Het oplossen van algebraïsche vergelijkingen is één van de oudste en meest fundamentele problemen in de wiskunde. Een bijzonder belangrijk geval zijn de polynomiale vergelijkingen, zoals
x2= 1, x2+ 1 = 0, x3= 15x + 4, x5= 1.
De eerste van deze vergelijkingen heeft twee duidelijke oplossingen, namelijk x = 1 en x = −1. De tweede heeft geen reële oplossingen, maar heeft twee oplossingen als we het imaginaire getal i=√−1 introduceren. Dan vinden we dat x = i en x = −i oplossingen zijn. De derde vergelijking is interessant, omdat het drie reële oplossingen heeft. Maar als men algemene formules gebruikt voor het oplossingen van derdegraadsvergelijkingen, ontwikkeld door een stel Italiaanse wiskundigen in de 16eeeuw, dan vindt men dat de uitdrukkingen voor twee van deze reële oplossingen complexe getallen bevatten. Dit leidt ons tot de introductie van complexe getallen; uitdrukkingen van de vorm a+ bi, waarbij a en b reële getallen zijn. De laatste vergelijking heeft één reële oplossing en vier complexe.
Een aantal feiten en een stel vragen doken op betreffende algemene polynomiale vergelijkingen - vergelijkingen met eindig veel termen, die bestaan uit een constante keer een macht van een onbekende variabele x. De graad van een vergelijking is de hoogste macht die van onbekende voorkomt. De feiten waren
1. Een vergelijking van graad n heeft hoogstens n oplossingen. 2. De oplossingen kunnen zowel reëel als complex zijn. De vragen waren
1. Bestaat er een formule, of een algemene methode, voor het oplossen van polynomiale vergelijkingen van graad n, zoals de bekende abc-formule voor n = 2?
2. In de afwezigheid van zo’n formule, kunnen we op z’n minst garanderen dat een polynomiale vergelijking een oplossing heeft?
Het antwoord op de eerste vraag is hopelijk bekend. Zoals eerder gezegd vonden Italiaanse wiskundigen een oplossing voor een algemene derdegraadsvergelijking en ook kort daarna voor alle vierdegraadsvergelijkingen. Graad vijf vormde een blokkade, tot Abel in 1824 bewees dat er geen algemene formule is voor vijfdegraadsvergelijkingen en hoger.
Voor de tweede vraag was het algemene geloof dat het antwoord “ja” moest zijn, maar diverse bewijspogingen waren niet bevredigend, tot Gauss opdook en zijn PhD proefschrift van 1799 aan dit onderwerp toewijdde. [8] Het resultaat stond bekend als “de hoofdstelling van de algebra”. Hij maakte hierbij gebruik van het complexe vlak, waarbij het idee was om complexe getallen te zien als punten in het vlak. Dit doen we door een getal a + bi aan een punt (a, b) in het vlak te koppelen.
Als x en y reële variabelen zijn, en z = x + iy, dan stuurt een polynoom P ieder complex getal z naar een andere complex getal w = P(z), waardoor we een afbeelding hebben van het complexe z-vlak naar het complexe w-vlak.
Wat de hoofdstelling van de algebra nu stelt is dat ieder polynoom P van graad groter dan nul, het complexe z-vlak afbeeldt op het gehele complexe w-vlak. Oftewel, dit zegt dat voor ieder complex getal c, de vergelijking P(z) = c een (complexe) oplossing heeft.
De voor de hand liggende volgende stap, is om van polynomen, die eindig veel termen hebben, te kijken naar een soort “oneindige polynomen”: ∑∞
n=0cnzn. Gegeven dat zo’n oneindige som
convergeert voor alle z in het complexe vlak, verkrijgen we functies die we gehele functies noemen. Een van de belangrijkste gehele functies is de exponentiële functie, die gedefinieerd is als
ez= 1 + z +z 2 2 + z3 3!+ · · · + zn n!+ . . . .
In een iets andere vorm zegt dat hoofdstelling van de algebra dat als P een polynoom is van graad n, en c een willekeurig complex getal, dan is het polynoom P − c ook van graad n en het kan geschreven worden als product van n lineaire factoren, waarvan iedere term een oplossing levert voor de vergelijking P(z) = c. Sommige van die termen kunnen gelijk zijn. Bijvoorbeeld
x2− 1 = (x − 1)(x + 1), x2+ 1 = (x − i)(x + i), x2− 2x + 1 = (x − 1)(x − 1).
Dus er zijn altijd precies n oplossingen voor de vergelijking P(z) = c, voor iedere waarde van c, waarbij we de oplossingen tellen met multipliciteiten.
Als we gehele functies zien als “polynomen van oneindige graad”, dan verwacht je misschien dat iets vergelijkbaars daarvoor waar is. Dit zullen we bestuderen aan de hand van de exponentiële functie, want daaruit zien we meteen één belangrijk verschil. Zo heeft de vergelijking ez= 0 geen
oplossingen. Voor ieder complex getal c 6= 0, kunnen we alle oplossingen van de vergelijking ez= c vinden door c te schrijven in poolcoördinaten; c = r(cos θ + i sin θ ), waarbij r = |c|. Combineren we dat met de eigenschap dat eiy= cos y + i sin y (met y reëel), dan vinden we dat ez= ex+iy= ex(cos y + i sin y), zodat
ez= c ⇐⇒ ex= r en y = (θ + 2kπ) voor een willekeurig geheel getal k ⇐⇒ x = log r en y = (θ + 2kπ) voor een willekeurig geheel getal k.
In andere woorden, de vergelijking ez= c heeft oneindig veel oplossingen voor iedere c 6= 0 en geen oplossingen voor c = 0.
Gauss’ bewijs van de hoofdstelling van de algebra in 1799 was een passend hoogtepunt van de wiskunde in de 18e eeuw. Met een sprong van 80 jaar in de tijd komen we tot één van de andere grote stappen in de theorie van complexe functies. In 1879 bewees de jonge Franse wiskunde Émile Picard de volgende stelling, die gezien kan worden als een directe opvolger van de hoofdstelling van de algebra.
Stelling 3.3.2 Laat f een niet-constante, gehele functie zijn. Dan heeft de vergelijking f (z) = c een oplossing voor ieder complex getal c, met hoogstens één uitzondering.
Als we weer terugdenken aan de hoofdstelling van de algebra, naarmate de graad van het polynoom stijgt, zo ook het aantal oplossingen van de vergelijking P(z) = c. Men zou dus kunnen verwachten dat we voor een “oneindig polynoom” ook oneindig veel oplossingen zouden hebben. Picard bewees in een sterkere versie van zijn stelling dat dit inderdaad het geval is.
Populaire Samenvatting 57
Stelling 3.3.3 Laat f een gehele functie zijn die geen polynoom is. Laat R een willekeurig positief getal. Dan heeft voor iedere complex getal c, met hoogstens één uitzondering, de vergelijking f (z) = c een oplossing met |z| > R.
Oftewel, een gehele functie f die geen polynoom is, heeft voor iedere waarde van c oneindig veel oplossingen voor de vergelijking f (z) = c, met hoogstens één uitzondering.
De stellingen van Picard effende de weg voor verder onderzoek in de theorie van complexe functies voor de volgende honderd jaar. En daarvoor is een nieuw concept nodig.
Definitie 3.3.1 Een functie f heet meromorf als er voor ieder punt a een omgeving is waarop f weergegeven kan worden als machtreeks in (z − a) plus een polynoom in 1/(z − a). Oftewel
f(z) = ∑∞
n=mcn(z − a)n, waarbij m een geheel getal is. Een punt a met een positieve macht van
1/(z − a) in de machtsreeks heet een pool van f .
Voorbeelden van meromorfe functies zijn rationale functies, quotiënten van twee polynomen: f(z) = P(z)/Q(z). Als P en Q geen gemeenschappelijke nulpunten hebben, dan zijn de polen van f precies de nulpunten van de noemer.
Voor rationale functies f heeft de vergelijking f (z) = c een oplossing voor iedere waarde c, omdat we de vergelijking kunnen vermenigvuldigen met de noemer en vervolgens de hoofdstelling van de algebra kunnen toepassen. Maar we kunnen rationale functies niet zien als functies die afbeelden op het complexe vlak, omdat we geen eindige waarden hebben in een pool. Daarom spreekt men over functies naar het uitgebreide complexe vlak, wat simpelweg het orginele complexe vlak is met daaraan toegevoegd het punt oneindig. Als a een pool is van f schrijven we ook wel
f(a) = ∞.
De jaren die Picard’s publicaties volgden brachten veel nieuwe bewijzen, generalisaties en verfijningen, maar niks was ingrijpender dan het werk van de jonge Finse wiskundige Rolf Ne- vanlinna in 1925. Zijn werk bracht een hele nieuwe tak van de complexe analyse voort genaamd “waardeverdelings theorie” of simpelweg “Nevanlinna theorie”.
Wat Nevanlinna deed was kijken naar maten voor de relatieve frequentie waarmee een functie waarden aanneemt. Ruwweg vergelijken we het aantal oplossingen van de vergelijking f (z) = c binnen een schijf van straal R voor verschillende waarden van c en kijken we wat er gebeurt naarmate R naar oneindig gaat. Dit doen we met behulp van de zogeheette telfunctie N. Daarnaast meten we met de mean-proximity functie m ook, grof gezegd, het percentage van de cirkel van straal R waarop f in de buurt ligt van c. Hierdoor kijken we niet alleen meer naar de waarden die de functie aanneemt, maar eerder meten we een soort dichtheid hiervoor. Nevanlinna bewees hierover het volgende:
• Voor bijna iedere waarde c, hebben de oplossingen van de vergelijking f (z) = c dezelfde orde van grootte, of dezelfde dichtheid. Je zou ook kunnen zeggen dat als een meromorfe functie een bepaalde waarde minder vaak dan “verwacht” aanneemt, dat dit dan gecompenseerd moet worden door veel tijd “in de buurt” van deze waarde door te brengen. Dit resultaat wordt Nevanlinna’s eerste hoofdstelling genoemd en is analoog aan de uitspraak dat een polynoom van graad n hoogstens n nulpunten heeft.
• De waarden waarvan je “minder oplossingen” hebt dan verwacht, vormen een verzameling die begrensd is in grootte. Oftewel in de meeste gevallen is de telfunctie N de dominante term, wat precies wordt gemaakt in Nevanlinna tweede hoofdstelling.
Deze concepten vormen de basis van het baanbrekende werk van Nevanlinna in de studie van meromorfe functies. Met de hoofdstellingen op zak kunnen tot slot spectaculaire resultaten bewezen worden, waaronder Nevanlinna’s vijfpunts stelling die het volgende zegt.
Stelling 3.3.4— Nevanlinna’s Vijfpunts Stelling. Laat f en g meromorfe functies op C zijn
zodat f en g vijf verschillende waarde delen, oftewel f−1(ai) = g−1(ai), i = 1, . . . , 5. Dan moet
f = g of beide functies zijn constant.
Daarnaast is Nevanlinna theorie interessant gezien de onlosmakelijke verbondenheid ervan met getaltheorie. Eén van de andere fraaie resultaten is dan ook een versie van de laatste stelling van Fermat voor gehele en meromorfe functies, die zegt dat de vergelijking fn+ gn= 1 geen
oplossingen heeft voor n > 2 als we eisen dat f en g niet-constante, gehele functies zijn. Als f en gmeromorf mogen zijn, dan bestaan er geen oplossingen voor n > 3, waarbij er voorbeelden te vinden zijn die voldoen aan de vergelijking voor n = 3.