimale portfoliosamenstelling. Zo behoort in de periode voor en tijdens de financi¨ele crisis meer dan 68% van de wegingsfactor tot de kern van het geschatte netwerk. In de periode na de financi¨ele crisis is dit echter geslonken wegens de toegenomen netwerkdichtheid. Door deze hogere dichtheid nivelleert de verdeling van centraliteit onder aandelen, wat resulteert in een minder dominante rol van centraal gelegen aandelen binnen het portfolio. Tot slot wordt geconcludeerd, dat ondanks de evoluerende samenstelling van het portfolio en netwerk, de aandelen Berkshire Hathaway, Priceline Group, Apple en Goldman Sachs over de beschikbare tijdspanne consistent een centrale rol binnen het netwerk opeisen.

Verklaring eigen werk

Hierbij verklaar ik, Jelle Bleeker, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan. Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die in de tekst en in de referenties worden genoemd. De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1 2 Literatuurstudie 3 2.1 Lasso . . . 3 2.2 Nets algoritme . . . 5 2.3 Netwerkkwantificatie . . . 8 2.4 Diversificatie . . . 9 2.5 Theoretische veronderstellingen . . . 10 3 Modellen en data 11 3.1 Dataset . . . 11 3.2 Netwerkmodel . . . 12 3.3 PageRank . . . 13 3.4 Portfoliomodel . . . 14 4 Resultaten en analyse 16 4.1 Optimale strafparameters . . . 16 4.2 Netwerkschattingen . . . 17 4.2.1 Periode 1 . . . 18 4.2.2 Periode 2 . . . 20 4.2.3 Periode 3 . . . 22 4.2.4 Evolutie-analyse . . . 24 4.3 Portfolioanalyse . . . 26 4.3.1 Aandelen effectenstudie . . . 26 4.3.2 Optimale portfolio’s . . . 28 5 Conclusie 32 Referenties 34 Bijlage 36

1

Inleiding

Beleggers worden als vanouds nog altijd geconfronteerd met het terugkerende probleem welke aandelenportefeuille een zo hoog mogelijk rendement oplevert tegenover een zo laag mogelijk risico. Door middel van diversificatie wordt geprobeerd het niet-systematische risico te minimaliseren. Hierbij wordt het beleggingskapitaal gespreid belegd over meer-dere aandelen. Buiten het feit dat de risico’s van een aandelenportefeuille geminimali-seerd worden, blijft beleggen een uiterst risicovolle onderneming. Er is in een aandelen-portefeuille namelijk altijd nog sprake van systematisch risico, dat wil zeggen de kans op een gebeurtenis die invloed heeft op de totale aandelenmarkt. Zowel een positieve of negatieve economische schok resulteert in een grotere variantie op de rendementen, waarbij de variantie een kwantitatieve maatstaf voor risico is.

Op 15 september 2008 was sprake van een negatieve economische schok, destijds werd de Lehman Brothers bank failliet verklaard. De Amerikaanse aandelenkoersen daalden fors, met alle gevolgen van dien. De langetermijn aandelenportefeuilles bleken niet be-stand tegen deze negatieve ontwikkeling, ondanks diversificatie. Ook pensioenverzeke-raars belegden een groot deel van het vermogen in aandelen, zodat later bij uitbetaling een waardevast pensioen gegarandeerd kon worden. Pensioenverzekeraars vormen een belangrijk onderdeel van de samenleving; zonder hen wordt deze ontwricht. Hieruit blijkt dat het samenstellen van een stabiel aandelenportefeuille van cruciaal belang is voor de samenleving. Daarnaast is het anticiperen op economische schokken door middel van een verandering in de aandelenportefeuille ook belangrijk (Zareei & Peralta, 2015). Hierdoor wordt het rendement op beleggingen sneller gestabiliseerd met een sneller herstel van de economie als gevolg.

Om te bepalen welke combinatie van aandelen een reductie in variantie oplevert, kan gekeken worden naar de rol van desbetreffende aandelen in het netwerk. Volgens Zareei en Peralta (2015) bepaalt de netwerktopologie mede de gevolgen voor het opnemen van verschillende aandelen in een aandelenportefeuille. Daarnaast stellen Billio, Getmansky, Lo en Pelizzon (2012) dat de netwerktopologie mogelijk kan evolueren door het optre-den van economische schokken. Deze netwerken zijn op te delen in twee categorie¨en, namelijk een causaal netwerk waarbij een aandeel invloed heeft op een desbetreffend afhankelijk aandeel en een netwerk met verbanden die alleen correlaties tussen aandelen detecteert. Het praktisch nut van beide netwerken komt onder andere in de paper van Demirer, Diebold, Liu en Yilmaz (2015) naar voren. Hierin blijkt dat de veronderstel-lingen van Bilio et al. (2012) omtrent veranderingen in netwerkstructuur stroken met de

realiteit. Dit gegeven is van cruciaal belang voor het evalueren van netwerkschattingen, omdat risicovolle aandelen met een centrale ligging in het netwerk langzaam kunnen evolueren tot buitenstaanders (Zareei & Peralta, 2015). Hierdoor zou een heroverweging van het portfolio benodigd zijn. Verder heeft Freeman (1978) meerdere kwantitatieve maatstaven ontwikkeld, waaronder de centraliteit van het netwerk, zodat objectief een vergelijking tussen netwerken uit verschillende periodes gemaakt kan worden.

Het combineren van netwerkschattingen en portfoliodiversificatie leidt tot een visua-lisatie van het diversificatieproces en levert mogelijkerwijs nieuwe inzichten op. Hierdoor kan het risico dat veroorzaakt wordt door causale verbanden tussen aandelen gemini-maliseerd worden. Het is om die reden dat een combinatie van deze onderzoeksgebieden van maatschappelijk belang kan zijn. Dit onderzoek beperkt zich daarom tot de impli-caties van deze koppeling en geeft antwoord op de vraag: welke samenstelling van een S&P100 aandelenportefeuille minimaliseert het niet-systematische risico op basis van de gekwantificeerde netwerktopologie en evolueert deze samenstelling over tijd?

Allereerst wordt in dit empirisch onderzoek een literatuurstudie uitgevoerd om hier-mee de gehanteerde methodiek in het onderzoek te onderbouwen. Hierin wordt begonnen met het introduceren van ’least absolute shrinkage and selection operator’ (lasso). Deze methodiek ligt aan de basis van het door Barigozzi en Brownlees (2016) ontwikkelde nets algoritme. Daarnaast zal een deel van de literatuurstudie bestaan uit het verkennen van literatuur met betrekking tot diversificatie, zodat aan de hand hiervan de link tussen netwerktopologie en diversificatie gelegd kan worden. Vervolgens wordt onderzoek ge-daan naar het kwantificeren van de netwerktopologie. Met behulp van deze kwantificatie kan een onderbouwd portfolio samengesteld worden.

In dit onderzoek vormt de bovengenoemde opzet de leidraad. Deze opzet wordt over vijf hoofdstukken verdeeld. Allereerst komt in Hoofdstuk 2 de literatuurstudie aan de orde; hierdoor ontstaat een gefundeerde basis waarop meerdere wetmatigheden afge-leid kunnen worden. Uit deze wetmatigheden en verdere aannames vloeit een model. Dit model komt samen met het te onderzoeken netwerk terug in Hoofdstuk 3. Vervol-gens worden in Hoofdstuk 4 de resultaten van de geprojecteerde netwerken weergegeven. Deze resultaten worden in hetzelfde hoofdstuk geanalyseerd en gekoppeld aan de eerder doorgronde diversificatietheorie. Uiteindelijk vindt in de conclusie een opsomming van belangrijke bevindingen plaats en wordt de onderzoeksvraag behandeld; dit betreft het laatste hoofdstuk.

2

Literatuurstudie

In dit onderzoek wordt meervoudig een aandelennetwerk geschat. Aan de hand van deze geschatte aandelennetwerken worden kwantitatieve maatstaven geproduceerd. Vervol-gens worden deze resultaten ge¨ınterpreteerd op basis van de bestaande diversificatiethe-orie. Hieronder wordt allereerst een basis gevormd voor het schatten van netwerken, door het introduceren van lassoregressies. Deze lassoregressies liggen ten grondslag aan het ’network estimation for time series’ (nets) algoritme waarmee het netwerk geschat wordt. Met het bestuderen van dit algoritme wordt de analyse met betrekking tot de wiskundige achtergrond van netwerkschattingen afgesloten.

Vervolgens wordt een studie verricht in welke mate een netwerk gekwantificeerd kan worden. Hierbij worden verschillende kwantitatieve maatstaven aangedragen die voort-komen uit bestaande literatuur. Ook worden meerdere netwerktopologie¨en ge¨ıntroduceerd die benodigd zijn voor het identificeren van netwerken.

Uiteindelijk worden reeds bestaande literaire werken over diversificatie behandeld, zodat een koppeling met netwerkanalyse kan plaatsvinden. Hierna vindt een korte op-somming van de belangrijkste resultaten plaats, waarbij de nadruk ligt op hieruit voort-vloeiende veronderstellingen.

2.1 Lasso

Door de opkomst van Big Data ontstaan er diverse problemen. Data-analisten hebben de beschikking over een kolossale hoeveelheid data, waarbij het vinden van bruikbare informatie als problematisch ervaren kan worden. Daarnaast is het onttrekken van cau-sale verbanden tussen entiteiten uit deze data eveneens een probleem. Voorheen voldeed een lineaire regressie op basis van de kleinstekwadratenmethode, mits aangenomen werd dat het model lineair was. Deze lineaire regressie schat co¨effici¨enten, afhankelijk van het aantal opgenomen verklarende variabelen, die allemaal ongelijk aan nul zijn. Hier-door wordt het selecteren van de daadwerkelijk verklarende variabelen bemoeilijkt. Ook zorgt deze vorm van schatten voor een onduidelijke structuur, waardoor de resultaten moeilijk te interpreteren zijn. Lassoregressies bieden een oplossing voor beide problemen. De lassoregressie is ontwikkeld door Tibshirani (1996) en werd destijds ge¨ıntroduceerd als een alternatieve methode voor het schatten van lineaire modellen. Door het toevoe-gen van een strafterm op het vergroten van co¨effici¨enten schat een lassoregressie meer nullen. Dit brengt meerdere voordelen met zich mee. Ten eerste leidt een ’shrinkage’ methode, waaronder lasso behoort, tot een hogere betrouwbaarheid van de

voorspel-lingen bij een gering aantal waarnemingen (Hastie, James, Tibshirani & Witten, 2013, p. 204). Ten tweede blinkt het verkregen geschatte model uit in eenvoud, doordat het aantal geschatte co¨effici¨enten ongelijk aan nul beperkt blijft. Deze eigenschap is van cruciaal belang voor het schatten van ’sparse’ netwerken. Dit zijn netwerken waarbij aangenomen wordt dat het netwerk een beperkt aantal verbindingen bevat.

Achter deze schattingsmethodiek schuilt de volgende wiskundige achtergrond. Een lineair model voldoet aan vergelijking (1).

Y = α + β1X1+ β2X2+ β3X3+ ... + βpXp+ ε (1)

Hierin is Xieen vector met n waarnemingen van de desbetreffende verklarende variabele

i, daarnaast is Y de verklaarde variabele. Voor het schatten van dit model zijn meerdere methodes ontwikkeld. Hieronder wordt allereerst de kleinstekwadratenmethode wiskun-dig weergegeven, zodat de aanpassingen waar lasso uit voortvloeit duidelijk zichtbaar zijn (Hastie et al., 2013, p. 219).

( ˆαOLS, ˆβOLS) = arg min{

n X i=1 (yi− α − p X j=1 βjxij)2} = RSS (2) ( ˆαL_λ, ˆβ_λL) = arg min{ n X i=1 (yi− α − p X j=1 βjxij)2+ λ p X j=1 |β_j|} = RSS + λ p X j=1 |β_j| (3)

Hierboven blijkt dat door het toevoegen van een L1-norm strafterm bovenop de

klein-stekwadratenmethode een nieuwe methodiek ontstaat, beter bekend als lasso. De eigen-schappen van de strafterm zijn bepalend voor het kwantificeren van de methodiek. Zo ontstaat door het toevoegen van een L2-norm= λPpj=1βj2 strafterm een ’ridge’

regres-sie. In tegenstelling tot lasso levert het toevoegen van een L2-norm strafterm weinig

voordelen op, aldus Tibshirani (1996).

Uiteindelijk is de gehele lassoregressie afhankelijk van de gekozen waarde voor λ. Bij λ = 0 volgt een equivalentie met de kleinstekwadratenmethode, daarentegen voor λ → ∞ convergeren de geschatte co¨effici¨enten naar nul. Hieruit blijkt de relevantie van het correct bepalen van deze strafparameter. Een mogelijkheid voor het bepalen van de strafparameter is het doorlopen van de ’cross-validation’ procedure. Hierbij wordt de gehele dataset in twee delen opgesplitst; een dataset waarover de schattingen verricht worden en de resterende data die tegenover de voorspellingen afgewogen worden. Voor verschillende waardes van de strafparameter worden bijbehorende schattingen ( ˆαL_λ, ˆβ_λL) verricht, om hiermee de residuelekwadratensom over de validerende dataset te

bereke-nen. Uiteindelijk wordt deze residuelekwadratensom geminimaliseerd en hieruit volgt de optimale strafparameter (Hastie et al., 2013).

2.2 Nets algoritme

Het introduceren van lassoregressies in de econometrische wereld had grote gevolgen voor het onderzoeken van complexe ondoorzichtige modellen, die logischerwijs gepaard gaan met een immense verzameling aan variabelen. Mede door deze introductie is het mogelijk verbanden te schatten van desbetreffende modellen, zodat een interpreteerbare structuur ontstaat. Deze methodiek ligt aan de basis van diverse algoritmes waarmee specifieke onderzoeksgebieden geanalyseerd worden, hieronder valt het schatten van net-werken. Bovendien kan onderscheid gemaakt worden tussen de aard van een netwerk, zoals een netwerk van co-auteurrelaties tussen economen (Goyal, Van Der Leij & Moraga-Gonz´alez, 2006) tegenover een netwerk van ’s werelds grootste banken (Demirer et al., 2015). Hierdoor zijn verschillende algoritmes alleen bruikbaar voor bepaalde takken in de netwerkanalyse. Voor het schatten van netwerken met een immense hoeveelheid aan tijdreeksen is door Barigozzi en Brownlees (2016) een algoritme ontwikkeld, genaamd nets. Dit algoritme kan gebruikt worden voor het schatten van aandelennetwerken; hierdoor is het belang van een literatuurstudie direct aangetoond, zodat tijdens het in praktijk brengen van dit algoritme de spreekwoordelijke haken en ogen ontmanteld kun-nen worden.

Allereerst dient de opbouw en visualisatie van een netwerk nader gespecificeerd te worden. Aan de basis van een netwerk liggen knopen ofwel entiteiten, tussen deze knopen is mogelijkerwijs sprake van een verband. Hierin kan een deling gemaakt worden tussen causale en gelijktijdige verbanden. Om deze verzameling knopen met bijbehorende ver-banden wiskundig te kunnen weergeven, wordt gebruikgemaakt van de volgende notatie N = (V, E). Hierin staan de verzamelingen V en E voor respectievelijk alle knopen en verbindingen. Daarnaast wordt de verzameling verbindingen opgeslagen in een matrix met dimensie V × V, waarbij elk element (i, j) ongelijk aan nul duidt op een verband tussen i en j. In de verzameling van causale verbanden EG betekent dit dat knoop j

invloed heeft op i. Daarentegen in de verzameling van gelijktijdige verbanden EC is geen

sprake van onderscheid tussen element (i, j) en (j, i); hierdoor beschikt deze matrix over de symmetrische eigenschap.

De hierboven genoemde netwerkopzet kan afgeleid worden uit de schattingsresultaten van het nets algoritme. Dit algoritme is gebaseerd op lasso, zodat E een beperkt aantal

verbindingen bevat. Daarnaast is de door Barigozzi en Brownlees (2016) aangedragen procedure een generalisatie op het space algoritme ontwikkeld door Peng, Wang, Zhou en Zhu (2009) en een variant van het shooting algoritme ontworpen door Fu (1998). Dit laatstgenoemde algoritme heeft als primaire taak het zo effici¨ent mogelijk optimaliseren van de lassoregressie. Doordat het nets algoritme een model opstelt en deze lasso gere-lateerde regressie tegelijkertijd schat, is een combinatie van bovengenoemde algoritmes een vereiste.

Bij het schatten van aandelennetwerken is de beschikking over data die bestaat uit een verzameling van tijdreeksen. Deze tijdreeksen worden vervolgens gemodelleerd als een vectorautoregressief (VAR) model. Hierbij wordt rekening gehouden met welke ver-traging van de verklarende variabele een bijdrage aan het voorspellen kan leveren, zonder de schattingen onzuiver te maken. Na het defini¨eren van dit raamwerk onderscheidt nets zich van eerder ontwikkelde algoritmes, doordat simultaan een schatting van zowel het netwerk met causale verbanden als het netwerk met gelijktijdige verbanden gemaakt wordt. In het verleden is door Zou en Hastie (2005) het elastic net algoritme ontwik-keld om hiermee causale verbanden te schatten. Daarnaast dragen de bevindingen van Friedman, Hastie en Tibshirani (2008) en Peng et al. (2009) bij aan het schatten van gelijktijdige verbanden. Het doorlopen van nets resulteert in een koppeling van beide resultaten.

Dit innovatieve algoritme gaat gepaard met een complexe wiskundige structuur. Al-lereerst wordt aangenomen dat de multivariate tijdreeks stationair is met gemiddelde nul, zodat de constante buiten beschouwing gelaten kan worden. Dit VAR(p)-model kan als volgt weergegeven worden, zie vergelijking (4).

yt= p

X

k=1

Akyt−k+ εt, εt∼ i.i.d.(0, C−1) (4)

Hierin is yt = (y1t, ..., ynt)0 en zijn Ak en C logischerwijs n × n matrixen. Verder wordt

aangenomen dat de autoregressieve matrixen Aken de concentratiematrix C ’sparse’ zijn;

hierdoor is het gebruik van lasso gerelateerde technieken gerechtvaardigd. Deze ’sparse’ eigenschap veronderstelt dat de matrix grotendeels bestaat uit elementen gelijk aan nul. De structuur van de autoregressieve matrixen bepaalt het aantal causale verbanden. Er wordt gesproken van een causale invloed van yjtop yit, mits minstens voor een legitieme

waarde van k geldt akij 6= 0. Het detecteren van gelijktijdige verbanden ofwel parti¨ele

correlaties loopt parallel hieraan. Deze parti¨ele correlatieco¨effici¨ent wordt door Barigozzi en Brownlees (2016) gezien als maatstaf voor gelijktijdige afhankelijkheid. Door gebruik

te maken van de concentratiematrix kan de parti¨ele correlatieco¨effici¨ent berekend worden (Dempster, 1972).

ρij = −√cij ciicjj

(5)

Deze parti¨ele correlatieco¨effici¨ent tussen variabele i en j hangt direct af van cij. Zo

blijkt dat voor cij = 0 de variabele i en j conditioneel op de resterende variabelen

ongecorreleerd zijn; hierdoor is geen sprake van een gelijktijdig verband. Merk op dat akij en cij staan voor element (i, j) uit respectievelijk Ak en C. In totaal schat het

algoritme m = n2p + n(n − 1)/2 co¨effici¨enten, doordat de diagonaalelementen van de symmetrische C matrix niet relevant zijn.

Uiteindelijk worden de co¨effici¨enten opgeslagen in een n2p-dimensionale vector α en n(n − 1)/2-dimensionale vector ρ (Barigozzi & Brownlees, 2016, p. 10). Hierdoor is het mogelijk om het VAR(p)-model evenals het schatten van gelijktijdige correlaties (Peng et al., 2009) in scalaire parameters uit te drukken.

yit = p X k=1 n X j=1 αijkyjt−k+ εit, i = 1, ..., n (6) εit= n X h=1 h6=i ρihr chh cii εht+ uit, i = 1, ..., n (7)

Door het samenvoegen en herschrijven van (6) en (7) resulteert de onderstaande verge-lijking (8), aldus Barigozzi en Brownlees (2016).

yit= p X k=1 n X j=1     αijk− n X l=1 l6=i ρilr cll cii αljk     yjt−k+ n X h=1 h6=i ρihr cll cii yht+ uit (8)

Om uiteindelijk het door nets geschatte minimalisatieprobleem te verkrijgen, wordt bij het minimaliseren van onderstaande residuelekwadratensom een lasso typerende L1-norm

strafterm opgeteld. Hierbij is θ gedefinieerd als (α0, ρ0)0.

l(θ; yt, c) = n X i=1     yit− p X k=1 n X j=1     αijk− n X l=1 l6=i ρilr cll cii αljk     yjt−k− n X h=1 h6=i ρihr cll cii yht     2 (9) ˆ θT = arg min θ∈Rm     1 T T X t=1 l(θ; yt, ˆcT) + λGT p X k=1 n X i,j=1 |α_ijk| | ˆαT ijk| + λC_T n X l,h=1 l>h |ρlh_| |ˆρlh T|     (10)

De straftermen λG_T en λC_T worden geschat volgens de eerder ge¨ıntroduceerde ’cross-validation’ procedure. Daarnaast worden als startwaarden ˆαT, ˆρT en ˆcT de

kleinste-kwadratenschatters gebruikt.

Al met al schat het nets algoritme simultaan twee type netwerken door middel van een lasso typerende optimalisatie. Dit optimalisatieprobleem wordt in (10) wiskundig weergegeven (Barigozzi & Brownlees, 2016).

2.3 Netwerkkwantificatie

De eerste problemen van de opkomst van Big Data werden door middel van algorit-mes opgelost. Hierdoor werd het mogelijk om verbanden in ondoorzichtige modellen te schatten. Ondanks deze structurering in economisch gerelateerde netwerken was het onttrekken van conclusies op basis van kwantitatieve grootheden nog onderontwikkeld. Op het gebied van sociologische netwerken waren echter al dergelijke maatstaven ontwik-keld. Deze maatstaven dienden ter evaluatie van opgetreden veranderingen in netwerken. Ook bleken diverse maatstaven geschikt voor het toepassen op financieel-economische netwerken. Deze overdracht van kwantitatieve maatstaven is van cruciaal belang voor het onderzoeken van verbondenheid tussen aandelen.

Een van de belangrijkste maatstaven omtrent netwerkkwantificatie is de centraliteit van het netwerk. In het werk van Freeman (1978) worden drie varianten op de cen-traliteitsmaatstaf bekeken. De algemene uitdrukking is een proportie van de maximale afwijking tussen onderlinge entiteiten in centraliteit, zie vergelijking (11) (Freeman, 1978, p. 228). Cx = Pn i=1[Cx(p∗) − Cx(pi)] maxPn i=1[Cx(p∗) − Cx(pi)] (11)

Hierin zijn Cx(pi) en Cx(p∗) respectievelijk de waarde voor centraliteit van een punt en

de grootste waarde onder deze punten. Voor het bepalen van de centraliteit van een punt (Cx(pi)) zijn drie verschillende varianten waaruit logischerwijs een zelfde aantal

varianten op de gehele centraliteit van het netwerk volgt. Het gaat om maatstaven ge-baseerd op ’degree’, ’betweenness’ en ’closeness’ genoteerd als respectievelijk CD, CB

en CC (Freeman, 1978). Zo maken Zareei en Peralta (2015) gebruik van een

centrali-teitsmaatstaf gebaseerd op ’betweenness’ voor het evalueren van verbondenheid tussen S&P500 aandelen. Door middel van deze keuze kan de maximale grootte van de noemer uit (11) uitgedrukt in n ofwel het aantal entiteiten worden.

Daarnaast zijn grootheden zoals het aantal in- en uitgaande connecties, het gemid-delde aantal connecties, een totale clusteringsco¨effici¨ent en een entiteitsgebonden

clus-teringsco¨effici¨ent ook belangrijk voor het kwantificeren van de netwerkstructuur. Deze grootheden worden onder andere in het werk van Goyal et al. (2006) toegepast op het net-werk van co-auteurrelaties tussen economen. De entiteitsgebonden clusteringsco¨effici¨ent is een ratio gebaseerd op het aantal verbanden tussen entiteiten die verbonden aan een specifieke entiteit zijn ten opzichte van het totaal aantal potenti¨ele verbanden.

Samenvattend, voor het kwantificeren van netwerken zijn verschillende maatstaven ontwikkeld, zoals een centraliteitsco¨effici¨ent, een clusteringsco¨effici¨ent voor zowel het ge-hele netwerk als specifieke entiteiten, de gemiddelde verbondenheid en het aantal in- en uitgaande connecties.

2.4 Diversificatie

Het maximaliseren van het rendement tegenover het minimaliseren van het risico van een portfolio is al decennialang een actueel gespreksonderwep onder beleggers. Zo verschil-len beleggers van nature in de mate van risico-aversie; dat wil zeggen sommige beleggers zijn bereid meer risico te lopen tegenover een hoger verwacht rendement. Daarnaast ver-schillen beleggers van mening omtrent de optimale omvang van een portfolio (Shawky & Smith, 2005). Ook komt bij het berekenen van verwachte rendementen, varianties en covarianties een mate van onzekerheid kijken, zoals opgemerkt door Jorion (1985). Hierdoor is het gerechtvaardigd om bij de klassieke benadering (Markowitz, 1952) voor het berekenen van de portfoliovariantie, kanttekeningen te plaatsen.

Door het samenvoegen van multivariate tijdreeksanalyse en diversificatie ontstaan nieuwe inzichten ten opzicht van de klassieke benadering (L¨utkepohl, 2005). Deze sa-menvoeging probeert profijt te halen uit kennis rond de dynamische afhankelijkheid tussen aandelen. Zo werd voorheen bij het optimaliseren van het portfolio geen reke-ning gehouden met deze causale invloeden, evenals de rollen van deze aandelen binnen het netwerk. Eenvoudig kan opgemerkt worden dat het introduceren van dynamische afhankelijkheid leidt tot een methodiek, waarbij evenals de geschatte rendementen en covarianties, de geschatte dynamische afhankelijkheid niet exact overeenkomt met de te voorspellen periode. Toch resulteert deze koppeling in interessante uitkomsten van verscheidene onderzoeken. Zo stellen Zareei en Peralta (2015) dat de grootste premie op de variantie voortvloeit uit centraal gelegen aandelen in het netwerk, ook wel gekwan-tificeerd als sternetwerk. Deze aandelen hebben veel invloed op het merendeel van de aandelen, zodat bij een fluctuatie grotendeels meebewogen wordt. Dit effect verhoogt het risico.

Daarentegen stellen Billio et al. (2012) dat in een effici¨ente markt geen sprake is van dynamische afhankelijkheid, zodat de klassieke benadering equivalent is aan de variant hierop. Toch merken zij op dat deze equivalentie verstoord kan worden door marktfric-ties zoals transactiekosten. Ook is het mogelijk dat causale verbanden evolueren over tijd, dit kan het gevolg zijn van economische schokken of extra regulering.

Concluderend, het ontstaan van dynamische afhankelijkheid tussen aandelen kan ver-oorzaakt worden door marktfricties. De bijbehorende effecten op de variantie van het portfolio hangen af van de geschatte netwerkstructuur. Zo dragen centraal gelegen aan-delen bij aan een verhoogd risico, wat resulteert in een stijgende variantie. Daarnaast kunnen aandelen na verloop van tijd een andere rol in het netwerk gaan spelen.

2.5 Theoretische veronderstellingen

Aan de hand van de bestudeerde diversificatietheorie met betrekking tot netwerkanalyse kan verondersteld worden dat het uitsluiten van centraal gelegen aandelen een reductie in het risico ofwel de variantie oplevert. Welke aandelen dit betreft moet volgen uit het geschatte S&P100 aandelennetwerk, die met behulp van kwantificerende maatstaven geanalyseerd wordt. Onder deze maatstaven vallen een centraliteitsco¨effici¨ent, een clus-teringsco¨effici¨ent voor zowel het gehele netwerk als specifieke entiteiten, de gemiddelde verbondenheid en het aantal in- en uitgaande connecties. Om deze analyse te kunnen complementeren zal gebruikgemaakt worden van het nets algoritme voor het schatten van het netwerk. Uit vergelijking (10) volgen de geschatte co¨effici¨enten die het gevolg zijn van een op lasso gebaseerd minimalisatieprobleem.

Verder mag aangenomen worden dat de netwerkstructuur met verloop van tijd evo-lueert. Zo kan door het invoeren van extra regelgeving omtrent het verhandelen van aandelen een onevenwichtigheid ontstaan, waardoor structuurverandering optreedt. Ook heeft de financi¨ele crisis geleid tot structuurvariatie, aldus Billio et al. (2012).

3

Modellen en data

In dit hoofdstuk wordt de onderzoeksmethodiek nader gespecificeerd. Deze methodiek is in staat om de eerder geformuleerde veronderstellingen te toetsen. Ook kan door middel van het uitvoeren van deze methodiek meer vorm gegeven worden aan de veronderstellin-gen, zodat een combinatie van literatuur en innovatief onderzoek meer kennis geeft voor het bespreken van de centrale vraag. Dit heeft betrekking op het specifiek benoemen van aandelen die een verhoogd risico met zich meebrengen.

Allereerst wordt uitgeweken naar het benoemen en het beschrijven van de gebruikte data. Daarna wordt het model voor het schatten van het aandelennetwerk gespecificeerd; hieraan is in het voorgaande hoofdstuk al een basis gelegd, zodat enkele verwijzingen de revue zullen passeren. Vervolgens worden onderdelen uit het netwerkmodel overgenomen voor het introduceren van PageRank. Tot slot worden zowel elementen van het netwerk-model als van PageRank gekoppeld voor het onderbouwen van het portfolionetwerk-model.

3.1 Dataset

Het eerst bespreken van de data is van belang voor het opstellen van het model. Zo kan het aantal aandelen en waarnemingen van invloed zijn op de verzameling waardes waarover de sommaties lopen.

De dataset verkregen via Datastream bevat dagelijkse openings- en sluitingsprijzen plus de hoogste en laagste dagkoers in dollars van 1 januari 2004 tot en met 31 december 2015 voor elk aandeel uit de S&P100. Deze index bevat 102 aandelen. Daarnaast zijn diverse aandelen pas na 1 januari 2004 verkrijgbaar op de aandelenmarkt; hierdoor bevat de dataset zogenoemde gaten. Dit betreft aandelen zoals Facebook en zullen noodzakelijkerwijs buiten de analyse gelaten worden. Het verwijderen van desbetreffende aandelen levert uiteindelijk een dataset van negentig aandelen op.

Tot slot wordt het totale bereik van de waarnemingen opgedeeld in drie periodes. Deze periodes bestaan uit waarnemingen van 1 januari 2004 tot en met 31 december 2007, 1 januari 2008 tot en met 31 december 2010 en 1 januari 2011 tot en met 31 december 2015, ook wel aangeduid als de periode respectievelijk voor, tijdens en na de financi¨ele crisis. Deze opdeling levert voor elk aandeel per periode respectievelijk 1005, 757 en 1259 waarnemingen. Verder wordt bij het formuleren van de modellen gesproken over aandelen die genummerd zijn. Deze nummering is in de bijlage getabuleerd weergegeven, zie Tabel 4.

3.2 Netwerkmodel

Om te beginnen worden de beschikbare aandelenprijzen omgebogen naar dagelijkse vo-latiliteiten (Parkinson, 1980), zie vergelijking (12). Daarna worden de hieruit volgende volatiliteiten op chronologische volgorde per kolom geordend in een matrix; hierdoor bevat elke kolom volatiliteiten van een desbetreffend aandeel.

ˆ

σ_i,t2 = 0.361 × (phoog_i,t − plaag_i,t ), i = 1, ..., 90 (12)

Na het transformeren van de beschikbare data wordt getracht de factorstructuur van de volatiliteiten eruit te filteren door te regresseren over de marktvolatiliteiten. Het verwijderen van deze structuur is cruciaal voor het schatten van de autoregressieve matrix met het nets algoritme. Hierdoor kan aangenomen worden dat deze matrix ’sparse’ is, dat wil zeggen een overmaat aan co¨effici¨enten gelijk aan nul bevat. Ook is het noodzakelijk om te regresseren over een constante, zodat later het weglaten van een constante in het nets algoritme gerechtvaardigd is. Uiteindelijk worden de residuen van de onderstaande regressie op een soortgelijke manier als de volatiliteiten geordend.

ˆ

σ_i,t2 = β0+ β1σˆm,t2 + εi,t (13)

Vervolgens wordt het netwerkmodel opgesteld. Het betreft hier een VAR(1)-model, zodat deze enkele autoregressieve matrix G benut kan worden voor het berekenen van varianties en covarianties. Bovendien zal voor de portfolioanalyse alleen gebruikgemaakt worden van de resulterende autoregressieve matrix. Daarnaast vloeit het model voort uit vergelijking (10) met enkele aanpassingen hierop, zie vergelijking (14).

ˆ θT = arg min θ∈Rm     1 T T X t=1 l(θ; εt, ˆcT) + λG 90 X i,j=1 |αij| | ˆαT ij| + λC 90 X l,h=1 l>h |ρlh_| |ˆρlh_T|     (14)

Hierin is l(θ; εt, ˆcT) zoals in (9) gespecificeerd en volgt T uit de gekozen periode. Zo

bedraagt deze waarde 1005, 757 en 1259 voor respectievelijk de periode voor, tijdens en na de financi¨ele crisis. Daarnaast volgen ˆαT, ˆρT en ˆcT uit de kleinstekwadratenschatter

van het VAR(1)-model.

Tot slot dienen de straftermen λG en λC bepaald te worden. Deze optimale straf-termen worden bepaald aan de hand van de ’cross-validation’ procedure. Hiervoor is het ontwikkelen van een R-script benodigd. Voor de drie periodes wordt 75% van de dataset gebruikt voor het schatten van de co¨effici¨enten uit (14), dit gebeurt door ge-bruik te maken van het R-package ’nets’. Deze schattingen zijn afhankelijk van vooraf

bepaalde strafparameters. Hierdoor wordt voor elke geprogrammeerde combinatie aan strafparameters de bijbehorende residuelekwadratensom van de laatste 25% uit de data-set berekend, zie vergelijking (15). Vervolgens wordt de minimale waarde geselecteerd, dit resulteert in de optimale straftermen voor de gekozen drie periodes. Uiteindelijk kan voor deze waardes het model op eenzelfde manier geschat worden voor de gehele dataset.

RSS = T X t=1 (εt− Gεt−1)0(εt− Gεt−1) (15) 3.3 PageRank

PageRank is de methodiek die ten grondslag ligt aan de zoekresultaten van Google. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het aantal verwijzingen naar een desbetreffende web-site in combinatie met de centraliteit van deze verwijzende webweb-sites. Zo is het netwerk van websites vergelijkbaar met een Granger aandelennetwerk, in beide gevallen hebben de verbindingen ´e´en richting. Hierdoor kan op basis van het bovenstaande model een ordening in de meest invloedrijke aandelen binnen het netwerk gemaakt worden.

Deze ordening wordt op basis van PageRank als volgt gedaan. De negentig aan-delen krijgen vooraf aan het iteratieproces een gelijke hoeveelheid (₉₀1) toegekend, die sommeert tot ´e´en. Vervolgens wordt deze hoeveelheid gelijk verdeeld over het aantal uitgaande verbindingen. Daarnaast vormt de sommatie van de ingaande hoeveelheden de nieuwe PageRank-waarde van dit aandeel. Wel dient rekening gehouden te worden met aandelen die alleen beschikken over ingaande verbindingen. Dit resulteert in een absorberend effect van dit aandeel. Om die reden worden alle PageRank-waardes verme-nigvuldigd met een schalingsparameter (s) en wordt de resterende waarde (1 − s) gelijk verdeeld over alle aandelen. Zo stellen Easley en Kleinberg (2010) dat deze waarde doorgaans tussen 0,8 en 0,9 ligt; hierdoor wordt in deze analyse de schalingsparameter gelijkgesteld aan 0,85. Het doorlopen van deze procedure betreft ´e´en iteratie. Vervolgens worden deze iteraties uitgevoerd totdat de verdeling convergeert.

De tegenligger van deze methodiek legt de focus op de aandelen met belangrijke uit-gaande verbindingen. Zo resulteert deze ordening door simpelweg de getransponeerde Granger matrix te onderwerpen aan het bovenstaande iteratieproces. Verder zal naar deze methodiek verwezen worden, onder de naam getransponeerde PageRank-methodiek. Tot slot wordt per aandeel het gemiddelde berekend van de PageRank-waarde en de getransponeerde PageRank-waarde, om de verdeling ofwel ordening van centrale aan-delen te verkrijgen. Deze handeling resulteert in een gelijke gewichtigheid van in- en

uitgaande verbindingen in het bepalen van de centraliteit van een specifiek aandeel.

3.4 Portfoliomodel

Allereerst wordt het meetkundig gemiddelde dagrendement, de portfoliovariantie en de Sharpe-ratio berekend volgens respectievelijk (16), (17) en (18). Vervolgens wordt ge-tracht het optimaal samenstellen van een portfolio, middels het maximaliseren van de Sharpe-ratio (Sharpe, 1994). Hierdoor wordt de verhouding tussen het rendement en risico geoptimaliseerd. ri,t =  ri,T ri,1 _T1 − 1 ! × 100 (16) σ_p,t2 = w0Σtw (17) Sp,t= r0_tw − rf σp,t (18)

In de bovenstaande vergelijkingen is rf de risicovrije dagrente en is de

periodeafhanke-lijke covariantiematrix (Σt) gebaseerd op dagrendementen. Om vervolgens het optimale

portfolio te verkrijgen, dient een maximalisatieprobleem wiskundig opgelost te worden. Dit betreft echter geen standaard probleem, wegens meerdere restricties op de wegings-vector w. Zo behoort deze wegings-vector te sommeren tot ´e´en en dient elk element positief te zijn. Hierbij wordt aangenomen dat een shortpositie niet is toegestaan. Deze restricties in combinatie met de te maximaliseren Sharpe-ratio kan wiskundig als volgt weergegeven worden, zie vergelijking (19).

max w∈R90 S(w) = r0_tw − rf √ w0_Σ tw (19a) s.t. 90 X i=1 wi= 1 (19b) wi≥ 0, i = 1, ..., 90 (19c)

Naast dit optimale portfolio wordt per periode een curve berekend, die gegeven een te behalen rendement de variantie minimaliseert. Een kleine modificatie op het maxi-malisatieprobleem uit vergelijking (19) resulteert de benodigde optimalisatiefunctie, zie vergelijking (20). Zo wordt de portfoliovariantie geminimaliseerd, waardoor de negatieve tegenligger gemaximaliseerd wordt. Verder dient een extra restrictie opgenomen te wor-den, die stelt dat het portfoliorendement voldoet aan het te behalen rendement.

max w∈R90 V(w) = −w 0_Σ tw (20a) s.t. 90 X i=1 wi= 1 (20b) wi≥ 0, i = 1, ..., 90 (20c) 90 X i=1 ri,twi= r (20d)

Deze combinatie van het optimale portfolio en de optimale beslissingscurve, gegeven een te behalen rendement, betreft de laatste methodiek voor het toetsen van de veron-derstellingen en het opdoen van kennis voor de onderzoeksvraag.

Aan de hand van deze modellen wordt per periode onderzoek gedaan naar het effect van centraal gelegen aandelen op de samenstelling, de variantie en het rendement van het portfolio. Zo kan door het aanpassen van de wegingsvector w een afweging gemaakt worden voor het opnemen van bepaalde aandelen in het portfolio, dit betreft de effecten-studie van aandelen op het portfolio. Verder worden de risicovolle aandelen per periode onderling vergeleken, zodat eventuele evolutie gedetecteerd kan worden. Bovendien wor-den meerdere optimale portfolio’s samengesteld. De resultaten van bovenstaande opzet zijn in het volgende hoofdstuk weergegeven en geanalyseerd.

4

Resultaten en analyse

Dit hoofdstuk bevat een analyse van de verkregen resultaten, die volgen uit de hiervoor beschreven onderzoeksopzet met bijbehorende modellen. Allereerst wordt de ’cross-validation’ procedure doorlopen om met behulp hiervan de optimale strafparameters te schatten. Vervolgens worden deze parameters opgenomen in het nets algoritme, zodat dit algoritme de co¨effici¨enten optimaal oftewel zuiver schat. Deze schattingen worden per periode gevisualiseerd weergegeven en gevangen in een tabel met kwantificerende maatstaven. Daarnaast worden de opgetreden mutaties samen met de belangrijkste aandelen binnen het Granger netwerk onderworpen aan een analyse. Uiteindelijk wordt getracht het portfolio zo optimaal mogelijk te diversificeren door middel van de kennis omtrent dynamische afhankelijkheid in acht te nemen.

4.1 Optimale strafparameters

In het voorgaande hoofdstuk zijn de grove lijnen van de ’cross-validation’ procedure uit-gezet. Zo dient 25% van de dataset als controlegroep voor het toetsen van de voorspel-lingen. Deze toetsing wordt verricht door de residuelekwadratensom te minimaliseren over strafparameters λG en λC. De exacte bepaling en waarden van deze straftermen

wordt in deze paragraaf besproken.

Allereerst worden de negentig geselecteerde aandelen uit de S&P100 per sector in-gedeeld. Deze categorisering is weergegeven in Tabel 4. Hieruit volgt dat de financi¨ele sector het grootste beslag legt op het S&P100 aandelenportfolio, maar liefst vijftien beursgenoteerde financi¨ele instellingen behoren tot deze sector. Daarnaast ligt de fi-nanci¨ele sector ten grondslag aan het functioneren van de economie. Vanwege de rol en omvang van deze sector in het S&P100 portfolio, wordt deze als representatief voor het gehele netwerk beschouwd. Deze aanname dient gemaakt te worden, wegens de tijdro-vende aard van het nets algoritme. Verder wordt de combinatie van strafparameters λG

en λC eenmalig geschat, zodat de vergelijking tussen de periodeafhankelijke netwerken

onder dezelfde condities gemaakt kan worden.

Vervolgens wordt het minimalisatieprobleem geprogrammeerd. Dit resulteert in een optimale waarde λG en λC van respectievelijk 6,48 en 199,90. Deze straftermen

verschil-len onderling qua grootte, vanwege het verschil in de aard van het netwerk. Zo hoeft het aantal gelijktijdige verbanden niet equivalent aan het aantal causale verbanden te zijn. Verder zal in de hiernavolgende paragraaf de invloed van deze straftermen op de dichtheid van het netwerk besproken worden.

Tot slot wordt de lokalisatie van de straftermen genuttigd voor het visualiseren van de voorspellingsprestaties in de omgeving van dit optimum. Deze visualisatie is weerge-geven in Figuur 1.

(a) Bovenaanzicht (b) Zijaanzicht

Figuur 1: Optimale straftermen λG en λC

4.2 Netwerkschattingen

Na het bepalen van de optimale straftermen λG (6,48) en λC (199,90) worden de

net-werken periodiek gewijs geschat. Deze resulterende schattingen zijn geprojecteerd op de volgende pagina’s. Zo representeren Figuur 2, 3 en 4 respectievelijk de periode voor, tijdens en na de financi¨ele crisis. Verder zijn de cirkels zo gevisualiseerd dat de diame-ter van de cirkel lineair toeneemt met het aantal uitgaande verbindingen. Ook is een ordening gemaakt van aandelen met dezelfde uitgaande verbindingen, zodat clustering om een specifiek aandeel eenvoudiger te detecteren is. Deze ordening in combinatie met de centraliteit per aandeel dient als informatie voor het handmatig visualiseren van de netwerken.

Allereerst worden de geschatte netwerken afzonderlijk van elkaar geanalyseerd. Ver-volgens worden deze onderling vergeleken, zodat eventuele evolutie binnen het netwerk gedetecteerd kan worden.

4.2.1 Periode 1

Na het schatten van het netwerk in de periode voor de financi¨ele crisis ofwel periode 1, resulteert Figuur 2. Hieruit volgt dat aandeel 70, Priceline Group, het meest aantal uitgaande verbindingen heeft, vanwege de omvang van deze cirkel. Daarentegen lijkt aandeel 15, Berkshire Hathaway, te beschikken over het meest aantal in- en uitgaande verbindingen. Dit resultaat valt te verklaren aan de hand van Tabel 4. Hieruit blijkt dat de holding Berkshire Hathaway tot meerdere sectoren behoort. Deze holding beheert meerdere bedrijven, waarbij het aantal sectoren logischerwijs ´e´en overschrijdt. Het risico ofwel volatiliteit van Berkshire Hathaway kan hierdoor verklaard worden aan de hand van het risico van aandelen uit diverse sectoren. Dit resulteert in een grote hoeveelheid ingaande verbindingen, zoals te zien in Figuur 2. Ook spelen aandelen 11, 17 en 46, respectievelijk Apple, Blackrock en Goldman Sachs een centrale rol wat betreft het clus-teren van kleinere groepen. Zo zal bij het verwijderen van bovenstaande aandelen, het netwerk fragmenteren tot een netwerk met veel opzichzelfstaande aandelen.

De hierboven geschetste ordening van centraal gelegen aandelen kan met behulp van de gemiddelde PageRank-verdeling onderbouwd en gekwantificeerd worden. Dit resul-teert uiteindelijk in de volgende top 10: Priceline Group, Berkshire Hathaway, General Dynamics, Blackrock, Goldman Sachs, Apple, Halliburton, Union Pacific, AIG en Mon-sato, zie Tabel 2. Opvallend is het voorkomen van General Dynamics in deze top 10. Doordat het invloedrijkste aandeel, Priceline Group, een causale invloed op General Dy-namics uitoefent en General DyDy-namics verder geen waardeverlies heeft aan uitgaande verbindingen, transformeert dit aandeel tot een belangrijk element van het netwerk, op basis van PageRank. Daarnaast is de getransponeerde PageRank-waarde niet laag ge-noeg om dit effect te compenseren. Als de schalingsparameter echter naar beneden wordt bijgesteld, zal een flinke reductie in relevantie van dit aandeel optreden.

Tot slot kan het netwerk samengevat worden aan de hand van beschrijvende sta-tistieken. Zo heeft het netwerk 155 causale verbanden, dit brengt het gemiddelde op 3,44 aantal in- en uitgaande verbindingen per aandeel. Dit varieert echter sterk, al-dus de standaarddeviatie van 9,91. De grootste component van het netwerk bevat 86 aandelen, daarentegen zijn de overige 4 aandelen verbindingsloos. Verder bedraagt de clusteringsco¨effici¨ent 0,05, dit duidt op weinig clustering. Deze kwantificatie van het Granger netwerk is getabuleerd in Tabel 1.

Figuur 2: Net w erksc hatting p erio de 1; 2004-2007

4.2.2 Periode 2

De netwerkschatting van de causale verbanden in de periode tijdens de financi¨ele crisis zijn weergegeven in Figuur 3. Allereerst valt op dat het netwerk niet bestaat uit losse componenten. Zo heeft elk aandeel minstens ´e´en in- of uitgaande verbinding, waarbij geen opzichzelfstaande geclusterde groepen ontstaan. Daarnaast zijn negen aandelen gevisualiseerd als de kern van het netwerk, zie Figuur 3. Om deze aandelen heen zijn in de meeste gevallen groepsvormingen te detecteren. Dit betreft de aandelen Allergan, Apple, Bank of New York Mellon, Berkshire Hathaway, Blackrock, Duke Energy, Gold-man Sachs, Monsato en Priceline Group. De relevantie van deze aandelen in het totale netwerk zal nader moeten blijken uit de PageRank-analyse. Verder blijken Allergan en Priceline Group verantwoordelijk voor het meest aantal uitgaande verbindingen, daar-entegen beschikt Allergan over ´e´en ingaande verbinding in tegenstelling tot 23 ingaande verbindingen bij het aandeel Priceline Group. Dit is echter niet de grootste waarde on-der het aantal ingaande verbindingen, namelijk Berkshire Hathaway beschikt over maar liefst 87 ingaande verbindingen. Dit aantal zit dicht tegen het theoretisch maximaal haalbare aantal ingaande verbindingen aan. Berkshire Hathaway blijkt gevoelig voor bijna iedere volatiliteitsschok van een aandeel binnen het S&P100 portfolio.

De eerder ge¨ıntroduceerde kern van het netwerk zal met behulp van de methodiek die ten grondslag ligt aan de functionaliteit van Google getoetst worden. De resultaten van de top 10 aandelen met grootste gemiddelde PageRank-waarde zijn weergegeven in Tabel 2. Hieruit blijkt dat Berkshire Hathaway verreweg het belangrijkste aandeel uit het netwerk is. De bijbehorende gemiddelde PageRank-waarde bestrijkt circa 1/6 van de totale netwerkwaarde. Verder kwantificeert PageRank de aandelen Allergan, Bank of New York Mellon en Monsato buiten de top 10, vanwege het ontbreken van invloedrijke ingaande verbindingen, ondanks de gedetecteerde clustering omtrent deze aandelen en het compenseren met de getransponeerde PageRank-waarde. Deze gewichtigheid van in-vloedrijke ingaande verbindingen wordt bevestigd door het voorkomen van Amazon.com en Exelon in de top 10, beide aandelen worden be¨ınvloed door een aandeel uit de top 3. Uiteindelijk wordt het gehele netwerk gevangen in een tabel met kwantificerende maatstaven, zie Tabel 1. Het Granger netwerk bevat 207 causale verbanden. Toch blijft de dichtheid van het netwerk relatief laag, vanwege 8010 mogelijk aantal causale ver-banden. Het gemiddeld aantal in- en uitgaande verbindingen per aandeel bedraagt 4,7 met een standaarddeviatie van 10,35. Verder heeft het netwerk weinig clustering, deze co¨effici¨ent bedraagt 0,09.

Figuur 3: Net w erksc hatting p erio de 2; 2008-2010

4.2.3 Periode 3

De schattingsresultaten van het netwerk na de finaci¨ele crisis ofwel periode 3, zijn ge-visualiseerd in Figuur 4. Allereerst is de hoge verbondenheid tussen de aandelen in dit netwerk een opmerkelijk resultaat. Daarentegen bevat het netwerk wel een verbin-dingsloos aandeel, namelijk aandeel 86, Verizon Communications. Doordat het netwerk een relatief hoge dichtheid heeft, wordt het detecteren van aandelen in de kern van het netwerk op basis van de visualisatie bemoeilijkt. Vermoedelijk bestaat de kern van het netwerk uit wederom negen aandelen (4, 7, 11, 15, 16, 17, 22, 46, 70), dit dient echter nog getoetst te worden aan de hand van de PageRank-methodiek. Daarnaast hebben deze aandelen te maken met een overmaat aan ingaande verbindingen, maar stellen alleen de aandelen 4 en 15, respectievelijk Allergan en Berkshire Hathaway een ruime hoeveel-heid uitgaande verbindingen hiertegenover. Ondanks de hoge dichthoeveel-heid wordt Berkshire Hathaway deels omringd door aandelen met een enkele verbinding. Verder overheerst hoge verbondenheid tussen kleinere geclusterde groepen. Zo onderhoudt de clustering omtrent aandeel 11, Apple, ook verbindingen met aandelen 7, 15, 16, en 70.

Na het doorlopen van zowel het PageRank als het getransponeerde PageRank ite-ratieproces resulteert de volgende top 10 belangrijkste aandelen, zie Tabel 2. Hieruit blijkt dat de hierboven veronderstelde kern van het netwerk op aandeel 17 (Blackrock) na, overeenkomt met deze PageRank-schattingen. Het ontbreken van Blackrock is geen onverwachts resultaat, vanwege de aanlevering van ingaande verbindingen uit de bui-tenste rand van het netwerk. Deze volatiliteit verklarende aandelen nemen naast het verklaren geen belangrijke rol in het netwerk in. Daarnaast suggereert Tabel 2 een op-komst in de relevantie van de farmaceutische industrie binnen het S&P100 portfolio. Zo bestrijken aandelen Biogen, Amgen en Celgene een respectievelijk 3e, 9e en 10e plek. Verder legt Berkshire Hathaway voor 1/9 beslag op de totale netwerkwaarde, waardoor het zich kwantificeert als belangrijkste netwerkcomponent.

Naast de analyse van individuele aandelen wordt ook het gehele netwerk gekwantifi-ceerd, zie Tabel 1. Het gehele netwerk bevat 317 causale verbanden met een dichtheid van 0,08, dat wil zeggen de kans op een causaal verband tussen twee specifieke aandelen bedraagt 0,08. Inherent aan het aantal causale verbanden bedraagt het gemiddelde in-en uitgaande verbindingin-en per aandeel 7,04, met als standaarddeviatie 14,21. Bovin-endiin-en bestaat de grootste component van het netwerk uit 89 aandelen, vanwege de verbindings-loosheid van aandeel 86. Tot slot bedraagt de waarde van clusteringsco¨effici¨ent 0,13.

Figuur 4: Net w erksc hatting p erio de 3; 2011-2015

4.2.4 Evolutie-analyse

Door het analyseren van de periodeafhankelijke netwerken is het mogelijk om eventuele evolutie binnen de netwerken te detecteren. In deze paragraaf worden de opgetreden veranderingen geanalyseerd en besproken.

Ten eerste, het aantal causale verbanden lijkt positief te correleren met tijd. In pe-riode 1 bevat het Granger netwerk nog 155 verbanden, de daaropvolgende pepe-riode is dit gestegen naar 207 en in de laatste ofwel meest recente periode bedraagt dit 317. Logi-scherwijs geldt eenzelfde redenering voor het gemiddelde aantal causale verbanden per aandeel. Dit hoeft echter niet voor de standaarddeviatie te gelden, maar ook hier blijkt een stijgende trend zich voor te doen. Deze stijging in verbondenheid kan verklaard wor-den aan de hand van de financi¨ele crisis. Door het failliet gaan van de Lehman Brothers bank ontstond grote onzekerheid op de financi¨ele markten. Deze onzekerheid leidt tot een verschuiving omhoog van de volatiliteiten, dit vindt echter plaats bij het merendeel van de aandelen. Om deze reden zal de voorspellingsbijdrage omtrent volatiliteit van een aandeel positief zijn. Ook komt in de paper van Demirer et al. (2015) een soort-gelijk resultaat naar voren, hierin wordt geconstateerd dat tijdens de financi¨ele crisis de verbondenheid tussen de 150 grootste banken toeneemt. Bovendien wordt in deze paper ook de eensgezindheid onder de ontwikkelingen van de volatiliteit voor meerdere aandelen aangedragen als reden voor de toename in verbondenheid. Daarnaast is eerder in dit hoofdstuk naar voren gekomen dat de financi¨ele sector een groot beslag legt op de omvang van het S&P100 portfolio. Vandaar dat de bevindingen van Demirer et al. (2015) van toepassing zijn op de in deze paper onderzochte netwerken.

Periode 1 Periode 2 Periode 3 Aantal aandelen 90 90 90 Aantal causale verbanden 155 207 317

Gemiddelde 3,4444 4,6 7,0444 Standaarddeviatie 9,9053 10,3509 14,2126 Dichtheid 0,0387 0,0517 0,0792 Aantal gelijktijdige verbanden 74 152 186 Grootste component 86 90 89

Percentage 95,6% 100% 98,9% Aantal ge¨ısoleerde aandelen 4 0 1 Clusteringsco¨effici¨ent 0,0490 0,0930 0,1286

Naast het detecteren van een hogere dichtheid met verloop van tijd, maakt de clus-teringsco¨effici¨ent een equivalente ontwikkeling door. In de periode voor de financi¨ele crisis bedraagt deze co¨effici¨ent 0,049. Vervolgens evolueert dit tot 0,093 en uiteindelijk bedraagt deze co¨effici¨ent in de laatste periode 0,129. Deze ontwikkeling valt te verkla-ren aan de hand van de stijgende verbondenheid tussen buitenstaanders in het netwerk. Hierdoor worden deze aandelen middels de onderlinge verbondenheid gekwantificeerd als clustering omtrent het verbonden centrale aandeel. Kortom, door het toedoen van de financi¨ele crisis heeft het S&P100 aandelennetwerk een verandering ondergaan ten faveure van de gemiddelde verbondenheid tussen aandelen.

Deze algemene structuurvariatie hoeft niet te impliceren dat de rol van specifieke aandelen binnen het netwerk ook evolueert. Bovendien zijn deze netwerken bij de peri-odeafhankelijke analyse onderworpen aan de standaard en getransponeerde PageRank-methodiek. Deze gecombineerde resultaten zijn getabuleerd weergegeven in Tabel 2. Daarnaast zijn de afzonderlijke analyses weergegeven in de bijlage, zie Tabel 5 en 6. Allereerst valt op dat de positie van meest invloedrijke aandeel gaat om een tweestrijd tussen Berkshire Hathaway en Priceline Group. Na het optreden van de financi¨ele crisis lijkt deze strijd in het voordeel van Berkshire Hathaway beslist. De belangrijke rol van dit aandeel wordt veroorzaakt door het beheren van meerdere bedrijven, zoals eerder

Periode 1* Periode 2* Periode 3*

1. Priceline Group (0,14) Berkshire Hathaway (0,16) Berkshire Hathaway (0,11) 2. Berkshire Hathaway (0,12) Priceline Group(0,05) Priceline Group (0,06) 3. General Dynamics (0,04) Apple (0,05) Biogen (0,05)

4. Blackrock (0,02) Blackrock (0,04) Allergan (0,04) 5. Goldman Sachs (0,02) Amazon.com (0,04) Amazon.com (0,03) 6. Apple (0,02) Exelon (0,04) Apple (0,02)

7. Halliburton (0,01) Goldman Sachs (0,02) Goldman Sachs (0,02) 8. Union Pacific (0,01) Duke Energy (0,02) Bank of America(0,01) 9. AIG (0,01) Morgan Stanley (0,01) Amgen (0,01)

10. Monsato (0,01) Citigroup (0,01) Celgene (0,01)

Tabel 2: Top 10 centrale aandelen

* Het bijbehorende gemiddelde element uit de PageRank-vector en getransponeerde PageRank-vector met schalingsparameter 0.85, is tussen haakjes genoteerd.

besproken. Verder lijken minstens vier aandelen, Berkshire Hathaway, Priceline Group, Apple en Goldman Sachs zich consistent te handhaven in deze top 10. Opvallend is het wegvallen van vermogensbeheerder Blackrock, vanwege de opkomende rol in importantie tussen periode 1 en 2. Daarentegen lijkt de dominantie van de financi¨ele sector binnen deze top 10 in de meest recente periode af te breken. Zo behoren in deze periode drie van de top 10 aandelen, Biogen, Amgen en Celgene tot de farmaceutische industrie. Hierdoor kan aangenomen worden dat de farmaceutische industrie een grotere bijdrage begint te leveren aan het be¨ınvloeden ofwel verklaren van aandeel afhankelijke volatiliteiten.

Concluderend, zowel de gehele netwerkstructuur als de specifieke rol van een aandeel binnen een netwerk blijkt te evolueren over tijd. Dit implementeert in het geval van gehele netwerkstructuur, dat de dichtheid van het Granger netwerk sinds de financi¨ele crisis is toegenomen. Op lokaal niveau heeft over tijd ook een verschuiving plaatsge-vonden, namelijk de bedrijven uit de farmaceutische industrie nemen een dominantere positie binnen het netwerk in. Daarentegen vormen Berkshire Hathaway en Priceline Group onomstotelijk de kern van het netwerk.

4.3 Portfolioanalyse

Nu de kennis omtrent invloedrijke aandelen aanwezig is, wordt gekeken naar de rol van deze aandelen in het optimale S&P100 portfolio. Allereerst wordt de rol van elk afzon-derlijk aandeel binnen het portfolio geanalyseerd. Vervolgens wordt de samenstelling van het optimale portfolio, middels het maximaliseren van de Sharpe-ratio, gepresenteerd en geanalyseerd.

4.3.1 Aandelen effectenstudie

Om de effecten van elk afzonderlijk aandeel op de prestaties van het portfolio te kunnen analyseren, wordt iteratief elk aandeel eenmalig buiten het portfolio gelaten. Zo wordt bij het buitensluiten van een specifiek aandeel gekeken naar de Sharpe-ratio, onder de voor-waarde dat alle resterende aandelen een gelijke wegingsfactor van ₈₉1 toegekend krijgen. De resultaten van deze methodiek zijn voor periode 1, 2 en 3 respectievelijk weergegeven in Figuur 5a, 5b en 5c. Hierin is het portfolio met de hoogste en laagste Sharpe-ratio aangeduid met respectievelijk blauw en rood.

In periode 1 heeft het uitsluiten van aandeel 11, Apple, een uiterst negatief effect op de Sharpe-ratio. Dit aandeel is eerder gekwantificeerd als centraal aandeel, wegens het voorkomen in de top 10 meest invloedrijke aandelen. Daarnaast heeft het uitsluiten van

(a) Periode 1 (b) Periode 2

(c) Periode 3

de centrale aandelen 62 en 70, Monsato en Priceline Group, evenals Apple een negatieve invloed op de Sharpe-ratio. Hieruit blijkt dat dit trio centrale aandelen, de basis vormt voor een optimaal portfolio. Bovendien dienen buitenstaanders van het netwerk, zoals aandeel 42, Ford Motor, buitengesloten te worden, aldus Figuur 5a.

Vervolgens lijkt in periode 2 een consistent beeld te ontstaan. Het uitsluiten van aan-deel 70, Priceline Group, blijkt wederom het meest negatieve effect op de Sharpe-ratio te hebben. Daarentegen blijkt aandeel 42, Ford Motor, getransformeerd tot een belangrijk element van het optimale portfolio. Verder heeft het uitsluiten van centrale aandelen (4 en 7) evenals in de voorgaande periode een negatieve invloed op de Sharpe-ratio.

Tot slot, in de periode na de financi¨ele crisis lijkt de puntenwolk uit Figuur 5c ge-convergeerd tot ´e´en geheel. Toch kan verondersteld worden dat de aandelen 4, 16 en 45 opgenomen dienen te worden in het optimale portfolio. Ook hier behoort 2/3 van deze aandelen tot de kern van het netwerk.

4.3.2 Optimale portfolio’s

Nu de effecten van specifieke centrale aandelen op de portfolioprestaties geanalyseerd zijn, kan aansluitend op deze analyse het optimale portfolio bepaald worden. Deze opti-male wegingsvector w volgt uit vergelijking (19). Aan de hand van deze wegingsvector worden de bijbehorende portfolioprestaties berekend, zoals het rendement, de standaard-deviatie en de Sharpe-ratio. Deze bevindingen zijn getabuleerd in Tabel 3.

Om de periodeafhankelijke prestaties van het optimale portfolio onderling te verge-lijken, wordt per periode een curve berekend, die gegeven een te behalen rendement de variantie minimaliseert, zie vergelijking (20). Er wordt voor een bereik aan rendementen (r), de bijbehorende variantie berekend. Deze resulterende waarden zijn afgezet tegen de rendementen in Figuur 6. Daarnaast hebben de zwarte raaklijnen een helling equivalent aan de Sharpe-ratio. Bovendien betreft dit raakpunt het optimale portfolio.

Uit Figuur 6 blijkt dat logischerwijs tijdens de financi¨ele crisis de verhouding tussen rendement en risico het laagst is. Zo heeft een portfolio met dagrendement van 0.1% in periode 1, 2 en 3 respectievelijk een standaarddeviatie van circa 0,60, 1,47 en 0,79. Kortom, het S&P100 portfolio presteerde in periode 1 het best.

Door het combineren van de resultaten uit Tabel 2, 3 en Figuur 5 en 6 is het mogelijk om de opbouw van het portfolio te analyseren aan de hand van de top 10 invloedrijkste aandelen. In periode 1 zijn vijf van de tien meest invloedrijke aandelen opgenomen in het optimale portfolio. Samen hebben zij een wegingsfactor van 0,68, dat wil zeggen

Periode 1 Periode 2 Periode 3

Aandeel Weging Aandeel Weging Aandeel Weging

Apple 0,192 Allergan 0,459 Lockheed Martin 0,265

Monsato 0,183 Berkshire Hathaway 0,380 Altria Group 0,264

Berkshire Hathaway 0,163 Ford Motor 0,161 Allergan 0,177

Blackrock 0,097 Home Depot 0,159

Nextera Energy 0,073 Gilead Sciences 0,096

Lockheed Martin 0,061 Starbucks 0,022

Altria Group 0,053 Amazon.com 0,016

Priceline Group 0,046 McDonalds 0,039 Occidental Ptl. 0,035 Celgene 0,034 PepsiCo 0,014 Schlumberger 0,005 Duke Energy 0,005

Totaal > 0,99999 Totaal > 0,99999 Totaal > 0,99999 Rendement (%) 0,1710 Rendement (%) 0,1691 Rendement (%) 0,1214 Standaarddeviatie 0,9406 Standaarddeviatie 2,1846 Standaarddeviatie 0,9081 Sharpe-ratio 0,1734 Sharpe-ratio 0,0738 Sharpe-ratio 0,1251

Tabel 3: Samenstelling optimale portfolio’s

meer dan 3/5 van het portfolio wordt gedicteerd door invloedrijke aandelen. Verder be-staat het portfolio uit een combinatie van maar liefst veertien aandelen. Dit impliceert indirect dat de economie in goede tijden verkeerde, aangezien minstens veertien aandelen een bijdrage aan het rendement kunnen leveren, zonder de variantie te veel op te stuwen. Daarnaast bedraagt de Sharpe-ratio 0,17, dat wil zeggen stijgt de standaarddeviatie met ´e´en eenheid dan levert dit gemiddeld 0,17% meer dagrendement op.

Daarentegen in periode 2 bestaat het optimale portfolio uit drie aandelen en is de Sharpe-ratio 0,07. Dit is wederom een logisch resultaat ten gevolge van de staat waarin de economie verkeerde. De behaalde rendementen vielen tijdens de financi¨ele crisis voor het gros van de aandelen tegen. Hierdoor brengen de enkele stabiele aandelen veel voor-delen met zich mee. Alleen Berkshire Hathaway komt zowel in de top 10 als in de optimale samenstelling voor, met een wegingsfactor van 0,38. Daarnaast beschikt Aller-gan over het meest aantal uitgaande verbindingen, desalniettemin ontbreekt dit aandeel in de top 10. Hierbij rijst de vraag: welke type verbindingen weegt zwaarder bij het bepalen van de centraliteit per aandeel? Voor de PageRank-methodiek kan met zeker-heid gesteld worden dat ingaande verbindingen de populariteit ofwel importantie van een website of aandeel het best schatten. Daarentegen zijn uitgaande verbindingen ofwel de getransponeerde PageRank-methodiek een betere indicator voor het kwantificeren van invloedrijke aandelen. Bij de gehanteerde verdeling is gebruikgemaakt van een gelijke weging. Kortom, de aandelen met de meest in- en uitgaande verbindingen, respectieve-lijk Berkshire Hathaway en Allergan, hebben samen een wegingsfactor van 0,839.

Vervolgens is in periode 3 herstel van de economie te detecteren, zowel de omvang van het portfolio als de Sharpe-ratio stijgt naar respectievelijk zeven aandelen en 0,13. Hieronder bevinden zich twee aandelen, Allergan en Amazon.com, welke ook tot de top 10 belangrijkste aandelen behoren. Verder fungeert op lokaal niveau Lockheed Martin als brug voor het verbinden van Allergan en Amazon.com. Om uiteindelijk een waar-deoordeel te geven over de ontwikkeling van de wegingsfactor die volgt uit belangrijke aandelen, wordt Lockheed Martin, ondanks de verbindende rol, niet gezien als belangrijk aandeel in het netwerk van periode 3. Hierdoor bedraagt de gezamenlijke wegingsfactor van de top 10 aandelen 0,19. Een mogelijke verklaring hiervoor, is de stijgende dicht-heid over tijd, dit bemoeilijkt het kwantificeren van de belangrijkste aandelen. In Tabel 2 bereikt het belangrijkste aandeel qua gemiddelde PageRank-waarde een dieptepunt in periode 3. Dit suggereert een minder dominante rol voor het belangrijkste aandeel. Kortom, de verdeling van centraliteit onder aandelen binnen het netwerk lijkt te nivel-leren, wat resulteert in een daling van top 10 aandelen binnen het optimale portfolio.

Tot slot kan de gevonden dominantie van centrale aandelen binnen de samenstelling van het optimale portfolio gevisualiseerd worden, zie Figuur 7. Hierin zijn alle periodes samengevoegd, zodat een betrouwbaar beeld ontstaat. Allereerst valt de omvang van het aantal datapunten in het domein van 0 tot 0,03 op. Dit gedeelte bevat 256 van de 270 totaal aantal datapunten; hierdoor suggereert de grafiek een hoge hoeveelheid aan aandelen met een onbelangrijke rol binnen het netwerk en belangrijke rol binnen het portfolio. Deze hoeveelheid valt echter relatief gezien tegen. Zo wordt minder dan 10% van de aandelen met een gemiddelde PageRank-waarde lager dan 0,03 opgenomen in het optimale portfolio. Daarentegen spelen meer dan 35% van de aandelen met een gemiddelde PageRank-waarde hoger dan 0,03 een belangrijke rol in het optimale port-folio. Concluderend, de positieve invloed van centraliteit op portfolioprestaties wordt onderbouwd en bevestigd in Figuur 7.

5

Conclusie

In dit onderzoek is gekeken in hoeverre netwerkanalyse heldere inzichten kan geven in het verklaren van de samenstelling van het optimaal gediversificeerde S&P100 portfolio. Hiervoor zijn allereerst de periodeafhankelijke aandelennetwerken, op basis van vola-tiliteitsdata, geschat. Vervolgens zijn voor diezelfde perioden de optimale portfolio’s samengesteld. Deze portfolio’s werden aan de hand van invloedrijke aandelen uit de bijbehorende periode ontleed. Zo werd elke samenstelling in verhouding gezet tegenover het deel afkomstig uit de categorie invloedrijke aandelen. Dit resulteerde in het onder-staande antwoord op de vraag: welke samenstelling van een S&P100 aandelenportefeuille minimaliseert het niet-systematische risico op basis van de gekwantificeerde netwerkto-pologie en evolueert deze samenstelling over tijd?

In de periode voor de financi¨ele crisis bevat het optimale portfolio veertien aande-len, waarvan vijf afkomstig uit de top 10 meest centrale aandelen. Dit vijftal aandelen heeft circa 3/5 van het totale portfolio in handen. Vervolgens slinkt de omvang van het optimale portfolio tot drie aandelen, tijdens de financi¨ele crisis. Desalniettemin zijn de aandelen met de meeste in- en uitgaande verbindingen, respectievelijk Berkshire Hatha-way en Allergan, verantwoordelijk voor een wegingsfactor van maar liefst 0,84. Hiervan is echter 0,38 afkomstig uit de top 10 meest centrale aandelen. Uiteindelijk betreft de omvang van het optimale portfolio na de financi¨ele crisis, zeven aandelen. Daarentegen valt de gezamenlijke wegingsfactor van de twee top 10 gelegen centrale aandelen laag uit, namelijk 0,19. Deze dalende trend in gezamenlijke wegingsfactoren wordt veroorzaakt door de toenemende dichtheid, wat op haar beurt voortvloeit uit de financi¨ele crisis. Zowel tijdens als na de financi¨ele crisis heeft een structuurverandering plaatsgevonden; hierdoor evolueert de samenstelling van het optimale portfolio evenals de basis ofwel kern van het netwerk. Deze optimaal samengestelde portfolio’s zijn getabuleerd in Tabel 3.

Dit antwoord ondersteunt en tegelijkertijd ontkracht de eerder gemaakte theoretische veronderstellingen. Zo valt in de samenstelling van het optimale portfolio evenals de kern van het netwerk, evolutie te detecteren. Deze mutaties worden op basis van de gekozen perioden toegeschreven aan het toedoen van de financi¨ele crisis, dit komt overeen met de paper van Billio et al. (2012). Daarentegen blijken centraal gelegen aandelen onmisbaar te zijn voor het portfolio met de hoogste rendementsvergoeding tegenover het gelopen risico. Het betreft hier echter een volatiliteitsnetwerk, zodat resultaten van Zareei en Peralta (2015) deels ontkracht worden.

Verder blijkt dat het schatten van het aandelennetwerk wel degelijk een bijdrage le-vert aan het verklaren van de optimale samenstelling. Zo dicteert in zowel periode 1 als periode 2 de kern van het geschatte netwerk meer dan 68% van het optimale portfolio. Bovendien behoort meer dan 35% van de aandelen met een gemiddelde PageRank-waarde boven de 0,03 tot het optimale portfolio. Daartegenover staat een magere 10% van de lager gekwantificeerde aandelen.

Naast de gedetecteerde dynamica omtrent samenstellingen en netwerkstructuur, be-schikken ook sommige aandelen over een statische rol binnen het netwerk. Berkshire Hathaway, Priceline Group, Apple en Goldman Sachs worden in alle drie de periodes gekwantificeerd tot top 10 meest centrale aandelen. Bovendien wordt de eerste plek door slechts twee aandelen beconcurreerd, namelijk Berkshire Hathaway en Priceline Group. Het tot stand komen van bovenstaande resultaten gaat gepaard met verscheidene beperkingen. Allereerst is het netwerk geschat aan de hand van volatiliteitsdata; hier-door veranderen de implicaties van het geschatte netwerk op de portfoliovariantie. De dynamische afhankelijkheid van volatiliteiten is immers anders dan rendementen. Daar-naast is de kwantificatie-methodiek voor centrale aandelen niet onomstreden, wegens de afweging omtrent gewichtigheid van ingaande verbindingen tegenover uitgaande verbin-dingen. Toch kan beargumenteerd worden dat op de lange termijn de meest invloedrijke aandelen zuiver geschat worden.

Nader onderzoek moet uitwijzen of netwerkschattingen op basis van rendementen een grotere bijdrage kunnen leveren bij het verklaren van de optimale portfoliosamenstelling, ten opzichte van volatiliteiten.

Referenties

Barigozzi, M. & Brownlees, C. T. (2016). Nets: network estimation for time series. Available at SSRN 2249909 .

Billio, M., Getmansky, M., Lo, A. W. & Pelizzon, L. (2012). Econometric measures of connectedness and systemic risk in the finance and insurance sectors. Journal of Financial Economics, 104 (3), 535–559.

Demirer, M., Diebold, F. X., Liu, L. & Yilmaz, K. (2015). Estimating global bank network connectedness. Available at SSRN 2631479 .

Dempster, A. P. (1972). Covariance selection. Biometrics, 157–175.

Easley, D. & Kleinberg, J. (2010). Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world. Cambridge University Press.

Freeman, L. C. (1978). Centrality in social networks conceptual clarification. Social networks, 1 (3), 215–239.

Friedman, J., Hastie, T. & Tibshirani, R. (2008). Sparse inverse covariance estimation with the graphical lasso. Biostatistics, 9 (3), 432–441.

Fu, W. J. (1998). Penalized regressions: the bridge versus the lasso. Journal of com-putational and graphical statistics, 7 (3), 397–416.

Goyal, S., Van Der Leij, M. J. & Moraga-Gonz´alez, J. L. (2006). Economics: An emerging small world. Journal of political economy, 114 (2), 403–412.

Hastie, T., James, G., Tibshirani, R. & Witten, D. (2013). An introduction to statistical learning with applications in r. Springer, New York,.

Jorion, P. (1985). International portfolio diversification with estimation risk. Journal of Business, 259–278.

L¨utkepohl, H. (2005). New introduction to multiple time series analysis. Springer Science & Business Media.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The journal of finance, 7 (1), 77–91.

Parkinson, M. (1980). The extreme value method for estimating the variance of the rate of return. Journal of Business, 61–65.

Peng, J., Wang, P., Zhou, N. & Zhu, J. (2009). Partial correlation estimation by joint sparse regression models. Journal of the American Statistical Association, 104 (486), 735–746.

Sharpe, W. F. (1994). The sharpe ratio. The journal of portfolio management , 21 (1), 49–58.

Shawky, H. A. & Smith, D. M. (2005). Optimal number of stock holdings in mutual fund portfolios based on market performance. Financial Review , 40 (4), 481–495. Tibshirani, R. (1996). Regression shrinkage and selection via the lasso. Journal of the

Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 267–288.

Zareei, A. & Peralta, G. (2015). On the Consequences of Stock Network Topology on Portfolio Diversification. Op 2 mei 2016 verkregen van http://www.efmaefm.org/0EFMAMEETINGS/EFMA%20ANNUAL%20MEETINGS/

2015-Amsterdam/papers/EFMA2015 0229 fullpaper.pdf

Zou, H. & Hastie, T. (2005). Regularization and variable selection via the elastic net. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 67 (2), 301–320.