Hoofdstuk 3 Kettingregel

Hoofdstuk 3:

Kettingregel

V-1

a. f x'( ) x 3

b. f'(2) 5 . De helling van f in het punt P(2, 8) is 5. V-2 _{g x'( ) 15 x}2 _{x De helling van g in punt Q is g'(1) 14}

V-3 a. _{f x'( ) 100 x}99 _{d. l x( ) 2 x}4_2x2_{6 l x'( ) 8 x}3_4x b. _{g x'( ) 18 x}2 _{e. k x'( ) 6 3  x}9 c. h x'( ) 1 f. _{m x( ) 3 x}3 _2x5 _{m x'( ) 9 x}2_10x4 V-4 a. _{s 3(t}2_{10t25) 3 t}2_30t75 ds _{6t 30} dt   b. 1 4 2 3 13 s  t  1 3 3 1 ds t dt  c. _{s 25t}2_{ t}2 _{4t 4 26t}2_4t4 ds _{52t 4} dt   d. _{s 2t}4_3t3_6t9 ds _8t3 _9t2 ₆ dt    e. _{s t} 4_2t3_{ t 2} ds _4t3 _6t2 ₁ dt    f. _{s      1 t t}2 _{t t}2 _t3 _{  t}3 ₁ ds _3t2 dt   V-5 a. _{f x'( ) 3 x}2 _{en f'(1) 3} b. f x'( ) 6 2 2 3 6 2 2 2 ( 2, 2 2) ( 2, 2 2) x x x x en         V-6 a. _{K p'( ) 3p}2_6p0 3 ( 2) 0 0 2 p p p p      

b./c. Bij p0 is er sprake van een minimum (y 7) en bij p2 is er sprake van een maximum (y 11).

V-7 a. L m'( ) 16m16 0 b. _{h x'( ) 3 x}2_{8x16 0} 16 16 1 m m   D0

maximum: 5 geen maximum/minimum

c. _{T q'( ) 3q}2_{10q 3 0 d. w r( ) 9 r}2_{24r 16 3 r 9r}2_{27r 16} 1 3 (3 1)( 3) 0 3 q q q q        1 2 '( ) 18 27 0 1 w r r r     min: 13 27  en max: 9 minimum: 1 4 4 

V-8 Controle: Plot de grafiek…2nd _{PRGM, optie 5: tangent…x-coördinaat invoeren}

a. _{f x'( ) 2 x}3 _{b. f x'( ) 6x}2_{0,5x c. f x( )x}4_x2_2 1 1 2 2 1 2 '(1) 2 2 2 2 1 4 2 4 f y x b b y x            '(2) 25 (2) 12 25 12 25 2 38 25 38 f f y x b b y x                3 '( ) 4 2 '(2) 36 18 36 2 54 36 54 f x x x f b y x           V-9 a. _{f x'( ) 3 x}2_{ 3 0} 2 ₁ 1 1 x x x     

Het maximum is f( 1) 4  en het minimum is f(1) 0 b. f'(0) 3 en f(0) 2

de vergelijking van de raaklijn is y  3x2 c. _{f( 2) ( 2)  } 3_{        3 2 2 8 6 2 0} d. f'( 2) 9  2 2 '( ) 3 3 9 4 2 2 f x x x x x         P(2, 4)

1 a. 1 1 2,001 2 _0,2499 0,001 f x   _{  }  b. 1 1 0,999 1 _1,001 0,001 f x    _{  }  c. ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ₂ 1 ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x                        V V V V V V V V V V V V V V V V

d. Als Vx naar 0 nadert gaat het differentiequotiënt naar ₂1 x  . e. f x'( ) 1 x 2 1 1_{2 2}1 x x          2 a. g x'( ) 3 x 4 3 1₄ 3₄ x x          b. y₀ d ( ) |y_{1 x x} dx   en kijk in de tabel: c. ze komen overeen! d. _{h x'( ) 0,7 x}0,3 3 a. _{p x'( ) 5,6 x}3,8 b. 6 1 2 3 6 2 2 1 ( ) 2 3 f x x x x x       7 2 3 3 7 3 12 2 '( ) 12 3 f x x x x x         c. 1 2 2 2 2 1 1 ( ) x x g x x x x x x         2 3 2 3 1 2 '( ) 2 g x x x x x         d. 3 3 1 3 4 4 4 4 4 4 3 4 3 ( ) x x x x 4 3 k x x x x x x x x             2 4 5 2 4 5 1 12 12 '( ) 12 12 k x x x x x x x            4 1 2 ( ) f x  x x 12 1 2 1 2 1 1 1 1 1 '( ) 2 2 2 f x x x x x        5 a. 3 3 2,5 0,5 2 8 ( ) 4 t 8 f t t t t t     b. _{f t'( ) 20 t}1,5 _{20t t}

6 deze opgaven zijn ontzettend niet leuk!

a. A p( )p15 2 p 4 5 1 5 1 1 5 5 _{4 5 4} 1 1 1 1 1 '( ) 2 2 ( ) 5 A p p p p p p p          b. 1 1 1 3 2 4 1 2 4 1 ( ) 2 4 6 2 4 6 k x _ x _ x x_  _ x _ x _ x _ x 1 1 2 4 1 2 2 4 1 3 6 '( ) 3 6 k x x x x x x x x            c. 1 2 2 2 ( ) 5 5 f x  x x  x 1 112 1 2 2 '( ) 12 12 f x  x  x x x 1 2 3 4 g'(x) -3 -0,188 -0,037 -0,012 1 2 f(x) x f '(x) x  

d. 1 3 5 2 4 4 ( ) 2 2 R k  k k  k 1 4 4 10 1 4 2 '( ) 2 R k  k  k e. 2 13 1 23 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 h x   x  x  x  x 1 31 1 3 2 ₃ 1 4 1 '( ) 1 2 3 4 h x x x x x       f. 1,5 2 2 1,5 3 ( ) 4 p 4 j p p p p p      1 2,5 2 2 3 '( ) 8 1 8 2 j p p p p p p      7 _{D 6 v}2_0,0005v2_0,033 3 3 4 4 12 ' 12 0,001 0,001 0 0,001 12 12000 10,5 D v v v v v v v            8 a. f(3) 12 2 10   en _{g(10) 2} 5 _32 b. 1 2(4 2) 2 1 ( ) (4 2) 2 x 2 x k x _g x_{ }  _  c. r x( )q p x( ( ))q x(2  1) sin(2x1) d. v x( ) 4 x3 en w x( ) log( ) x 9 a. k x( ) 4 2log( )  x en h x( ) log(4 2 )  x b. k x( ) 2sin( ) 3 x  en h x( ) sin(2 x3) c. _{( )} 3 _{3 3 3}1 3 x x x k x _{  }  _  _en 3 ( ) 3x h x  d. _{k x( )} 2_{log(2 )}x _{x en} 2_{log( )} ( ) 2 x h x  x 10 a. _{f x( ) 3 x}2_{5 en g x( ) x c. f x( )x}2_{3x en g x( ) log( ) x} b. _{f x( ) 3 x}4 _{7 en g x( )} 2 x  d. f x( ) sin( ) x en g x( ) 2 x  11 a. _{m x( ) ( x2)}2 b. k x'( ) 2 x en k'(2) 4

Door de verschuiving heb je niets aan de helling verandert. Dus de helling in P is 4. c. x2 d. x1 m'(3)k'(1) e. m x'( )k x'( 2) f. m x'( ) 2( x2) 2 x4 12 a. 1 4 (4 ) 1 1 y   x   x b. De helling in P is 1 c. 4 h'(1) 4 k'(4) d. h x'( ) 4 k'(4 )x e. '( ) 4 1 2 2 4 4 h x x x   

13 a. u x( ) x 3 en _{f u( )u}5 _{f x'( ) 1 5  u}4 _5(x3)4 b. u p( ) p 7 en W u( ) u ' 1 1 1 2 2 7 W u p     c. u x( ) x 5 en _{f u( )} 4 _4u 1 u    2 2 2 4 4 '( ) 1 4 ( 5) f x u u x          d. u x( ) x en y u( ) u '( ) 1 1 1 1 2 2 2 y x u u x         e. u x( ) x 8 en _{f x( )u}4 _{f x'( ) 1 4  u}3 _4(x8)3 f. u x( ) 5 x en f u( ) 3u u13 2 3 5 1 3 3 _{3 2 3 2} 1 5 '( ) 5 3 25 f x u u x       g. u x( ) x 2 en f u( ) 6 6u 1 u    2 2 2 6 6 '( ) 1 6 ( 2) f x u u x          h. u t( ) 4 t en _{p u( )} 6 _6u 1 u    2 2 2 6 6 '( ) 1 6 (4 ) p t u u t         14 a. 1 5 5 2 2 6 5 a     _b. '( ) 5 1 5 2 5 2 5 k x x x    5 6 5 1 6 6 5 1 6 6 2 5 2 2 y x b b y x          5 6 '( ) 2 5 6 5 9 k x x x    4 5 1 0 x  en y  15

a. V t'( ) 2 : het volume neemt op ieder tijdstip toe met 2 l/s. b. h2 V 2 2t 50 c. (10,001) (10) 0,239 0,001 h h h t  _  _  cm/s d. 2 1 1 2 dh dV   V  V en (70) 0,1195 dh dV  cm/l e. dh dV 0,1195 2 0,239 dV dt    16 a. _{u x( ) 3 x}2_{3 en h u( )u}2 b. u x'( ) 6 x en h u'( ) 2 u c. _{h x'( ) 6 x u2 12 (3x x}2_{3) 36 x}3_36x d. _{h x( ) (3 x}2_3)2 _(3x2_3)(3x2_{3) 9 x}4_18x2_9 e. _{h x'( ) 36 x}3 _36x

17 a. _{u x( ) 3 x}2_{8 en f u( )u}4 _{f x'( ) 6 x4u}3 _{24 (3x x}2_8)3 b. _{u x( ) 1 3  x}3 _{en w u( )u}6 _{g x'( ) 9x}2_6u5 _{ 54x}2_{ (1 3 )x}3 5 c. _{u t( )t}3_{7 en s u( )u}3 _{s t'( ) 3 t}2_3u2 _9t2_(t3_7)2 d. _{u x( ) 5 x}1,3_{12 en h u( )u}7 _{h x'( ) 6,5 x}0,3_7u6 _45,5x0,3_(5x1,3_12)6 e. u q( ) 2  q en _{p u( )u}5 4 4 5(2 ) 1 '( ) 5 2 2 q p q u q q       f. u t( ) 1 1 t   en _{k u( )u}3 ₂ 1 2 2 12 2 2 2 2 3 4 3(1 ) 3(1 ) 1 3 6 6 '( ) 3 t t t k t u t t t t t t           18

a. Femke heeft gelijk

b. Casper heeft geen haakjes gezet om _3x2_4

19 a. _{u x( ) x}2_{ x 311 en f u( )u}4 _{f x'( ) (2 x 1) 4u}3 _{(8x4)(x}2_{ x 311)}3 b. _{u x( ) 3 x}2,7_191,7 _{en g u( )u}3 _{g x'( ) 8,1 x}1,7_3u2 _24,3x1,7_(3x2,7 _{19 )}1,7 2 20 a. _{u x( ) x}2_{1 en f u( )} 1 u  '( ) 2 1_{2 2}2 ₂ ( 1) x f x x u x       b. _{u x( ) 2 x}3_{4x en} 2 5 ( ) g u u  2 2 3 3 3 10 10(6 4) '( ) (6 4) (2 4 ) x g x x u x x         c. _{u x( ) ( x4)}2_{4 en h u( )} 3 u  '( ) (2 8) 3₂ 3(2 ₂ 8)₂ (( 4) 4) x h x x u x          d. _{u x( ) x}4_{7x en} 3 4 ( ) g u u   3 3 4 4 4 12 12(4 7) '( ) (4 7) ( 7 ) x g x x u x x       21 a. _{u x( ) x}2_{1 en y u( ) u} 2 1 '( ) 2 2 1 x y x x u x     '( ) 2 ₁ 1 x f x x    b. 1 2 1 2 ( ) ( 1) g x  x  _{u x( )x}2_{1 en} 1 2 1 ( ) g u u 1 2 2 1 2 '( ) 2 1 3 1 g x  x u  x x  c. _{u x( ) 2 x}3_{4x en y u( ) u} 2 2 2 3 3 1 6 4 3 2 '( ) (6 4) 2 2 2 4 2 4 x x y x x u x x          2 3 3 2 '( ) 5 2 4 x y x x     d. _{u x( ) 4 x4x}4 _{en y u( ) u} 3 3 4 1 2 8 '( ) (4 16 ) 2 4 4 x y u x u x x       3 4 2 8 '( ) 4 4 4 x g x x x    

22 a. _{u x( ) 4 x}3_{6x en f u( )u}4 _{f x'( ) (12 x}2_{ 6) 4u}3 _4(12x2_{6) (4 x}3_{6 )x} 3 b. _{u x( ) 3 x}4_{2x en f u( ) 12 u} 3 3 4 6 6(12 2) '( ) (12 2) 3 2 x y x x u x x       c. _{u x( ) 3 x}4_{2 en} f u( ) 12 12u 12 u    1 1 2 2 3 3 1 4 1 6 72 '( ) 12 (3 2) x y x x u x       d. _{u t( ) 4 t}10 _{75 en A u( )u}8 _{A t'( ) 40 t}9_8u7 _320t9_(4t10_75)7 e. _{u x( ) 4 8  x}2 _{en g u( )u}1,25 _{g x'( ) 16 1,25x u}0,25 _{ 20x(4 8 ) x}2 0,25 f. _{u t( ) 3 t}2_{4t en} 3 3 6 ( ) 6 p u u u    '( ) (6 4) 18₄ 18(6₂ 4)₄ (3 4 ) t p t t u t t         23 a. u x( )g x( ) en f u( ) u '( ) '( ) 1 '( ) 2 2 ( ) g x f x g x u g x   

b. Nee: het domein van f zijn alle x waarden waarvoor g x( ) 0 en het domein van f’ zijn alle x waarden waarvoor g x( ) 0 .

24 a. _{g x'( ) 12 x}4 _48x2 _0 2 2 12 ( 4) 0 0 2 2 x x x x x        

b. De grafiek van g heeft alleen een top bij x 2 en x 2 c. maximum: 51,2 en minimum: -51,2 25 a. _{f x'( ) 4 x}3_4x0 2 2 4 ( 1) 0 4 0 1 0 1 1 x x x x x x x           

maximum 0 voor x0 en minima -3 voor x 1 en x 1

b. De grafiek van f heeft een minimum waar _{y x}2 _{6x10 een minimum heeft.}

' 2 6 0 2 6 3 y x x x       

Het minimum van f is f( 3) 1  voor x  3 26

a./c. De noemer is een dalparabool en heeft een minimum 4 voor x2. Dus f heeft een maximum 20 4 5 voor x2. b. _{u x( ) ( x2)}2_{ 4 x}2_{4x8 en f u( )} 20 _20u 1 u    2 2 2 20 20(2 4) '( ) (2 4) 0 (( 2) 4) 2 4 0 2 x f x x u x x x             

27 a. 3 2 x0 1 2 2 3 1 x x    

Uit de wortel komt altijd een getal groter of gelijk aan 0, dus bereik:



1, . b. u x( ) 3 2  x en h u( ) 1 2  u '( ) 2 2 2 2 3 2 h x u x       De afgeleide wordt nooit 0.

c. De grafiek heeft een randpunt 1 2

(1 , 1). Dat is een randminimum. 28 a. '( ) 2 ₂ 0 2 16 x f x x     b. 2 3 3 '( ) 4(3 3)( 3 ) 0 h x  x  x  x  2 0 0 x x    2 3 2 2 3 3 0 3 0 1 0 ( 3) 0 x x x x x x           4: maximum x  1, x1, x 0, x   3, x 3 0: randminima (x 4 en x 4) 16:max max 0:min min min c. g x'( ) 2 x6 x 0 d. '( ) 2₂ 8 0 2 8 2 x p x x x      2 ( 3) 0 0 3 x x x x      2 8 0 4 x x    0 9 x  x  0: randminima (x  4 14 en x 4 14) 0: randmaximum en -27: minimum

e. n x'( ) 6 De grafiek van n is een stijgende rechte lijn en heeft geen extremen.

f. 2 2 2 2 5 2 10 '( ) 0 ( 3) ( 3) x x q x x x         10 0 0 x x   2 3 1  : minimum 29 1 2 3 ( , 16) A p  p  2 3 1 1 3 3 2 2 ( ) ( 16) 16 '( ) 16 0 16 4 4 O p p p p p O p p p p p                 De maximale oppervlakte is 2 3 (4) 42 O  . 30 a. _{u x( ) 12 x x} 3 _{en f u( ) u} 2 2 3 1 12 3 '( ) (12 3 ) 2 2 12 x f x x u x x       2 2 '( ) 0 12 3 0 4 2 2 f x x x x x         het maximum is f(2) 4

b. _{12x x} 3 _0 2 (12 ) 0 0 2 3 2 3 x x x x x         Domein:  , 2 3_



0, 2 3_ 31

a. De grafiek van de afgeleide ligt dan onder de x-as.

b. Op 1, 0 is de daling toenemend. Op dit interval daalt de grafiek van de afgeleide. c. Op 0, 1 is de daling afnemend. De afgeleide stijgt.

d. De stijging is afnemend: de afgeleide ligt boven de x-as en daalt. 32

a. Als h afnemend dalend is moet de afgeleide van h onder de x-as liggen en stijgend zijn. Dat is op  2 , 0 en 2, 2.1 .

Toenemend dalend op 2.1,  2 en 0, 2 . b. Bij 1

2

1

x  gaat de grafiek van h over van toenemend dalend naar afnemend dalend. De grafiek van h heeft daar een buigpunt.

c. 33 a. '( ) 1 4 1 2 2 f x x x     '( ) 0 2 1 2 4 (4) 4 f x x x x f      

De uiterste waarde is –4 en is een minimum.

b. 1 2 '( ) 1 2 f x   x 1 2 1 1 2 1 "( ) 2 0 f x x x x 

     _{ als} x 0. Dat betekent dat de grafiek van f’ altijd positief is en dus dat de helling altijd toeneemt.

c. Er is sprake van een afnemende daling.

Als de helling altijd toeneemt stijgt de grafiek van f steeds sneller: toenemende stijging.

34

a. Neem bijvoorbeeld de grafiek van _{y x}3

b. A is in dit geval (0, 0): een afnemende stijging betekent dat de helling steeds kleiner wordt. Daarna een toenemende stijging, dus de helling wordt weer groter. In A is de helling dus minimaal.

c. De raaklijn is de lijn y 0. x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5

35 a. 1 3 1 2 3 2 '( ) 6 f x  x  x  x 2 "( ) 6 0 ( 3)( 2) 0 3 2 f x x x x x x x           

b. De grafiek van f heeft daar inderdaad buigpunten.

c. 1 3 ( 2, 9 )  en 3 4 (3, 24 ) d. _{f x'( ) 4 x}3 2 "( ) 12 0 0 f x x x   

De grafiek van f heeft in (0, 0) geen buigpunt. 36 a. _{f x'( ) 4 x}3_12x2 _b. 1 2 2 2 6 4 6 4 ( ) x 6 4 f x x x x x x         2 "( ) 12 24 0 12 ( 2) 0 0 2 f x x x x x x x         2 3 3 4 4 '( ) 6 8 12 24 "( ) 12 24 f x x x x f x x x x           

Buigpunten: (0, 0) en (2, -16) f x"( ) 0 als x2: buigpunt (2, 2)

c. 1 4 1 3 2 4 3 '( ) 3 f x  x  x  x d. 3 1 1 1 10 5 2 ( ) f x _ x_{ } x 3 2 2 "( ) 6 0 ( 6) ( 3)( 2) 0 f x x x x x x x x x x           2 3 1 10 2 3 '( ) "( ) f x x f x x       0 3 2 x  x    x geen buigpunten Buigpunten: 3 5 ( 3, 21 ) , (0, 0) en 1 15 (2, 5 ) 37 a. 1 4 2 54x x 0 b. 3 2 27 '( ) 2 0 f x  x  x 2 1 2 54 ( 1) 0 0 3 6 3 6 x x x x x         2 1 27 2 ( 1) 0 0 3 3 3 3 x x x x x        

max: 0 min: -13,5 min: -13,5

c. 2 2 9 "( ) 2 0 f x  x   2 ₉ 3 3 x x x      de buigpunten zijn ( 3, 7 )  12 en (3, 7 ) 12 1 1 2 2 1 2 '( 3) 4 4 7 4 3 4 4 4 f y x b b y x             1 1 2 2 1 2 '(3) 4 4 7 4 3 4 4 4 f y x b b y x             

38 omdat f a"( ) 0 is de helling dalend: f(a) is dan een maximum. 39

a. _{(0) 0}3 _{6 0}2 _{0 0}

a

f      a voor alle waarden van a. b. f_a'( ) 3x  x212x a

"( ) 6 12 0 2 a f x x x     Buigpunt: (2, 2a16) c. 2 12'(2) 3 2 12 2 12 0

f       : de raaklijn door het buigpunt (2, 8) loopt horizontaal. d. f_a'( ) 0x  heeft dan geen oplossing

2

3x 12x a 0 heeft geen oplossing als de discriminant kleiner is dan 0. 144 4 3 0 12 144 12 a a a         40 a. m y: 2x 1 2 1 ( ) 2 2 l x  x x x  x x c. l x( ) px x x b. 1 2 '( ) 2 1 0 l x   x  l x'( ) 0 en l x( ) 4 1 3 7 9 1 1 x x   1 2 2 3 1 0 p x x p    en 4 4 2 9 9 3 4 27 4 4 p p p p p p     De maximale lengte is 7 5 9 27 (1 ) 1 l  4 9 x  p p p 27 2 3 27 9 p  41 a. _3x2_2x0 2 3 (3 2) 0 0 x x x en x     d./e. 2 6 2 '( ) 3 2 x g x x x    b. randminima: 2 3 (0) ( ) 2 g g   1 3 '( ) 4 '(1) 4 g    en g  c. _{ 2 2 3x}2_{2x 0 f.} 4 4 A B y   x b en y  x b 2 2 2 2 1 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 (3 1)( 1) 0 1 ( , 0) (1, 0) x x x x x x x x x x x x A en B                  1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 2 3 3 0 4 0 4 1 1 4 4 1 4 4 4 1 4 4 8 2 2 A B b b b b y x y x x x x x en y                          42 a. _x4_5x2_{ 4 0 b. f x( ) x}2_{ 5 4x}2 2 2 2 2 ( 4)( 1) 0 4 1 2, 2, 1, 1 x x x x x x x x             3 3 8 4 '( ) 2 8 2 0 4 2 2 x f x x x x x x x            (-2, 0), (-1, 0), (1, 0) en (2, 0) uiterste waarde: -1

43 a. (0, 0): fp q, (0) p 23 q 8p q 0 (-3, 18): fp q, ( 3)   p ( 1)3    q p q 18 8 9 18 2 16 p p p p en q         b. fp q, '( ) 3 (x  p x2)2 , 2 1 2 '( 4) 6 3 ( 2) 12 6 p q f p p p          3 1 , ( 4) 2( 2) 4 12 8 6 12 p q f q q q y x             c. fp q, "( ) 6 (x  p x2) 0 2 ( 2, ) x B q  

 De buigpunten liggen op de lijn x  2. 44 a. _{f(4) 4}2_{ 9 25 5 en} 2 25 4 9 (4) 5 g    b. _{u x( ) x}2_{9 en f u( ) u} 2 1 '( ) 2 2 9 x f x x u x     en 4 5 '(4) f  en g u( ) 25 25 u 12 u     21 1 2 1 1 2 2 1 25 '( ) 2 25 ( 9) x g x x u x          100 4 25 5 5 '(4) g      c. raaklijn aan f: 4 5 y  x b 4 4 5 5 5 4 1 b    4 4 5 15 y  x raaklijn aan g: 4 5 y   x b 4 1 5 5 5 4 8 b    4 1 5 85 y   x 1 1 4 4 2 (85 1 ) 4 125 5 Opp     45

a. Als d P AB( , )x dan is PT 100x. Met Pythagoras kan berekend worden dat

2 2 2 2 2 2 20 10 100 100 2 100 100 4 100 100 400 4 AP BP x x l x x x x x x                   b. 20 ₂ 8 ' 1 0 2 4 400 x l x      d. la' 0 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 4 1 4 400 4 4 400 16 4 400 12 400 33 33 33 x x x x x x x x x x             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 1 1 12 12 8 1 0 2 4 4 4 16 4 12 x a x x a x x a x x a x a x a x a               c. 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 100 2 ( ) 100 2 ( 4 ) 100 4 a l   x a x   x a  x   x a  x d. ₂ 2 _{4 2 2 1} 12 3 2 12 12 12 12 3 ( a ) 100 a 4 a 100 a 100 a a 100 3 l    a      a      a

Test jezelf

T-1 a. 2 2 2 2 3 5 5 ( ) x 3 3 5 g x x x x        3 3 10 '( ) 10 g x x x      2 1 '( ) 12 2 f x x x   b. _{h x( ) ( x x x)(  1) x x  x x}2_x 1 2 1 '( ) 1 2 1 2 h x x x x     T-2 a. u x( ) 4 x9 en _{k u( ) 3 2  u}5 _{c. u x( ) 2 x x} 2 _{en k u( )u}1,7 b. _{u x( ) 6 x3x}2 _{en k u( ) u7 d. u x( )x}3_{7 en} 4 2 ( ) k u u  T-3 a. _{k x}( ) log(2_ x _4) _b. 2 1 3 ( ) cos(3 5 ) k x  x  T-4 a. _{f x'( ) 10( x3)}9 _{d. k x'( ) 2(2 x3 ) (2 12 )x}4 _{  x}3 b. _{g p'( ) 3(2 p}2 2_{)  2p 6 (2p p}2 2_{) e.} 2 2 3 5 3 5 8 24 '( ) 3 ( 7) ( 7) x q x x x x        c. 2 2 2 2 1 2 1 '( ) (2 1) ( ) ( ) x h x x x x x x          f. m t'( ) 10(4 t 9) 4 40(44  t9)4 T-5 a. _{f x'( )x}3_4x2_4x0 2 2 1 3 ( 4 4) x(x 2) 0 0 2 (0, 0) (2, 1 ) x x x x x en        

b. In (0, 0) is er sprake van een minimum. Punt 1 3 (2,1 ) is een buigpunt. T-6 a. x0 b. g x'( ) 18 48_{4 3} 0 x x     c. g x"( ) 72 144_{5 4} 0 x x    3 4 4 3 3 3 8 18 48 48 18 6 (8 3) 0 0 x x x x x x x x         5 4 4 1 2 144 72 72 (2 1) 0 0 x x x x x x       Minimum: 3 8 8 9 ( , 56 ) Buigpunt: 1 2 ( , 48) d. 1 2 '( ) 96 g  1 2 48 96 48 96 96 96 b b b y x          

T-7 a. u x( ) 3 x5 en f u( ) 1₂ u 2 u    3 3 6 '( ) 3 2 (3 5) f x u x        b. 3 4 '( 1) a f    3 1 1 4 4 1 2 b      T-8 a. _{9x x} 2 _0 (9 ) 0 0 9 x x x     b. 34 ₂ 9 2 '( ) 2 9 x f x x x     c. 1 7 2 8 (4 ) 7 f  en 1 3 2 4 '(4 ) f  '( ) 0 f x  3 4 y  x b 3 4 2 2 2 2 2 1 7 4 1 7 1 2 10 5 2 10 5 9 2 2 9 6 9 4(9 2 ) 36(9 ) 16(9 2 ) 100 900 1296 0 4 2 1 4 2 7 ABC formule x x x x x x x x x x x x x                       3 3 7 1 8 4 2 8 1 2 3 1 4 2 7 4 3 4 4 b b b y x         De uiterste waarde is 1 5 (7 ) 9 f  T-9

a. _{AB 15}2 _202 _{25 km. De kosten zijn dan €}

25.000,-b. Die kosten zijn € 15.000, € 8.000,  € 23.000, c. _{AQ 15}2 _x2 _en QB20x 2 2 ( ) 1000 225 400 (20 ) 8000 400 1000 225 K x   x   x   x  x d. '( ) 400 1000 2 ₂ 400 1000 ₂ 2 225 225 x x K t x x          2 2 2 2 2 2 1000 400 225 225 2,5 225 6,25 5,25 225 42,86 6,55 x x x x x x x x x         

Extra oefening – Basis

B-1 a. p x( ) 2 3x 2x13 2 3 2 3 _{3 2} 2 '( ) 3 p x x x    b. _{g x( ) 2 x 5x}2 _{g x'( )} 1 _10x x   c. 2 4 6 6 6 3 1 ( ) x 3 k x x x x x       5 7 5 7 12 6 '( ) 12 6 k x x x x x         d. _{f x( ) 5 x x }4 _{x 5x x} 0,5_x0,25 _5x1,75 _{f x'( ) 8,75 x}0,75 _8,754_x3 e. 1 1 3 33 3 3 3 ( ) h x  x x x x x 1 213 1 2 3 3 3 '( ) 3 3 h x  x  x x f. 1,3 2,8 1,3 2,8 2 4 ( ) 2 4 k x x x x x       2,3 3,8 3,8 2,3 11,2 2,6 '( ) 2,6 11,2 k x x x x x        B-2 _{u x( ) x}4_{3 en h(u) u} B-3 a. _{g m'( ) 3 (4  m5) 4 12(4}2_{  m5)}2 b. u x( ) 2 x0,5 en 1 12 4 1 ( ) 4 f u u u    1 121 8 2 '( ) 2 8(2 0,5) 2 0,5 f x u x x         c. _{u x( ) x}2_{3 en h u( )} 4 _4u 1 u    2 2 2 8 '( ) 2 4 ( 3) x h x x u x        d. 2 2 3 3 1 6 25 '( ) (6 25) 2 2 25 2 2 25 p Q p p p p p p        B-4 a. _{k x( ) 3 (2  x}2_x)1 2 2 2 2 1 4 3(4 1) '( ) 3 1(2 ) (4 1) 0 (2 ) 3(4 1) 0 x k x x x x x x x x                

Er is hier sprake van een maximum.

b. '( ) 2(4 2 ) 1 ₂ 4 2 ₂ 0 2 4 4 x g x x x x x x         2 4 2 x x 

 Voor x2 is er een maximum. Bij x0 en x4 zijn er randminima. c. _{h x( ) 2(2 2 )  x} 0,5 1,5 1,5 2 '( ) 2 0,5(2 2 ) 2 (2 2 ) h x x x         

d. _{f x'( ) 4( x}2_{2) 2}3_{ x8 (x x}2_2)3 _0 2 8 0 2 0 2 2 x x x x x         

Voor x0 is er sprake van een maximum. Voor de andere twee waarden van x is er een minimum. B-5 a. _{f x'( ) 2 x}3_6x2 _0 2 2 ( 3) 0 0 3 x x x x     

De grafiek van f heeft een uiterste waarde van -10,5 voor x3. b. _{f x"( ) 6 x}2_{12x 0} 6 ( 2) 0 0 2 (0, 3) (2, 5) x x x x en       c. f'(0) 0 en f'(2) 8 3 y        5 8 2 b 16b 11 8 11 b y x    

d. De grafiek van f is toenemend dalend op het interval 0 , 2 .

Extra oefening – Gemengd

G-1 G-2 a. f_a'(1) 6 b. f x1'( ) 1 c. f4'( ) 1x  '( ) 2 (2 ) 1 '(1) 2 6 3 a a f x a x f a a          1 2 1 1 2 4 2(2 ) 4 2 1 2 (2 , ) x x x        1 8 1 1 8 16 8(2 ) 16 8 1 2 (2 , ) x x x        x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 x y 1 2 3 4 5 6 -1 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

d. f_a'( )x  2 (2a x) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 4 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 (2 (2 )) (2 ) 1 1 a a a a a a a x x y a a y x                  G-3 a. 6 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2) 3 6 (3 6) 3( 2) (3( 2)) g x f x x x x x          

De grafiek van f is 2 eenheden naar rechts verschoven. b. g_a'(4) 0 2 3 1 2 2 3 2 3 3 6 (12 ) (12 ) 3 2 2 2 ( ) (3 ) (3 ) '( ) 1(3 ) 3 2(3 ) 3 3 (3 ) 6(3 ) '(4) 0 3(12 ) 6(12 ) (12 ) (3(12 ) 6) (12 ) (30 3 ) 0 a 12 10 a a a _{a a} g x x a x a g x x a x a x a x a g a a a a a a a                                           c. g_a"(2) 0 3 4 3 4 4 4 "( ) 18(3 ) 54(3 ) "(2) 18(6 ) 54(6 ) (6 ) (18(6 ) 54) (6 ) (54 18 ) 0 18 54 3 a a g x x a x a g a a a a a a a a                         G-4 a. u x( ) 8 x4 en _{g u( )u}3 _{7 g x'( ) 8 3  u}2 _{24(8x4)}2 b. 2 2 10 10 ( ) ( 5) 25 10 p x x x x      2 ( ) 10 u x x  x en _{p u( )} 10 _10u 1 u    2 2 2 10(2 10) '( ) (2 10) 10 ( 10 ) x p x x u x x          c. Q p( ) (3 p2)121 1 12 1 2 2 '( ) 1 (3 2) 3 4 3 2 Q p  p   p d. _{g p( ) 2 64 p}3 _7 2 2 3 3 1 192 '( ) 2 192 2 64 7 64 7 p g p p p p      

Uitdagende opdrachten

U-1 a. f(2) 2 b. 8x14 0 c. 3 23 4 64 (1 ) f  en 3 3 4 16 '(1 ) 5 f  2 '( ) 3 4 '(2) 8 8 2 8 2 14 8 14 f x x f y x b b y x             3 1 4 8 14 1 x x   3 16 23 3 3 23 64 16 4 32 3 23 16 32 3 23 16 32 113 2 166 5 5 1 8 5 8 5 8 1 1,681 y x b b y x x x             d. voer in: 3 1 4 2 y x  x zero: x 1,675 e. f( 2) 2  en f'( 2) 8  1 25 4 64 ( 2 ) f    en 1 12 4 64 '( 2 ) 11 f   1 4 8 2 8 2 18 8 18 8 18 2 y x b b y x x x              12 64 25 12 1 25 64 64 4 32 25 12 64 32 25 12 64 32 77 358 11 11 2 24 11 24 11 24 2 2,215 A y x b b y x x x                 U-2

a. De helling neemt af.

b. als f a"( ) 0 , dan is de helling dalend. Voor x a is de helling positief (de grafiek stijgt) en na x a is de helling negatief (de grafiek daalt). Voor x a heeft de grafiek van f dus een maximum.

c. als f b"( ) 0 , dan is de helling stijgend. Voor x b is de helling negatief (de grafiek daalt) en na xb is de helling positief (de grafiek stijgt). Voor xb heeft de grafiek van f dus een minimum.

d. Als f c"( ) 0 dan gaat de grafiek van f”(x) door de x-as. Omdat f'"( ) 0c  wisselt de "( )

f x van teken. De hellingfunctie heeft bij x c een uiterste waarde, dus de grafiek van f heeft daar een buigpunt.

U-3 a. _{f x'( ) 10 x}4_{10x 0} 3 10 ( 1) 0 0 1 x x x x      Maximum: 0 en minimum: -3 b. _{f x"( ) 40 x}3 _10 "(0) 10

f   , dus een maximum en f"(1) 30 en dus een minimum c. f x"( ) 0 3 3 1 4 1 3 4 40 10 0,63 x x x     2 1 3 4 '"( ) 120 "'( ) 47,62 f x x f  