Jager, Gideon, Ontwerponderzoek, Wiskunde B

(1)

Betekenis geven aan logaritmen

Gideon Jager

13 juni 2018

Studentnummer 10565744

Vakgebied Wiskunde B

Onderwerp Betekenis geven aan logaritmen

bij de allereerste kennismaking

Begeleider D. Pik

Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam

Doelgroep Havo 4

Sleuteltermen Logaritmen, logaritmische functies,

herhaald delen, wiskundige denkactiviteiten

Bibliografische referentie Jager, G.A.E. (2018). Betekenis geven aan logaritmen. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.

(2)

Inleiding

In deze paper beschrijven we een onderzoek naar een probleem ervaren door een collega bij het vak Wiskunde B in Havo 4 op het Jan van Egmond Lyceum te Purmerend. Hierbij verkennen we mogelijke oplossingen voor dit probleem en beschrijven we voor de gekozen oplossing hoe deze te toetsen. De ontwerplessen bij dit onderzoek zijn begin mei 2018 uitgevoerd.

1 Probleembeschrijving

Het probleem dat we in deze paper bestuderen heeft te maken met het onderwerp logarit-men. Havo 4 maakt in het voorjaar een start met dit onderwerp en in de vijfde klas wordt hier dieper op ingegaan.

Een eerste indicatie van een probleem kwam vanuit mijn werkplekbegeleider, zij gaf aan dat de leerlingen vorig jaar erg veel moeite met dit onderwerp hadden. Vervolgens hebben we de toetsen van vorig jaar erbij gepakt en hierbij bleek dat de leerlingen op het onder-werp logaritmen gemiddeld slechts 42,6% van de punten hadden gescoord.

Naar aanleiding hiervan hebben we een vooronderzoek gestart door middel van een enquête onder de leerlingen die nu in Havo 5 zitten en de logaritmen dus vorig jaar voor het eerst hebben behandeld. Zie de bijlage voor deze enquête. Uit deze enquête is gebleken dat de grafieken van logaritmische functies lastig wordt gevonden, hetgeen in overeenstemming is met de toetsresultaten, met name het domein is hier een lastig begrip. Ook geven de leerlingen aan dat ze het lastig vinden om met logaritmen te rekenen. Deze twee deel-onderwerpen werden het meeste genoemd bij de vraag wat ze het lastigste deelonderwerp vinden. Uit de enquête is ook gebleken dat de leerlingen logaritmen niet het leukste on-derwerp binnen wiskunde vinden.

De derde en laatste indicatie kwam vanuit de sectie scheikunde. Omdat logaritmen bij wiskunde een lastig onderwerp wordt gevonden, zijn we bij een collega van scheikunde gaan vragen in welke mate de leerlingen moeite hebben met het toepassen van logaritmen bij onder andere berekeningen aan de pH van oplossingen. Hij gaf aan dat de leerlingen moeite hebben om logaritmen te gebruiken bij het berekenen van de pH en de pOH van oplossingen en de concentraties waterstof- respectievelijk loogionen, maar dat dit slechts deels terug te voeren is op het concept logaritmen.

Op basis van de toetsresultaten m.b.t. logaritmen in het schooljaar 2016-2017, de resultaten van de enquˆete en het feit dat leerlingen moeite hebben met het gebruik van logaritmen buiten het vak wiskunde zien we dat de leerlingen het moeilijk vinden om met logaritmen te werken en gemiddeld relatief weinig punten scoren bij logaritmen. In deze ontwerpnotitie gaan we de mogelijke oorzaken en oplossingen uitdiepen om tot een lessenserie te komen

(3)

die het beschreven probleem zou kunnen verhelpen.

2 Probleemanalyse

We zullen nu beschrijven op welke factoren het probleem berust aan de hand van de resultaten van de enquˆete. In de probleembeschrijving merkten we al op dat uit de enquˆete bleek dat leerlingen voornamelijk moeite hebben om met logaritmen te rekenen en dat grafieken van logaritmische functies ook als een lastig deelonderwerp wordt ervaren. Deze twee factoren zullen we nu verder uiteenzetten.

2.1 Rekenen met logaritmen

Op onze school werken we met het boek Getal en Ruimte. Rekenen met logaritmen is het eerste deelonderwerp bij logaritmen dat in dit boek aan bod komt. Volgens Vos & Espedal maken leerlingen veel fouten met logaritmen, omdat zij de regels verkeerd onthouden. Dit laatste is volgens Vos & Espedal (2015) het gevolg van het feit dat leerlingen niet goed betekenis aan logaritmen kunnen geven. Gamble (2005) beschrijft iets soortgelijks. Hij noemt dat leerlingen de eigenschappen van logaritmen proberen te onthouden, maar deze niet begrijpen, evenals het verband tussen exponenten en logaritmen. Dit zagen we ook terug in de toetsresultaten van vorig jaar: de leerlingen passen bijvoorbeeld de regel

g_{log(x) = y ⇐⇒ x = g}y _{verkeerd toe en gaven het bereik van een exponenti¨ele functie}

wanneer er om het bereik van een logaritmische functie werd gevraagd.

2.2 Grafieken

Niet alleen het rekenen met logaritmen lijkt moeizaam te gaan, ook werken met logarit-mische functies is een lastige opgave voor de leerlingen. Transformaties, maar vooral de begrippen domein en bereik bij logaritmische functies lijken een zeer lastig concept. Op de vraag m.b.t. domein en bereik werd gemiddeld slechts 15,4% van de punten gescoord en slechts één van de 34 leerlingen wist de vraag helemaal correct te beantwoorden. Domein en bereik is geen verplichte stof op de Havo, maar komt wel aan bod voor wortelfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies. Op onze school komen deze drie typen functies direct na elkaar aan bod en bij de wortelfuncties worden de begrippen domein en bereik voor het eerst ge¨ıntroduceerd. Op het moment dat we met logaritmen beginnen, hebben de leerlingen de begrippen domein en bereik dus net geleerd en zijn ze hier mis-schien nog niet vertrouwd mee geraakt. Weber (2017) noemt het bepalen van het domein ook als één van de problemen die de leerlingen kunnen ondervinden, evenals dat leerlingen de grafieken van een exponentiële functie en de logaritmische functie met hetzelfde grondtal als hetzelfde object zien. Zowel Drijvers, Van Streun & Zwaneveld (2016) als Weber (2017)

(4)

beschrijven dat functies een proces- en objectkarakter hebben. Volgens Weber (2017) zien de leerlingen functies vaak als een proces, maar uit bovenstaande blijkt dat de leerlingen moeite hebben om functies als object, als leden van klassen van functies zoals Drijvers, Van Streun & Zwaneveld (2016) dit noemen, te zien en de verschillende klassen van el-kaar te onderscheiden. Omdat domein en bereik geen verplichte Havo stof is zou men zich kunnen afvragen of deze begrippen kunnen worden overgeslagen bij de behandeling van lo-garitmische functies, maar volgens Kenney & Kastberg (2013) kunnen deze begrippen juist worden gebruikt om leerlingen in te laten zien dat logaritmen functies zijn en niet alleen ex-ponenten van bepaalde machten om uiteindelijk een beter begrip van logaritmen te krijgen. Op het gebied van de transformaties lijkt het probleem minder groot dan bij de begrippen domein en bereik. Op deze vraag werd gemiddeld 49,0% van de punten gescoord. Een mogelijke verklaring voor het feit dat het probleem hier minder groot lijkt te zijn dan bij het domein en bereik is dat het begrip transformaties al velen malen in Havo 4 voorbij is gekomen op het moment dat we aan de logaritmische functies beginnen. De transformaties worden, net als de begrippen domein en bereik, ook bij wortelfuncties en exponenti¨ele functies behandeld, maar worden eerder in het schooljaar ook voor parabolen en gebroken functies behandeld. Desalniettemin wordt het er bij de logaritmische functies relatief slecht gescoord op vragen over transformaties.

3 Verkenning van oplossingen

Nu we de factoren van het probleem uiteen hebben gezet, gaan we nu mogelijke oplossingen voor deze factoren verkennen. We beginnen met mogelijke oplossingen om het concept van logaritmen te verduidelijken zodat de leerlingen betekenis aan logaritmen kunnen geven.

3.1 Herhaald delen

We beginnen met een oplossing voor het concept van logaritmen. Vos & Espedal (2015) geven aan dat leerlingen geen goede betekenis aan logaritmen kunnen geven en hierdoor allerlei regels verkeerd toepassen. Daarom hebben zij een alternatieve aanpak ontworpen, het “Herhaald delen totdat je bij 1 uitkomt”. Vos & Espedal (2015) beschrijven dat deze methode goed kan worden ingezet als een inleiding in logaritmen, omdat het een laagdrem-pelige analogie aan machtsverheffen is. Door een les te besteden aan “Herhaald delen” zouden we het eerder beschreven conceptuele probleem bij logaritmen kunnen aanpakken en leerlingen betekenis kunnen geven aan logaritmen waarmee de leerlingen beter in staat zullen zijn om logaritmen te berekenen, evenals logaritmische vergelijkingen op te lossen, zoals Vos & Espedal (2015) al benoemen. Met deze methode kunnen we ook betekenis geven aan het domein van logaritmische functies, namelijk door de leerlingen na te laten

(5)

denken over opgaven als “bereken 10log(−10000)00 of “bereken 3log(−81)” en hen tot de conclusie te laten komen dat je door een negatief getal herhaald door een positief getal te delen nooit op 1 zal uitkomen.

3.2 Wiskundige denkactiviteiten

In de digitale bijlage van hoofdstuk 11 van Drijvers, Van Streun & Zwaneveld (2016) wor-den opdrachten beschreven om wiskundige wor-denkactiviteiten te ontwikkelen. E´en van deze opdrachten probeert ook betekenis te geven aan logaritmen. Hierbij moeten de leerlingen met de grafische rekenmachine enkele logaritmen berekenen om een idee te krijgen wat een logaritme doet met een getal en om uiteindelijk de regel g_{log(x) = y ⇐⇒ x = g}y_.

De wiskundige denkactiviteit die hier wordt gebruikt is abstraheren. Volgens Drijvers, Van Streun & Zwaneveld (2016) is abstractie het wezen en de kracht van wiskunde en maakt het leren en begrijpen van wiskunde gemakkelijker. Bij abstraheren gaat het om het doorzien van onderliggende concepten in concrete situaties doorzien en omgekeerd om het kunnen vertalen van abstracte notaties naar concrete objecten en situaties. In dit geval moeten de leerlingen uit concrete voorbeelden de regel g_{log(x) = y ⇐⇒ x = g}y _{in te}

zien en omgekeerd moeten de leerlingen deze regel kunnen toepassen op concrete logarit-mische vergelijkingen. Op deze manier zouden we concept van logaritmen als inversen van exponenti¨ele functies voor de leerlingen kunnen verduidelijken. Door deze regel te begrij-pen zouden de leerlingen ook kunnen gemakkelijker kunnen ontdekken wat het domein en bereik van een logaritmische functie is.

3.3 Rekenliniaal

Een derde methode om betekenis te geven aan logaritmen is het gebruik van een reken-liniaal. Daems (2016) beschrijft hoe een rekenliniaal werkt, eerst voor vermenigvuldigen en delen, maar daarna ook voor logaritmen. Het principe voor vermenigvuldigen en de-len wordt dan gebruikt op een logaritmische schaal. Hiermee wordt dan uitgelegd hoe je de logaritme van een product kan bepalen en worden de regels log(ab) = log(a) + log(b) en log a_b = log(a) − log(b) toegelicht. Vermenigvuldigen wordt omgezet in optellen en delen in aftrekken. Op deze manier wordt betekenis gegeven aan enkele rekenregels voor logaritmen.

3.4 Gekozen oplossing

In de lessenserie zullen we gebruik maken van een combinatie van twee van de mogelijke oplossingen die we hiervoor hebben besproken om betekenis te geven aan logaritmen, na-melijk van de eerste en de tweede. Omdat de rekenliniaal vooral geschikt is om betekenis

(6)

te geven aan regels als log(ab) = log(a) + log(b), wat in de vijfde klas wordt behandeld, hebben we ervoor gekozen om dit niet in de lessenserie op te nemen, aangezien deze les-senserie zich op de vierde klas richt.

We zullen “Herhaald delen totdat je bij 1 uitkomt” gebruiken in de eerste les om eenvoudige logaritmen als 10_{log(1000) en} 2_{log(8) te berekenen, waarna we met deze methode de regel} g_log(ga_{) = a zullen introduceren. Hiermee gaan de leerlingen dan logaritmen als} 3_log(9√₃₎

uitrekenen.

Het doel van de tweede les is dat de leerlingen kunnen werken met de regel: “uitg_{log(x) = y}

volgt x = gy_{”. Hiervoor gaan we opdracht 2 uit de digitale bijlage van hoofdstuk 11 van}

Drijvers, Van Streun & Zwaneveld (2016) gebruiken. De leerlingen gaan eerst logaritmen berekenen met de grafische rekenmachine en vervolgens ook machten berekenen om een vermoeden te krijgen over de laatstgenoemde regel. Ook willen we bereiken dat de leerlin-gen de regel in de omgekeerde richting kunnen toepassen om vergelijkinleerlin-gen als ax = c op te lossen.

De laatstgenoemde opdracht zullen we in de derde les voortzetten om variabelen vrij te maken bij exponenti¨ele formules. In deze les zullen we ook al naar logaritmische functies kijken. Hiervoor gaan we weer herhaald delen. Volgens Vos & Espedal (2015) kun je de aanpak van het herhaald delen ook gebruiken om de leerlingen in te laten zien dat loga-ritmen functies zijn. Zij beschrijven dat je de leerlingen eerst kunt laten bepalen tussen welke twee gehele getallen een logaritme ligt om vervolgens te schatten bij welk van deze twee getallen de logaritme dichter zal liggen. Deze schatting gecontroleerd met de reken-machine. Volgens Vos & Espedal (2015) leidt deze manier van het schatten van logaritmen ertoe dat de leerlingen beter zullen begrijpen dat logaritmen functies zijn.

In de vierde les gaan we verder met logaritmische functies, waarbij we een combinatie zul-len gebruiken van de eerste en tweede mogelijke oplossing. We herhazul-len kort wat we in de vorige les hadden besproken m.b.t. logaritmische functies. Vervolgens wordt het herhaald delen wordt weer ingezet, nu om het domein van logaritmische functies te introduceren. Door zowel positieve als negatieve getallen in te vullen in de logaritme en vervolgens her-haald te gaan delen willen we de leerlingen een idee geven welke getallen je in een logaritme kan invullen en hiermee dus betekenis aan het domein van logaritmische functies te geven. Dit kunnen we niet alleen doen voor functies als f (x) = log(x), maar ook voor beeldgra-fieken die ontstaan na translaties zoals g(x) = log(x + 1).

In de bijlagen is voor ieder van de vier lessen een lesplan opgenomen waarin de lessenserie verder is uitgewerkt.

(7)

4 Ontwerphypothese en ontwerpregels

Nu het probleem is geanalyseerd en we tot een oplossing zijn gekomen kunnen we de vol-gende ontwerphypothese formuleren.

“Als we het probleem dat leerlingen moeite hebben om met logaritmen te rekenen en met lo-garitmische functies te werken aanpakken door het concept van logaritmen verduidelijken en betekenis aan logaritmen te geven middels herhaald delen en door de leerlingen rekenregels te laten ontdekken middels abstraheren dan zullen de leerlingen gemakkelijk met logaritmen kunnen rekenen en met de bijbehorende functies kunnen werken, beter scoren op de toets op het onderwerp logaritmen en zullen de leerlingen logaritmen een leuker en interessanter onderwerp vinden, dit alles in vergelijking met een parallelklas.”

Om de lessenserie het verschil te laten maken dat in de ontwerphypothese wordt beschreven stellen we tweetal ontwerpregels vast die waaraan de lessen moeten voldoen om naar dit verschil toe te werken.

1. Leerlingen leren op twee manieren betekenis aan logaritmen te geven, namelijk d.m.v. het “Herhaald delen tot je bij 1 bent” en wiskundige denkactiviteiten.

2. Bij de introductie van nieuwe theorie zullen de leerlingen steeds eerst met voor het onderwerp zeer eenvoudige opgaven aan de slag gaan. Vanuit deze eenvoudige voor-beelden zal het abstractieniveau in kleine stappen toenemen door over te gaan op voorbeelden met andere getallen en vervolgens door de getallen te vervangen door variabelen om zo tot de algemene theorie te komen.

Verder gelden de volgende praktische zaken bij het uitvoeren van de lessen:

1. De lessenserie is bestemd voor ´e´en Havo 4 wiskunde B klas, de interventieklas. De parallelklas krijgt deze lessenserie niet, maar krijgt de reguliere lessen.

2. De lessenserie bestaat uit vier lessen van ieder 45 minuten.

3. De parallelklas die de lessenserie niet krijgt zal de vier reguliere lessen over logaritmen niet van de eigen docent krijgen, maar van de docent van de interventieklas. Hiermee willen we proberen uit te sluiten dat de effecten die de ontwerphypothese kunnen ondersteunen te wijten zijn aan het feit dat de twee klassen van verschillende docenten les hebben gehad.

(8)

5 Onderzoeksopzet

Nu de ontwerphypothese vaststaat, zullen we beschrijven welk onderzoeksdesign we zul-len gebruiken om deze hypothese te onderzoeken en te toetsen. In dit ontwerponderzoek zullen we gebruik maken van een quasi-experimenteel design met alleen een nameting. De leerlingen zitten al in bestaande groepen, namelijk de interventieklas en de parallelklas, en worden dus niet random aan groepen toegewezen. Voor de nameting zullen we gebruik maken van een korte toets (ca. een halve les) en interviews. De toetsvragen zijn vergelijk-baar met de vragen uit de toets van schooljaar 2016-2017 die we hebben gebruikt bij de empirische verkenning. We geven alleen een toets na de lessenserie, niet ervoor, vandaar een onderzoeksdesign met alleen een nameting. Ook de interviews worden alleen achteraf afgenomen, omdat we hiermee in kaart willen brengen hoe de leerlingen de lessen hebben ervaren. We meten dus op twee niveaus, namelijk op het niveau van leerresultaten en op het niveau van leerervaringen. Het eerste niveau heeft prioriteit binnen dit onderzoek. De tegenvallende resultaten van schooljaar 2016-2017 waren immers een aanleiding om een ontwerponderzoek te starten.

We zullen onderzoeken of de metingen de ontwerphypothese ondersteunen en daarmee of de lessenserie met de didactische ontwerpregels m.b.t. betekenis aan logaritmen geven en het langzaam opbouwen van het abstractieniveau daadwerkelijk een oplossing voor het vastgestelde probleem vormen. De lessenserie wordt als een effectieve oplossing voor het probleem gezien wanneer:

1. De leerlingen in de interventieklas op de toets gemiddeld significant meer punten zullen scoren m.b.t. logaritmen dan de leerlingen in de parallelklas. Hiervoor zullen we een t-toets met ongepaarde waarnemingen gebruiken zoals beschreven in Bijma, Jonker & Van der Vaart (2016).

2. De leerlingen in de interventieklas op de toets een hoger abstractieniveau bereiken dan de leerlingen in de parallelklas.

3. Interviews uitwijzen dat de leerlingen in de interventieklas het onderwerp logarit-men interessanter/leuker vinden dan de leerlingen die de ontwerplessen niet hebben ervaren.

Om de mate van abstractie in kaart te brengen zullen we kijken naar niveaus’s van kennisbe-heersing kijken. Hiervoor zullen we de Webspijkeren taxonomie gebruiken, zoals beschreven in Kaper, Heck en Tempelaar (2005). We zullen de toetsvragen classificeren aan de hand van de door Kaper, Heck en Tempelaar (2005) genoemde niveau’s van kennisbeheersing en bekijken de prestaties van de leerlingen in de interventie- en parallelklas op in de toets gebruikte niveau’s.

(9)

De interviews zullen semi-gestructureerd zijn, het onderwerp staat immers vast. We willen namelijk weten wat de leerlingen hebben geleerd, wat zij van de lessenserie vonden en hoe zij tegenover het onderwerp logaritmen staan. Ook de volgorde van de vragen zal vaststaan, maar de formulering van de vragen en het gedrag van de interviewer laten we vrij. Omdat we willen weten hoe de leerlingen de lessen hebben ervaren zullen we de ge¨ınterviewden als expert beschouwen, voor “encouraging” als probing tactic kiezen en rapport en samen-vatten als probing-technieken gebruiken. In de bijlage is een itemlijst opgenomen voor de interviews.

6 Tijdsplan

In deze paragraaf geven we de tijdsplanning voor dit ontwerponderzoek, zie Tabel 1 op de volgende pagina. Hierin worden alle taken binnen het onderzoek, de weken waarin deze plaatsvinden en de bijbehorende deadlines benoemd.

Week Taak Deadline

7 Empirische verkenning door de toetsen van schooljaar 2016-2017 te analyseren m.b.t. logaritmen

9 Enquˆetes afnemen om probleem verder uit te diepen

10 t/m 14 Literatuuronderzoek en ontwerpnotitie schrijven

15 Toets over logaritmen ontwerpen voor de nameting en laten peer-reviewen door de collega van de parallelklas

15 Ontwerpnotitie afronden 19 april 23:00

18 & 19 Eventueel de ontwerpnotitie

verbeteren 10 mei 12:00

20 & 21 Lessenserie uitvoeren 22 Toets Logaritmen

22 Statistisch toetsen van een deel van de ontwerphypothese aan de hand van de toetsresultaten

22 & 23 Interviews afnemen

23 & 24 Eindpaper Ontwerponderzoek schrijven

24 Afronden Eindpaper Ontwerponderzoek 14 juni 12:00

(10)

7 Uitvoering van de ontwerplessen

Bij de uitvoering van de lessen zijn de onderwerpen die in een lesplan werden genoemd ook in die les aan bod gekomen. Sommigen leerlingen bleken hier zeer snel doorheen te gaan, in een kortere tijd dan er voor werkvorm gepland stond. Dit was met name het geval in de tweede en derde les, waarschijnlijk door het laagdrempelige startniveau van de opgaven in het extra materiaal en de langzame opbouw van het abstractieniveau. Dit leidde ertoe dat we enkele keren eerder de gemaakte opgaven hebben besproken dan genoemd in het lesplan, waardoor de lessen sneller verliepen dan van tevoren gedacht. De vrijgekomen tijd is besteed aan het maken van huiswerk voor de volgende les.

In de lesplannen werd vermeld dat de leerlingen in duo’s aan de slag zouden gaan. Dit idee is, m.u.v. de eerste les, op een net iets andere wijze uitgevoerd, namelijk de leerlingen hebben eerst zelfstandig de opdracht gemaakt en vervolgens hebben ze hun antwoorden vergeleken. Daarna hebben we de opgaven waarin rekenregels werden behandeld besproken waarbij de leerlingen de vragen beantwoordden en daarmee al het werk deden. In les twee hadden de leerlingen moeite om eerst zelfstandig aan de slag te gaan, ze hadden toch de neiging snel samen te gaan werken, maar in lessen drie en vier gingen de leerlingen eerst zelf met de opgave aan de slag alvorens de antwoorden te vergelijken. Deze enigszins an-dere uitvoering van de ontwerplessen dan in de beschreven lesplannen en het feit dat de leerlingen in het begin moeite hadden met zelfstandig aan de slag gaan leek geen negatieve invloed te hebben op de te halen leerdoelen. Bij het bespreken van de opgaven verschenen de juiste rekenregels op het bord.

In de eerste les na de vier ontwerplessen hebben we een korte toets afgenomen over bij logaritmen behandelde onderwerpen, de toets is opgenomen in de bijlage. De leerlingen hebben hier 25 minuten de tijd voor gekregen wat voor de meeste ruim voldoende bleek te zijn, enerzijds omdat ze de toets af hadden en anderzijds omdat ze vragen die ze niet wisten open hadden gelaten. De toets is de gebruikelijke toetsopstelling afgenomen, maar de leerlingen wisten dat deze toets niet zou meetellen voor hun rapportcijfer. Dit leidde ertoe dat sommige leerlingen moeite hadden om de toets als een echte toets te zien, ze werden niet zo snel rustig als bij een echte toets, waardoor uiteindelijk ook een leerling de gang op moest en de toets daar heeft gemaakt. Dit is natuurlijk een storende factor voor de overige leerlingen wat een negatief effect zou kunnen hebben op de prestaties op de toets. Dit zou een negatief effect kunnen hebben op de kwaliteit van de metingen en daarom zouden we bij reproductie van de metingen, of bij soortgelijke metingen in een ander onderzoek beter achteraf kunnen vertellen dat de toets niet meetelt.

Voor iedere vraag kon een maximaal aantal punten worden behaald, de vragen 1a, 1b, 2a, 2b, 3a en 3b waren respectievelijk 1, 2, 2, 3, 2 en 2 punten waard. Nadat de toetsen wa-ren nagekeken hebben we de scores per leerling opgeteld, die dus maximaal op 12 punten

(11)

uitkomt. De toets is zowel in de interventieklas als in de prallelklas afgenomen in twee opeenvolgende lesuren op een maandag aan het eind van de ochtend. De totaalscores in de interventieklas en de totaalscores in de parallelklas vormen twee steekproeven die we onderwerpen aan een t-toets met ongepaarde waarnemingen, zie paragraaf 8.1.

In de resterende lessen van die week en de daaropvolgende week hebben de interviews plaatsgevonden. Deze zijn afgenomen tijdens de lessen wanneer de leerlingen zelfstandig aan het werk waren, de gegeven antwoorden zijn opgeschreven. Bij de analyse van de ant-woorden hebben we geturfd hoe vaak een bepaald antwoord werd gegeven. Bij een gesloten vraag als “Vind je het een interessant of leuk onderwerp” gaat dat vrij gemakkelijk. Als er wordt gevraagd hoe ze een bepaalde aanpak hebben ervaren dan wordt dat iets lastiger, maar dan turven we hoe vaak er een postief, neutraal of negatief geformuleerd antwoord wordt gegeven.

Zowel de toetsresultaten als de interviews kunnen veel informatie leveren omtrent het effect van het onderzoek en zullen daarom allebei uitgebreid aan bod komen in de evaluatie. Desalniettemin zullen ze gescheiden van elkaar worden behandeld, omdat de toetsresultaten informtie leveren over leerprestaties en de interviews of leerevaringen.

8 Resultaten, conclusies en discussie

8.1 Een statistische analyse van de toetsresultaten

We gaan nu de resultaten van de toets statistisch analyseren. Zoals beschreven in paragraaf 5 zullen we hiervoor een t-toets met ongepaarde waarnemingen voor gebruiken. Deze toets veronderstelt dat de twee steekproeven voortkomen uit twee normale verdelingen, daarom zullen we veronderstellen dat de totaalscores in de interventieklas een steekproef vormen uit de N (µ, σ2_{)-verdeling en dat de totaalscores in de parallelklas (die de reguliere lessen}

kreeg) een steekproef uit de N (ν, τ2_{)-verdeling vormen. Omdat we willen aantonen dat}

de interventieklas gemiddeld meer punten heeft gescoord dan de parallelklas zullen we de nulhypothese H0: µ − ν ≤ 0 toetsen tegen H1: µ − ν > 0 bij een

onbetrouwbaarheids-drempel van α = 0.05. Om dit te toetsen maken we gebruik van Excel. We voeren een rechtseenzijdige t-toets met ongepaarde waarnemingen uit te voeren waarbij we aannemen dat de varianties van de achterliggende verdelingen niet gelijk aan elkaar zijn. De p-waarde is gelijk aan 0.258 en dit is groter dan de onbetrouwbaarheidsdrempel. Daarom mogen we H0niet verwerpen en daarmee mogen we niet concluderen dat de interventieklas significant

meer punten heeft gescoord dan de parallelklas.

Hadden we een onbetrouwbaarheidsdrempel van 0.3 gekozen dan was de p-waarde wel kleiner dan de onbetrouwbaarheidsdrempel geweest, maar dan neemt de kans dat we H0

(12)

Daarnaast is er nog een factor die het lastig maakt om een goede interpretatie van de resultaten te geven. Normaalgesproken scoort de interventieklas gemiddeld lager dan de parallelklas. Aangezien de interventieklas nu juist gemiddeld hoger heeft gescoord zou dat een aanwijzing kunnen zijn dat H1 juist is, maar volgens de t-toets is deze gemiddelde score

niet significant hoger dan de gemiddelde score in de parallelklas.

Kortom, we kunnen niet concluderen dat de lessenserie succesvol is geweest op het gebied van leerprestaties.

We hebben aangenomen dat de varianties van de onderliggende verdelingen ongelijk zijn bij het uitvoeren van de t-toets, omdat het vaak niet zeker of onjuist is dat de varianties gelijk zijn.

8.2 Een analyse op niveau’s van kennisbeheersing

In Kaper, Heck & Tempelaar (2005) worden drie groepen onderscheden die ieder een be-paald niveau van kennisbeheersing representeren. Binnen elke groep worden verschillende opdrachten onderscheden in opklimmend niveau. In Tabel 2 zijn de toetsvragen, zie de bijlage, ingedeeld aan de hand van deze verschillende opdrachten om het abstractieniveau van de leerlingen in kaart te brengen.

Vraag Niveau

1a Herinneren van feiten 1b Algoritme toepassen 2a Algoritme toepassen

2b Zelf een plan trekken of zelf karakteristieken selecteren 3a Zelf een plan trekken of zelf karakteristieken selecteren 3b Interpreteren van een situatie

Tabel 2: Indeling van de toetsvragen naar de opdrachten binnen de niveau’s van kennisbeheersing.

In Tabel 3 wordt voor zowel de interventieklas als de paralleklas weergegeven hoeveel punten de klas gemiddeld op ieder niveau heeft behaald.

(13)

Niveau Maximaal Interventieklas Parallelklas

Herinneren van feiten 1 0,882352941 0,529411765

Algoritme toepassen 4 2,294117647 2,147058824

Zelf een plan trekken/karakteristieken selecteren 5 3,735294118 3,176470588

Interpreteren van een situatie 2 0,5 0,4375

Tabel 3: Gemiddelde scores van de interventie- en parallelklas op de verschillende niveau’s.

In overeenstemming met de resultaten van paragraaf 8.1 zien we dat de interventieklas enigszins beter scoort, maar als we deze gemiddelde scores gebruiken als waarnemingen om nog een rechtseenzijdige t-toets als in paragraaf 8.1 uit te voeren waarbij we H0: de

interventieklas heeft geen hoger abstractieniveau bereikt dan de parallelklas, toetsen tegen H1: e interventieklas heeft wel een hoger abstractieniveau bereikt dan de parallelklas, dan

krijgen we een p-waarde van 0,393. Hieruit blijkt dat we niet mogen concluderen dat de interventieklas een hoger abstractieniveau heeft bereikt.

8.3 Uitkomsten van de interviews

Nu de toetsresultaten zijn geanalyseerd gaan we verder met de antwoorden die zijn gegeven tijdens de interviews. In totaal zijn 14 leerlingen uit de interventieklas ge¨ınterviewd en zij geven uiteenlopende antwoorden.

Zo lijkt ongeveer de helft van de ge¨ınterviewden het een leuk onderwerp te vinden, waarbij enkele leerlingen aangaven dat het leuk was om eens niet uit het boek te werken. Wat be-treft het “Herhaald delen” gaf precies de helft aan het een leuke of makkelijke/begrijpbare methode te vinden, terwijl de andere helft juist aangaf dat deze methode te langdradig is. Wat betreft de opgaven om de rekenregels te ontdekken waren de leerlingen niet positiever dan over het “Herhaald delen”. Voor sommige leerlingen was deze methode, waarbij het langzaam opbouwen van het abstractieniveau duidelijk naar voren kwam, een zeer duide-lijke methode, maar ook hier waren er leerlingen die graag een hoger tempo hadden gezien. In de enquˆete voor het vooronderzoek die is afgenomen in Havo 5 was er ook sprake van een nagenoeg even grote tweedeling in de leerlingen die het onderwerp logariten respectie-velijk wel en niet leuk of interessant vinden. Dit is vergelijkbaar met de resultaten van de interviews. Daarom lijken de aanpakken en opdrachten waarmee we de leerlingen betekenis aan logaritmen willen laten geven de leerlingen niet (extra) te enthousiasmeren, de leerlin-gen lijken het onderwerp niet interessanter te vinden dan leerlinleerlin-gen die de lessenserie niet hebben gehad. De uitkomsten van de interviews lijken daarom niet de ontwerphypothese

(14)

te ondersteunen i.t.t. tot de verwachtingen.

Tot slot moeten we wel opmerken dat het aantal ge¨ınterviewden relatief laag is wat mis-schien ten koste gaat van de betrouwbaarheid van de conclusies. In de discussie komen we hierop terug.

8.4 Conclusies

De conclusies van het onderzoek zijn in de paragrafen 8.1 en 8.3 al getrokken, namelijk 1. We mogen niet concluderen dat de interventieklas significant meer punten heeft

ge-scoord op de toets dan de parallelklas.

2. De leerlingen in de intervetieklas lijken het onderwerp niet interessanter te vinden dan leerlingen die de lessenserie niet hebben gehad.

Deze conclusies zijn in strijd met de ontwerphypothese die stelde dat de leerlingen na deze lessenserie beter met logaritmen kunnen rekenen, beter met logaritmische functies kunnen werken en dat de leerlingen het onderwerp logaritmen interessanter zullen vinden dan leer-lingen die de lessenserie niet hebben gehad. De conclusies geven eerder een aanwijzing dat de lessenserie weinig tot geen effect heeft m.b.t. de beoogde doelen die zijn gesteld n.a.v. de probleemanalyse, zoals het juist toepassen van de regel g_{log(x) = y ⇐⇒ x = g}y _{en het}

correct bepalen van het domein en bereik van logaritmische functies. Op de toets zagen we nog steeds dat leerlingen de laatstgenoemde regel verkeerd toepassen en weer had slechts een enkeling de vraag over het domein en bereik helemaal correct opgelost.

Bij deze eerste conclusie moeten we wel een kanttekening plaatsen, aangezien er een ver-schil is in de eerdere leerprestaties tussen de twee groepen. Bij de eerdere toetsen in het schooljaar presteerde de parallelklas beter dan de interventieklas qua gemiddelde resulta-ten en aantal onvoldoendes. Nu heeft de interventieklas juist beter gescoord. Hoewel de resultaten niet significant beter waren dan die van de parallelklas zou dit toch een indicatie kunnen zijn voor het juist zijn van de ontwerphypothese. Bij de discussie zullen we hier kort op terugkomen.

De ontwerpregels die de leidraad hebben gevormd van de ontwerplessen en bij de uitvoering hiervan nadrukkelijk aanwezig waren, lijken niet het beoogde effect te hebben gehad. Dit zagen wel al in de laatste alinea van paragaaf 8.1, waar bleek dat de leerlingen de makkelijke sommen wel konden, maar de abstractere niet. In de discussie bespreken we waarom deze ontwerpregel niet het beoogde effect zou kunnen hebben gehad.

Wat betreft de ontwerpregel die stelde dat de leerlingen op twee manieren (zie paragraaf 4) betekenis moesten kunnen geven aan logaritmen, zien we dat het idee van herhaald

(15)

delen is aangekomen, dat de leerlingen zien dat het aantal te zetten stappen bij deze procedure gelijk is aan de exponent van de macht, maar dit heeft er niet toe geleidt dat de leerlingen de regel g_log(ga_{) = a beter onthouden en kunnen toepassen. De wiskundige}

denkactiviteiten daarentegen hebben er bij de leerlingen wel toe geleid dat de ze de regel

g_{log(x) = y ⇐⇒ x = g}y _{kenden en in de les konden toepassen, wat in de les duidelijk was}

te zien, alhoewel de leerlingen op de toets vaak de mist ingingen bij de abstractere som.

8.5 Discussie

We zullen nu terugkomen op een aantal punten die eerder in paragrafen 8.1 t/m 8.4 aan bod zijn gekomen. Hierbij stellen we vragen voor verder onderzoek en geven daarbij, voor zover mogelijk, ook een aanleiding tot herontwerp van de lessenserie.

Als eerste kijken we nog eens naar het feit dat de abstractere sommen minder goed werden gemaakt dan de simpelere sommen. Hierbij kunnen we ons afvragen in welke mate het op-bouwen van het abstractieniveau zinvol is en wanneer het effect van deze ontwerpregel stag-neert of dat we juist meer stappen hadden moeten zetten om het beoogde niveau te behalen. Zo zagen we bij toetsvraag 2a, waarbij de leerlingen een regel nodig hadden die ze hebben ontdekt door het opbouwen van het abstractieniveau, namelijk glog(x) = y ⇐⇒ x = gy, dat de meeste leerlingen deze vraag correct hadden opgelost. Dus om zo’n regel te ontdek-ken lijkt de laatstgenoemde ontwerpregel een positief effect te hebben, maar hier eindigt de opbouw qua abstractieniveau in het extra materiaal dat voor de lessenserie is ontworpen. Daarna zijn we overgegaan op de opgaven in het boek die vergelijkbaar zijn met toetsvraag 2b. Daarom is het de vraag of deze stap niet te groot is geweest en om dit te onderzoeken zouden we bij een herontwerp het extra materiaal kunnen aanpassen zodat met meer tus-senstappen naar het beoogde niveau wordt toegewerkt.

Ten tweede komen we terug op het feit dat de helft van de ge¨ınterviewden het “Herhaald delen” makkelijk vond en de andere helft juist te langdradig. Dit roept de vraag op hoe we de aanpak kunnen aanpassen zodat geen leerlingen het te langdradig vinden, maar zon-der dat dit ten koste gaat van leerlingen die de aanpak juist fijn vinden zoals die nu is. Daarom zouden we deze aanpak kunnen herontwerpen door differentiatie in te bouwen bij het “Herhaald delen”. Hierbij kunnen we abstracter materiaal toevoegen om de leerlingen die deze aanpak te langdradig zouden kunnen vinden extra uitdaging te bieden. De leer-lingen die moeite hebben met het vak zouden dan de lessenserie kunnen volgen zoals deze in schooljaar 2017-2018 is uitgevoerd.

Ook de rest van de lessenserie zou op deze manier kunnen worden aangepast. Het lang-zaam opbouwen van het abstractieniveau bleek niet voor iedereen even goed te werken qua leerervaring, daarom zouden we ook in de rest van de lessenserie kunnen gaan differenti¨eren

(16)

zodat we een lessenserie behouden waarin het abstractieniveau langzaam wordt opgebouwd en een lessenserie verkrijgen met een hoger tempo.

Een mogelijkheid tot differentiatie kan worden gevonden door te kijken naar de stof die in Havo 5 aan bod komt. In Havo 5 komen de logaritmen weer aan bod en worden er nog meer rekenregels ge¨ıntroduceerd, namelijk de rekenregels beschreven in paragraaf 3.3 over de rekenliniaal. Aangezien de rekenliniaal ook een methode is om betekenis aan logaritmen te geven, zouden we dit aan een snellere versie van de huidige lessenserie kunnen toevoe-gen om de mogelijk tot differentiatie te bieden en tegelijkertijd blijft dit dichtbij de eerste didactische ontwerpregel. De eerste ontwerpregel blijft dus aanwezig in beide mogelijke versies van de lessenserie, de differentiatie zit hem dan in het ontbreken van de tweede ontwerpregel in de snellere versie van de lessenserie.

Een andere mogelijke uitbreiding van de lessenserie om mee te differenti¨eren is het kijken naar toepassingen in andere vakken. Zo noemden we in de probleembeschrijving al de toepassingen in de scheikunde. Dit zouden we kunnen inbouwen in de lessenserie om de transfer naar scheikunde te vergemakkelijken. Echter, hier zitten wel een paar haken en ogen aan, namelijk niet alle leerlingen kiezen scheikunde en binnen de leerlingen voor wie de opbouw van het abstractieniveau juist goed werkt, zitten ook leerlingen die scheikunde kiezen en zij krijgen bij deze differentiatie niet die transfer naar scheikunde.

Ook hadden we benoemd dat het aantal ge¨ınterviewden relatief laag is en dat dit ten koste zou kunnen gaan van de betrouwbaarheid van de conclusies. De vraag is nu hoe we de betrouwbaarheid op een effici¨ente wijze kunnen verhogen. We zouden een groter aantal leerlingen kunnen interviewen, bij voorkeur de hele klas, maar hier gaat vrij veel tijd in zitten, zowel in het afnemen van de interviews als in het interpreteren van de gegeven antwoorden. Daarom zou er beter voor een ander onderzoeksinstrument kunnen worden gekozen, bijvoorbeeld een vragenlijst die alle leerlingen in de klas tegelijkertijd kunnen invullen.

Tot slot kijken we nog even naar het feit dat de interventieklas nu gemiddeld beter heeft gescoord dan de interventieklas i.t.t. bij de eerdere toetsen in het schooljaar. Dit geeft de indruk dat de lessenserie misschien wel effectief is geweest, maar dat het verschil in niveau tussen de twee klassen dit effect heeft tegengewerkt zodanig dat de scores in de interventie-klas nog wel hoger zijn dan in de parallelinterventie-klas, maar nier significant hoger. Daarom zouden we het onderzoek kunnen herhalen voor twee groepen die gemiddeld genomen ongeveer even goed scoren om deze indicatie verder te onderzoeken.

Al met al hebben de ontwerplessen niet geleid tot significant hogere leerprestaties. Om vast te stellen of het beoogde effect van de lessenserie inderdaad teniet is gedaan door het verschil in niveau tussen de twee klassen zal nader onderzoek nodig zijn. Hierbij zouden

(17)

de genoemde voorstellen voor herontwerp kunnen worden meegenomen om de lessenserie ook op het gebied van leerervaringen succesvol te maken.

(18)

Literatuurlijst

Bijma, F., Jonker, M., Van der Vaart, A. W. (2016) Inleiding in de Statistiek. Utrecht: Epsilon uitgaven.

Drijvers, P., Van Streun, A., Zwaneveld, B. (2016). Handboek Wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon uitgaven.

Gamble., M. (2005). Teaching Logarithms Day One. The Mathematics Teacher, 99 (1), 66-67.

Kaper, W., Heck, A., Tempelaar, D. (2005) Beschrijving van kennis in twee dimensies ge¨ıllustreerd aan twee cursussen aan de UM en UvA.

Kenney, R., Kastberg, S. (2013). Links in learning logarithms. Australian Senior Mathe-matics Journal, 27 (1), 12-20.

Liang, C. B., Wood E. (2005). Working with logarithms: students’ misconceptions and errors. The Mathematics Educator, 8 (2), 53-70.

Vos, P., Espedal, B. (2015). Logaritme - een betekenisvolle aanpak met herhaald delen. Weber, C. (2017). Graphing logarithmic functions: Multiple interpretations of logarithms as a basis for understanding. Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 537-544.

(19)

Bijlagen

1. Enquˆete logaritmen 2. Lesplannen ontwerplessen 3. Boekje Logaritmen

4. Toets

(20)

Enquête logaritmen

Deze vragenlijst gaat over het onderwerp logaritmen dat je in de vierde klas voor het eerst hebt gezien. Om de lessen bij dit onderwerp leerzamer te maken willen we je vragen deze vragenlijst in te vullen. Eerst een viertal open vragen.

1. Waar denk je aan bij logaritmen?

2. Wat vond je in de vierde klas het lastigste aan de logaritmen? 3. Vind je dat nog steeds lastig?

4. Bekijk de onderstaande sommen. A. Los algebraïsch op 2_{log(x – 4) = 5}

B. Gegeven is de functie f(x) = 3_{log(x – 5) + 2.}

Hoe ontstaat de grafiek van f uit een standaardgrafiek? Waar denk je aan als je deze sommen moet oplossen? A.

B.

Nu volgen een paar stellingen. Vink steeds een hokje om aan te geven in welke mate je het met een stelling eens bent. Mocht je het niet weten dan kun je dat aan de rechterkant bij “Geen mening” aangeven.

Zeer mee oneens

Oneens Niet eens, maar ook niet oneens Eens Zeer mee eens Geen mening 1 Ik vind logaritmen een makkelijk

onderwerp.

2 De opdrachten in het boek hielpen mij om de stof beter te begrijpen.

3 Ik vind logaritmen interessant.

4 Ik kon veel over logaritmen leren met behulp van de theorie in het boek. 5 De uitleg over logaritmen in de les was

duidelijk.

6 Ik vind logaritmen minder leuk dan de andere wiskunde-onderwerpen. 7 Ik vind logaritmen een moeilijker

(21)

Tot slot willen we graag weten hoe moeilijk je de volgende onderwerpen bij logaritmen vindt, op een schaal van 1 tot 5.

1 Heel makkelijk 2 Makkelijk

3 Niet makkelijk, maar ook niet moeilijk 4 Moeilijk

5 Zeer moeilijk

Vink het hokje aan dat bij jouw mening past.

1 2 3 4 5

Logaritmen berekenen ( bijv. 4_{log(64) )}

Logaritmische vergelijkingen

Exponentiële vergelijkingen oplossen met een logaritme

Domein en bereik van een logaritmische functie

Translaties bij logaritmische functies Logaritmische functies vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as en y-as

(22)

Lesplannen ontwerplessen

Les 1

Docent: G. Jager Datum: Tijd: 45 _min Klas: H4wiB2 Aantal lln: ₂₉ Lesonderwerp Rekenen met logaritmen

Beginsituatie De leerlingen hebben niet eerder met logaritmen gewerkt.

Leerdoelen

1) De leerlingen leren middels herhaald delen logaritmen te berekenen.

2) De leerlingen kennen de regel g_log(ga_{)=a en kunnen deze}

gebruiken om logaritmen te berekenen.

Boek (+ blz.) Getal & Ruimte Havo B deel p.37-38

Media, spullen, hulp Boekje Logaritmen

Tijd Lesfase1 Leerdoel2 Wat ik doe en zeg Wat zij doen

(werkvorm)

Leeractiviteit Noem de specifieke!

2 1 Planning van vandaag doornemen.

Klassikaal

8 2, 3, 4 1

Instructie geven over “Herhaald delen tot je bij 1 bent”.

Klassikaal

10 5 1

Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s werken aan de opgaven over herhaald delen

Oefenen, uitleggen, verklaren

5 5 1 Gemaakte opgave _bespreken Klassikaal Beargumenteren, conrtoleren

5 2, 3, 4 2

Met de klas een opgave maken om de theorie te verkennen. De leerlingen om ideeën vragen. Klassikaal, waarbij de leerlingen zo veel mogelijk input geven.

Aangeven, uitleggen, verklaren

10 5 1, 2

Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden. In duo’s aan de opgaven werken Oefenen, uitleggen, verklaren 5 6 1, 2 Leerlingen vragen en laten uitleggen hoe het “Herhaald delen tot je bij 1 bent” werkt.

Klassikaal, de leerlingen geven zo veel mogelijk input.

Controleren, evalueren,

Benoemen, uitleggen

(23)

Les 2

Docent: G. Jager Datum: Tijd: 45 min Klas: H4wiB2 Aantal lln: 29 Lesonderwerp Logartimsche en exponentiële vergelijkingen

Beginsituatie De leerlingen hebben geleerd hoe ze logaritmen kunnen berekenen.

Leerdoelen

1) De leerlingen kennen de regel “uit g_{log(x)=y volgt x=g}y_{” en}

kunnen deze gebruiken om logaritmische vergelijkingen op te lossen.

2) De leerlingen kennen de regel “uit ax_=c_{volgt x=}a_{log(c)” en}

kunnen deze gebruiken om vergelijkingen van de vorm ax_=c

op te lossen.

Boek (+ blz.) Getal & Ruimte Havo B deel p.38, 43, 44

Media, spullen, hulp Boekje Logaritmen, grafische rekenmachine

Tijd Lesfase Leerdoel Wat ik doe en _zeg Wat zij doen _(werkvorm) _{Noem de specifieke!}Leeractiviteit

2 1

Planning van vandaag

doornemen. Klassikaal

5 4, 6 Vragen naar vragen over het huiswerk

Klassikaal (leerlingen zonder vragen kunnen alvast aan het

volgende onderdeel beginnen) Controleren, evalueren 13 5 1 Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s werken aan de opgaven om de theorie te onderzoeken Oefenen, onderzoeken, patroon zien, hypothese opstellen 5 2, 3, 5 1 Opgaven bespreken + voorbeeld behandelen, daarbij zoveel mogelijk aan de leerlingen vragen Klassikaal Controleren, evalueren, verklaren 10 5 2 Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s werken aan de opgaven om de theorie te onderzoeken Oefenen, onderzoeken, patroon zien, hypothese opstellen 5 2, 3, 5 2 Opgaven bespreken + voorbeeld behandelen, daarbij zoveel mogelijk aan de leerlingen vragen

Klassikaal Controleren, evalueren, verklaren

5 6 1, 2

Leerlingen vragen wat ze vandaag hebben geleerd en hoe ze dat kunnen

Controleren,

evalueren, benoemen, uitleggen

(24)

Les 3

Docent: G. Jager Datum: Tijd: 45 min Klas: H4wiB2 Aantal lln: 29 Lesonderwerp Variabelen vrijmaken bij exponentiële formules; logaritmische functies

Beginsituatie De leerlingen hebben geleerd met logaritmen te rekenen en _{logaritmische en exponentiële vergelijkingen op te lossen.}

Leerdoelen

1) De leerlingen leren m.b.v. de in de vorige les geleerde regels variabelen vrij te maken bij exponentiële functies.

2) De leerlingen kunnen een schatting van logaritmen maken die geen gehele getallen opleveren.

3) De leerlingen zien de logaritme als een functie in de zin van dat de logaritme aan ieder getal een ander getal koppelt.

Boek (+ blz.) Getal & Ruimte Havo B deel 2 p.44, 39, 40

2 1 Planning van vandaag

5 4, 6 Vragen naar vragen over het huiswerk

In duo’s de theorie van de vorige les verder ontwikkelen aan de hand van opgaven

Oefenen, onderzoeken, hypothese opstellen 5 2, 3, 5 1 Onderzoekende opgave bespreken en concreet voorbeeld behandelen waarbij de leerlingen zoveel mogelijk het werk doen Klassikaal Controleren, evalueren, verklaren, oefenen 13 5 2, 3 Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s werken aan opgaven Oefenen, onderzoeken, 5 2, 3, 5 2, 3 Onderzoekende opgave bespreken en concreet voorbeeld behandelen waarbij de leerlingen zoveel mogelijk het werk doen

Klassikaal

Controleren,

evalueren, verklaren, oefenen

(25)

5 6 1, 2, 3

Leerlingen vragen wat ze vandaag hebben geleerd en hoe ze dat kunnen toepassen

Controleren,

evalueren, benoemen, uitleggen

(26)

Les 4

Docent: G. Jager Datum: Tijd: 45 min Klas: H4wiB2 Aantal lln: 29 Lesonderwerp Rekenen met logaritmen

Beginsituatie

De leerlingen kunnen logaritem berekenen, logaritmische vergelijkingen oplossen en variabelen vrijmaken bij exponentiële formules.

Leerdoelen

1) De leerlingen kunnen de effecten van transformaties herkennen bij logaritmische functies.

2) De leerlingen kunnen het domein van standaard logaritmische functies bepalen.

3) De leerlingen weten hoe het domein verandert onder translaties.

4) De leerlingen weten wat het bereik van een logaritmische functies is.

Boek (+ blz.) Getal & Ruimte Havo B deel p.39-42

2 1 Planning van vandaag

5 4, 6

Vragen naar vragen over het huiswerk

In duo’s een opgave

maken Oefenen 10 5 2, 3 Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s aan de hand van twee opgaven theorie onderzoeken

Oefenen, onderzoeken

5 2, 3, 5 2, 3 De opgaven over de theorie

bespreken. Klassikaal

Controleren,

evalueren, uitleggen, oefenen

5 2 4 Aansluitende

theorie bespreken Klassikaal

8 5 1, 2, 3, 4 Rondlopen, hulp bieden indien nodig, voortgang in de gaten houden.

In duo’s verder werken aan de opgaven. Oefenen, beredeneren 5 6 1, 2, 3, 4 Leerlingen een aantal vragen voorleggen over Klassikaal, de

(27)

(28)

Logaritmen

In dit boekje gaan we stap voor stap de theorie over logaritmen ontdekken. Om te begrij-pen wat logaritmen zijn en hoe ermee te rekenen, beginnen we met een methode die we ”Herhaald delen tot je bij 1 bent”noemen.

Herhaald delen tot je bij 1 bent

We bekijken de volgende macht: 2...= 8. Welk getal moet er dan op de puntjes staan? Tot welke macht moeten we 2 verheffen om 8 te krijgen? Oftewel, hoe vaak moeten we met 2 vermenigvuldigen om 8 te krijgen? Het antwoord op deze vraag wordt opgeschreven als

2_{log(8). Dit getal noemen we een}

logaritme, maar wat betekent dit getal precies?

Om uit te zoeken wat deze logaritme precies betekend gaan we het getal 8 herhaald delen door 2 tot we bij 1 uitkomen. De eerste stap is dan

8 : 2 = 4. Deze uitkomst gaan we weer door 2 delen

4 : 2 = 2 En we gaan zo door

2 : 2 = 1.

We hebben nu driemaal door 2 gedeeld. We hebben dus drie stappen gezet. Hiermee kun-nen we een betekenis geven aan 2_{log(8). Als je 8 driemaal door 2 kan delen voordat je bij}

1 uitkomt, dan kan je het getal 1 driemaal met 2 vermenigvuldigen om op 8 uit te komen. Daarom schrijven we 2log(8) = 3. Het getal 2 waar we door hebben gedeeld, noemen we het grondtal van de logartime 2_log(8).

(29)

Voorbeeld 1. Bereken10log(10000). Uitwerking:

We gaan 10000 herhaald door het grondtal 10 delen tot we bij 1 uitkomen. 10000 : 10 = 1000

1000 : 10 = 100 100 : 10 = 10 10 : 10 = 1

We hebben dus vier stappen gezet. Daarom schrijven we 10_{log(10000) = 4.}

Ter controle kun je narekenen dat 104 = 10000.

Voorbeeld 2. Bereken5_log(125).

Uitwerking:

We gaan 125 herhaald door het grondtal 5 delen tot we bij 1 uitkomen. 125 : 5 = 25

25 : 5 = 5 5 : 5 = 1

We hebben dus drie stappen gezet. Daarom schrijven we5_{log(125) = 3.}

Ter controle kun je narekenen dat 53 _{= 125.}

In de volgende twee opgaven ga je zelf herhaald delen om logaritmen te berekenen. 1. Bereken met herhaald delen.

a. 2_log(32) b. 4log(64) c. 4_log(1) d. 3log(81) e. 10_log(10) f. 5log(625)

(30)

2. Bereken met herhaald delen.

a. 3log(32) b. 3log(33) c. 3log(34)

d. Hoeveel stappen heb je nodig om 3log(3a) te berekenen? e. Vul in: 3_log(3a_{) = . . .}

f. Vul in: 4_log(4a_{) = . . .}

g. Vul in: glog(ga) = . . .

Voorbeeld 3. Bereken3_{log 9}√_3.

Uitwerking: We gebruiken de regel g_log(ga_{) = a.} 3_{log 9}√_{3 =} 3_log₃2_{· 3}1₂₌ 3_log₃21₂_{= 2}1

2.

Voorbeeld 4. Bereken4_log 1 4.

Uitwerking: We gebruiken de regel g_log(ga_{) = a.} 4_log 1

4 =

4_log(4−1_{) = −1.}

(31)

Regels voor logaritmen

In de volgende opgaven gaan we enkele logaritmen en machten berekenen om een nieuwe regel te ontdekken.

3. Bereken de volgende logartimen en machten. a. 2log(16) = . . . 24 = . . .

b. 2log(64) = . . . 26 = . . . c. 2_{log(256) = . . .} ₂8 _{= . . .}

Zie je een patroon?

d. Probeer de volgende regel aan te vullen. Als 2_{log(x) = y dan is 2}... _{= . . .}

4. Bereken de volgende logartimen en machten. a. 10_{log(1000) = . . .} ₁₀3 _{= . . ..}

b. 10log(100000) = . . . 105 = . . .

c. Zie je hetzelfde patroon als in opgave 3? Probeer weer de regel aan te vullen. Als 10_{log(x) = y dan is 10}..._{= . . .}

d. Vul de volgende regel aan: Als g_{log(x) = y dan is g}..._{= . . .}

e. Pas de regel van vraag d toe op 4log(3x + 1) = 2. f. Los de vergelijking die je bij vraag e hebt gevonden op.

(32)

5. Bereken de volgende machten en logaritmen. a. 33 = . . . 3log(27) = . . .

b. 34 _{= . . .} 3_{log(81) = . . .}

Zie je een patroon?

c. Probeer de volgende regel aan te vullen. Als 3x _{= c dan is} 3_{log(. . .) = . . .}

d. Vul ook de volgende regel aan. Als ax = c dan is alog(. . .) = . . .

e. Pas de regel van vraag d toe op 5x+1 _{= 25, en bereken x.}

• Lees nu het voorbeeld op bladzijde 43 van het boek en maak opgave 76.

6. In deze opgave gaan we de variabele x vrijmaken bij de exponenti¨ele formule y = 10 + 4 · 32x−1.

a. Schrijf de formule in de vorm ax _{= c.}

b. Welke regel kan je nu gebruiken? c. Maak x vrij.

(33)

Logaritmische functies

We bekijken de functie f (x) =10 _{log(x). Als we een waarde voor x invullen dan zal de}

functie een waarde teruggeven. In Voorbeeld 1 zagen we dat 10_{log(10000) = 4. Dat wil}

zeggen dat x = 10000 invullen geeft f (10000) = 4.

Een functie moet dit voor iedere waarde van x kunnen doen, maar soms levert herhaald delen tot je bij 1 bent een probleem. Kijk maar wat er gebeurt als je herhaald gaat delen bij 10log(900):

900 : 10 = 90 90 : 10 = 9 9 : 10 = 0,9.

Na twee stappen hebben we 1 nog niet bereikt, maar na drie stappen krijgen we een getal kleiner dan 1. We bereiken 1 dus niet.

Twee stappen is te weinig en drie stappen is te veel, hieruit volgt 2 < 10log(900) < 3. Hoe kunnen we nu 10_{log(900) benaderen?}

We gaan als volgt te werk. Het getal 1 ligt dichterbij 0,9 dan bij 9. Dit betekent dat we na drie stappen dichter bij 1 zijn dan na twee stappen. De waarde van 10_{log(900) ligt daarom}

dichterbij 3 dan bij 2. Als we dit checken met de GR dan krijgen we10log(900) = 2, 954 . . . We hebben nu gezien dat een logaritme ook een waarde heeft als herhaald delen niet mooi uitkomt. In de volgende opgave ga je aan de slag met twee logaritmen die niet mooi uitkomen.

7. Bepaal voor de volgende logaritmen tussen welke twee gehele getallen deze moet liggen. Bepaal ook bij welke geheel getal de logaritme het dichtst ligt en controleer je antwoord met de GR.

a. 10_log(700) _b. 10_log(50)

We hebben eerder het begrip domein bij functies besproken. In de volgende opgave gaan we onderzoeken wat het domein van de functie f (x) = glog(x) is.

8. Beantwoord de volgende vragen.

a. Waarom kun je 3_{log(−9) niet berekenen met “herhaald delen tot je bij 1 bent”?}

b. Waarom kun je 12log(−9) niet berekenen met “herhaald delen tot je bij 1 bent”?

(34)

d. Waarom werkt “herhaald delen tot je bij 1 bent” wel als er een positief getal tussen de haakjes staat?

e. Geef het domein van de functie f (x) = g_log(x).

9. Gegeven is de functie f (x) = 2_log(x).

a. De grafiek van f wordt 2 naar links verschoven. Geef de formule van de grafiek die zo ontstaat.

b. Teken de grafiek bij de formule die je bij vraag a hebt gevonden. Wat gebeurt er met het domein als de grafiek van f met 2 naar links wordt verschoven?

(35)

Logaritmen

1. Bereken. a. 4_log(16) b. 3_log(81√₃₎ 2. Los algebra¨ısch op a. 2_{log(x + 1) = 4} _{b. 4 + 3 ·}5_{log(2x + 1) = 10}

3. Gegeven is de functie f (x) = 12log(x + 3) − 2.

a. Hoe ontstaat de grafiek van f uit een standaardgrafiek?

(36)

Vragen voor interview na interventie

1. Wat heb je geleerd over logaritmen?

2. Wat vind je van de lessen over logaritmen?

3. Wat vind je van de aanpak ”Herhaald delen tot je bij 1 bent”?

4. Vind je dit een leuke manier om kennis te maken met logaritmen? Kun je uitleggen waarom je dat vindt?

5. Wat vind je van de opdrachten op het stencil om de regel glog(x) = y ⇐⇒ x = gy te ontdekken?

6. Kun je vertellen wat je van het onderwerp logaritmen vindt. Vind je het een interessant of leuk onderwerp, of misschien juist saai?