De yieldcurve en de zero lower bound : de drie factoren in het Dynamisch Nelson-Siegelmodel en het AFNS-model met Krippner’s shadow short rate

Bachelor thesis

De yieldcurve en de zero lower bound

De drie factoren in het Dynamisch Nelson-Siegelmodel en het AFNS-model met Krippner’s shadow short rate

Naam: Maarten de Haas Studentnummer: 10790896

Onderwerp: Term structure models and the zero lower bound Cursus: Bachelor scriptie econometrie

Groep: 1

Begeleider: Prof. dr. H. Peter Boswijk Datum: 4 december 2017

Statement of Originality

This document is written by Maarten de Haas who declares to take full responsibility for the contents of this document. I declare that the text and the work presented in this document is original and that no sources other than those mentioned in the text and its references have been used in creating it. The Faculty of Economics and Business is responsible solely for the supervision of completion of the work, not for the contents.

Inhoudsopgave

1 Inleiding 4

2 Theoretisch kader 5

2.1 Dynamisch Nelson-Siegelmodel 5

2.2 AFNS-model 7

2.3 AFNS-model met Krippner’s shadow short rate 8

2.4 Het Kalman-filter 9

3 Onderzoeksopzet 11

3.1 Onderzoek naar AFNS-model 12

3.2 Onderzoek naar BAFNS-model 13

4 Resultaten en analyse 14

4.1 Resultaten en analyse AFNS-model 14

4.2 resultaten en analyse BAFNS-model 16

4.3 AFNS-model versus BAFNS-model 18

5 Conclusie 20

Bibliografie 22

1 Inleiding

Sinds de crisis in 2008 is rente bijna tot nul procent gedaald (DNB, 2017). In Japan is de rente sinds 1996 al langere tijd rond nul procent (Christensen & Rudebusch, 2015). Het begrijpen en schatten van de rente is belangrijk voor bijvoorbeeld het prijzen van obligaties nu en in de toekomst, maar ook voor het monetaire beleid in een land. Voor pensioenfondsen is toekomstige rente belangrijk om het vermogen te schatten. In dit verband wordt gesproken over de zogenoemde yieldcurve, een curve waarbij

rendement wordt uitgezet tegen de looptermijn.

Om deze curve te modelleren bestaan uiteenlopende modellen. Verschillende onderzoekers, zoals Nelson en Siegel (1987) en Vasicek (1977), hebben getracht deze curve te modelleren, zodat onder andere schattingen voor de toekomst gemaakt kunnen worden. In dit onderzoek staan de uitbreidingen van het model van Nelson en Siegel (1987) centraal. Zij formuleren een model met parameters om de yieldcurve te schatten. Diebold en Li (2006) breiden dit model uit door de drie tijdsvariërende parameters interpreteren als factoren die corresponderen met level, slope en curvature. Dit heet het DNS-model, dat staat voor dynamic Nelson-Siegel model. Dit model legt echter geen restricties op voor arbitragemogelijkheden, terwijl dit volgens de theorie wel zou moeten. Het onderzoek van Christensen, Diebold en Rudebusch (2011) breidt het DNS-model uit door deze restricties wel op te leggen. Dit model wordt het AFNS-model genoemd. Dit staat voor arbitrage-free Nelson-Siegel model.

Aangezien de rente bijna nul procent is geworden na 2008, moeten de modellen die de yieldcurve schatten ook rond deze nulgrens goede schattingen maken. Deze grens wordt de zero lower bound genoemd. Volgens Christensen en Rudebusch (2015) schiet het AFNS-model hierin tekort, doordat het routinematig positieve kansen geeft aan toekomstige negatieve rente. In hun onderzoek worden de eigenschappen van het AFNS-model gebruikt. Zij breiden het model uit door de

eigenschappen van de zogenaamde shadow rate (Black, 1995) hierin te implementeren om volledigere schattingen te kunnen maken van de yieldcurve rond de zero lower

bound. Hierbij maken ze gebruik van het model van Krippner (2012). Hij beschouwt de shadow rate door middel van opties. Christensen en Rudebusch (2015) combineren dus het model van Krippner (2012) en van Christensen et al. (2011) om de yieldcurve beter te schatten rond de zero lower bound. Dit model noemen zij het BAFNS-model.

In dit onderzoek worden de factoren van het arbitrage-free Nelson-Siegel model en het AFNS-model met Krippner’s shadow short rate in de periode voor 2008 en na 2008 onderzocht. Er wordt onderzocht op welke looptijd de factoren de meest invloed uitoefenen. Er wordt met behulp van de factoren antwoord gegeven op de vraag welk model een betere voorspelling geeft van de yieldcurve afhankelijk van de looptijd, de periode waarin de schatting gemaakt wordt en het aantal factoren. In dit onderzoek wordt gebruikgemaakt van U.S. Treasury rates en er wordt onderscheid gemaakt tussen de periode voor 2008 en na 2008, omdat na 2008 de zero lower bound een rol gaat spelen in deze data.

Dit rest van deze paper is als volgt ingedeeld. Hoofdstuk 2 behandelt het theoretisch kader. Hierin wordt een literatuuronderzoek gedaan naar de yieldcurve. Hoofdstuk 3 licht de opzet van het onderzoek toe. In hoofdstuk 4 worden de resultaten geanalyseerd. In hoofdstuk 5 wordt afgesloten met de conclusie.

2 Theoretisch kader

In de inleiding is uiteengezet welke onderzoeken een belangrijke rol spelen in het modelleren van de yieldcurve. In deze paragraaf volgt een literatuurstudie naar deze modellen.

2.1 Dynamisch Nelson-Siegelmodel

Zoals vermeld, legt het model van Nelson en Siegel (1987) de basis voor de modellen die in dit onderzoek gebruikt worden. Zij benaderen de yieldcurve door middel van drie parameters. De forward curve ziet er als volgt uit:

Hier zijn b1 b2 en b3 tijdsvariërende parameters. Hierin is  de looptijd in maanden.

Diebold en Li (2006) herschrijven deze vergelijking als volgt:

Zij interpreteren 1,2 en 3 als drie latente dynamische factoren. 1 wordt

geïnterpreteerd als de level factor, 2 als de slope factor en 3 als de curvature factor.

Om dit duidelijk te maken, is het van belang om de termen die bij de drie factoren te horen te onderzoeken. 1 is een constante met betrekking tot  in dit model en de

verklarende variabele behorend bij 1 is een en zal dus nooit nul worden als de limiet

naar oneindig gaat. Deze functie hangt niet af van de looptijd en dit rechtvaardigt de keuze om 1 te interpreten als level factor. De term behorend bij 2 is (1 − 𝑒−𝜆𝑡𝜏) 𝜆⁄ 𝑡𝜏.

Deze functie start bij een en convergeert monotoon snel naar nul als  groter wordt. Deze functie is dan ook de kortetermijnfactor in het model, omdat het model

voornamelijk door 2 wordt beïnvloed op korte termijn. Een verandering in 2

impliceert een verandering in de slope van de yieldcurve. De term van 3 is: (1−𝑒 −𝜆𝑡𝜏) 𝜆𝑡𝜏 −

𝑒−𝜆𝑡𝜏_{. Deze term start bij nul en is daarom geen factor voor de korte termijn. Deze}

functie stijgt en convergeert vervolgens weer naar nul. Diebold en Li (2006) noemen 3

de curvature factor omdat de yieldcurve het meest beïnvloed wordt door 3 op

middellange termijn. Zij noemen deze periode de medium term. In Figuur 1 staan de termen 1, (1 − 𝑒−𝜆𝑡𝜏_{) 𝜆}

𝑡𝜏

⁄ en (1−𝑒_𝜆−𝜆𝑡𝜏)

𝑡𝜏 − 𝑒

Fig. 1. Termen behorende bij 1,2 en 3 in het driefactormodel:

2.2 AFNS-model

Diebold en Li (2006) geven aan dat hun model goede voorspellingen geeft, maar dat er geen restricties zijn opgelegd voor arbitragemogelijkheden. Dit is inconsistent met de aannames omtrent de arbitragemogelijkheden van Bjork and Christensen (1999). Dit betekent dat de daadwerkelijke vorm van de yieldcurve op een zeker moment niet gegarandeerd is (Van Elen, 2010).

Christensen et al. (2011) introduceren een model dat een uitbreiding is op het DNS-model. Ze beweren dat het DNS-model empirisch gezien erg succesvol is, maar theoretisch gezien niet volledig is en dat rekening gehouden moet worden met arbitragemogelijkheden. Zij voegen de term - 𝐴(𝜏)_𝜏 toe aan het DNS-model. Zij noemen dit de yield-adjustment term. Deze term kan worden teruggevonden in de bijlage. Hiermee formuleren zij een model dat geen arbitragemogelijkheden toelaat, het zogenoemde AFNS-model. Volgens Van Elen (2010) heeft deze yield-adjustment term

vooral effect op een looptermijn van meer dan tien jaar. Volgens Christensen et al. (2011) is de structuur van dit model een goede representatie voor onderzoek naar de structuur van de yieldcurve omdat ze gebruikmaken van het driefactormodel en rekening houden met arbitragemogelijkheden.

2.3 AFNS-model met Krippner’s shadow short rate

Zoals eerder vermeld, is de nominale rente op obligaties in verscheidene landen gedaald tot de zero lower bound. In Japan is de rente sinds 1996 dicht bij nul procent en de Amerikaanse U.S. Treasury rates zijn als gevolg van de crisis in de jaren na 2008 tot bijna nul procent gedaald (Christensen & Rudebusch, 2015). Het modelleren van de yieldcurve rond de zero lower bound heeft volgens Christensen en Rudebusch (2015) speciale aandacht nodig. Zij concluderen dat het bestaande AFNS-model geen rekening houdt met de zero lower bound en daardoor foutieve schattingen voor toekomstige rent geeft. Dit komt door het negeren van het bestaan van contant geld. Een

investeerder heeft altijd de optie om voor geld te kiezen, waarvan het nominale rendement nul procent is.

Black (1995) introduceerde als eerste de shadow rate om het probleem rond de zero lower bound op te lossen. Hij definieert de shadow rate die negatief mag worden als st. Vervolgens definieert hij de geobserveerde risicovrije rente (r(t)), die gebruikt

wordt om vermogen mee te verdisconteren, als: 𝑟(𝑡) = max {0, 𝑠𝑡}. De risicovrije rente

is dus begrensd door de zero lower bound. Het implementeren van deze shadow rate in niet lineaire modellen blijkt echter moeilijk. Deze modellen zijn een computationeel probleem. Om dit probleem op te lossen benadert Krippner (2012) het model van Black door het gebruik van opties. Hierbij speelt het bestaan van contant geld een rol. Zonder contant geld kan de prijs van de shadow-rate zero-coupon bond boven pari verhandeld worden en kunnen de short rates negatief worden. In het geval van het bestaan van contant geld zal alleen onder pari gehandeld kunnen worden en is geen

sprake van negatieve short rates. In het geval van contant geld stelt Krippner (2012) de prijs van een zero-coupon bond als volgt uit:

𝑃(𝑡, 𝑇) = 𝑃(𝑡, 𝑇) − 𝐶𝐴_{(𝑡, 𝑇, 𝑇; 1)}

Hier is 𝐶𝐴(𝑡, 𝑇, 𝑇; 1) de waarde van een Amerikaanse calloptie op tijdstip t met looptijd T en uitoefenprijs gelijk aan 1 op tijdstip T. Het waarderen van deze Amerikaanse opties is echter gecompliceerd vanwege het bepalen van de vroege uitoefenprijs, maar Krippner (2012) beweert dat door middel van Europese opties een goede benadering kan worden gegeven. Het model ziet er dan als volgt uit:

𝑃_𝑎(𝑡, 𝑇, 𝑇 + ) = 𝑃(𝑡, 𝑇 + ) − 𝐶𝐸_{(𝑡, 𝑇, 𝑇 + ; 1).}

Hierin is 𝐶𝐸(𝑡, 𝑇, 𝑇 + ; 1) de waarde van de Europese calloptie op tijdstip t, met looptijd T en uitoefenprijs gelijk aan 1 op tijdstip 𝑇 + . Christensen en Rudebusch (2015) gebruiken de bevindingen van Krippner (2012) en het AFNS-model om tot de volgende vergelijking te komen die de yieldcurve modelleert en waarbij rekening wordt gehouden met de zero lower bound:

Dit model noemen zij het BAFNS-model. De functies volgt uit een transformatie van de forward rate die beschreven staar in Paragraaf 3.2. f(t,s) en (t,s) staan in de bijlage. Hier is f(t,s) de shadow forward rate en (t,s) de conditionele variantie.

Zowel voor de schatting van het AFNS-model als het BAFNS-model worden gebruikgemaakt van het filter. In de volgende paragraaf wordt het Kalman-filter en de uitbreiding op het Kalman-Kalman-filter behandeld.

2.4 Het Kalman-filter

Het Kalman-filter, ontwikkeld door Kalman in 1960, wordt veelal gebruikt om de likelihood te maximaliseren in bovenstaande factormodellen. De maximum likelihood methode kan worden gebruikt bij het schatten van de onbekende parameters in een

model. Het is een recursieve methode die constant update om een schatting te maken op tijdstip t, op basis van tijdstip t-1 (Punales, 2011). Hierdoor is het gebruik van het Kalman-filter geschikt voor het modelleren van de yieldcurve. Er zijn verschillende variaties op het Kalman-filter die door onderzoekers gebruikt worden. Kim en

Singleton (2012) gebruiken het zogenaamde extended Kalman-filter. Kim en Priebsch (2013) gebruiken het unscented Kalman-filer en Krippner (2013) gebruikt het iterated Kalman-filter. Voor het BAFNS-model gebruiken Christensen en Rudebusch (2015) het extended Kalman filter. Zij tonen aan dat het gebruik van het extended Kalman-filter efficiënt is voor het schatten van shadow-rate modellen en computationeel gezien het eenvoudigst is.

Het Kalman-fiter heeft een state-space die een state transition equation en een measurement equation omvat (Lu, 2017). Als Xt de latente state variable is op tijdstip t,

dan volgt de volgende state transition equation:

Hier wordt T de state transition matrix genoemd. C is de controle matrix die de input IR controleert. De relatie tussen Xt en de waargenomen state variable yt heet de

measurement equation:

H zet de niet geobserveerde X om tot vector y. De Kalman-filter iteratie start met een start state variable X0 en geeft de optimale state variable en parameters recursief. In

het geval van het DNS-model worden de drie factoren (1, 2, 3) behandeld als latente

state variabelen XtDNS = (1, 2, 3). De state transition equation wordt dan:

De measurement equation is:

(H in de bijlage). In het geval van het AFNS-model wordt de state transition equation:

De measurement equation is:

(Lu, 2017).

Met KP

IAFDNS 3x3 diagonaal matrix en A en VAFDNS in de bijlage.

De measurement equation voor het BAFNS-model, zoals omschreven in Paragraaf 2.3, waar gebruikgemaakt wordt van het extended Kalman-filter is:

In deze paragraaf zijn verschillende modellen behandeld die de yieldcurve schatten. Er is verklaard hoe het model van Nelson en Siegel (1987) als basis dient voor de onderzoekers Diebold en Li (2006), Christensen et al. (2011) en Christensen en Rudebusch (2015). In het vervolg van dit onderzoek staan het AFNS-model en het BAFNS-model centraal. De structuur van deze modellen is verklaard aan de hand van de drie factoren en er is beschreven hoe het Kalman-filter gebruikt wordt om een optimale schatting te maken van deze modellen. In het volgende hoofdstuk wordt uitgelegd hoe het AFNS-model en het BAFNS-model gebruikt worden in dit onderzoek.

3 Onderzoeksopzet

In dit hoofdstuk wordt de opzet van dit onderzoek behandeld op basis van de modellen die in het vorige hoofdstuk beschreven zijn. Door middel van het Kalman-filter wordt zowel het AFNS-model als het BAFNS-model geschat. Beide modellen

worden geschat in de periode voor 2008 en na 2008. Dit wordt gedaan omdat voor 2008 de zero lower bound geen rol speelde bij het schatten van de yieldcurve en na 2008 wel. Ook worden verschillende looptijden in acht genomen.

3.1 Onderzoek naar AFNS-model

Als eerste wordt het AFSN-model behandeld. In de vorige paragraaf is beschreven dat het AFNS-model er als volgt uit ziet:

𝑦_𝑡(𝜏) = 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡( 1−𝑒−𝜆𝑡𝜏 𝜆𝑡𝜏 ) + 𝛽3𝑡( 1−𝑒−𝜆𝑡𝜏 𝜆𝑡𝜏 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏_{) +}𝐴(𝜏) 𝜏 .

Dit model wordt met behulp van het Kalman-filter geschat en er wordt getest welke factor (level, slope en curvature) afhankelijk van de looptijd de meeste invloed heeft op de schatting van AFNS-model. Om dit te testen worden er vier schattingen

gemaakt. Eerst wordt het gehele model zoals hierboven staat geschat. Vervolgens wordt alleen de level factor gelijk aan nul gesteld, daarna wordt alleen de slope factor gelijk aan nul gesteld en als laatste wordt alleen de curvaturefactor gelijk aan nul gesteld. Deze modellen zien als volgt uit:

𝑦_𝑡(𝜏) = 𝛽2𝑡( 1−𝑒−𝜆𝑡𝜏 𝜆𝑡𝜏 ) + 𝛽3𝑡( 1−𝑒−𝜆𝑡𝜏 𝜆𝑡𝜏 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏_{) +}𝐴(𝜏)

𝜏 (Zonder de level factor)

𝑦𝑡(𝜏) = 𝛽1𝑡+ 𝛽3𝑡( 1−𝑒−𝜆𝑡𝜏

𝜆𝑡𝜏 − 𝑒

−𝜆𝑡𝜏_{) +}𝐴(𝜏)

𝜏 (Zonder de slope factor)

𝑦_𝑡(𝜏) = 𝛽_1𝑡+ 𝛽_2𝑡(1−𝑒−𝜆𝑡𝜏

𝜆𝑡𝜏 ) +

𝐴(𝜏)

𝜏 (Zonder de curvature factor)

Vervolgens worden de verschillen tussen de uitkomsten van de verkregen 𝑦𝑡(𝜏) en de

waargenomen Treasury rates berekend door middel van de RMSE. RMSE staat voor root mean squared error. Dit wordt gedaan voor zowel de periode voor 2008 als na 2008. Met behulp van de RMSE wordt ook geanalyseerd welk model per looptijd de beste schatting geeft. Ook de log likelihood wordt verkregen.

3.2 Onderzoek naar BAFNS-model

Vervolgens wordt het BAFSN-model geschat. Christensen en Rudebusch (2015) formuleren dat model als volgt:

Deze vergelijking volgt uit een transformatie van de forward rate. De forward rate ziet er als volgt uit:

waarbij f(t,T):

Hierin zijn de drie factoren (level, curve, curvature) zichtbaar. Het BAFNS-model wordt geschat met behulp van het extended Kalman-filter. Vervolgens wordt ook getest welke factor de meeste invloed heeft gezien de looptijd. Dit wordt op dezelfde wijze gedaan met de RMSE en de log likelihood als voor het AFNS-model, zoals hierboven beschreven staat. Dit wordt ook gedaan voor de periode voor 2008 en na 2008. Vervolgens worden deze twee modellen ook met elkaar vergeleken en wordt

beoordeeld welk model beter werkt afhankelijk van de periode en het aantal factoren. Er wordt gebruikgemaakt van de wekelijkse U.S. Treasury rates van Gurkaynak, Sack en Wright (2007), met looptijden van 3 maanden, 6 maanden, 1 jaar, 2 jaar, 3 jaar, 5 jaar, 7 jaar en 10 jaar. In dit onderzoek worden de termen 1995-2008 en 2008-2014 gehanteerd. De periode voor 2008 loopt van 1 januari 1995 tot en met 17 november 2008. De periode na 2008 loopt vanaf 17 november 2008 tot en met 17 november 2014. Deze periodes zijn genomen, omdat van 1995 tot 17 november 2008 de rente niet in de buurt van nul was in Amerika. In de periode na 17 november 2008 is de rente tot bijna nul procent gedaald.

In dit hoofdstuk is uiteengezet wat de onderzoeksopzet van dit onderzoek is. Er is beschreven hoe onderzocht wordt welke factor (level, slope en curvature) de meeste invloed op de schatting heeft, als de looptijd in acht wordt genomen, en welke van de twee modellen de yieldcurve het beste schat voor 2008 en na 2008. In het volgende hoofdstuk worden de verkregen resultaten geanalyseerd.

4 Resultaten en analyse

Op basis van de onderzoeksopzet die in het vorige hoofdstuk beschreven staat, worden in dit hoofdstuk de resultaten besproken en geanalyseerd. In paragraaf 4.1 komen de resultaten van het AFNS-model aan bod. In paragraaf 4.2 worden de resultaten van het BAFNS-model besproken. In paragraaf 4.3 worden beide modellen met elkaar vergeleken.

In Figuur 2 tot en met 5 staan de RMSE’s (voor de verschillende looptijden) en de log likelihood van de modellen weergegeven. Onder het kopje ‘Alle fact.’ staan de RMSE’s vermeld van het model dat de drie factoren bevat. Onder het kopje ‘Geen L’ staan de RMSE’s vermeld als de level factor wordt weggelaten. Hetzelfde geldt voor de overige twee factoren. De kleinste RMSE’s worden in het blauw aangegeven. Voor elke weggelaten factor, worden in het rood de RMSE’s aangegeven die het meest stijgen ten opzichte van de RMSE’s van het oorspronkelijke model die alle drie de factoren bevat. In de onderste rij staat de log likelihood van de parameters van het betreffende model vermeld. De grootste waarde van de log likelihood is geel gemarkeerd.

4.1 Resultaten en analyse AFNS-model

Als eerst worden de resultaten van het AFNS-model in de periode 1995-2008 besproken. Deze resultaten staan in Figuur 2. De modellen staan beschreven in Hoofdstuk 3.

Fig. 2. Resultaten van het AFNS-model in de periode 1995-2008.

Zoals vermeld zijn de blauwe waarden de kleinste RMSE’s. Hier geldt dat als het

optimale model gekozen wordt op basis van de kleinste RMSE, het AFNS-model zonder restricties voor elke looptijd het beste is. Ook de log likelihood is het grootst voor het model zonder restricties. Nu worden de RMSE’s geanalyseerd van het AFNS-model waarbij restricties opgelegd zijn. Als eerste wordt de level factor gelijkgesteld aan nul. In rood is aangegeven dat de RMSE het meest stijgt voor de looptijden van 84 en 120 maanden. Hieruit kan worden geconcludeerd dat door het weglaten van de level curve de schattingen voor looptijden met een lange termijn het minst nauwkeurig worden. Vervolgens wordt de slope factor gelijkgesteld aan nul. Uit de gevonden RMSE’s blijkt dat het weglaten van de slope factor de grootste invloed heeft op de rente voor de korte termijn, namelijk voor de looptijden van 3, 6 en 12 maanden. Als laatste wordt de curvature factor weggelaten uit het AFNS-model. Uit de resultaten blijkt dat de RMSE’s relatief het meest stijgen ten opzichte van het AFNS-model voor de looptijden van 24, 36 en 60 maanden. Hieruit blijkt dat door het weglaten van de curvature factor de schattingen voor de middellange termijn het onbetrouwbaarst worden.

Fig. 3. Resultaten van het AFNS-model in de periode 2008-2014.

In Figuur 3 staan de resultaten over de periode van 2008-2014. De kleinste RMSE’s per looptijd worden weer in het blauw aangeduid. Voor de looptijden van 36, 60, 84 en 120 maanden is de RMSE van het AFNS-model zonder restricties het kleinst. Voor de looptijden 3, 6, 12 en 24 maanden heeft het model zonder de level curve kleinere RMSE-waarden. Voor de periode 2008-2014 zijn dezelfde RMSE-waarden als voor de periode 1995-2008 rood gekleurd en heeft het weglaten van de level factor de grootste invloed op de lange termijn, het weglaten van de slope factor de meeste invloed op de korte termijn en het weglaten van de curvature factor het meeste invloed op de middellange termijn. De log likelihood is het grootst voor het AFNS-model zonder restricties en is 13.679,46. In deze paragraaf zijn de resultaten van het AFNS-model behandeld. In de volgende paragraaf worden de resultaten van het BAFNS-model geanalyseerd.

4.2 resultaten en analyse BAFNS-model

In deze paragraaf worden de resultaten van het BAFNS-model geanalyseerd. Voor de duidelijkheid, het BAFNS-model schat de spot rates op tijdstip t met looptijd T op volgende wijze:

Zoals vermeld werken de drie factoren via 𝑓(𝑡, 𝑠) op 𝑦(𝑡, 𝑇). De resultaten worden op eenzelfde manier verkregen zoals in paragraaf 4.1, uitgelegd in hoofdstuk 3. Als eerst worden de resultaten van het BAFNS-model voor de periode 1995-2008 behandeld. De blauwe cijfers in de kolom ‘Alle fact’ geven aan dat het BAFNS-model zonder restricties de kleinste RMSE heeft voor elke looptijd. Daarnaast is de waarde van de log likelihood voor dit model het hoogst. Op basis van deze bevindingen kan worden geconcludeerd dat het BAFNS-model de beste schattingen geeft als geen restricties worden opgelegd.

Uit de roodgekleurde waardes in de laatste 3 kolommen kan eenzelfde

conclusie worden getrokken als voor het AFNS-model. Het weglaten van de level factor in het BAFNS-model geeft een grotere onnauwkeurigheid bij het schatten van spot rates van obligaties met een lange looptijd. Het weglaten van slope factor heeft meer invloed op looptijden van 3 tot en met 12 maanden en het weglaten van de curvature factor heeft meer invloed op de middellange termijn.

Fig. 4. Resultaten van het B-AFNS-model in de periode 1995-2008.

In Figuur 5 staan de resultaten voor de periode 2008-2014. Ook in dit geval zijn de RMSE’s het kleinst voor het model zonder restricties en is de log likelihood het grootst.

Fig. 5. Resultaten van het B-AFNS-model in de periode 2008-2014.

4.3 AFNS-model versus BAFNS-model

In paragraaf 4.1 en 4.2 zijn de twee modellen afzonderlijk van elkaar behandeld. In deze paragraaf wordt onderzocht welk model betere schattingen van 𝑦(𝑡, 𝑇) geeft afhankelijk van de looptijd en de periode waarin geschat wordt. De modellen worden geanalyseerd op basis van de kleinste RMSE’s. Voor de periode 1995-2008 geldt dat het AFNS-model vergeleken wordt met het BAFNS-model waarbij beide modellen drie factoren bevatten. Voor de periode 2008-2014 zijn in het geval van het AFNS-model de RMSE’s gebruikt voor de looptijden van 3, 6, 12 en 24 maanden waarbij de level factor is weggelaten. De overige RMSE’s volgen uit het AFNS-model en het BAFNS-model die uit de drie factoren bestaan.

Eerst worden de beide modellen behandeld in de periode 1995-2008.

In de laatste kolom van Figuur 6 staan de verschillen tussen de RMSE’s van het AFNS-model en het BAFNS-AFNS-model per looptijd. Voor de looptijden van 3 en 6 maanden is de RMSE kleiner voor het AFNS-model. Voor de overige looptijden zijn de RMSE’s kleiner voor het BAFNS-model. Verder is de log likelihood van de geschatte parameters in het AFNS-model groter dan de log likelihood in het BAFNS-model. Dit zijn tegenstrijdige uitkomsten. Als de zero lower bound geen rol speelt in het schatten van de yieldcurve moet op basis van de looptijd gekeken worden welk model (en welke restrictie) gebruikt wordt.

fig. 6. AFNS-model versus BAFNS-model in de periode 1995-2008.

Vervolgens worden beide modellen behandeld in de periode 2008-2014. In de laatste kolom van Figuur 7 staan de verschillen tussen de RMSE’s van het AFNS-model en het BAFNS-model per looptijd. Voor alle looptijden is de RMSE kleiner voor het BAFNS-model.

Verder is de log likelihood van de geschatte parameters in het BAFNS-model (15887,25) dat drie factoren bevat, groter dan de log likelihood in het AFNS-model (13679,46) dat drie factoren bevat. Hieruit kan worden geconcludeerd dat het BAFNS-model in alle opzichten een betere schatting van de yieldcurve geeft rond de zero lower bound dan het AFNS-model.

5 Conclusie

Omdat sinds de crisis in 2008 de rente bijna tot nul procent is gedaald is het begrijpen en schatten van de rente ronde de zero lower bound belangrijker geworden voor bijvoorbeeld het prijzen van obligaties nu en in de toekomst, maar ook voor het monetaire beleid in een land. Het model dat de yieldcurve schat moet dus rekening houden met de zero lower bound. In dit onderzoek is gebruikgemaakt van het AFNS-model en het BAFNS-AFNS-model om de yieldcurve te schatten. Er is een onderscheid gemaakt tussen een periode in Amerika waar de zero lower bound geen rol speelt en een periode waar de zero lower bound wel een rol speelt. Deze periodes zijn

respectievelijk 1995-2008 en 2008-2014. In dit onderzoek zijn de factoren van het arbitrage-free Nelson-Siegel model en het AFNS-model met Krippner’s shadow short rate onderzocht. Er is met behulp van de factoren antwoord gegeven op de vraag hoeveel factoren nodig zijn in deze modellen en op welke looptijden ze de meeste invloed hebben. Verder is antwoord gegeven op de vraag welke van de twee modellen een betere voorspelling geeft van de yieldcurve afhankelijk van de periode waarin de schatting gemaakt wordt, voor welke looptijd de schatting wordt gemaakt en hoeveel factoren het model bevat. Dit is gedaan door middel van de log likelihood van de modellen en de RMSE te berekenen door middel van de verschillen tussen de

geschatte spot rates en de waargenomen Treasury rates voor verschillende looptijden. Deze looptijden zijn 3, 6, 12, 24, 36, 60, 84 en 120 maanden. Uit de resultaten is

gebleken dat de drie factoren niet weggelaten moeten worden om een betere schattingen te krijgen. Een uitzondering geldt voor het AFNS-model, in een periode waar de zero lower bound een rol speelt, voor de looptijden van 3, 6, 12 en 24 maanden, waar de RMSE’s kleiner zijn als de level factor wordt weggelaten. Hier kan meer onderzoek naar worden gedaan. Verder is uit het onderzoek gebleken dat het weglaten van de level factor, slope factor en de curvature factor de grootste negatieve invloed hebben op respectievelijk de lange, korte en middellange termijn. Uit de

resultaten volgt dat voor schattingen rond de zero lower bound het BAFNS-model altijd de voorkeur krijgt boven het AFNS-model. Als de zero lower bound geen rol speelt, is de RMSE van het AFNS-model voor de looptijden van 3 en 6 maanden kleiner. Voor de overige looptijden zijn de RMSE’s van het BAFNS-model kleiner. Verder is uit de log likelihood gebleken dat het BAFNS-model altijd gebruikt kan worden in plaats van het model. Het Bmodel is dus een goede uitbreiding op het AFNS-model. In dit onderzoek zijn alleen schattingen binnen de steekproef gedaan. Een volgende stap is om buiten de steekproef te schatten.

Bibliografie

Bjork, T. and Christensen, B.J., (1999), Interest Rate Dynamics and Consistent Forward Rate Curves. Mathematical Finance, 9(4): 323 - 348.

Black, F., (1995), Interest Rates as Options. Journal of Finance, 50(5): 1371–1376. Christensen, J. H. E., F. X. Diebold and G. D. Rudebusch (2011), The affine arbitrage-free class of Nelson–Siegel term structure models. Journal of Econometrics, 164(2011): 4–20.

Christensen, J. H. E. and Rudebusch G. D., (2015), Estimating shadow-rate term structure models with near-zero yields. Journal of Financial Econometrics, 13(2): 226– 259.

Diebold, F.X. and Li, C., (2006), Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, 130(2006), 337–364.

DNB (2017). ECB Rentetarieven. Geraadpleegd op 21 september 2017, van Https://www.dnb.nl/rente-en-inflatie/ecb-rentetarieven/index.jsp

Elen E. van, (2010), Term structure forecasting does a good fit imply reasonable simulation results? Tilburg School of Economics and Management Tilburg University. Geraadpleegd van https://www.netspar.nl/publicatie/term-structure-forecasting-does-a-good-fit-imply-reasonable-simulation-results/

Kim, D. H., and K. J. Singleton. (2012), Term Structure Models and the Zero Bound: An Empirical Investigation of Japanese Yields. Journal of Econometrics, 170(1): 32–49. Lu, Y., (2017), Comparison of Yield Curves’ Models based on In-Sample Fit. Amsterdam School of Economics, University of Amsterdam.

Krippner, L., (2012), Modifying Gaussian Term Structure Models when Interest Rates Are Near the Zero Lower Bound. Discussion Paper, 02(2012), Reserve Bank of

New Zealand.

Nelson, C.R. and Siegel, A.F., (1987), Parsimonious modeling of yield curves. Journal of Business, 60(1987), 473–489.

Punales, A. G., (2011), Time-varying coefficient model and the Kalman filter: Applications to hedge funds. Theses and dissertations, 1657.

Vasicek, O., (1977), “An Equilibrium characterization of the term structure.” Journal of Financial Economics, 5(2), 177-188.

Bijlage

Yield adjustment term:

De 𝜔(𝑡, 𝑇)2 in het BAFNS-model heeft de volgende vorm: