lingen. In dit hoofdstuk zullen we een aantal stellingen de revue laten passeren die met de Tweede Hoofdstelling bewezen kunnen worden, maar die eenvoudig beschreven kunnen worden aan iemand die niet bekend is met Nevanlinna theorie. Deze toepassingen maken het nut van Nevanlinna theorie duidelijk.
3.1 Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling
Misschien wel één van de meest opmerkelijke toepassingen van Nevanlinna theorie zijn resultaten die zeggen dat als twee functies bepaalde waarden delen, dat ze dan identiek moeten zijn (of verschillen met een constante, of verschillen met een GLT, etc). Voor polynomen is dit eenvoudig: [1]
Stelling 3.1.1 Laat f en g polynomen. Als er twee verschillende punten a en b bestaan zodat f−1(a) = g−1(a) en f−1(b) = g−1(b), dan is f = g of beide zijn constant.
Bewijs. Stel dat deg f ≥ deg g. Definieer
h= f
0( f − g)
( f − a)( f − b).
Als z een nulpunt is van f − a, dan is f − g gelijk aan nul. Oftewel h heeft geen polen. Omdat de graad van de noemer groter is dan de graad van de teller, moeten we hebben dat h ≡ 0. Oftewel f is een constante functie, waaruit volgt dat g dat ook moet zijn, of f = g.
Het volgende resultaat is afkomstig van Rolf Nevanlinna zelf.
Stelling 3.1.2— Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling. Laat f en g meromorfe functies op C zijn
zodat f en g vijf verschillende waarde delen, oftewel f−1(ai) = g−1(ai), i = 1, . . . , 5. Dan moet
Voordat we bovenstaande stelling bewijzen, bekijken en bewijzen we eerst de volgende stelling die we nodig zullen hebben in het bewijs van Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling. Maar dit resultaat is ook los daarvan interessant.
Stelling 3.1.3— Stelling van Picard. Laat f een meromorfe functie op C. Als f drie waarden
in C∗niet aanneemt, dan moet f constant zijn.
Bewijs. Stel f is niet constant en laat a1, a2en a3drie waarden die f ontwijkt. Wegens (2.2) moet
gelden dat T( f , r) ≤ 3
∑
i=1 N( f , ai, r) + S( f , r) + O(1).Omdat N( f , ai, r) = 0 en wegens Stelling 2.2.6 geldt dat S( f , r) = o(T ( f , r)), levert dit een tegen-
spraak. Dus f moet constant zijn.
Bewijs stelling 3.1.2. Stel dat f en g niet beide constant zijn noch f = g. Als f constant is, dan ontwijkt g minstens vier waarden, waardoor het wegens de Stelling van Picard ook constant moet zijn. Maar dit geval hadden we uitgesloten in onze hypothese.
We bekijken de functie h = ( f − g)−1 en merken op dat deze functie niet identiek ∞ is, omdat we hadden aangenomen dat f en g niet gelijk zijn. Uit de Eerste Hoofdstelling en de voorbeelden uit hoofdstuk 1 weten we dat
T(h, r) ≤ T ( f − g, r) + O(1) ≤ T ( f , r) + T (g, r) + O(1). Omdat f en g de vijf waarden a1, . . . , a5delen, hebben we dat
5
∑
i=1
N( f , ai, r) ≤ N(h, r) ≤ N(h, r) ≤ T (h, r).
Hetzelfde geldt natuurlijk ook voor g. Met de Tweede Hoofdstelling (2.2) vinden we
3[T ( f , r) + T (g, r)] ≤ 5
∑
i=1 N( f , ai, r) + N(g, ai, r) + S( f , r) + S(g, r) + O(1) ≤ 2T (h, r) + S( f , r) + S(g, r) + O(1) ≤ 2[T ( f , r) + T (g, r)] + S( f , r) + S(g, r) + O(1).Maar dit levert dan een tegenspraak met het feit dat S( f , r) = o(T ( f , r)) en S(g, r) = o(T (g, r)),
omdat we hadden aangenomen dat f en g niet constant zijn.
Bekijken we de functies ezen e−zen de waarden a = 0, 1, −1, ∞, dan zien we dat de 5 in de stelling niet vervangen kan worden door een 4. Er bestaan talloze varianten op deze stelling, ieder met zijn eigen voorwaarden en conclusies. Je zou bijvoorbeeld eisen kunnen opleggen aan de overeenkomsten in multipliciteiten of je kunt kijken naar de afgeleide van de functies en die met elkaar vergelijken. [15]
3.2 Laatste Stelling van Fermat voor Functies
Zoals in de inleiding al werd aangekondigd, zouden we kijken naar de oplossingen van de vergelij- king fn+ gn= 1, waarbij f en g complexe functies zijn en n een positief geheel getal.
3.2 Laatste Stelling van Fermat voor Functies 47
Stelling 3.2.1 Laat f en g niet-constante, gehele functies zodat fn+ gn= 1 voor alle z ∈ C, en
neen positief geheel getal. Dan is n ≤ 2.
Bewijs. We weten dat er functies bestaan voor n ≤ 2, bijvoorbeeld sin2(z) + cos2(z) = 1. Stel nu dat er f en g bestaan die aan de gelijkheid voldoen voor zekere n ≥ 3, dus fn− 1 = −gn. Stel
dat g een nulpunt z0 heeft van multipliciteit k, dan is z0 ook een nulpunt van gn maar dan met
multipliciteit nk, en net zo voor fn− 1. Dit laatste kunnen we ook in de volgende vorm opschrijven fn− 1 =
n
∏
j=1
( f − e2πi j/n).
Dus we zien dat f in z0met multipliciteit kn een waarde e2πi j/naanneemt. Als nu f (z0) = e2πi j/n,
dan is z0een nulpunt van g. Dus de functie f neemt met minstens multipliciteit n de waarde e2πi j/n
aan. We passen nu de Tweede Hoofdstelling (2.2) op de verzameling punten {aν} = {∞, e2πi j/n| 1 ≤ j ≤ n}.
We merken op dat N( f , r) = 0, omdat f geheel is, dus vinden we dat (n − 1)T ( f , r) ≤ n
∑
j=1 N( f , e2πi j/n, r) + N( f , r) + S( f , r) + O(1) ≤1 n n∑
j=1 N( f , e2πi j/n, r) + S( f , r) + O(1) ≤n nT( f , r) + S( f , r) + O(1) = T ( f , r) + S( f , r) + O(1).Wegens Stelling 2.2.6 geldt dat S( f , r) = o(T ( f , r)), dus de ongelijkheid geeft duidelijk een tegenspraak voor n ≥ 3. Oftewel er kunnen geen f en g bestaan die aan de gelijkheid fn+ gn= 1
voldoen voor n ≥ 3.
Stelling 3.2.2 Laat f en g niet-constante, meromorfe functies zodat fn+ gn= 1 voor alle z ∈ C, en n een positief geheel getal. Dan is n ≤ 3.
Bewijs. Stel dat de gelijkheid geldt voor zekere n ≥ 4. We halen dezelfde truc uit als hiervoor, alleen nemen we niet an+1= ∞, omdat onze functies nu polen kunnen hebben. Dan geldt
(n − 2)T ( f , r) ≤ n
∑
j=1 N( f , e2πi j/n, r) + S( f , r) + O(1) ≤ T ( f , r) + S( f , r) + O(1).Om dezelfde redenen als in het bewijs voor gehele functies, moet nu volgen dat dit een tegenspraak
oplevert voor n ≥ 4, dus zulke f en g kunnen niet bestaan.
3.2.1 Weierstrass ℘-functie
In deze sectie zullen we een resultaat nagaan uit [2], waarin een voorbeeld wordt gegeven van twee meromorfe functies f en g die voldoen aan f3+ g3= 1. Eerst kijken we naar welke functies daar worden gebruikt.
We zijn allemaal bekend hoe de goniometrische functies sin en cos periodiek zijn op de reële as met periode 2π. Nu bekijken we functies in het complexe vlak die periodiek zijn in twee dimensies,
zogenaamde elliptische functies. De primitieve periodes van de functie noteren we met ω1en ω2.
Als de twee periodes lineair onafhankelijk zijn over de reële getallen, dan “betegeld” de functie het complexe vlak met parallelogrammen. De resultaten die hier worden gegeven kunnen nagegaan worden in [10].
Propositie 3.2.3 Er bestaat een dubbel-periodieke functie ℘(z) met primitieve periodes ω1en ω2,
met een pool van orde twee in ieder van de punten ω = mω1+ nω2, voor m, n ∈ Z, en deze heeft
een ontwikkeling
℘(z) = 1
(z − ω)2+ a1(z − ω) + . . .
in ieder van die polen. Deze functie ℘(z) is dan uniek bepaald en heeft als machtreeksontwikkeling ℘(z) = 1 z2+
∑
ω 6=0 1 (z − ω)2− 1 ω2 ,in ieder punt z 6= ω. Deze functie wordt de Weierstrass ℘-functie genoemd. Deze functie voldoet aan een handige eigenschap, namelijk het volgende.
Propositie 3.2.4 De Weierstrass ℘-functie voldoet aan de differentiaalvergelijking [℘0(z)]2= 4(℘(z) − e1)(℘(z) − e2)(℘(z) − e3).
Hier zijn ej= ℘(ωj/2) met e3= ω1+ ω2.
Met een hoop algebra kan aangetoond worden dat e1+ e2+ e3= 0, waardoor we de boven-
staande gelijkheid kunnen omschrijven als
[℘0(z)]2= 4[℘(z)]3− g2℘(z) − g3, (3.1)
met −g2= 4e1e2+ 4e1e3+ 4e2e3 en g3= 4e1e2e3. Tot slot kan bewezen worden dat, gegeven
twee constantes g2en g3met g326= 27g23, er een Weierstrass ℘-functie te construeren is, die precies
voldoet aan (3.1). Met dit in handen kunnen we het volgende resultaat bewijzen.
Stelling 3.2.5 Laat ℘ de Weierstrass ℘-functie zijn met g2= 0 en g3= 1. Dan voldoen
f = 1 +√℘0 3 2℘ , g= 1 −℘√0 3 2℘ aan de vergelijking f3+ g3= 1.
Bewijs. We werken eerst de derdemachten uit, waardoor we vinden dat f3= 1 8℘3 " 1 + 3 ℘0 √ 3 + 3 ℘0 √ 3 2 + ℘0 √ 3 3# = 1 8℘3 " 1 +√3℘0+ (℘0)2+ ℘0 √ 3 3# en g3= 1 8℘3 " 1 − 3 ℘0 √ 3 + 3 ℘0 √ 3 2 − ℘0 √ 3 3# = 1 8℘3 " 1 −√3℘0+ (℘0)2− ℘0 √ 3 3#
3.3 ABC-Vermoeden 49 Bij elkaar optellen geeft
f3+ g3= 2 8℘31 + (℘ 0)2 = 1 4℘31 + 4℘ 3− g 2℘− g3 .
Voor de gezochte gelijkheid moeten we hebben dat de term tussen de rechte haken gelijk moet zijn aan 4℘3. Door gebruik van g2= 0 en g3= 1 geeft dit onze gelijkheid.
Dat beide functies niet constant zijn kan bewezen worden door te kijken naar f0, maar dat zullen we hier overslaan.
3.3 ABC-Vermoeden
Het abc-vermoeden is een belangrijk probleem in de getaltheorie. Nou blijken er een hoop overeenkomsten te zijn tussen Nevanlinna theorie en getaltheorie (met in het bijzonder diophantische approximatie). De Laatste Stelling van Fermat is zo’n voorbeeld van overeenkomstige stellingen. In deze sectie zullen we een andere zien.
Voor een polynoom f noteren we met deg(1)( f ) het aantal verschillende nulpunten van f . De volgende stelling, overgenomen uit [12], is het analoog van het abc-vermoeden voor polynomen.
Stelling 3.3.1 — Mason-Stothers’ Stelling. Laat a, b, c niet-constante polynomen zonder gemeenschappelijke nulpunten zodat a + b = c. Dan geldt
max{deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ deg(1)(abc) − 1. Bewijs. We beschouwen de Wronskiaan van a en b
W= a b a0 b0
Door a + b = c te differentiëren vinden we dat (a + b)c0= (a0+ b0)c, waaruit volgt dat
W= a c a0 c0 = c b c0 b0
Verder merken we op dat W 6= 0, omdat anders ab0− a0b= 0, wat betekent dat (b/a)0= 0, waardoor
been scalair veelvoud van a moet zijn, wat in tegenspraak is met onze aanname dat a en b geen nulpunten delen.
Stel nu dat α een nulpunt is van orde l van a. Dan is (z − α)l−1de grootste macht van z − α die a0deelt, en dus is het ook de grootste macht van z − α die W (z) = a(z)b0(z) − a0(z)b(z) deelt, omdat α geen nulpunt is van b. Dus (z − α)l deelt W (z)(z − α). Als we al deze (z − α)l samen nemen, dan vinden we dat
a(z) | W (z)
∏
a(α)=0
(z − α).
Vergelijkbare resultaten zijn ook waar voor b en c. Omdat a, b en c geen gemeenschappelijke nulpunten hebben, kunnen we dit combineren tot
a(z)b(z)c(z) | W (z)
∏
(abc)(α)=0
Met de drie eerdere representaties van W zien we dat deg(W ) ≤ deg(a) + deg(b) − 1 deg(a) + deg(c) − 1 deg(b) + deg(c) − 1
De graad van ∏(abc)(α)=0(z − α) is precies gelijk aan het totaal aantal verschillende nulpunten van
Slotbeschouwing
I
N deze bachelorscriptie bestudeerden we de beginselen van Nevanlinna theorie, met in het bijzonder de twee hoofdstellingen. Ondanks dat dit op een sterk differentiaalmeetkundige wijze gedaan kan worden, is in dit verslag gekozen om het onderwerp vanuit een intuïtief, functietheoretisch oogpunt te bekijken.Omdat concepten als de maximum modulus niet meer geschikt zijn om de waardeverdeling van meromorfe functies te bestuderen, gebruikte Nevanlinna de Jensen formule om de relatie te bestuderen tussen de drie maten N( f , a, r), m( f , a, r) en T ( f , a, r). Het verslag begon dan ook met het bestuderen van de Jensen formule, of beter gezegd de Poisson-Jensen formule, en de Nevanlinna functies. Hiermee waren we in staat Nevanlinna’s Eerste Hoofdstelling te bewijzen, die zegt dat de karakteristieke functie niet afhangt van het punt a waarin je kijkt, op een begrensde term na.
Vervolgens gingen we de Tweede Hoofdstelling bewijzen, inclusief een stelling die voorwaarden gaf voor wanneer de error term in zekere zin insignificant is. De Tweede Hoofdstelling laat zien dat in het algemeen de telfunctie de dominante term is in de som N + m en dat verder deze som niet veel kleiner wordt als we meervoudige nulpunten als enkelvoudig tellen. Dus voor de meeste waarden aheeft de vergelijking f (z) = a bijna maar liefst zoveel oplossingen als de Eerste Hoofdstelling toestaat, en het gros van deze oplossingen is enkelvoudig. Met dit in handen waren we in staat een aantal fraaie stellingen te bewijzen, waaronder Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling en een variant van de Laatste Stelling van Fermat voor functies.
Het is belangrijk om op te merken dat Nevanlinna theorie nog steeds volop in ontwikkeling is. Een belangrijk probleem in Nevanlinna theorie is een betere benadering te vinden voor de error term in de Tweede Hoofdstelling, omdat die allerlei gevolgen heeft voor andere takken van de wiskunde, waaronder getaltheorie. [11] Het blijkt dat Nevanlinna onlosmakelijk verbonden is met differentiaalmeetkunde en analytische getaltheorie. Ahlfors en Nevanlinna, bijvoorbeeld, lieten zien dat de constante 2 in de Tweede Hoofdstelling gerelateerd is aan de Euler karakteristiek van de Riemann-sfeer; uit het werk van Paul Vojta weten we ook dat diezelfde 2 ook in de stelling van Roth in diophantische approximatie voorkomt. Henri Cartan, Hermann Weyl en Ahlfors generaliseerden Nevanlinna theorie naar analytische afbeeldingen met waarden in de complexe projectieve ruimte CPn, waardoor het een basis verschaft voor complexe hyperbolische meetkunde. Het moge duidelijk zijn dat Nevanlinna theorie een krachtig instrument is.
Ondanks dat er nog veel meer te ontdekken valt in Nevanlinna theorie, heeft deze scriptie mij een hoop nieuwe inzichten gegeven. Zowel de relaties tussen het gedrag van een meromorfe functie en de verdeling van zijn nulpunten en polen, als de onverwachte connecties met getaltheorie. Tot slot wil ik hierbij mijn begeleider Jan Wiegerinck bedanken voor zijn enthousiasme, feedback, het aandragen van dit onderwerp en het delen van zijn kennis.
Bibliografie
[1] J. Brasselet. Singularities I: Algebraic and Analytic Aspects. American Mathematical Society, 2008 (zie pagina 45).
[2] Matthew M. Buck. “Nevanlinna Theory”. Mathematics Dissertation - Final Report. School of Mathematical Sciences, University of Nottingham, apr 2008 (zie pagina 47).
[3] W. K. Hayman. Lectures on Meromorphic Functions.URL: http://www.math.tifr.res. in/~publ/ln/tifr17.pdf.
[4] W. K. Hayman. Meromorphic Functions. Oxford University Press, 1964 (zie pagina 33). [5] E. Hille. Analytic function theory, Volume II. AMS Chelsea Publishing, 1962.
[6] A. A. Goldberg, I. V. Ostrovskii. Value Distribution of Meromorphic Functions. American Mathematical Society, 2008. URL: http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/
GOmainfile.pdf.
[7] P. J. I. M. de Paepe, J. Wiegerinck. Analyse 3: Functietheorie (Syllabus). 2014.
[8] D. F. Hayes, T. Shubin. Mathematical Adventures for Students and Amateurs. The Mathema- tical Association of America, 2004 (zie pagina 55).
[9] S. Ponnusamy, H. Silverman. Complex Variables with Applications. Birkhäuser Basel, 2006 (zie pagina 12).
[10] D. R. Wilkins. Elliptic Functions. URL: http : / / www . maths . tcd . ie / ~dwilkins / Courses/214/214S9_0708.pdf (zie pagina 48).
[11] F. Wong. Fundamentals of Nevanlinna Theory.URL: http://isites.harvard.edu/fs/ docs/icb.topic1150703.files/Finals/213Felix.pdf (zie pagina’s 8, 51).
[12] P. Hu, C. Yang. Distribution Theory of Algebraic Numbers. Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2008 (zie pagina 49).
[13] W. Cherry, Z. Ye. Topics in Nevanlinna Theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1990. [14] W. Cherry, Z. Ye. Nevanlinna’s Theory of Value Distribution. Springer-Verlag Berlin Heidel-
berg, 2001 (zie pagina 22).
[15] C. Yang, H. Yi. Uniqueness Theory of Meromorphic Functions. Springer Netherlands, 2003 (zie pagina 46).