Nevanlinna Theorie De Waardeverdeling van Meromorfe Functies

Nevanlinna Theorie

De Waardeverdeling van Meromorfe Functies

Nevanlinna Theorie

De Waardeverdeling van Meromorfe Functies

Jeroen Eijkens

juli 2015

Bachelorscriptie

Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck

Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde

Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Nevanlinna theorie, vernoemd naar de grondlegger ervan, de Finse wiskundige Rolf Nevanlinna, bestudeert de waardeverdeling van meromorfe functies. De basis van Nevanlinna theorie is een aantal formules dat het gedrag van een meromorfe functie verbindt met de verdeling van zijn nulpunten en polen. In essentie zijn de hoofdstellingen van Nevanlinna theorie een uitbreiding van de Hoofdstelling van de Algebra voor holomorfe en meromorfe functies. Door niet alleen te kijken naar de groei van de verzameling punten waarop een functie f gelijk is aan een waarde a, maar ook naar waar f dicht in de buurt ligt van a, dan groeit die combinatie op een manier die in zekere zin onafhankelijk is van het punt a. Met deze theorie kan een variant van de Laatste Stelling van Fermat voor functies bewezen worden en ook de spectaculaire vijfpunts stelling voor meromorfe functies, die zegt dat als twee niet-constante, meromorfe functies f en g vijf verschillende waarden delen, oftewel f−1(ai) = g−1(ai) (i = 1, . . . , 5), dan moet f = g.

Titel: Nevanlinna Theorie; Waardeverdeling van Meromorfe Functies Auteur: Jeroen Eijkens, jeroen-eijkens@hotmail.com, 10475125 Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck

Tweede beoordelaar: dr. Han Peters Einddatum: juli 2015

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave

Inleiding . . . 7

I

Deel Eén

1

Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling . . . 11

1.1 Basisbegrippen 11

1.2 De Poisson-Jensen Formule 13

1.3 Nevanlinna Functies 17

1.3.1 Telfuncties . . . 17 1.3.2 Mean Proximity Functies . . . 18 1.3.3 Hoogte of Karakteristieke Functies . . . 19

1.4 De Eerste Hoofdstelling 20

1.5 Voorbeelden 22

1.5.1 Nevanlinna functies voor sommen en producten . . . 22 1.5.2 Nevanlinna functies voor elementaire functies . . . 25

1.6 Stelling van Cartan 27

II

Deel Twee

2

Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling . . . 33

2.1 Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling 33

2.2 Benadering van S( f , r) 37

2.2.1 Voorwaarden voor S( f , r) om klein te zijn . . . 43

3

Enkele Toepassingen . . . 45

3.1 Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling 45

3.2 Laatste Stelling van Fermat voor Functies 46

Slotbeschouwing . . . 51

Bibliografie . . . 53

Inleiding

I

EDEREENis bekend met de relatie 32+ 42_{= 5}2_{, een zogenaamd Pythagoreïsch drietal. Deze}

relatie kan gegeneraliseerd worden naar de vorm xn+ yn= zn, waarbij men zich kan afvragen wat hiervan de oplossingen zijn. De Laatste Stelling van Fermat stelt dat voor n > 2 deze vergelijking geen oplossingen heeft met natuurlijke getallen x, y en z ongelijk aan 0. Dit was één van de grootste onopgeloste problemen in de wiskunde voor meer dan driehonderd jaar, tot een jaar of twintig geleden Andrew Wiles met een bewijs kwam, na jaren in isolement eraan gewerkt te hebben.

Maar we kennen nog een relatie: sin2(x) + cos2(x) = 1. Opnieuw zouden we onszelf kunnen afvragen of dit te generaliseren valt naar een versie van de Laatste Stelling van Fermat voor functies:

fn+ gn_{= 1. Net zo blijkt dat voor n > 2 er geen oplossingen bestaan voor deze vergelijking, mits}

de eis dat f en g niet-constante, holomorfe functies zijn. Hier is gelukkig geen honderd pagina tellend bewijs voor nodig, zoals in het geval van Andrew Wiles, maar is het een eenvoudig gevolg van Nevanlinna theorie, het onderwerp van deze bachelorscriptie.

Wat is Nevanlinna theorie? Het is de studie die vernoemd is naar de grondlegger ervan, de Finse wiskundige Rolf Nevanlinna, en houdt zich bezig met de waardeverdeling van meromorfe functies. In essentie zijn we op zoek naar de oplossingen van de vergelijking f (z) = a. De basis van Nevanlinna theorie wordt gevormd door een aantal formules die het gedrag van een meromorfe functie verbindt met de verdeling van zijn nulpunten en polen. Omdat meromorfe functies, in tegenstelling tot holomorfe functies, punten mogen hebben waar ze de waarde oneindig aannemen, zijn bekende resultaten om de waardeverdeling te bestuderen, zoals het maximummodulus principe, hier niet meer op van toepassing.

Je zou kunnen stellen dat de Hoofdstellingen van Nevanlinna theorie een uitbreiding zijn van de Hoofdstelling van de Algebra voor holomorfe en meromorfe functies. De Hoofdstelling van de Algebra stelt dat als f een complex polynoom is van graad n, dat f dan precies n complexe nulpunten heeft geteld met multipliciteiten. Als a ∈ C, dan merken we op dat f − a ook precies n verschillende nulpunten heeft, oftewel f neemt iedere waarde a ∈ C precies n keer aan.

Met het maximummodulus principe weten we dat een holomorfe functie f die gedefinieerd is op een net gebied, zijn grootste waarde aanneemt op de rand. Als we een polynoom f van graad n bekijken op een schijf van straal r, dan neemt die dus zijn grootste waarde aan op de cirkel met straal r, waarop de functie in essentie groeit als rnals r groot genoeg is. Zodanig kunnen we de Hoofdstelling van de Algebra als volgt herformuleren: Ieder niet-constant polynoom f neemt iedere eindige waarde een gelijk aantal keer aan, waarbij dat aantal bepaald wordt door de orde van groei van de maximummodulus van het polynoom op de cirkel van straal r voor r → ∞.

Maar hoe ziet de uitbreiding er uit voor holomorfe en meromorfe functies? Allereerst maken we een aantal observaties over het verschil tussen polynomen en transcendente functies. Bekijken we bijvoorbeeld de exponentiële functie, dan neemt die iedere eindige waarde oneindig vaak aan, met uitzondering van 0. Dus een directe generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra is niet waar voor gehele functies. Omdat gehele functies een waarde oneindig vaak kunnen aannemen, kunnen we niet spreken over een totaal aantal keer dat een functie een bepaalde waarde aanneemt. Echter, een meromorfe functie kan maar eindig veel nulpunten binnen een schijf van eindige straal hebben. Daarom is het logischer om te kijken naar de snelheid waarmee nulpunten erbij komen naarmate we de straal steeds groter maken.

Voor holomorfe functies is deze groei goed te bestuderen met bekende technieken, maar hoe zit het met meromorfe functies? Het is zinloos de groei te meten met de maximummodulus, omdat een meromorfe functie de waarde oneindig kan aannemen op een schijf van eindige straal. Omdat meromorfe functies geschreven kunnen worden als quotiënt van twee gehele functies, zouden we van deze aparte functies de groei kunnen bestuderen en met elkaar vergelijken. Maar dit geeft in het algemeen geen geslaagde resultaten. [11]

Dit is waar Nevanlinna theorie komt kijken, waar ik tot dusver nog niks over heb verteld. In de kern bestuderen we de relatie tussen drie maten, die we informeel als volgt kunnen beschrijven. De eerste maat is de telfunctie N( f , a, r), die meet hoe vaak f de waarde a aanneemt binnen een schijf van straal r. Netter gezegd telt hij een logaritmisch gemiddelde van het aantal keer dat f de waarde a aanneemt. De mean-proximity functie m( f , a, r) is een maat voor het percentage van de cirkel van straal r waarop de waarde van f dicht in de buurt ligt van a. Tot slot hebben we de karakteristiek of de hoogte functie T ( f , a, r), die de som is van de vorige twee functies, en die meet in essentie het oppervlakte op de Riemann-sfeer dat bedekt wordt door het beeld van de schijf van straal r onder de afbeelding f . Deze karakteristiek speelt dezelfde rol in Nevanlinna theorie als de graad van het polynoom speelt in de Hoofdstelling van de Algebra.

Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling zegt dat de karakteristieke functie onafhankelijk is van het punt waarin je kijkt. Of netjes gezegd, het verschil tussen twee van die karakteristieken |T ( f , a, r) − T ( f , b, r)| is begrensd. Als we dus niet alleen de groei van het verzameling punten waarop f gelijk is aan a meten, maar ook meten waar f dicht in de buurt ligt van a, dan groeit die combinatie op een manier die in essentie onafhankelijk is van a. Dit is de eerste generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra, omdat het een bovengrens geeft voor het aantal keer dat f een waarde a aanneemt.

De Tweede Hoofdstelling geeft ook een ondergrens voor de telfunctie, waarmee de generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra compleet is.

Er zijn een aantal verbluffende resultaten die vrij snel volgen uit deze hoofdstellingen. De eerste is een versie van de Laatste Stelling van Fermat voor functies, zoals ik die al eerder introduceerde. Er volgt namelijk dat de vergelijking fn+ gn= 1 geen oplossingen heeft voor n > 2 als f en g niet-constante, holomorfe functies zijn. En als f en g meromorf mogen zijn, dan bestaan er geen oplossingen voor n > 3, waarbij er voorbeelden te vinden zijn die voldoen aan de vergelijking voor n = 3. Een andere spectaculaire stelling is Nevanlinna’s vijfpunts stelling, die zegt dat als twee niet-constante, meromorfe functies f en g vijf verschillende waarden delen, oftewel

I

1

Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling . . . 11

1.1 Basisbegrippen

1.2 De Poisson-Jensen Formule

1.3 Nevanlinna Functies

1.4 De Eerste Hoofdstelling

1.5 Voorbeelden

1.6 Stelling van Cartan

H O O F D S T U K

1

Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling

I

Nde inleiding werd al gezegd dat de basis van Nevanlinna theorie zijn twee hoofdstellingen zijn. Dit hoofdstuk behandelt de eerste en eenvoudigere van de twee. Om te zien waar we naartoe werken, is het zinvol een concreet voorbeeld erbij te nemen, namelijk opnieuw de exponentiële functie. We weten dat ez iedere eindige waarde ongelijk aan nul oneindig vaak aanneemt, want de oplossingen van de vergelijking voor a 6= 0, ∞ zijn

ez= a ⇐⇒ z = log |a| + (α + 2kπ)i, k_{∈ Z.}

Wegens de periodiciteit worden elk van deze waarden met dezelfde asymptotische frequentie aangenomen. Alleen neemt de functie nooit de waarde 0 aan, noch de waarde ∞. Echter, op cirkels met grote straal om de oorsprong, brengt de functie ezhet grootste deel van zijn tijd door in de buurt van deze twee vermeden waarden. Dat wil zeggen dat voor kleine ε, het percentage van de cirkel van straal r waarop |ez| kleiner is dan ε of groter is dan 1/ε naar 100% gaat naarmate de radius van de cirkel naar oneindig gaat.

Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling zegt ons dat dit typisch gedrag is. Oftewel, als een meromorfe functie een bepaalde waarde minder vaak dan “verwacht” aanneemt, dan moet dat gecompenseerd worden door veel tijd door te brengen “in de buurt” van deze waarde. Als gevolg geeft Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling een bovengrens voor hoevaak een meromorfe functie een bepaalde waarde kan aannemen. Dit is analoog aan de uitspraak dat een polynoom van graad n hoogstens n nulpunten heeft.

1.1 Basisbegrippen

Voordat we aan de slag kunnen met de analyse van meromorfe functies, zullen we eerst het één en ander moeten definiëren, waarbij natuurlijk allereerst wat we verstaan onder een meromorfe functie.

Definitie 1.1.1 — Meromorfe functie. Een functie f heet meromorf op een gebied G als f

holomorf is op G met uitzondering van geïsoleerde singulariteiten die allemaal polen van f zijn (punten waar f de waarde ∞ aanneemt) .

Iedere meromorfe functie kan uitgedrukt worden als quotiënt van twee holomorfe functies zonder gemeenschappelijke nulpunten, waarbij de polen liggen op de punten waar de noemer gelijk is aan nul. Wegens de Factorisatiestelling van Weierstrass is dit mogelijk, want die stelt dat er een gehele functie h bestaat waarvan de nulpunten samenvallen met de polen van f (waarbij rekening gehouden moet worden met de multipliciteit). De functie g(z) = f (z)h(z) is dan een gehele functie, omdat de polen van f precies wegvallen tegen de nulpunten van h. Dus f (z) = g(z)/h(z) is het quotiënt van twee gehele functies, waarvan tot slot de gemeenschappelijke nulpunten eruit gefactoriseerd kunnen worden. [9]

We merken op dat het kan gebeuren dat een meromorfe functie oneindig veel polen heeft, maar op een begrensd gebied is dit niet mogelijk. Als dat zo was, dan moest de rij polen convergeren naar een verdichtingspunt p. In dit punt kan f niet analytisch zijn, dus het punt p is een singulariteit die geen pool is.

Voorbeeld 1.1 Ter illustratie bekijken we de functie tan(z). De twee gehele functies die het

quotiënt vormen zijn duidelijk: tan(z) = sin(z)/ cos(z). De polen van de functie zijn de nulpunten van cos(z), oftewel de punten z = kπ +π

2 met k ∈ Z. Dus tan(z) is een meromorfe functie. 

Het is belangrijk om te benadrukken dat een meromorfe functie alleen geïsoleerde polen kan hebben. De functie f (z) = 1/(|z| − 1) is niet meromorf, omdat het de waarde oneindig aanneemt op alle punten op de eenheidscirkel (hij is zelfs niet holomorf). De reden achter deze restrictie zal later duidelijk worden.

Enkele notatie voor veelvoorkomende verzamelingen.

Definitie 1.1.2 _{We schrijven B(a, r) = {z ∈ C | |z − a| < r} voor de open schijf om a met}

straal r, met als rand de cirkel C(a, r) = {z ∈ C | |z − a| = r}. De afsluiting noteren we met B(a, r) = B(a, r) ∪C(a, r).

Als we spreken over een holomorfe respectievelijk meromorfe functie op de gesloten schijf B(a, r), dan bedoelen we dat de functie holomorf respectievelijk meromorf is op een open omgeving van B(a, r).

Definitie 1.1.3 _{Gegeven een niet-constante meromorfe functie f en een punt a ∈ C, dan kunnen}

we dit altijd schrijven als f (z) = (z − a)mg(z), waarbij m een geheel getal is en g holomorf en niet-nul op een omgeving van a. Het getal m heet de orde van f in het punt a en geven we aan met ordaf. De niet-nul waarde g(a) noemen we de initial Laurent coefficiënt van f in a, die we

noteren met ilc( f , a).

Merk op dat ordaf > 0 alleen als a een nulpunt is van f , en ordaf < 0 wanneer a een pool is van f .

Verder is de initial Laurent coefficiënt de eerste niet-nul coëfficient in de Laurentreeks ontwikkeling van f om het punt a.

Voor onze Nevanlinna functies die we in sectie 1.3 zullen introduceren, moeten we weten wat de positieve logaritme is.

Definitie 1.1.4 — Positieve logaritme. Voor ieder positief reëel getal x > 0 definiëren we de positieve logaritmelog+(x) = max{0, log(x)}.

Merk op dat log(x) = log+(x) − log+(1_x).

Tot slot herhalen we de grote O en kleine o notatie.

Definitie 1.1.5 Laat f en g functies op een interval [a, ∞), met f (r) complex-waardig en g(r) reëel en positief. We zeggen f (r) = O(g(r)) voor r → ∞, als er constantes C en r0bestaan zodat

| f (r)| ≤ Cg(r) voor alle r ≥ r0. We zeggen f (r) = o(g(r)) als f(r)

1.2 De Poisson-Jensen Formule 13

1.2 De Poisson-Jensen Formule

In Nevanlinna’s theorie van waardeverdeling speelt de Poisson-Jensen formule een fundamentele rol. Hiermee zullen we dan onze studie ook beginnen.

Definitie 1.2.1 — Poisson kern. De functie P(z, w) =|w|_|w−z|2−|z|22 = Re

_w+z

w−z wordt de Poisson

kerngenoemd.

De gelijkheid in bovenstaande definitie volgt door de relatie Re(z) =1₂(z + z).

Stelling 1.2.1 — Poisson Formule. Laat f een holomorfe functie zijn op de gesloten schijf B(0, R). Laat z = reiϕeen punt in het inwendige van B(0, R). Dan geldt

f(z) =

Z 2π

0

f(Reiθ)Re Re

iθ_{+ z} Reiθ_{− z}  dθ 2π = Z 2π 0 f(Reiθ) R 2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − ϕ) + r}2 dθ 2π = Z 2π 0

f(Reiθ)P(z, Reiθ)dθ 2π.

Bewijs. De Algemene Integraalformule van Cauchy zegt voor een functie f die holomorf is op een omgeving van de afsluiting van een net gebied D in C met rand C, dat

1 2πi Z C f(w) (w − a)n+1dw = f(n)(a) n! . Dus in het bijzonder voor a = 0 en n = 0 hebben we

f(0) = 1 2πi Z C(0,R) f(w) w dw. Parametriseren we C(0, R) door θ 7→ w = Reiθ, met 0 ≤ θ ≤ 2π, dan

f(0) =

Z 2π

0

f(Reiθ)dθ 2π.

Bekijk nu het automorfisme g van B(0, R) dat 0 en z omwisselt. Dit wordt gegeven door g(w) = R2 z− w

R2_{− zw}.

Het is duidelijk dat g holomorf is op B(0, R), want het punt w waarvoor geldt dat R2− zw = 0, is w=R_z2 = zR_r22, en dit ligt buiten B(0, R). Verder is g(0) = z en g(z) = 0. Merk ook op dat g = g−1:

ζ = R2 z− w R2_{− zw} ζ R2− ζ zw = R2z− R2w w(R2− ζ z) = R2(z − ζ ) w= R2 z− ζ R2_{− zζ}.

Dus hebben we dat (g ◦ g)(w) = w. Verder, als |w| = R, dan

Hieruit volgt dus dat |g(w)| = R. Oftewel g beeldt C(0, R) bijectief af op C(0, R). Als w = g(ζ ), dan

dw

w = d(log(w))

= d(log(R2) + log(z − ζ ) − log(R2− zζ )) =  −1 z− ζ + z R2_{− zζ}  dζ =  −ζ z− ζ + zζ R2_{− zζ}  dζ ζ . Als |ζ | = R, dan −ζ z− ζ + zζ R2_{− zζ} = ζ ζ − z+ zζ ζ (ζ − z) =ζ (ζ − z) + z(ζ − z) (ζ − z)(ζ − z) =|ζ | 2_{− |z|}2 |ζ − z|2 = P(z, ζ ).

Doen we een substitutie met w = g(ζ ), dan vinden we f(z) = f (g(0)) = Z C(0,R) f(g(w)) dw 2πiw = Z C(0,R) f(g(g(ζ )))P(z, ζ ) dζ 2πiζ = Z C(0,R) f(ζ )P(z, ζ ) dζ 2πiζ = Z 2π 0

f(Reiθ)P(z, Reiθ)dθ 2π.

 De Poisson Formule, net als de Cauchy formule, laat zien dat de waarden van een harmonische functie binnen een schijf volledig worden bepaald door de waarden op de rand. Wanneer deze randwaarden bekend zijn en aan geschikte eisen voldoen, dan is het mogelijk om een harmonische functie te vinden die gedefinieerd is op de hele gebied en precies aansluit op de randwaarden. Dit heet het Dirichlet Probleem, waar verder niet op ingegaan zal worden.

Corollary 1.2.2 Laat P(z, w) de Poisson kern en R > 0. Dan

Z 2π

0

P(z, Reiθ)dθ 2π = 1.

Bewijs. Pas de Poisson Formule toe op de constante functie f (z) = 1.  Als f holomorf is en geen nulpunten heeft, dan is log(| f |) harmonisch, waardoor we de Poisson Formule erop kunnen loslaten. Echter, omdat we geïnteresseerd zijn in de verdeling van de nulpunten van f , willen we juist zien wat er gebeurt in het geval dat f wel nulpunten heeft. Wat we dan krijgen is de Poisson-Jensen Formule.

1.2 De Poisson-Jensen Formule 15

Definitie 1.2.2 Voor a ∈ B(0, R), definieer GR(z, a) = GR,a(z) = R

2_−az

R(z−a).

We zien dat GR,aprecies één pool heeft in B(0, R) en geen nulpunten. Verder, als |z| = R, dan is

|GR(z, a)| = 1.

Stelling 1.2.3— Poisson-Jensen Formule. Laat f een niet-constante, meromorfe functie op B(0, R) zijn. Laat a1, . . . , apde nulpunten van f in B(0, R), waarbij elk nulpunt wordt herhaald

in multipliciteit, en laat b1, . . . , bqde polen in B(0, R), ook herhaald volgens multipliciteit. Voor

iedere z ∈ B(0, R) die geen nulpunt of pool is van f geldt log(| f (z)|) =

Z _2π

0

log(| f (Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π − p

∑

i=1 log(|GR(z, ai)|) + q

∑

i=1 log(|GR(z, bi)|) = Z 2π 0

log(| f (Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ

2π +_a∈B(0,R)

∑

(ordaf) log(|GR(z, a)|).

Bewijs. Allereerst merken we op dat f slechts eindig veel nulpunten en polen kan hebben in B(0, R). Er kan geen nulpunt zijn van oneindige orde, want dan zou f indentiek nul moeten zijn (stelling 7.4.2 Functietheorie). Als er oneindig veel nulpunten of polen liggen in B(0, R), dan ligt er in B(0, R) een verdichtingspunt p van de nulpunten of polen. In dat verdichtingspunt is f meromorf, dus voor een zekere k ∈ Z is (z − p)kf(z) holomorf op een omgeving van p. In het geval van nulpunten, volgt uit de eenduidigheidsstelling (stelling 8.3.3 Functietheorie) dat f de nulfunctie moet zijn. En omdat de polen voor een meromorfe functie geïsoleerd moeten liggen, krijgen we ook een tegenspraak.

Stel nu allereerst dat f geen nulpunten of polen heeft op C(0, R). Beschouw dan de functie

F(w) = f (w)∏ p i=1  R2−aiw R(w−ai)  ∏q_i=1  R2_−b iw R(w−bi)  = f (w) ∏p_i=1GR(w, ai) ∏q_i=1GR(w, bi) .

De functie F heeft dan geen polen of nulpunten in B(0, R). Verder geldt dat als |w| = R, dat dan |F(w)| = | f (w)| vanwege het feit dat |GR(w, a)| = 1. Dus log(|F(w)|) is een harmonische functie

op B(0, R). Als z geen nulpunt of pool is van f in B(0, R), dan volgt uit de Poisson Formule het te bewijzen resultaat: log(|F(z)|) = log(| f (z)|) + p

∑

i=1 log(|GR(z, ai)|) − q

∑

i=1 log(|GR(z, bi)|) log(| f (z)|) = Z 2π 0

log(|F(Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π − p

∑

i=1 log(|GR(z, ai)|) + q

∑

i=1 log(|GR(z, bi)|) = Z 2π 0 log(| f (Re iθ_{)|)P(z, Re}iθ₎dθ 2π − p

∑

i=1 log(|GR(z, ai)|) + q

∑

i=1 log(|GR(z, bi)|).

Stel nu dat f wel nulpunten en/of polen heeft op C(0, R), zeg ap+1, . . . , amen bq+1, . . . , bn. Dan

is er een meromorfe functie g op B(0, R) zonder nulpunten of polen op C(0, R) zodat f(z) =(z − ap+1) · · · (z − am)

(z − bq+1) · · · (z − bn)

g(z).

De functie g voldoet aan onze eerdere aanname, dus voor z ∈ B(0, R) die geen nulpunt of pool is van f geldt dat

log(|g(z)|) = Z 2π 0 log(|g(Re iθ_{)|)P(z, Re}iθ₎dθ 2π− p

∑

i=1 log(|GR(z, ai)|) + q

∑

i=1 log(|GR(z, bi)|).

En log(| f (z)|) = log(|g(z)|) + m

∑

i=p+1 log(|z − ai|) − n

∑

i=q+1 log(|z − bi|).

Dus om tot het te bewijzen resultaat te komen, moeten we de volgende gelijkheid aantonen:

Z _2π

0

log(| f (Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π =

Z _2π

0

log(|g(Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π + m

∑

i=p+1 log(|z − ai|) − n

∑

i=q+1 log(|z − bi|). Maar Z 2π 0

log(| f (Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π =

Z 2π

0

log(|g(Reiθ)|)P(z, Reiθ)dθ 2π + m

∑

i=p+1 Z 2π 0 log(|Re iθ_{− a} i|)P(z, Reiθ) dθ 2π − n

∑

i=q+1 Z 2π 0 log(|Re iθ_{− b} i|)P(z, Reiθ) dθ 2π. Dus het volstaat om aan te tonen dat

log(|z − a|) =

Z _2π

0

log(|Reiθ− a|)P(z, Reiθ₎dθ

2π, waarbij |a|R.

Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat R = 1 en aj= 1. De bovenstaande

gelijkheid volgt nu uit Lebesgue gedomineerde convergentie, omdat

Z _2π 0 log |eiθ− 1|2_{dθ =} Z _2π 0 log(2 − 2 cos(θ ))dθ = Z _2π 0 log(4 sin2(θ /2))dθ < ∞.  Als een bijzonder speciaal geval nemen we z = 0 in Stelling 1.2.3. Zodoende, gegeven f(0) 6= 0, ∞, verkrijgen we Jensen’s formule

log(| f (0)|) =

Z 2π

0

log(| f (Reiθ)|)dθ 2π − p

∑

i=1 log  R |ai|  + q

∑

i=1 log  R |bi|  .

Stel nu dat f een nulpunt van orde λ of pool van orde −λ heeft in z = 0, dan kunnen we f opschrijven in zijn Laurentreeks ontwikkeling

f(z) = c_λzλ_{+ . . . ,}

waarbij λ de orde aangeeft. Dan heeft ψ(z) = Rλ_f(z)/zλ _{geen nulpunt of pool meer in z = 0.}

Verder is ψ gelijk aan f op |z| = R en heeft dezelfde nulpunten en polen als f behalve in z = 0. Dus

log(|ilc( f , 0)|) =

Z 2π

0

log(| f (Reiθ)|)dθ 2π− p

∑

i=1 log  R |ai|  + q

∑

i=1 log  R |bi|  − (ord0f) log(R), (1.1) waarbij nu gesommeerd wordt over de niet-nul nulpunten en niet-nul polen van f in B(0, R).

1.3 Nevanlinna Functies 17

1.3 Nevanlinna Functies

Als we goed naar formule (1.1) kijken, dan kunnen we het begin van onze generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra zien. De linkerzijde van de gelijkheid is gewoon een constante. De rechterkant bestaat uit twee soort termen: de eerste term is een integraal over een cirkel van radius Rmet betrekking tot de absolute waarde van f en de andere term is een som over de nulpunten en polen van f . Als f holomorf of meromorf is op heel C, en we laten R → ∞, dan verandert de linkerzijde van de gelijkheid niet. Dus ondanks dat alle termen aan de rechterkant naar oneindig kunnen gaan, zullen ze elkaar altijd in essentie moeten opheffen.

In deze sectie bestuderen we deze eerste stap voor de generalisering in iets meer detail. We definiëren de Nevanlinna functies en zien hoe ze terugkomen in de Jensen formule, waarna we in staat zijn de Eerste Hoofdstelling te formuleren in de volgende sectie.

1.3.1 Telfuncties

Allereerst definiëren we de telfuncties.

Definitie 1.3.1 — Ongeïntegreerde telfunctie. De ongeïntegreerde telfunctie n( f , ∞, r) telt hoeveel polen de functie f heeft op de gesloten schijf B(0, r), waarbij iedere pool geteld wordt met multipliciteiten.

Omdat we meromorfe functies bekijken, is dit getal altijd eindig. Merk op dat de ongeïnte-greerde telfunctie een stapsgewijs, niet-dalende functie is. De reden waarom we op de gesloten schijf kijken en niet de open, is zodat we dan n( f , ∞, 0) kunnen gebruiken om de multipliciteit van de pool in z = 0 van f aan te geven. Met deze functie kunnen we ook eenvoudigweg tellen hoevaak

f de complexe waarde a aanneemt op B(0, R), bekijk namelijk

n( f , a, r) := n( 1

f− a, ∞, r).

Voorbeeld 1.2 We bekijken de functie f (z) = 1/ sin(z), waarbij de polen liggen op de punten

±kπ. Dus bij de waarden r = kπ springt n( f , ∞, r) steeds twee omhoog. 

Nu kunnen we ook begrijpen waarom we eisen dat meromorfe functies alleen geïsoleerde singulariteiten mogen hebben. Om terug te komen op ons eerdere voorbeeld met f (z) = 1/(|z| − 1), zien we dat n( f , ∞, r) = 0 als 0 ≤ r < 1. Maar voor r ≥ 1 is onze telfunctie niet gedefinïeerd.

Definitie 1.3.2 — Geïntegreerde telfunctie. De geïntegreerde telfunctie N( f , a, r) is gedefi-nieerd als N( f , a, r) = n( f , a, 0) log(r) + Z r 0 [n( f , a,t) − n( f , a, 0)]dt t .

In het bijzonder geldt het volgende. Laat α1, α2, . . . , αn de a-punten van f in B(0, R), zodat

0 < |α1| ≤ |α2| ≤ · · · ≤ |αn| ≤ r, geteld met multipliciteiten. Noteer ri= |αi|, i = 1, . . . , n. Dan

geldt n

∑

i=1 log r |ai| = n

∑

i=1 log r ri = log r n r1· · · rn = n log(r) − n

∑

i=1 log(ri) = n−1

∑

i=1

i(log(ri+1) − log(ri)) + n(log(r) − log(rn))

= n−1

∑

i=1 i Z ri+1 ri dt t + n Z r rn dt t = Z r 0 n( f , a,t) t dt.

Verder merken we op dat ord0f = n( f , 0, 0) − n( f , ∞, 0). Nu kunnen Jensen’s formule (1.1) met

deze notatie omschrijven tot log(|ilc( f , 0)|) =

Z 2π

0

log(| f (Reiθ)|)dθ

2π + N( f , ∞, r) − N( f , 0, r). (1.2)

1.3.2 Mean Proximity Functies

Gegeven een punt a ∈ C∗ wordt een Weil functie met een singulariteit in a gegeven door een continue afbeelding λa: C∗→ R met de eigenschap dat er een open omgeving U is van a in C∗

zodat er een continue functie α is op U zodat

λa(z) = − log(|z − a|) + α(z).

Dus Weil functies zijn bijna continue afbeeldingen, met de enkele uitzondering dat ze een logaritmische singulariteit hebben in het punt a. Merk op dat het verschil van twee Weil functies met hetzelfde singuliere punt een continue functie is op C∗.

Als f een meromorfe functie is op B(0, R), dan is de samenstelling van f met een Weil functie λa( f (z)) groot precies wanneer f (z) in de buurt ligt van a.

Definitie 1.3.3 — Mean Proximity Functie. Gegegeven een Weil functie λa, definiëren we de

mean proximity functie

m( f , λa, r) = Z 2π 0 λa( f (reiθ)) dθ 2π.

De mean proximity functie is dus een maat voor hoe dicht f in de buurt ligt van a op de cirkel van straal r.

We hebben vrijheid in het kiezen van de Weil functie die we gebruiken, maar in Nevanlinna theorie zijn er twee in het bijzonder die vaak opduiken en elk hun eigen voordelen hebben. Rolf Nevanlinna gebruikte de volgende Weil functie in zijn bewijzen van zijn hoofdstellingen:

λa(z) = log+ 1 |z − a| als a, z 6= ∞ λa(∞) = 0 als a 6= ∞ λ∞(z) = log +_|z|

Met deze Weil functie definiëren we de mean proximity functie

Definitie 1.3.4 — Nevanlinna’s Mean Proximity Functie.

m( f , a, r) = Z 2π 0 log+ 1 | f (reiθ_{) − a|} dθ 2π, m( f , ∞, r) = Z 2π 0 log +_{| f (re}iθ_)|dθ 2π.

Vanwege de eigenschap dat log(x) = log+(x) − log+(1_x), kan de intergraal term in (1.2) dus ge-schreven worden als

Z 2π

0 log(| f (Re iθ_)|)dθ

2π = m( f , ∞, r) − m( f , 0, r).

Vanuit een analytisch oogpunt is het gunstig om Nevanlinna’s Weil functie te gebruiken. Maar willen we meer meetkundig naar dingen kijken, dan geven we de voorkeur aan een andere Weil functie, die we nu zullen beschrijven.

1.3 Nevanlinna Functies 19 Met een stereografische projectie kunnen we C∗identificeren met een bol van straal 1/2 met zijn middelpunt in (0, 0, 1/2) in R3. Een punt z = x + iy correspondeert dan met

 x x2_{+ y}2_{+ 1}, y x2_{+ y}2_{+ 1}, x2+ y2 x2_{+ y}2_{+ 1}  =  x 1 + |z|2, y 1 + |z|2, |z|2 1 + |z|2  .

Het kwadraat van de standaard Euclidische afstand in R3tussen twee punten kan dan simpelweg uitgedrukt worden als

||z₁, z2||2=

|z₁− z₂|2

(1 + |z1|2)(1 + |z2|2)

.

Dit wordt de koorde afstand genoemd tussen twee punten in het complexe vlak, omdat het de lengte is van het koord die de punten z1 met z2op de bol verbindt. We kunnen ons begrip van koorde

afstand continu uitbreiden naar C∗door te stellen dat ||z, ∞||2= 1

1 + |z|2.

De meetkundige Weil functie met een singulariteit in a definiëren we als ˚

λa(z) = − log ||z, a||.

Door een klein cirkeltje boven de m te schrijven, onderscheiden we Nevanlinna’s mean proximity functie met de meetkundige mean proximity functie, die als volgt gegeven wordt:

Definitie 1.3.5 — Meetkundige Mean Proximity Functie.

˚

m( f , a, r) =

Z 2π

0

− log || f (reiθ), a||dθ 2π.

De twee mean proximity functies zijn als in de volgende propositie met elkaar gerelateerd.

Propositie 1.3.1 _{Gegeven a ∈ C}∗en een meromorfe functie f 6≡ a op B(0, R). Dan geldt voor alle r< R,

m( f , a, r) ≤ ˚m( f , a, r) ≤ m( f , a, r) +log(2) 2 .

Bewijs. _{Gezien we op een bol met straal 1/2 kijken in R}3, hebben we altijd dat ||z, a|| ≤ 1. Dus de eerste ongelijkheid volgt dan uit

log+ 1

| f (reiθ_{) − a|}≤ log +

p

(1 + | f (reiθ_)|2_{)(1 + |a|}2₎

| f (reiθ_{) − a|} = log

+_{|| f (re}iθ_{), a||}−1_{= − log || f (re}iθ_{), a||.}

Verder hebben we voor iedere x > 0 de ongelijkheid x≤p1 + x2_≤



x√2 als x ≥ 1 √

2 als x ≤ 1

Omdat log(x√2) = log+(x) +log(2)₂ voor x ≥ 1 en log+(x) = 0 voor x ≤ 1, vinden we dat voor alle x> 0 geldt

log+(x) ≤ log+(p1 + x2_{) = log(}p_{1 + x}2_{) ≤ log}+_{(x) +}log(2)

2 .

De andere ongelijkheden volgen hieruit en de definities. 

1.3.3 Hoogte of Karakteristieke Functies

Definitie 1.3.6 — Nevanlina Hoogte / Nevanlinna Karakteristieke Functie. De Nevanlinna hoogteof Nevanlinna karakteristieke functie met betrekking tot a is gedefinieerd als

T( f , a, r) = m( f , a, r) + N( f , a, r),

en de meetkundige hoogte of karakteristieke functie met betrekking tot a is gedefinieerd als ˚

T( f , a, r) = ˚m( f , a, r) + N( f , a, r) + cf mt( f , a),

waarbij cf mt( f , a) een constante is die niet afhankelijk is van r en gedefinieerd is als

cf mt( f , a) =

 



log || f (0), a|| als f (0) 6= a log |ilc( f − a, 0)| + 2 log ||a, ∞|| als f (0) = a, a 6= ∞ − log |ilc( f , 0)| als f (0) = a = ∞

De meetkundige karakteristieke functie wordt ook wel de Ahlfors-Shimizu karakteristieke functie genoemd. De constante cf mtstaat bekend als de First Main Theorem constante, voor redenen die in

de volgende sectie duidelijk zullen worden.

De Jensen formule kunnen we nu dus ook als volgt schrijven:

log(|ilc( f , 0)|) = T ( f , ∞, r) − T ( f , 0, r) (1.3) De hoogte of karakteristieke functie T (of ˚T), de mean proximity functie m (of ˚m) en de geïntegreerde telfunctie N zijn de drie belangrijkste Nevanlinna functies. Nevanlinna theorie kan beschreven worden als de studie van hoe de groei van deze drie functies met elkaar samenhangt.

1.4 De Eerste Hoofdstelling

Dit brengt ons tot Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling, die iets zegt over de gelijkverdeeldheid van functies. Ondanks dat het niet meer is dan een herformulering van Jensen’s formule, is het deze formulering die duidelijk maakt waarom Jensen’s formule een zwakke generalisatie is van de Hoofdstelling van de Algebra. Het zegt min of meer dat de hoogte functie T niet afhangt van a.

Stelling 1.4.1— Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling. _{Laat a ∈ C en zij f een niet-constante,}

meromorfe functie op B(0, R), waarbij R ≤ ∞. Dan geldt voor alle r < R, |T ( f , a, r) − T ( f , ∞, r) + log |ilc( f − a, 0)|| ≤ log+|a| + log(2), en

˚

T( f , a, r) = ˚T( f , ∞, r).

Voordat we het bewijs geven, eerst een aantal opmerkingen. De gelijkheid tussen de ˚T verklaart de definitie van cf mt en geeft ook het voordeel aan van de meetkundige Weil functie ˚λ . Voor

Nevanlinna’s karakteristiek T kunnen we alleen concluderen dat het verschil begrensd is: T( f , a, r) = T ( f , ∞, r) + O(1).

De begrensde term is onafhankelijk van r, dus men schrijft veelal T ( f , r) in plaats van T ( f , a, r), waarbij het conventie is dat

T( f , r) = T ( f , ∞, r), T˚( f , r) = ˚T( f , ∞, r).

Bewijs. Als we Jensen’s formule in de vorm (1.2) toepassen op f − a geeft dat ons

Z 2π

0

− log(| f (reiθ) − a|)dθ

1.4 De Eerste Hoofdstelling 21 Uit de definitie van de geïntegreerde telfunctie volgt onmiddellijk dat N( f − a, 0, r) = N( f , a, r). Verder vallen de polen van f en f − a precies samen, dus N( f − a, ∞, r) = N( f , ∞, r). Dus we vinden dat m( f , a, r) − m( f , ∞, r) = Z 2π 0 log+ 1 | f (reiθ_{) − a|} dθ 2π − Z 2π 0

log+| f (reiθ_)|dθ

2π = Z 2π 0 log+ 1 | f (reiθ_{) − a|} dθ 2π − Z 2π 0

log+| f (reiθ) − a|dθ 2π +

Z 2π

0

log+| f (reiθ) − a|dθ 2π −

Z 2π

0

log+| f (reiθ)|dθ 2π = N( f , ∞, r) − N( f , a, r) − log |ilc( f − a, 0)|

+

Z 2π

0

log+| f (reiθ) − a| − log+| f (reiθ)|dθ 2π. Voor de ongelijkheid in de stelling merken we op dat als x, y > 0, dat dan

log+(x + y) ≤ log+(2 max{x, y}) ≤ log+(x) + log+(y) + log(2). Dus voor een complex getal w geldt,

log+|w − a| − log+|w| ≤ log+(|w| + |a|) − log+|w| ≤ log+|a| + log(2). Dit levert ons dan dat

|T ( f , a, r) − T ( f , ∞, r) + log |ilc( f − a, 0)|| ≤

Z 2π

0



log+| f (reiθ) − a| − log+| f (reiθ)|  

dθ 2π ≤ log+|a| + log(2).

Voor de gelijkheid tussen de ˚T kunnen we soortgelijk aan het werk gaan. Uit de definitie van de koorde afstand volgt dat,

˚

m( f , a, r) − ˚m( f , ∞, r) =

Z 2π

0

− log | f (reiθ_{) − a|}dθ

2π + 1 2 Z 2π 0 log(1 + | f (re iθ_)|2₎dθ 2π +1 2log(1 + |a| 2_{) −}1 2 Z 2π 0

log(1 + | f (reiθ)|2)dθ 2π =

Z 2π

0

− log | f (reiθ_{) − a|}dθ

2π − log ||a, ∞||

= N( f , ∞, r) − N( f , a, r) − log |ilc( f − a, 0)| − log ||a, ∞||. Als f (0) 6= a, dan vinden we dat

˚

T( f , a, r) − ˚T( f , ∞, r) = cf mt( f , a) − cf mt( f , ∞) − log |ilc( f − a, 0)| − log ||a, ∞||

= log || f (0), a|| − (log || f (0), ∞|| + log |ilc( f − a, 0)| + log ||a, ∞||) = log || f (0), a|| − (log || f (0), ∞|| + log | f (0) − a| + log ||a, ∞||) = log || f (0), a|| − log || f (0), a|| = 0

Als f (0) = a (6= ∞), dan krijgen we ˚

T( f , a, r) − ˚T( f , ∞, r) = log |ilc( f − a, 0)| + 2 log ||a, ∞|| − log || f (0), ∞|| − log |ilc( f − a, 0)| − log ||a, ∞|| = 0.

We begonnen met de belofte dat Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling een generalisatie zou vormen voor de Hoofdstelling van de Algebra. Als het waar was dat N( f , a, r) in essentie onafhankelijk was van a, dan hadden we onze generalisatie gevonden, omdat dit zou zeggen dat de groeisnelheid van de verzameling punten waarop f gelijk is aan a onafhankelijk is van a, or losjes gezegd, f neemt iedere waarde even vaak aan. Maar we zagen al dat dit niet waar is, omdat bijvoorbeeld de exponentiële functie de waarde nul nooit aanneemt. In feite, als we a = ∞ toestaan, dan is het niet eens waar voor polynomen, omdat polynomen geen polen hebben. Wat de Eerste Hoofdstelling ons zegt, is dat m( f , a, r) + N( f , a, r)niet afhangt van a, op een begrensde term na. Dus als we niet alleen de groei van de verzameling punten waarop f gelijk is aan a meten, maar ook waar f “in de buurt” ligt van a, dan groeit die combinatie op een manier die in essentie onafhankelijk is van a. Dit is onze eerste generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra. Dit is geen stricte generalisatie, omdat het niet de Hoofdstelling van de Algebra impliceert.[14] Daarom wordt de mean-proximity functie m( f , a, r) soms ook wel de compensatie functie genoemd, omdat het compenseert voor het feit dat de meest naïve generalisatie van de Hoofdstelling van de Algebra niet waar is voor meromorfe functies. Omdat m( f , a, r) altijd positief is, geeft de Eerste Hoofdstelling een bovengrens voor het aantal keer dat f de waarde a kan aannemen. Dus kunnen we het beschouwen als het analoog voor de uitspraak dat een polynoom van graad n hoogstens n nulpunten heeft.

We zagen al dat voor de exponentiële functie de telfunctie N domineert in de soms m( f , a, r) + N( f , a, r) voor de meeste waarden van a. Alleen in de speciale gevallen van 0 en ∞ is de mean-proximity functie significant. Voor de lezer die bekend is met de Stelling van Picard, die stelt dat een niet-constante, meromorfe functie op C hoogstens twee waarden in C∗ niet aanneemt, zou misschien kunnen vermoeden dat voor de meeste a, de telfunctie de dominante term is. En het zal later blijken, wanneer de de Tweede Hoofdstelling behandelen, dat dit inderdaad het geval is.

1.5 Voorbeelden

Omdat ingewikkelde functies vaak geconstrueerd kunnen worden door eenvoudigere functies samen te voegen, zullen we in deze sectie kijken naar hoe de Nevanlinna functies van sommen en producten gerelateerd zijn aan de Nevanlinna functies van hetgeen waarover gesommeerd of het product van genomen wordt. Ook berekenen we deze functies voor een aantal elementaire functies, waaronder rationale functies en de exponentiële functie.

1.5.1 Nevanlinna functies voor sommen en producten

Voorbeeld 1.3 Laat f een meromorfe functie, k een positief geheel getal en definieer g(z) =

f(zk_{). We gaan de relaties bekijken tussen de Nevanlinna functies van f en g.}

Als f een pool heeft van multipliciteit c in z = z0, dan heeft g een pool van multipliciteit c in

het punt z dat voldoet aan zk= z0. Dus iedere pool van f , levert k polen op van dezelfde orde voor

g(met uitzondering van z0= 0). We zien dus dat n(g, ∞, r) = k · n( f , ∞, rk), waaruit volgt dat

N(g, ∞, r) = n(g, ∞, 0) log(r) + Z r 0 n(g, ∞,t) − n(g, ∞, 0)dt t = k · n( f , ∞, 0) log(r) Z r 0 k· n( f , ∞,tk) − k · n( f , ∞, 0)dt t = k · n( f , ∞, 0) log(r) Z rk 0 k· n( f , ∞, s) − k · n( f , ∞, 0)ds ks = n( f , ∞, 0) log(rk) Z rk 0 n( f , ∞, s) − n( f , ∞, 0)ds s = N( f , ∞, rk).

1.5 Voorbeelden 23 Net zo gemakkelijk berekenen we de mean proximity functie,

m(g, ∞, r) = Z 2π 0 log +_|g(reiθ_)|dθ 2π = Z 2π 0 log+| f (rk eikθ)|dθ 2π = Z 2kπ 0 log +_{| f (r}k eiϕ)|dϕ 2kπ = k · Z _2π 0 log+| f (rk eiϕ)|dϕ 2kπ = Z 2π 0 log+| f (rk_eiϕ_)|dϕ 2π = m( f , ∞, rk). Dus T (g, ∞, r) = T ( f , ∞, rk). 

Voorbeeld 1.4 Bekijk weer het vorige voorbeeld, maar laat nu g(z) = ( f (z))k. Als z₀een pool

is van f van orde c, dan is z0 ook een pool van g, maar nu van orde c · k. Oftewel, n(g, ∞, r) =

k· n( f , ∞, r), waaruit volgt dat

N(g, ∞, r) = n(g, ∞, 0) log(r) + Z r 0 n(g, ∞,t) − n(g, ∞, 0)dt t = k · n( f , ∞, 0) log(r) + Z r 0 k· n( f , ∞,t) − k · n( f , ∞, 0)dt t = k · N( f , ∞, r). m(g, ∞, r) = Z 2π 0

log+|g(reiθ)|dθ 2π =

Z 2π

0

log+| f (reiθ)|kdθ 2π = k · Z 2π 0 log +_{| f (re}iθ_)|dθ 2π = k · m( f , ∞, r).

Dus we vinden dat T (g, ∞, r) = k · T ( f , ∞, r). 

Voorbeeld 1.5 Laat nu a ∈ C ongelijk nul en bekijk g(z) = f (az). Omdat n( f , ∞, r) alleen

afhangt van f en r, is deze dus invariant onder rotaties. Dus hieruit volgt dan dat n(g, ∞, r) = n( f , ∞, |a|r). Vervolgens vinden we met een eenvoudige substitue van s = |a|t dat

N(g, ∞, r) = n(g, ∞, 0) log(r) + Z r 0 n(g, ∞,t) − n(g, ∞, 0)dt t = n( f , ∞, 0) log(r) + Z r 0 n( f , ∞, |a|t) − n( f , ∞, 0)dt t = n( f , ∞, 0)(log(|a|r) − log |a|) +

Z |a|r

0

n( f , ∞, s) − n( f , ∞, 0)|a|ds |a|s = N( f , ∞, |a|r) − n( f , ∞, 0) log |a|.

m(g, ∞, r) =

Z 2π

0

log+|g(reiθ)|dθ 2π =

Z 2π

0

log+| f (areiθ)|kdθ 2π =

Z 2π

0

log+| f (|a|eiϕreiθ)|dθ 2π = Z 2π 0 log +_{| f (|a|re}iθ_)|dθ 2π = m( f , ∞, |a|r).

Dus we kunnen concluderen dat T (g, ∞, r) = T ( f , ∞, |a|r) − n( f , ∞, 0) log |a|.  Voorbeeld 1.6 Laat f₁, . . . , fpmeromorfe functies. Om de Nevanlinna functies voor ∑

p i=1 fien

∏i=1p fite berekenen, merken we eerst op dat voor positieve getallen x1, . . . , xpgeldt

log+ p

∏

i=1 xi≤ p

∑

i=1 log+xi, log+( p

∑

i=1

xi) ≤ log+(p · max xi) ≤ log+(max xi) + log(p) ≤ p

∑

i=1

log+(xi) + log(p).

Met deze ongelijkheden vinden we onmiddellijk dat m( p

∑

i=1 fi, ∞, r) ≤ p

∑

i=1 m( fi, ∞, r) + log(p) m( p

∏

i=1 fi, ∞, r) ≤ p

∑

i=1 m( fi, ∞, r).

Verder geldt dat N(∑_i=1p fi, ∞, r) ≤ ∑_i=1p N( fi, ∞, r), want als z een pool is van de som, dan moet

het een pool zijn van één van zijn summanden. Net zo volgt dat N(∏_i=1p fi, ∞, r) ≤ ∑ p

i=1N( fi, ∞, r),

want de orde van een pool z van het product is hoogstens gelijk aan de som van de ordes van de polen van de factoren van het producten in z.

We leiden hieruit dus af dat T( p

∑

i=1 fi, ∞, r) ≤ p

∑

i=1 T( fi, ∞, r) + log(p) T( p

∏

i=1 fi, ∞, r) ≤ p

∑

i=1 T( fi, ∞, r). 

 Voorbeeld 1.7 Laat f een meromorfe functie en g = a f_{c f+d}+b, met constantes a, b, c, d zodat

ad− bc 6= 0. Dan is T (g, ∞, r) = T ( f , ∞, r) + O(1). Als c = 0 dan volgt dit resultaat onmiddellijk. Stel nu dat c 6= 0 en definieer

f1= f + d c, f2= c f1, f3= 1 f₂, en f4= (bc − ad) f3 c .

Dan is g = f4+a_c, Met het vorige voorbeeld en Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling vinden we dat

T(g, ∞, r) = T ( f4, ∞, r) + O(1) = T ( f3, ∞, r) + O(1)

= T ( f2, ∞, r) + O(1)

= T ( f1, ∞, r) + O(1) = T ( f , ∞, r) + O(1).

1.5 Voorbeelden 25

1.5.2 Nevanlinna functies voor elementaire functies

Voorbeeld 1.8 — Exponentiële functie. Laat f (z) = ez. Omdat f holomorf is en dus in het

bijzonder geen polen heeft, hebben we dat N( f , ∞, r) = 0. Voor de mean proximity functie vinden we m( f , ∞, r) = Z _2π 0 log+|ereiθ_|dθ 2π = Z 2π 0 log+|ercos(θ )_|dθ 2π = Z 2π 0 max{r cos(θ ), 0}dθ 2π = Z π /2 −π/2 rcos(θ )dθ 2π = r π.

Dus T ( f , ∞, r) =_πr. Combineren we dit resultaat met voorbeelden (1.3) en (1.5) dan vinden we dat

T(ezk, ∞, r) = rk/π en T (eaz, ∞, r) = |a|r/π. 

Voorbeeld 1.9 — Goniometrische functies. Laat f (z) = cos(z) = e

iz_+e−iz

2 . Passen we hier

voorbeeld (1.6) toe, dan vinden we dat

T(cos(z), ∞, r) ≤ T (eiz, ∞, r) + T (e−iz, ∞, r) + log(2) = 2r/π + O(1).

Dit resultaat vinden we net zo voor f (z) = sin(z). Laat nu f (z) = tan(z) = i1−e_1+e2iz2iz. We zien dus

dat tan(z) geschreven kan worden als een samenstelling van e2izmet een GLT. Uit voorbeeld (1.7) volgt dan dat T (tan(z), ∞, r) = T (e2iz, ∞, r) + O(1) = 2r/π + O(1). 

We beschouwen nu alleen het geval voor holomorfe functies f . Dan definiëren we de maxi-mummodulus functie zoals gebruikelijk als

M( f , r) = max

|z|=r

| f (z)|. Dan hebben we de volgende relatie tussen M en T .

Lemma 1.5.1 Als f holomorf is op een open omgeving van B(0, R) en 0 ≤ r < R < ∞, dan

T( f , r) ≤ log+M( f , r) ≤ R+ r

R− rT( f , R).

Bewijs. De eerste ongelijkheid volgt direct uit het feit dat f holomorf is en dus T( f , r) =

Z 2π

0

log+| f (reiθ)|dθ 2π.

De tweede ongelijkheid is triviaal wanneer M( f , r) ≤ 1. Als M( f , r) > 1, kies dan θ0zodanig dat

| f (reiθ0_{)| = M( f , r). Uit de Poisson-Jensen formule volgt dan dat}

log+M( f , r) = log M( f , r) = log | f (reiθ0_)|

≤

Z 2π

0

R2− r2

|Reiθ_{− re}iθ0|2log | f (Re

iθ_)|dθ 2π ≤R+ r R− r Z 2π 0

log+| f (Reiθ_)|dθ

2π =R+ r

R− rT( f , R).

Voorbeeld 1.10 — Rationale functies. Laat f (z) = p(z)_q(z), waarbij p en q polynomen van graad

arespectievelijk b, zonder gemeenschappelijke nulpunten. Omdat q precies b nulpunten heeft, multipliciteiten geteld, volgt dat voor r groot genoeg alle nulpunten bevat liggen in B(0, r). Dus

N(q, 0, r) = (ord0q) log(r) +

∑

a∈B(0,r), a6=0, q(a)=0 (ord0q) log r |a| = (ord0q) log(r) +

∑

a∈B(0,r), a6=0, q(a)=0 (ord0q) log(r) −

∑

a∈B(0,r), a6=0, q(a)=0

(ord0q) log |a|

= b log(r) + O(1).

Dus N( f , ∞, r) = b log(r) + O(1). Vervolgens merken we op dat we f kunnen schrijven als f(z) = cz a_{+ a} a−1za−1+ · · · + a0 zb_{+ b} b−1zb−1+ · · · + b0 = cz a zb· 1 + aa−1z−1+ · · · + a0z−a 1 + bb−1z−1+ · · · + b0z−b = cza−b(1 + o(1)).

Hiermee kunnen we de mean proximity functie berekenen, voor r groot genoeg m( f , ∞, r) = Z 2π 0 log +_{| f (re}iθ_)|dθ 2π = Z 2π 0

log+|ra−bei(a−b)θ| + log+_{|c| + log}+_{(1 + o(1))}dθ

2π = Z _2π 0 log+|ra−b|dθ 2π+ O(1) =  0 + O(1) als a ≥ b

(a − b) log(r) + O(1) als a < b

Dus we vinden dat m( f , ∞, r) = max{a − b, 0} log(r) + O(1). Als we dit combineren met de telfunctie vinden we dat de Nevanlinna karakteristiek gelijk is aan

T( f , ∞, r) = max{a, b} log(r) + O(1) = O(log(r))

We kunnen zelfs aantonen dat T ( f , r) = O(log(r)) alleen als f een rationale functie is. Dat is wat we nu zullen doen. Dus stel dat T ( f , r) = O(log(r)), in andere woorden, er bestaan een r0≥ 1

en K > 0 zodat

T( f , r) ≤ K log(r) als r ≥ r0.

We mogen aannemen dat f niet-constant is. Hieruit volgt dan dat N( f , r) ≤ K log(r) als r ≥ r0.

Voor alle r ≥ r0vinden we dan

[n( f , ∞, r) − n( f , ∞, 0)] log(r) = [n( f , ∞, r) − n( f , ∞, 0)] Z r2 r dt t ≤ Z r2 r n( f , ∞,t) − n( f , ∞, 0) t dt ≤ Z r2 0 n( f , ∞,t) − n( f , ∞, 0) t dt + n( f , ∞, 0) log(r) = N( f , ∞, r2) ≤ K log(r2) = 2K log(r).

1.6 Stelling van Cartan 27 Dus vinden we

n( f , ∞, r) ≤ 2K + n( f , ∞, 0),

voor alle r ≥ r0. Dit betekent dat f hoogstens eindig veel polen, zeg b1, . . . , bn, heeft op heel C. We

definiëren nu een gehele functie g door

P(z) := (z − b1) · · · (z − bn),

g(z) := f (z)P(z).

Dan vinden we, gebruikmakend van het eerste deel van het bewijs dat T(g, r) ≤ T ( f , r) + T (P, r) = O(log(r)).

Dus er is een L zodat T (g, r) ≤ L log(r) als r ≥ r0. Wegens het voorgaande lemma, met R = 2r,

zien we dat voor alle r ≥ max{2, r0}

log M(g, r) ≤ 3T (g, 2r) ≤ 3L log(2r) = 3L(log(r) + log(2)) ≤ 6L log(r) = log(r6L). Dus voor deze waarden van r is |g(z)| ≤ M(g, r) ≤ r6L. Wegens de uitgebreide versie van de stelling van Liousville moet g een polynoom zijn, en dus is f rationaal.  Propositie 1.5.2 _{Als f een meromorfe functie op C, dan is f een rationale functie dan en slechts}

dan als T ( f , r) = O(log(r)) voor r → ∞. Bovendien, als f niet rationaal is, dan lim

r→∞

T( f , r) log(r) = +∞.

1.6 Stelling van Cartan

In de vorige secties kwamen we tot de Eerste Hoofdstelling van Nevanlinna, die voor een meromorfe functie f zegt dat T ( f , a, r) = m( f , a, r) + N( f , a, r) in essentie onafhankelijk is van a, in de zin dat als r → ∞ en we a veranderen, dat dan T verandert met een begrensde term. We zullen zien dat voor de “meeste” waarden van a, N de dominante term is in de som. In het volgende hoofdstuk zullen we toewerken naar Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling die deze uitspraak op een sterke manier precies maakt, maar in de huidige sectie zullen we ons tevreden stellen met een zwakkere vorm, die voor het eerst bewezen is door H. Cartan in 1929. Cartans stelling stelt ons in staat om te concluderen dat N de dominante term is voor de “meeste” a, wat bijna direct volgt uit Jensen’s formule.

Lemma 1.6.1 _{Voor alle z ∈ C en r > 0 geldt} Z 2π

0

log |z − reiθ|dθ

2π = max{log |z|, log(r)}.

Bewijs. Als z = 0, dan is overduidelijk de integraal gelijk een log(r), dus we nemen aan dat z 6= 0. Als r < |z|, dan is log |z − reiθ_{| een harmonische functie op B(z, r). Wegens de}

middelwaarde-eigenschap vinden we datR2π

0 log |z − reiθ|dθ2π = log |z|.

Als r > |z|, schrijf dan log |z − reiθ| = log |z| + log(r) + log |1 z− 1 re −iθ_{|. Omdat} 1 r<  1 z  , vinden we weer met de middelwaarde-eigenschap dat

Z 2π

0

log |z − reiθ|dθ

2π = log |z| + log(r) + log  1_z



= log(r).

Wegens gedomineerde convergentie volgt datR2π

0 log |z − reiθ|dθ2π = log(r) als |z| = r, waarmee

Stelling 1.6.2— Cartan. Laat f een meromorfe functie op B(0, R), waarbij R ≤ ∞. Dan T( f , r) = Z _2π 0 N( f , eiθ, r)dθ 2π+C,

waar C = log+| f (0)| als f (0) 6= ∞, en C = log |ilc( f , 0)| als f (0) = ∞. Daarnaast geldt

Z 2π

0

m( f , eiθ, r)dθ

2π ≤ log(2).

Bewijs. Als f (0) 6= ∞, dan passen we Jensen’s formule in de vorm van (1.2) toe op f (z) − eiθ, met θ reëel, zodat

log | f (0) − eiθ| =

Z 2π

0

log | f (reiϕ) − eiθ|dϕ

2π + N( f , ∞, r) − N( f , e

iθ_{, r).}

Vervolgens delen we dit door 2π en integreren we over θ van 0 tot 2π. De tweede term aan de rech-terkant van de gelijkheid blijft onveranderd. In de dubbele integraal kunnen we de integratievolgorde omwisselen, waardoor we het volgende verkrijgen

Z 2π 0 log | f (0) − eiθ|dθ 2π = Z 2π 0 Z 2π 0

log | f (reiϕ− eiθ|dθ 2π dϕ 2π + N( f , ∞, r) − Z 2π 0 N( f , eiθ, r)dθ 2π. We kunnen nu het vorige lemma toepassen om de binnenste integraal van de dubbele integraal uit te rekenen en ook de linker integraal:

log+| f (0)| = Z 2π 0 log +_{| f (re}iϕ_)|dϕ 2π + N( f , ∞, r) − Z 2π 0 N( f , eiθ, r)dθ 2π.

Omdat de eerste twee termen aan de rechterkant van de gelijkheid T ( f , r) vormen, hebben we het eerste deel van de stelling bewezen voor f (0) 6= ∞. Als f (0) = ∞, dan hadden we log+| f (0)| moeten vervangen door log+|ilc( f , 0)|, waarmee ook onmiddellijk het eerst resultaat volgt.

Voor de tweede ongelijkheid hebben we wegens de Eerste Hoofdstelling dat voor alle θ geldt |m( f , eiθ, r) + N( f , eiθ, r) − T ( f , ∞, r) + log |ilc( f − eiθ, 0)| ≤ log(2).

We gaan dit integreren ten opzichte van θ . Wegens de eerste gelijkheid van de stelling weten we dat T( f , ∞, r) −

Z 2π

0

N( f , eiθ, r)dθ 2π = C. Als f (0) = ∞, dan ilc( f − eiθ, 0) = ilc( f , 0) voor alle θ , dus

Z 2π

0

log |ilc( f − eiθ), 0)|dθ

2π = log |ilc( f , 0)| = C.

Als f (0) 6= ∞, dan geldt voor alle θ waarvoor f (0) 6= eiθ dat ilc( f − eiθ, 0) = f (0) − eiθ, en dus

Z 2π 0 log |ilc( f − e iθ_{, 0)|}dθ 2π = Z 2π 0 log | f (0) − e iθ_|dθ 2π = C,

waarbij de tweede ongelijkheid uit het eerdere lemma volgt. Hierdoor vallen de termen dus tegen elkaar weg, waardoor we overblijven met de gewensde ongelijkheid. 

1.6 Stelling van Cartan 29 Omdat de Eerste Hoofdstelling zegt dat N( f , a, r) ≤ T ( f , r) + O(1), kan men Cartans stelling opvatten door te zeggen dat de mean-proximity functie m( f , a, r) insignificant is voor de meeste waarden a op de eenheidscirkel, en dat T ( f , r) in essentie gelijk is aan N( f , a, r) voor de meeste waarden a op de cirkel. Merk op dat er niks bijzonder is aan de eenheidscirkel, omdat we f kunnen samenstelling met een GLT, waarbij T invariant blijft op een begrensde term na.

Tot slot is de functie N( f , eiθ, r), voor iedere vaste θ , een monotoon stijgend, convexe functie van log(r). Hetzelfde geldt dan ook voor de middelwaarde ten opzichte van θ , waardoor T ( f , r) ook een monotoon stijgend, convexe functie is van log(r). In feite hebben we dat

r d drT( f , r) = Z 2π 0 n( f , r, eiθ)dθ 2π.

II

2

Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling . . . 33

2.1 Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling

2.2 Benadering van S( f , r)

3

Enkele Toepassingen . . . 45

3.1 Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling

3.2 Laatste Stelling van Fermat voor Functies

3.3 ABC-Vermoeden

Slotbeschouwing . . . 51 Bibliografie . . . 53

Populaire Samenvatting . . . 55

H O O F D S T U K

2

Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling

I

N het vorige hoofdstuk definieerden we de karakteristieke functie en zagen dat we voor ieder complex getal a hebben dat m( f , a, r) + N( f , a, r) = T ( f , r) + O(1). Uit de Eerste Hoofdstelling volgt dus dat de som m + N grotendeels onafhankelijk is van a. De Tweede Hoofdstelling laat zien dat in het algemeen de term N( f , a, r) de dominerende term is in die som. Oftewel voor het gros van de waarden a ∈ C heeft de vergelijking f (z) = a bijna evenveel oplossingen die de Eerste Hoofdstelling toelaat.

In dit hoofdstuk zullen we Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling bewijzen en een belangrijke eigenschap van de zogenaamde error-term. De bewijzen zijn voornamelijke ontleend uit Hayman’s boek [4]. Toepassingen hiervan zullen in het volgende hoofdstuk aan bod komen.

2.1 Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling

In het vervolg gebruiken we weer de gebruikelijke conventie dat we T ( f , ∞, r) bedoelen met T ( f , r) en ook net zo voor de telfunctie N en mean-proximity functie m.

Stelling 2.1.1 — Tweede Hoofdstelling. Laat f een niet-constante, meromorfe functie op B(0, r). Als a1, . . . , aq, met q > 2 verschillende punten in C zijn waarvoor |aµ− aν| ≥ δ voor

alle 1 ≤ µ < ν ≤ q voor zekere δ > 0 , dan geldt m( f , ∞, r) + q

∑

ν =1 m( f , aν, r) ≤ 2T ( f , ∞, r) − N1( f , r) + S( f , r), waarbij N₁( f , r) = N(1/ f0, ∞, r) + 2N( f , ∞, r) − N( f0, ∞, r) en S( f , r) = m(f 0 f, ∞, r) + m( q

∑

ν =1 f0 f− aν , ∞, r) + q log+(3q δ ) + log(2) + log 1 | f0_(0)|, mits f (0) 6= ∞ en f0(0) 6= 0.

Bewijs. Bekijk de functie F(z) = q

∑

ν =1  1 f(z) − aν 

en stel er is een ν zodat | f (z) − aν| < _3qδ .Voor µ 6= ν geldt dan

|aµ− aν| ≤ |aµ− f (z)| + | f (z) − aν|. Dus | f (z) − aµ| ≥ |aµ− aν| − | f (z) − aν| ≥ δ − δ 3q≥ 2 3δ . Dus voor µ 6= ν is 1 | f (z) − a_µ|≤ 3 2δ ≤ 1 2q  1 | f (z) − a_ν|  . Met de volgende driehoeksongelijkheid |x − y| ≥ |x| − |y| volgt dat

|F(z)| =     

∑

µ 1 f(z) − aν      =      1 f(z) − aν −

_∑

µ 6=ν 1 a_µ− f (z)      ≥ 1 | f (z) − a_ν|−

∑

µ 6=ν 1 | f (z) − a_µ| ≥ 1 | f (z) − aν| −

_∑

µ 6=ν 1 2q· 1 | f (z) − aν| = 1 | f (z) − a_ν|·  1 −q− 1 2q  ≥ 1 2| f (z) − aν| . Dus log+|F(z)| ≥ log+ 1 | f (z) − a_ν|− log(2) Omdat voor alle µ 6= ν geldt dat log+_{| f (z)−a}1

µ| hoogstens gelijk is aan log

+ 3 2δ
, volgt dat log+|F(z)| ≥ q

∑

µ =1 log+ 1 | f (z) − a_µ|− q log + 3 2δ  − log(2) ≥ q

∑

µ =1 log+ 1 | f (z) − a_µ|− q log + 3q δ  − log(2).

We hadden aangenomen dat er een ν was zodat | f (z) − aν| < _3qδ. Deze ongelijkheid is waar voor

hoogstens één ν, want anders hebben we dat

δ ≤ |aν− aµ| ≤ | f (z) − aν| + | f (z) − aµ| <

2δ 3q < δ . Stel er is niet zo’n ν, dan geldt meteen dat

log+|F(z)| ≥ q

∑

ν =1 log+ 1 | f (z) − aν| − q log+ 3q δ  − log(2).

2.1 Nevanlinna’s Tweede Hoofdstelling 35 Want in dat geval is | f (z) − aν| ≥ _3qδ , oftewel _{| f (z)−a}1

ν|

≤ 3q

δ , waaruit volgt dat log + 1 | f (z)−aν| − log+  3q δ 

≤ 0. Dus de ongelijkheid geldt in alle gevallen. Door te integreren vinden we dat

m(F, ∞, r) ≥ q

∑

ν =1 m( f , aν, r) − q log + 3q δ  − log(2). (2.1) Verder is m(F, ∞, r) = m(1 f · f f0 · f 0_{· F, ∞, r)} ≤ m(1 f, ∞, r) + m( f f0, ∞, r) + m( f 0 · F, ∞, r). Met de Jensen-formule in de vorm van (1.2) en (1.3) hebben we dat

T( f , ∞, r) = T (1 f, ∞, r) + log | f (0)|, m( f f0, ∞, r) = m( f0 f , ∞, r) + N( f0 f , ∞, r) − N( f f0, ∞, r) + log     f(0) f0(0)     en m(1 f, ∞, r) = T ( f , ∞, r) − N( 1 f, ∞, r) + log 1 | f (0)|. Hieruit volgt dan dat

m(F, ∞, r) ≤ T ( f , ∞, r) − N(1 f, ∞, r) + log 1 | f (0)|+ m( f0 f, ∞, r) + N(f 0 f , ∞, r) − N( f f0, ∞, r) + log     f(0) f0(0)     + m( f0· F, ∞, r).

Combineren we bovenstaande met (2.1), dan krijgen we

q

∑

ν =1 m( f , aν, r) + m( f , ∞, r) ≤ m(F, ∞, r) + m( f , ∞, r) + q log + 3q δ  + log(2) ≤ T ( f , ∞, r) − N(1 f, ∞, r) + N( f0 f , ∞, r) − N( f f0, ∞, r) + m( f0 f , ∞, r) + m( f0· F, ∞, r) + log | f (0)| + log     f(0) f0(0)     + T ( f , ∞, r) − N( f , ∞, r) + q log+ 3q δ  + log(2).

Verder volgt uit de Jensen formule (1.2) dat

N(f 0 f, ∞, r) − N( f f0, ∞, r) = Z 2π 0 log     f(reiθ) f0(reiθ₎     dθ 2π− log     f(0) f0(0)     = Z 2π 0

log | f (reiθ)|dθ

2π − log | f (0)| −

Z 2π

0

log | f0(reiθ)|dθ

2π + log | f 0_(0)| ≤ N( f0, ∞, r) + N(1 f, ∞, r) − N( f , ∞, r) − N( 1 f0, ∞, r).

Dus vinden we tot slot dat q

∑

ν =1 m( f , aν, r) + m( f , ∞, r) ≤ 2T ( f , ∞, r) − (2N( f , ∞, r) − N( f 0_{, ∞, r) + N(}1 f0, ∞, r)) + (m(f 0 f , ∞, r) + m( q

∑

ν =1 f0 f− a_ν, ∞, r)) + q log+ 3q δ  + log(2) + log 1 | f (0)|+ log     f(0) f0(0)     = 2T ( f , r) − N1( f , r) + S( f , r). 

Definitie 2.1.1 De functie n( f , a, r) telt het aantal punten in B(0, r) waarop f de waarde a aanneemt, zonder de multipliciteit mee te rekenen. Verder definiëren we N( f , a, r) net zo als N( f , a, r), maar dan met n( f , a, r) vervangen door n( f , a, r).

Met bovenstaande notatie kunnen we de ongelijkheid in de Tweede Hoofdstelling in de vol-gende vorm opschrijven. Door in de ongelijkheid van de Tweede Hoofdstelling aan beide kanten N( f , aν, r) en N( f , ∞, r) op te tellen, en de Eerste Hoofdstelling toe te passen, vinden we dat

(q + 1)T ( f , r, ∞) ≤ 2T ( f , ∞, r) +

q

∑

ν =1

N( f , aν, r) + N( f , ∞, r) − N1( f , r) + S( f , r) + O(1),

Verder merken we op dat

N1( f , r) = 2N( f , ∞, r) − N( f0, ∞, r) + N(1/ f0, ∞, r)

= N( f , ∞, r) − N( f , ∞, r) + N(1/ f0, ∞, r). Ofwel vinden we dat

(q − 1)T ( f , ∞, r) ≤ q

∑

ν =1 N( f , aν, r) + N( f , ∞, r) − N(1/ f 0_{, ∞, r) + S( f , r) + O(1).}

Als z een nulpunt is van f − aν van orde p, dan is het ook een nulpunt van orde p − 1 van f 0_,

dus het heeft een bijdrage van 1 aan n( f , aν, r) − n(1/ f0, ∞, r). Dus kunnen we onze ongelijkheid

schrijven als (q − 1)T ( f , ∞, r) ≤ q

∑

ν =1 N( f , aν, r) + N( f , ∞, r) − N0(1/ f0, ∞, r) + S( f , r) + O(1),

waarbij N0(1/ f0, ∞, r) compenseert voor de nulpunten van f0 die geen nulpunten zijn van de

vergelijking f − aν (ν = 1, . . . , q). Deze term kunnen we dus ook weglaten in onze afschatting. Als

we nu toestaan dat aν ∈ C∗, met ν = 1, . . . , q, dan vinden we de volgende vorm van de Tweede

Hoofdstelling: (q − 2)T ( f , ∞, r) ≤ q

∑

ν =1 N( f , aν, r) + S( f , r) + O(1). (2.2)

Veelal zullen we naar deze vorm van de Tweede Hoofdstelling refereren, wanneer we naar de toepassingen ervan gaan kijken. Deze vorm blijkt namelijk een stuk praktischer te zijn om mee te werken.

2.2 Benadering van S( f , r) 37

2.2 Benadering van S( f , r)

In deze sectie zullen we zien dat S( f , r) de rol speelt van een onbelangrijke error term, omdat deze ten opzichte van T ( f , r) relatief klein is. Stelling 2.2.6 geeft voorwaarden voor wanneer dit zo is.

Stelling 2.2.1 Laat f een meromorfe functie zijn die niet constant is in B(0, R). Dan hebben we het volgende.

• Als R = +∞, dan geldt

S( f , r) = O(log T ( f , r)) + O(log(r)),

voor r → ∞ voor r → ∞ buiten een verzameling E van eindige lineaire maat. • Als 0 < R < ∞, dan geldt

S( f , r) = O(log+T( f , r) + log 1 R− r), voor r → R buiten een verzameling E met de eigenschap dat

Z

E

1

R− rdr < +∞.

Verder is er een punt r buiten E met ρ < r < ρ0gegeven dat 0 < R0− ρ0< e−2(R0− ρ).

Het bewijs van deze stelling behelst nogal een aantal stappen, dus we splitsen het bewijs op in een aantal lemma’s die we eerst bewijzen.

Lemma 2.2.2 _{Laat z ∈ C en 0 < r < ∞. Voor 0 < k ≤ 1, laat E}k de verzameling van alle θ

zodat |z − reiθ_{| < kr en 0 ≤ |θ | < π. Dan geldt}

Z Ek log r |z − reiθ_|dθ < πk(log 1 k+ 1).

Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat z reëel en positief is. Voor θ ∈ Ek geldt dan |z − reiθ| ≥ r sin(θ ), en Ek ligt bevat in het interval |θ | ≤ θ0, waarbij θ0 de

kleinste positieve oplossing is van de vergelijking sin(θ ) = k, omdat voor π

2 ≤ |θ | ≤ π geldt dat

|z − reiθ_{| > r ≥ kr als z > 0. Dus}

Z Ek log r |z − reiθ_|dθ ≤ 2 Z θ0 0 log 1 sin(θ )dθ ≤ 2 Z θ0 0 log π 2θdθ = 2 Z ∞ π 2θ0 log(u) π 2u2du = 2  log(u)−π 2u ∞ π 2θ0 + 2 Z ∞ π 2θ0 π 2u2du = 2 log( π 2θ0 ) · θ0+ 2  −π 2u ∞ π 2θ0 = 2θ0(log π 2θ0 + 1).

vervangen door het grotere getal 1₂π k. Dus vinden we dat Z Ek log r |z − reiθ_|dθ ≤ πk(log 1 k+ 1). 

Lemma 2.2.3 Laat z1, . . . , zn∈ C en definieer δ (z) als de kleinste afstand |z − zi|, i = 1, . . . , n.

Dan geldt 1 2π Z 2π 0 log+ r

δ (reiθ)dθ ≤ 2 log(n) +

1 2.

Bewijs. Laat Eide verzameling van θ met |reiθ−zi| <r_n, en noem E =

Sn

i=1Ei. Definieer log0(x) =

log(x) als x ≥ n en log₀(x) = 0 anders. Voor reiθ_{∈ E geldt δ (re}iθ_{) <} r n, dus

log+ r

δ (reiθ) = log0 r δ (reiθ) ≤ n

∑

i=1 log₀ r |reiθ_{− z} i| . Dus met het vorige lemma en k =1_n vinden we dat

Z E log+ r δ (reiθ)dθ ≤ n

∑

i=1 Z 2π 0 log₀ r |reiθ_{− z} i| dθ ≤n· π n (log(n) + 1). Voor het complement CE van E hebben we δ (reiθ) ≥_nr, en dus

Z CE log+ r δ (reiθ)dθ ≤ Z CE log(n)dθ ≤ 2π log(n). Dus combineren we beide resultaten dan vinden we dat

1 2π Z 2π 0 log+ r δ (reiθ)dθ ≤ 1 2π(2π log(n) + π(log(n) + 1)) ≤ 2 log(n) +1 2.  We zijn nu in staat om m(f_f0, r) uit te drukken in termen van T ( f , R) voor R > r.

Lemma 2.2.4 Laat f meromorf op B(0, R), 0 < r < R en f (0) 6= 0, ∞. Dan m(f 0 f , r) < 4 log +_{T( f , R) + 4 log}+_log+ 1 | f (0)|+ 5 log +_{R+ 6 log}+ 1 R− r+ log +1 r + 15. Bewijs. Als aide nulpunten en bide polen zijn van f in B(0, R), herhaald met multipliciteit, dan

geeft de Poisson-Jensen formule voor z = reiϕ dat, log | f (z)| = 1 2π Z 2π 0 ℜ Re iθ_{+ z} Reiθ_{− z} 

log | f (Reiθ)|dθ − p

∑

i=1 log     R2− aiz R(z − ai)     + q

∑

i=1 log     R2− biz R(z − bi)     .

2.2 Benadering van S( f , r) 39 Omdat bovenstaande een harmonische functie is in z in de buurt van z = reiϕ met f (reiθ) 6= 0, ∞, kunnen we de operator ∂ /∂ z op beide kanten loslaten. Dan vinden we dat

f0(z) f(z) = 1 2π Z 2π 0

log | f (Reiθ)| · 2Re

iθ (Reiθ_{− z)}2dθ − p

∑

i=1  −1 z− ai − ai R2_{− a} iz  + q

∑

i=1  −1 z− bi − bi R2_{− b} iz  ,

gegeven dat er geen nulpunten of polen zijn op C(0, R), wat we zullen aannemen. Als we ρ =

1

2(R + r) gebruiken in plaats van R, dan vinden we dat

f0(z) f(z) = 1 2π Z 2π 0

log | f (ρeiθ)| · 2ρe

iθ (ρeiθ_{− z)}2dθ + p

∑

i=1  ai ρ2− aiz − 1 ai− z  + q

∑

i=1  1 bi− z − bi ρ2− biz  , (2.3) Voor |z| = r schrijven we δ (z) voor de korste afstand van z tot één van de aien bj. Verder definiëren

we

n= n( f , ρ) + n(1 f, ρ) voor het totaal aantal nulpunten en polen in B(0, ρ). Dan

|ρ2_{− a} iz| ≥ |ρ2| − |aiz| ≥ ρ2− ρr = ρ(ρ − r). Dus     ai ρ2− aiz     ≤ ρ ρ (ρ − r) = 1 ρ − r, en net zo voor bj. Ook geldt

    1 ai− z     ≤ 1 δ (z) en     1 bi− z     ≤ 1 δ (z). Verder hebben we     1 2π Z 2π 0

log | f (ρeiθ)| · 2ρe

iθ (ρeiθ_{− z)}2dθ     ≤ 2ρ (ρ − r)2 1 2π Z 2π 0

| log | f (ρeiθ)||dθ

= 2ρ

(ρ − r)2[m( f , ρ) + m(

1 f, ρ)]. Combineren we dit met (2.3), dan vinden we dat

    f0(z) f(z)     ≤ 2ρ (ρ − r)2[m( f , ρ) + m( 1 f, ρ)] + n[ 1 δ (z)+ 1 ρ − r]. Omdat m( f , ρ) ≤ T ( f , ρ) en wegens (1.3), vinden we dat

m( f , ρ) + m(1 f, ρ) ≤ T ( f , ρ) + T ( f , ρ) − log( f (0)) ≤ 2T ( f , ρ) + log + 1 | f (0)|. Dus     f0(z) f(z)     ≤ 4ρ (ρ − r)2  T( f , ρ) + log+ 1 | f (0)|  +n r  r δ (z)+ r ρ − r  . Met de ongelijkheden

vinden we dat log+     f0(z) f(z)     ≤ log+(ρ) + 2 log+ 1 ρ − r+ 2 log(2) + log +_{T( f , ρ) + log}+_log+ 1 | f (0)| + log(2) + log+n r+ log + r δ (z)+ log + r ρ − r+ 2 log(2).

Als we dit integreren ten opzichte van z over C(0, r) en het vorige lemma gebruiken, dan vinden we m(f 0 f , r) ≤ log +_{T( f , ρ) + 3 log}+_n+1 2+ log +1 r+ 5 log(2) + log+log+ 1 | f (0)|+ log + ρ + 3 log+ 1 ρ − r+ log + r. (2.4)

Vervolgens gaan we n afschatten: N( f , R) ≥ Z R ρ n( f ,t) t dt ≥ n( f , ρ) R− ρ R , N(1 f, R) ≥ n( 1 f, ρ) R− ρ R . Dus n= n( f , ρ) + n(1 f, ρ) ≤ R R− ρ(N( f , R) + N( 1 f, R)) ≤ R R− ρ(2T ( f , R) + log 1 | f (0)|) ≤ 2R R− ρ(T ( f , R) + log + 1 | f (0)|). Dus

log+(n) ≤ log+(R) + log+ 1

R− ρ + log

+_{T( f , R) + log}+_log+ 1

| f (0)|+ 3 log(2).

We substitueren dit in (2.4) en merken op dat ρ − r = R − ρ = 1₂(R − r), en r < ρ < R. Dus monotone functies van ρ kunnen vervangen worden door vergelijkbare functies van r of R. Dit geeft m(f 0 f , r) ≤ log +_{T( f , ρ) + 3 log}+_{(R) + 3 log}+ 1 R− ρ+ 3 log +_{T( f , R)} + 3 log+log+ 1 | f (0)|+ 9 log(2) + 1 2+ log +1 r + 5 log(2) + log+log+ 1 | f (0)|+ log +_{(ρ) + 3 log}+ 1 ρ − r+ log +_(r)

≤ 4 log+_{T( f , R) + 4 log}+_log+ 1

| f (0)|+ 6 log + 1 R− r+ 20 log(2) + 1 2 + 5 log+(R) + log+1 r.  Tot slot bewijzen we nog het volgende lemma voordat we kunnen terugkeren naar het bewijs van stelling 2.2.1.

2.2 Benadering van S( f , r) 41

Lemma 2.2.5 • Stel T (r) is continu, stijgend en T (r) ≥ 1 voor r0≤ r < +∞. Dan geldt

T(r + 1

T(r)) < 2T (r)

buiten een verzameling E0van r die een lineaire maat heeft van hoogstens 2.

• Als T (r) continu en stijgend is voor r0≤ r < R0< +∞ en T (r) ≥ 1, dan geldt

T(r +R0− r

eT(r)) < 2T (r) (2.5)

buiten een verzameling E0van r met de eigenschap dat

Z

E0

1 R0− r

dr ≤ 2.

In het bijzonder geldt (2.5) voor een r in het interval ρ < r < ρ0, gegeven dat r0< ρ < R0

en R0− ρ0< R0_e−ρ2 .

Bewijs. We bewijzen eerst het eerste resultaat. Laat r1de ondergrens zijn van alle r > r0waarvoor

de ongelijkheid niet geldt. Als die er niet is zijn we klaar. Nu definiëren we inductief een rij {rn}.

Als rnis gedefinieerd, dan schrijven we r0n= rn+_T(r1

n). Dan definiëren we rn+1als de ondergrens

van alle r ≥ r_n0 waarvoor de ongelijkheid niet geldt. Omdat we r1al hebben gedefinieerd verkrijgen

we zo een rij {rn}. Wegens continuïteit van T is de ongelijkheid niet waar voor alle rn, n = 1, 2, . . . .

Dus rnzit in E0. Uit de definitie van rn+1volgt dat er geen punten van E0in (r0n, rn+1) zitten, zodat

de verzameling van gesloten intervallen [rn, r0n], E0moet bevatten.

Als er oneindig veel rnzijn, dan kan rnniet convergeren naar een eindige r. Want anders geldt,

omdat rn< r0n≤ rn+1, dat rn0 → r. Maar we hebben ook dat r0n− rn= _T(r1

n) ≥

1

T(r) > 0. Oftewel

r0_n− rn→ 0, waat een tegenspraak geeft.

We moeten nu dus nog laten zien dat ∑∞

n=1[r0n− rn] ≤ 2. We hebben T(r0_n) = T (rn+ 1 T(rn) ) ≥ 2T (rn), omdat rn∈ E0. Dus T(rn+1) ≥ T (rn0) ≥ 2T (rn) ≥ · · · ≥ 2nT(r1) ≥ 2n, omdat T (r) ≥ 1. Dus ∞

∑

n=1 [r0n− rn] = ∞

∑

n=1 1 T(rn) ≤ ∞

∑

n=1 21−n= 2.

Hiermee hebben we het eerste resultaat bewezen. Om het tweede te bewijzen definiëren we ρ = log 1 R0− r ( waardoor r= R0− e−ρ) en ρ0= log 1 R0− r0 . Vervolgens passen we het eerste resultaat toe op

T₁(ρ) := T (R0− e−ρ), ρ0≤ ρ < +∞.

Laat E de verzameling van ρ zijn waarvoor ρ0≤ ρ < +∞ en

T1(ρ +

1 T1(ρ)