decimalen op
afgerond x
of x
exact x
of x
x x
2 58
, 1 58
, 1
2 5 2
5 2
5 5
2 2 2
=
=
−
=
=
→
=
→
=
decimalen op
afgerond x
of x
exact x
of x
x x
x
2 54
, 3 54
, 3
2 25 2
25 2
25 25 2
5
2 2 2 2
−
=
=
−
=
=
→
=
→
=
→
= Uitwerkingen hoofdstuk 2 versie 2014
2. Machten, wortels en logaritmen.
Opgave 2.1 Bereken de volgende machten en wortels (zonder rekenmachine!) a 2,252 =5,0625
b (2,25⋅103)2 =5,0625⋅106 c (2,25⋅10−3)2 =5,0625⋅10−6 d 2,25⋅(103)2 =2,25⋅106
e 22502 =2,252⋅106 =5,0625⋅106 f 0,0252 =2,252⋅10−4 =5,0625⋅10−4 g (−2,25)2 =5,0625
h −(2,25)2 =−5,0625 i 25 = 5 j 25⋅106 =5⋅103 k 25⋅106 =5⋅106 l 25⋅ 106 =25⋅103 m 52 =5
n 5× 5 =5 o ( (5)2 = 5
Opgave 2.2 Bepaal de onbekende in de volgende vergelijkingen.
Geef het antwoord in wortelvorm en decimaal.
a
b a =2,5→a=2,52 = 6,25 c a+4 =1→a+4=1→a=−3
d 0,816 0,816
3 2 3
2 2
3a2 = →a2 = →a= = of a =−
e 2,25
4 9 2
3 3
2 a = → a = →a= = f
g 2,25
4 9 9
4 3
2 a = → a= →a= =
cm 0 , 10 cm 100 m
100 200
2
2 2
2 2
2
2
=
=
→
=
→
=
=
×
=
a a
a
a a a A
cm 19,2 10,4 18,5 zijde lange Dus
cm 4 , 10 cm 108 m
108 200
85 , 1
85 , 1 85
, 1
2 2
2
2
=
×
=
=
=
→
=
→
=
=
×
=
a a
a
a a
a A
cm 58 , 6 cm 3 , 43 6 cm
260 260 6
6 ) (
2 2
2
2
=
=
→
=
→
=
=
a a
a
a kubus A
cm 64 , 100 5 100 100
cm 100
2 2
2
=
=
→
=
→
=
⋅
→
=
π
π r r π r
A
cm 6 , 1 80 , 0 2
2 d cm 80 , 2 0 2 2
cm cm 2
50 cm 100
2 2
2 3
=
×
=
→
⋅
=
→
=
=
→
=
→
=
⋅
→
=
=
→
=
→
⋅
=
d
r r
r r
l A A V l A V
π π π
mm 12 :
mm 97 , 11 98 , 5 2
2 d cm 98 , 5 5 , 112 5
, 5 112
, 112
mm 5 , mm 112
80 mm 9000
2 2
2 3
=
=
×
=
→
⋅
=
→
=
=
→
=
→
=
⋅
→
=
=
→
=
→
⋅
=
d afgerond
d
r r
r r
h A A V h A V
π π π
h a+4=1→ a =−3 Dus geen oplossing Opgave 2.3 Bereken de zijde van een vierkant of rechthoek.
a A=100cm2 →a= 100cm2 =10cm=100mm b A=6,85cm2 →a = 6,85cm2 =2,617cm=26,2mm c
d
e
f De plaat moet de afmetingen hebben van 19,7 cm × 26,3 cm g Je moet 2× 260= 520 cm2 beschilderen.
Opgave 2.4 Berekeningen aan cirkel en cilinder
a
b De straal wordt 2× zo groot, en de oppervlakte wordt 4× zo groot.
c
d
m/s 14 10 81 , 9 2 2
=
×
×
=
⋅
⋅
= v
h g v
m/s 25 , 3 58 , 10 54 , 0 8 , 9 2 2
=
=
×
×
=
⋅
⋅
= v
h g v
3 4 3
3
mm 10 095 , 2 cm 95 , 20 cm 700 g , 2
g 5678 ,
56 = = ⋅
=
→
=
→
⋅
= m V
V V
m ρ ρ
2 4 3
4
mm 10 746 , mm 1 200 , 1
mm 10 095 ,
2 ⋅ = ⋅
=
→
=
→
⋅
= A
h A V h A V
mm 150 Dus
mm 9 , 10 74 764 , 1 10
746 , 10 1
746 , 1
mm 10 746 , 1
4 4
2 4 2
2 4
=
⋅ =
=
⋅ →
=
→
⋅
=
⋅
→
⋅
=
d
r r
r A
π π π
m s 10 8 , 7 m 10 5 , s 2 13m , 3
m/s 13 , 3 8 , 9 50 , 0 8 , 9 2 2
4 3 2
4 V
V
−
− = ⋅
⋅
×
=
→
⋅
=
=
=
×
×
=
→
⋅
⋅
=
φ φ v A
v
h g v
cm 13,6 dm 36 , 2 1
dm 5 2
2 5 2 2
3 3 3
3 3
2
=
=
=
→
=
→
=
→
=
×
= V a a
a a
a a V
cm 10,8 dm 08 , 1 d dm 542 , 6 0
dm 3 6
6 6
3 3 3
3 2
2
=
=
→
=
=
→
=
→
⋅
=
⋅
⋅
=
→
⋅
⋅
=
π π
π π
π V a r
r r
r V h r V
Opgave 2.5 Berekenen van de diameter van een schijf via massabepaling.
a
b
c
Opgave 2.6 Berekenen van de snelheid van een vallende massa.
a v(2)=2×9,8=19,6m/s naar beneden b
c Als h 4× zo groot is wordt v 2× zo groot , omdat v= 2⋅g⋅h d De weerstand door luchtwrijving is even groot als de
zwaartekracht.
e
f
Opgave 2.7 Berekeningen aan meetkundige figuren.
a a3 =3→a=3 3dm3 =1,44dm=14,4cm b
c
cm 50 , 8 cm
0 , 17 afgerond
cm 96 , 524 16 , 0 2556 524
, 0
524 , 0 6
/ 1
3 3
3 3
=
→
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
r d
d V
d d
V π
2 2
2
cm 904 )
96 , 16
( =
⋅
=
= π π A
d A
ne rekenmachi met
a a
a 2,55
6 100 6
100 100
6 3 = → 3 = → =3 =
ne rekenmachi met
a a
a 2,02
6 100 6
100 100
6⋅ 4 = → 4 = → =4 =
Opgave 2.8 Oefenen met machten en wortels (zonder rekenmachine)
a 3 8 =2 want 2×2×2=8
b 3 −1000= -10 want -10×-10×-10 = -1000 c 416 = 2
d d =316 =2,52(met rekenmachine) e
f
g 3 a×3 a×3 a =a
h 103 +102 =11·102 of 1,1·103 i 103×102= 105
j 103 −102 = 9·102 k 102−103 =-9·102
l 2 =
3
10 10 10
m (103)2 =106
Opgave 2.9 Berekeningen aan een bol.
a 3
3
cm 2556 cm
900g , 0
2300 =
=
= m g
V ρ afgerond V =2,56·103 cm3.
b
c
d Als d 0,5× zo groot is dan is het volume (0,5)3 = 0,125 ×(of 1/8) zo groot.
1/8 × zo groot is hetzelfde als 8× zo klein.
e Als d 2× zo groot is dan is het oppervlak van de bol (2)2 = 4 × zo groot.
f De doorsnede is een cirkel die 4× zo groot wordt als de diameter 2× zo groot wordt.
L of dm 4 , 12 afgerond
cm 12370 1767
14137
cm 1767 8
/ 14137
cm 14137 6
/ 1
3 tussen
3 tussen
3 binnen
3 buiten
3 buiten
buiten tussen
=
=
−
=
=
=
=
→
⋅
=
−
=
V V
V
V d V
V V
V binnen
π g
Opgave 2.10 Oneigenlijke machten.
Schrijf de volgende wortels als oneigenlijke macht.
a 3 8 =813 =(23)13 =2 b 5 a =4 a45
c 416 =1614 =(24)14 =2 d x =x12
Schrijf de volgende oneigenlijke machten als een wortel.
e 813 =3 8 f a34 =4 a3 g x12 =2 x1 = x h 2⋅523 =23 52 Bereken a.
i a13 =2→(a13)3 =23 →a =8 j a34 =3→(a34)43 =343 →a=343 =4,33 k a12 =5→(a12)2 =52 →a=25
l 2⋅a45 =4→a45 =2→(a45)54 =254 →a=2,38 Opgave 2.11 Oneigenlijke machten en rekenregels voor machten
Herleid of bereken de volgende formules of getallen.
a T4 =8,4⋅103 →T =4 8,4⋅103 =9,57
b 2 10 63,2
10 10
2 1,5
5 , 1 3
=
×
⋅ =
c (2⋅313)3 =23×3=24 d 1,5 3 2 1,5
2 3
) (
)
( a b
b b
a⋅ = ×
e 4⋅10−2 =2⋅10−1 =0,2 f 2⋅(1000)13 =2⋅(103)13 =20
2
*
2 4
8
*
4 2 8
4
*
m 32900W :
m 32934W 873
10 67 , 5 1
K m W 10 67 , 5
=
=
×
⋅
×
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
−
−
−
−
P afgerond P
T
P ε σ σ
K 685 10
2046 , 2
10 2046 , 10 2 67 , 5 1
10 25 , 1
m 10 W 25 , 10 1 400
500
4 11
11 8
4 4
* 4 4
*
2 4 4
*
*
=
⋅
=
→
⋅
⋅ =
×
= ⋅
⋅ →
=
→
⋅
⋅
=
⋅
⋅ =
=
→
=
−
−
T
P T T T P
A P P P
σ σ ε
ε
700 ,
100
:
) 5 log(
5 10
=
=
→
= x afgerond
exact
x x
afgerond b
exact
b b
301 , 1 )
05 , 0 log(
05 , 0
10 = → = =−
Opgave 2.12 Rekenen aan warmtestraling.
Een kookplaatje heeft een oppervlak van 400 cm2. De constante ε = 1 . a
b P =P*⋅A=32934×400⋅10−4 =1320W c
Opgave 2.13 Oefenen met logaritme bij grondtal 10, de 10log of log
Bereken:
a log(20)=1,30 want 101,30 =20 b log(70)=1,845 want 101,845 =70
c log(100)=2 want 102 =100 d log(200)=2,30 want 102,30 =200 e log(0,03)=−1,52 want 10−1,52 =0,03 f log(3⋅103)=3,477 want 103,477 =3⋅103
Opgave 2.14 Oefenen met logaritme met de 10log.
Schrijf de volgende getallen als macht met grondtal ‘10’ . a 0,1=10−1
b 1 =100 c 10 =101
d 20 =101,301
e 50 =101,699 f 100 =102
Opgave 2.15 Berekenen van de exponent 10log.
Bereken de exponent:
a 10a =100→a =log(100)=2 b
c 10b =0,01→b=log(0,01)=−2 d
398 , 0 :
) 4 , 0 log(
4 , 5 0 10 2 2 10 5
−
=
=
→
=
=
→
=
⋅
a afgerond
exact
a a
a
0969 , 0 :
) 8 , 0 log(
) 8 , 0 log(
8 , 5 0 10 4 4 10 5
=
→
−
=
→
=
−
→
=
=
→
=
⋅ − −
a afgerond
exact a
a a
a
berekening volgens
m 316W , 0 10 10
10
10 10 10 )
log(
5 , 11 dB 115
2 5
, 0 12 5 , 11
5 , 11 12 12
=
=
×
=
→
=
→
=
→
=
−
−
−
−
I
I L I
e 2⋅10b =2→10b =1→b=0 f
g 10−b =10→−b=1→b=−1 h
Opgave 2.16 Geluidsgolf
a drukschommeling= 100% 0,02% 10
20
5 × =
b Bij de drukverandering van bijv.
groot zo dus
I → ×
⋅
→
⋅10− Pa 2 10− Pa verandert van10 10− 100
2 5 4 -12 10
c De tijd tussen twee maxima is s 200
1
Bij een snelheid van 340 m/s is de afstand tussen twee drukverhogingen dus s 1,7m
1200 ms
340 × =
Opgave 2.17 Geluidshinder 1.
a 4 2
m 10 W
dB
80 → = −
= I
L
b Als I met een factor 10 toeneemt is de toename van L gelijk aan 10 dB
c 0,5 2 2
m 316W , m 0 10 W
dB
115 → = =
= I −
L volgens grafiek
dB 99 9 , 9 10 10 )
10 96 , log(7 10
W/m 10
96 , m 7 10 4
W 10 4
12 3
2 3 2
2 2
=
×
⋅ =
⋅
=
⋅
× =
=
⋅ →
=
→
=
−
−
−
L
r I I P
A I P
π π
dB 93 299 , 9 10 10 )
10 989 , log(1 10
W/m 10
989 , m 1 20 4
W 10 4
12 3
2 3 2
2 2
=
×
⋅ =
⋅
=
⋅
× =
=
⋅ →
=
→
=
−
−
−
L
r I I P
A I P
π π
Opgave 2.18 Geluidshinder 2.
a L≈40dB bij50Hz
b 13 2
m 10 W
dB
10 → = −
−
= I
L
c Een geluidsniveau van 120 dB wordt vrijwel bij iedere toonhoogte als even luid waargenomen
Opgave 2.19 Meerdere geluidsbronnen.
dB 63 ) 2
(
10 ) 10 log(2 10 ) 2
m ( 10 W
2 ) 2
(
m 10 W ) 1 (
12 6
2 6 2 6
=
⋅ ⋅
=
→
⋅
=
=
−
−
−
−
bronnen L
bronnen L
bronnen I
bron I
Opgave 2.20 Gevoeligheid van het oor
2 1 1
, 0 0
2 2
0
2 1 , 0
2 7 1
, 6 6 2 6
2 1 , 6
m 10 W 06 , 2 10 10 ) dB 119 ( ) dB 120 (
m 1W m 10 W ) dB 120 (
m 10 W
) dB 119 (
m 10 W
06 , 2 10 10 ) dB 59 ( ) dB 60 (
m 10 W ) dB 60 (
m 10 W
) dB 59 (
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
=
−
=
−
=
=
=
⋅
=
−
=
−
=
=
I I
I I
I I
I I
Bij 119 dB heb je 106 × zoveel energie nodig om dezelfde toename in luidheid waar te nemen dan bij 59 dB.
Opgave 2.21 Geluidsniveau neemt af met de afstand.
a
b
dB 3 van afname een dus is Er
dB 117 10 )
5 , log( 0 10
dB 120
2 12 1
=
⋅
=
=
L −
L
dB 6 , 85 10 )
10 6 , log(3 10 ) m 5 op (
m 10 W 36 , 0 ) m 3 op ( 36 , 0 m) 5 op (
36 , 5 0 3 ) m 5 op (
) m 3 op ( m) 3 op (
m) 5 op (
12 4
2 3 2
2
⋅ =
⋅
=
→
×
=
×
=
=
=
=
−
−
−
L
I I
A A I
I
dB 6 , 82 10 )
10 837 , log(1 10 ) m 5 op (
m 10 W 1837 , 0 ) m 3 op ( 1837 , 0 m) 7 op (
1837 , 7 0 3 ) m 7 op (
) m 3 op ( m) 3 op (
m) 7 op (
12 4
2 3 2
2
⋅ =
⋅
=
→
×
=
×
=
=
=
=
−
−
−
L
I I
A A I
I
2 2 2
2 3
m 10 W 5 , 1 m m 15
10− W × = ⋅ −
=
⋅
=I A P
molL 1 , 0 10 ] O H [
1→ 3 = 1 =
= + −
pH
klein zo of
groot zo wordt
ie concentrat de
pH
×
×
=
=
→
= + −
10
1 , 0
molL 01 , 0 10 ] O H [
2 3 2
molL 10 0 , 5 ] O H [
molL 10
] O H [ 3 , 3
4 3
3 , 3 3
− +
− +
⋅
=
→
=
→
= pH
Opgave 2.22 Geluidsabsorptie
Stel de geluidsintensiteit van het geluid 1 2 m 1W
=
I .
Dan is de geluidsintensiteit na absorptie 2 2 m 5W , 0
= I
Opgave 2.23 Afname van geluidsintensiteit.
a
b
c
Opgave 2.24 Ook de sterkte van een zuur en een base wordt met een exponent aangegeven.
a
b
c
+ +
+
=
=
×
=
→
⋅
=
→
=
→
=
=
×
=
→
⋅
=
→
=
→
=
O H mol 22 , 0 ) totaal (
mol 02 , 0 L 2
01mol , 0 )
L 2 in (
molL 01 , 0 ] O H [ 2
mol 2 , 0 L 2
1mol , 0 )
L 2 in (
molL 1 , 0 ] O H [ 1
3 3
3
n
L n
V c n
pH
L n
V c n
pH
molL 10 5 , 4 5
22 , ] 0 O H [ L 4 )
(totaal = → 3 + = = ⋅ −2 V
26 , L 1
10 mol molL
10 5 , 5 ] O H
[ 3 + = ⋅ −2 = −1,26 → pH =
7 , 13 3
, 0 L 10
50mol , 0 ] [
molL 50 , L 0 20
mol ] 10
[ ) loog ( 10 ) loog (
mol 10 ) ( ) (
30 , 0 3
=
→
=
→
=
=
→
=
=
=
→
=
⋅
=
=
−
−
− +
−
pH pOH
OH
OH c
V c
O H N OH n
26 , 2
molL 10
10 5 , L 5
2 mol 10 1 , ] 1 O H
[ 3 2,26
2
3
=
→
=
⋅
⋅ =
= − −
− +
pH d
e
f
g
water.
L 0,26 : voegen te
toe Dus
L 26 , 1 10 10
10 10
10 2,1 0,1
2 1
, 2
2 = × → = − = =
−
−
− V V
h pH =10→ pOH =4→[OH−]=10−4 molL
i 1,5
molL 10
030 , 0 ] O H
[ 3 + = = −1,5 → pH =
j pH =7,4→ pOH =6,6→[OH−]=10−6,6 =2,5⋅10−7molL
k 100L 10mol
molL 1 ,
0 × =
=
→
⋅
=c V n n
l
m
L 9 10 mol ] O H L [ 10 mol 10
1 , 0 ] OH [
molL 10 ] OH L [
10 mol ] O H [ 10
2 9
2 3 5
4 2
4 1 10
1 3 1
=
→
=
→
=
×
=
=
→
=
→
=
− +
−
−
−
−
−
− +
pH pH
molL 10 0 , 4 10
] OH [
] O H [ ] 10 OH [ 10 ] OH [ ] O H [
molL 10
10 5 , 2 ] O H [
12 4
, 11
3 14 14
3
60 , 2 3 3
−
−
−
+
−
−
−
− +
−
− +
⋅
=
=
→
=
→
=
×
=
⋅
=
4 , 11 6
, 2
molL 10
10 5 , 2 ] O H
[ 3 3 2,60
=
→
=
→
=
⋅
= − −
+
pOH pH
n
Opgave 2.25 Oefenen met de exponenten pH en pOH.
a pH = 3→ [H3O+]=10−3 molL
b pH =1,8→[H3O+]=10−1,8 =1,58⋅10−2 molL c [H3O+]=0,15=10−0,824 molL→ pH =0,82 d pH =−1→[H3O+]=101=10molL e pH =3→ pOH =11
f pOH =1,8→ pH =12,2
g [H3O+]=2,5⋅10−3 =10−2,60 molL h
i
Opgave 2.26 Oefenen met logaritme-regels.
a log(a) = 0,30 log(3) = 0,48 log(4) = 0,60
30 , 0 60 , 0 3 , 0 ) 4 log(
) log(
) 4 / log(
78 , 0 30 , 0 48 , 0 ) log(
) 3 log(
) 3 log(
90 , 0 30 , 0 3 ) log(
3 ) log(
12 , 0 60 , 0 48 , 0 ) 4 log(
) 3 log(
) 4 / 3 log(
08 , 1 60 , 0 48 , 0 ) 4 log(
) 3 log(
) 12 log(
3
−
=
−
=
−
=
= +
= +
=
=
×
=
⋅
=
−
=
−
=
−
=
= +
= +
=
a a
a a
a a
b log(5) = 0,70
40 , 1 ) 5 log(
2 ) 25 log(
70 , 7 ) 10 log(
) 5 log(
) 10 5 log(
70 , 3 ) 1000 log(
) 5 log(
) 5000 log(
70 , 2 ) 100 log(
) 5 log(
) 500 log(
70 , 1 ) 10 log(
) 5 log(
) 50 log(
7 7
=
⋅
=
= +
=
⋅
= +
=
= +
=
= +
=
% 6 , 0 006
, 0
295 , 0 10
53 , 0
301 , 0 10
52 , 0
53 , 0
52 , 0
ofwel T
in igheid onnauwkeur
T E
T E
=
=
=
→
=
=
=
→
=
−
−
Opgave 2.27 Rekenen met transmissie en extinctie1.
a E=−log(T)→E=−log(1)=0
b T =10−E →T =10−0,345 =0,452 of T =45,2%
c
518 , 0 5 , 1 345 , 0 E mL 150 L 100mg
345 , 0
L 100mg
345 , 0
=
×
=
→
×
=
=
→
=
⋅
=
E c k k E
ie concentrat met
evenredig is
extinctie c
k E
Opgave 2.28 Rekenen met transmissie en extinctie2.
a T =10%=0,1→E =−log(0,1)=1 b T =0,5→E =−log(0,5)=0,301 c T =1%=0,01→E=−log(0,01)=2 d
