VECTOR MEETKUNDE

1

Een vektor is een l ijnstuk met een beginpunt en een eindpunt.

gebonden vektor begint in 0

vrije vektor begint niet in de oorsprong.

We rekenen alleen met gebonden vektoren .'

E lke vektor eindigt precies in een punt. Bij elk punt behoort precies een vektor.

p,. = de plaats vektor van punt ,,Q Heeft A de coordinaten (a~, a 2) dan is de vektor a = ~al~

~ 2) a ~ en a2 zijn de kentallen van de vektor a

Optel len_van vektoren.

_ t a ( 3 ) b ~_2 )

Bij het optellen van vektoren moet je de kental len optellen.

Vermenigv_uldi met een scalar_(getal).

x = ~ a

~ a is de vektor die ~ maal zo groot is als a en voor:

~ 7 n: dezelfde richting heeft als a A <o: tegengesteld gericht is aan a

2

O .a = o -~. .a=-a z .a = Z a

Van deze 2 basisbewerkingen is het aftrekken van vektoren afgeleid.

Voorbeeld. Gegeven: a ( ~ ) en b ( 2 )

Gevraagd: taken en bereken: x = a - b

Oplossing: _{x = a - b = a + (- b)}

x = a - b

3

A fhankel ijkheid en onafhankel ijkheid in RZ ---

---Twee vektoren (ongelijk aan nul) heten onafhankel ijk, als ze verschi llende dragers hebben.

iafhankel i jk Q

b

afhankel ijk Q

b.

a

a

afhankel ijk

c

~~ en ,~c heten de kentallen van c t.o.v. (a, b); door ~ en ~ to

varieren kun je ieder punt in het vlak, opgespannen door a en b bereiken. De 2 vektoren a en b noemt men de basis van het vlak.

~ en ~.~. kentallen van c t.o.v. basis ( a,b) /~ en ,~c. coord i naten van C " " "

Een_orthonarmale basis ( e~, e2) is een basis, waarbij ---

---1 e e 1 ..L e 2

2e Lengte van de vektor e 1 = 1 engte vektor

e21~

~ e~ ~ _ ~ e2 ~ = 1 .

z

c= 2e, +2.ez c = ~ z ) e ~ = 1.e~ + O.e2 e1 ~0~ e2 = O.e~ + 1.e2 e2 = ~~) _ ~ ~,

( Algemene definitie:

~ Twee vektoren a en b (# 0) heten onafhankel ijk als

~ ~ a +,t,,b = 0 al Teen als ~ en ,u, gel i jk zi jn aan nul (~1 = µ = 0)

Voorbeeld: a ( 3 ) b (_4 )

I s dit stelsel _afhankel ijk ?

S to 1 : ,~ Q ~ ~,,. ~ _ ~

~3~~ } ~ 4~, = o_{~ J}

3 ~- 4ili. =~ 3i1- y.Lc~c~

2 2 ~1.~ -o -~ ~(-~ ~ o n ~ = o

C a b) is een onafhankel ijk stelsel . Voorbeeld: a = ( 2 ) b = ( 6 )

I s dit stelsel afhankel ijk en toon het aan. S te 1 : ~ a ~. ~,,, b = a

l ~,~ 3 ~

~~~

~' ~~~

~~

De lengte van de vektor a.

l

a ( - a~ 2 + a22

I .p.v. lengte van een vektor spreekt men ook wel eens van de norm.

A fstand tussen twee_punten_A_en_B_ --- ---f3 x+c= b x = b - a IABI - I b- a~- I a- b C b~ - a~ Ib- al= ( ) ~ b2 -a2 ~

~ABI = (b~ - a~) 2 + (b2 + a 2) 2 = (a~ - b~) 2 + (a2 - b2) 2 De lengte_v_an_de vektor:

--- ---

---x=~a (~E12)

_ - I-~ = 0 2 x = - a X = O

3

-x = 2 a

~ a~ - ~~

x = /~.a is een verzamel ing van vektoren met de eigenschap dat de e indpunten van die vektoren op een l ijn l iggen (1 gaat door 0) x = ~ a heet een vektorvoorstel l ing van 1 .

a geeft de richting (ri) van 1 aan: a is de richtingsvektor. E lk veelvoud van a is als ri-vektor to gebruiken.

Voorbeeld: ~ X _ ~ ~1~ ~

- 3 ~ idem

Vektorvoorstell ing__van_een l iin_door de oorsprong_

--- --- --- ---Ligt (3~ ,~~, ) op 1 • Controle: (~~) _ ~ ( 3 )

3 = ~ ~

17 = 3a

~ = 3

i~ =~3)

Twee l ijnen_in_het_platte__vlak_kunnen_ 1 ) Evenwijdig lopen (of ~amenvallen) . 2) Elkaar ~nijden.

(3,17) l igt niet op 1 .

act 1 : Dit is als de ri-vektoren van elkanders l ijnen veelvoud zijn. ad 2: Dit is als de ri-vektoren niet elkanders veelvoud zijn.

7

L iin_door_twee_punten.

Gegeven: A (1,4) B (3,6)

Gevraagd: vektorvoorstell ing van AB.

x + a = b x = b - a

~ ~

Vektorv_oorstel l ing_v_an_een_l iin_niet_door_de_oorsprong_ _{_______________________________________________________}

x = a +~ b (a~R) ~ = 1 x = a + b

~1=2 x=a+2 b

/~ = 0 x= a+ 0 b= a

A lle eindp~unten van de vektoren l iggen op een l ijn (niet door 0) . b is de ri-vektor (b // 1)

a is de plaatsvektor of steunvektor.

Je kunt iedere vektor die zijn eindpunt op 1 heeft t iggen als plaats-vektor nemen (nooit het veelvoud van de plaatsplaats-vektor).

~]

L i1n_door_~egeven_punt_ev_enwijdig_aan_gegev_en_l ijn_

Voorbeeld: Bepaal vektorvoorstel l ing van l ijn 1 die door

P (2, 5) gaat en // aan de l ijn m x = (_~) + ,~ (_3) loopt.

Omzetten_van_een_vektorvoorstell ing_in_een=vergel ijking_en=omgekeerd_ --- --- --- --- — — --- -- — — --Voorbeeld 1 : 1 x = ( 3) + ~ ( 3)

1e manier: X ~ j3, + ~~ 3~ l

-2 i~

x - ~- 2 ~, (pa rametervoorstel 1 ing) `~. ~ 3 + 3 ~

X - 1-2i~ 3x 3x-= 3-~i1 `~, = 3 -4 3~ 12 x~ _~1 2 =~ -t- 6~_{~ +}

2e manier: r.c van 1 = r.c van ri-vektor

r .c ri-vektor =_~ ~ ~ _{y = _ ~ x + c}

y = -?x+ 2

Voorbeeld 2: Gegeven: 1 2 x - y = 4.

Gevraagd: Bepaal de vektorvoorstell ing.

1 e manier: ~tel x = a 2 ~ - y = 4 y =2~ -4 ( v) = C 2 ~ -4) _ ~-4 + 211 ~

y) _ (_4) + 11( 2)

2e manier:', 2 x - y = 4 y =2x-4 1 ` y~ r.c. = 2 Kies als richtingsvektor ( 2)

1 x = ~_4) + ~ ~ 2)

,~ .:

Berekening__van_het_sniipunt__van_twee_l i~nen_ ____________________________________________ Voorbeeld 1: 1 x = ( ~) + ~ (_~) m: x = ( ~) + µ ( 2) Bepaa 1 : 1 (1 m. ~ 0 - ~ = 1 + 2 M. 2 ~ - 3 plc, = 1 1 _{2~ - 3 ~ = 1} 2 - 2 ~~ - 4 ,~c- = 2

- 7.~ = 3

x = ~1/7~ x = ~0 ) - 7 ~-1~

X _ ~ 5/7~

— 1/7

Voorbeeld 2: 1 x = (_3) + ~ ( 3)

l op m als een punt van 1 op m l igt: ( _3) ~~' 1 . ~ 1 igt nu (1~-3) ook op m ?

-3 = -6 + 6µ i 'L`- z voldoet. (1~-3) E 1 en E m =~

1 op m.

- Aan de vergel ijkingen van de l ijnen kun je direkt zien of ze evenwijdig lopen of samenvallen.

Je moet de vergel ijking dan schrijven en de vorm

12

Voorbeeld 1 : y = 3x -2

~ Y- 3x-2 l ijnen sni 'den elkaar want ri-coeff. verschillend. Voorbeeld 2: ( y = 3x -1

f y = 3x

-2 Voorbeeld 3: (~ y = x -4 2y = 2x -8 Voorbeeld 4:

l ijnen lopen evenwijdig, want ri-coeff. hetzelfde en constante verschil lend. ($trijdig)

l ijnen vallen samen.

T.o.v. een basis (a b) zijn gegeven de l ijnen

Bereken de plaatsvektor van hPt snijpunt Voor het snijount ~ geldt:

a + 2 ~ a - ~ b = b + ,ti,, a + ,G~, b

a (1 + 2 /` - etc,.) + b ( - /~ - 1 - ,t~.) = 0

( a b) vormt een bas i s (2 ,1 + 1 - µ = 0 - ~ - 1 -~= 0 3 + 2/~= 0 ~1 =- 3 x= a- 3 a+

3 b=- 3 a+ 3

b

3

— —

_{3— 3b=-3a+3b}

$nijpunt: s=- _{3 a + 3 b}

73

De driedimensionale ruimte R3

Herhal ing: R2 _{a en b (a #0, b # 0) zijn onafhankel ijk als:} a en b verschi l lende dragers he6ben.

a en b afhankel ijk als: 1) a=0 v b=0

2) a en b dezelfde drager he66en.

tell ing: a en b afh. : a = ~ b 1.a + (- ~)b = 0 a en b ONafh. : a + ~ b = 0 alleen also =,I~~O

R3 Drie vektoren a, b, c (a ~ 0 ~c b # 0 n c .# 0) zijn ONafhankel ijk als ze een ruimte opspannen (dus als ze niet in een vlak of op een l ijn l iggen).

G a ONafhenkel i j k c Q a fhankel ijk

Drie vektoren zijn afhankel ijk als ze in een plat vlak l iggen (dus ook als een van de Brie 0 is).

$tell ing: Drie vektoren zi jn ONafh. als 1~ a + ~l.~,b + ~ c = 0 a lleen als /~ _ ,U. = i►'l = 0.

Drie ONafh. vektoren in de R3 vormen een basis. ~~~ d

~, a,

14

d = ~ a + ,t,~, b + ~ c

~~~,~,~~ n~ kental len van d. t.o.v. basis (a, b, c)

I ndien de basisvektoren .j_ op elkaar staan en al ien 1 lang zijn noemen we dit een ortho-normale basis (e1, e2, e3)

e1 = 1. e1 + O.e2 + O.e3 ( 1 ) (0) e1 = ( 0 ); zo ook e2 =(1) ( 0 ) (0) (0) e3 = ~~)

( r)

L ien=door_de_oorsprong_ x = ~ a L ijn_niet_door_de_oorsprong_ x = b + ~ a

Voorbeeld: Gegeven: T.o.v. orthonormale basis is gegeven ~ 7) ~2)

3)

(4)

Gevraagd: Ligt het punt P (-3, -8, -6) op l ijn 1 ?

C-3)

C 7)

(2)

C -6)

( )

C )

- 3 = 1 + 2 ~ ~ ~ _ - 2

- 8 =-2+3~ ~. a =-2

~ P~-e

- 6 = 3+4A=> .~ =

_~+.

9

L igging_v_an_twee linen_

1) Indien de ri-vektoren elkanders veetvoud zijn lopen de l ijnen evenwijdig of vallen ze samen.

2) Indien de ri-vektoren niet elkanders veelvoud zijn snijden of k ruisen ze elkaar.

Voorbeel d 1 : 1 1I` _ ( 2) + ~ ( 1)

3)

( ~

3)

( 2)

2) (-7)

15

Controle of 1 op m l igt:

K ies een punt van 1 en kontroleer of het op m l igt.

~ 2) _ ~ 7 ) + µ ~-1) _ )

Voorbeeld 2: 1 (y) _ (-2) + ~ (0)

( z)

( 3)

(4)

~ 1//m.

r i-vektoren niet elkaars veelvoud = 1 snijdt of kruist m. Om to zien of ze elkaar snijden moet je het snijpunt proberen to vinden.

_ Berekening $nij~unt: ( -1+1e = -2 +

2~-3 +4 = -7

~ ~ a=-7

~ ~ i~ _ -1 en~c~.= 0 vol doen ook ~ aan de eerste vergel ijking.

dus 1 snijdt m. ( -1) ~1) ~-2) invul len in l: s = (-2) + (-1) (0) _ (-2)

16

HET VLAK IN R3.

---1) Vlak door oors~rong: r ~G►\ x ~ as +- ~ L ,i,,, _ ~ 1

C

~1c. 0 1 ~ .G~= n

,~,,=, ;

/

~= 0 en ~.= 0 x= 0

~ = en.~•~ =i x=a+b

Door ~ en ,f,~, to varieren kun je ieder punt in het vlak, opgespannen door a en b beschrijven.

De factoren bepalen de stand (richting) van het vlak. a en b heten de ri-vektoren van het vlak.

2) Vlak niet door oorsprong.

-~

~ Dit is de vektorvoorstell ing van x = p + ~ q +~r~ een vlak niet door 0.

3) Vtak door 3 punten: (3 punten l iggen niet op een l ijn) Voorbeeld: Bepaal de vektorvoorstel l ing van het vlak door

A (3,1,0), B (-2,1,4) en C (0,-2,3)

— — — — ,

17

4) Vlak door een l ijn en een punt: (punt l igt niet op de l ijn)

Kies twee punten A en B op die l ijn ) je hebt dan het geval v lak door Brie punten.

Het omzetten van de vektorvoorstel l ing van een vlak in de vergel ijking en het omgekeerde.

C 7)

C 3)

Voorbeeld 1 : Vlak door 0: x = ~ ( 2) + ~,~, ( 1) ~ - '~) ~ 2) ( x) ~1+ 3.u-x=~+3~ y = 2 ~ + ,4t, z = -/~- 2 M-,u. =x+z i~ _ -2x - 3z y = 2 ~ + ~, x+z= ~-y = 2 ~ + iti. ( 1) ( 1) Voorbeeld 2: x = i~ ( 0) + ,1~, ( 0) ( 0) (-1)

( v) _ (

o )

Z)

(

- µ)

y= -4x-6z+x+z ~; 3x+5 z+y 0

X =~+,~.

1~=x+Z

19

Voorbeeld 3: ( 1) x = ( 2) + ( 1) D _{(-1 ) ~ ( 3)} 3 ) +,Iti ( 7 ) ( 1) (-1) (-1) a = ( 3) ( 1)

3)

b = ( 7) ( -1) E lke l iniare combinatie van a en b is ook als

r i-vektor to kiezen b.v. 3a+b en a+b

3a+b= ( 0) a+b= ( 2)

(10)

~ —

( 4)

( 2)

( o)

Het is altijd verstandig om bij elke richtingsvektor van het vlak een (of meer) nul to hebben

x = ~ 2) + ~ ~ 5) +M.. ~ Z)

x 1 + µ ~= x- 1

y = 2 +5~+2,k ~=z- 1

z 1 + ~ y = 2 + 5/~+ 2µ

Voorbeeld 4:

a 3x - Zy+4z

- 5 = 0

Bepaal van D~ een v.v. S tel : x=~ en y= ,U,

3 a - 2,Gt + 4z - 5 = o

z =- 4~1 +ZAti+4 x ~ 0 1 0 x = 0 + ~ 0 +,u, 1

5/4

3/4

1/2

0 4

0

x = 0 + a 0 + ,1~, 2

~.

~4 _ 3 ~

---

---Afhankel i ikheid en onafhankel i ikheid in R3. Z i jn de vektoren~a, b, c ~ afhankel i jk.

7 )

( 3)

( ~)

a = ( 2) b = ( -1) en c = ( -4)

—1)

C 2)

C 5)

S tel : ~ a +~, b +~c = 0

~ )

( 3)

( o)

( D)

C - 7) ( 2) ( 5) ( ~)

~ + 3 .~.

= 0

2 A- ~ - 4~= o

- ~ + 2µ. + 5~ = o

SM,+ 5~ = 0

a +3M-=0

2 ~1 -,~,, - 4 ~ = o

'~ = 0 ,~. = 0 ~. i~ = 0

3~ = 0

7,u+4~=o

~I +3µ=0

$telsel is onafhankel ijk.

1 3 -2

Voorbeeld: Zijn de vektoren a. 2 b~-1 en c= 1 afhankel ijk ?

-1 2 1 f 2 ~ + -1µ + ~ = 0 - 1 J~ 2 µ 1 '~ 0

5 ~c. +5~ =0

5~. +5~ =0

.a. _ - ~ .t~. _ - "7

- ~+ 2µ + ~ = o

~ _ - ~

Kies: ?~ _ - 1 I 7 ~ = 1 M = 7

$telsel afhankel ijk want a + b - c = 0

~,. + ~ = o

7.k+4~=0

a +3~=o

21 I nwendig produkt. a1 bl a = Ca 2, b=(b2

a+b=(

a1 + 61 a2+b2 Cosinusregel in OBC

OC2 = 0B2 + BC2 - 2.OB.BC. cos of

r ~_ a~-b

oc +~= 80°

/a + b/2 = /b/2 + /a/2 - 2./a/./b/. cos d.

(a1+b1) 2 + (a2+b2) 2 = b~ + b22 + a~ 2 + a 22 - 2/a/./b/./--cos ~)

= 80° - ~C

cos ~ =cos 80 . cos oc + sin 80 . sin ~c . cos l~ _ - cos d > cosoc = -cos q 2 ai . b~ + 2 a 2.b2 = 2/a/./b/. cos cos l~ = 2 a~ b~ + 2.a2. b2

2/a/./b/

cos ~ _ .a~ b~ + a 2.b2 ~ /a/./b/

De grootheid a~ b~ + a 2 b2 heet het inwendig produkt van de vektoren a en t Wordt aangeduid door: a b

Begrippen: ; Afstand, hoek en inwendige prociukten. 1) Lengte van een vektor:

~ ~

/a/ ~a~ 2 + a22 at

22

~~

a - b =(a 1 - b1)_{`a2 - b2}

(AB) _ / a - b / _ ~~(a1 - b1) 2 + (a2 - b2) 2

Voorbeeld: Gegeven de vektor a ( a1) ( a2) Bepaal een vektor b 1 a S tel : b = ~b21 b l a ~i a b= 0 a1.b1 + a2 b2 = 0 Oplossing: bijv. b1 = a2 62 = - a1 b1 =-a2 b2=a1 Dus ~. a staan: C a1 1 °f C- a1 ; Wat stelt a b voor ?

cosic~ = a b /a/ /b/ a b = /a/ /b/ cosq ~ ~ ~~ 3

~ ~~,1

nC X cosq = /a/ x = /a/ cosk~

23

1 2

Voorbeeld: Gegeven: a = C3 b = ( 1)

Gevraagd: Bereken de hoek tussen de vektoren. cos~l = al b1 + a2 b2 _ a b /a/ /b/ /a/ /b/ a b= 1. -2+3.1 = -2+3= 1. /a/= 12 +32 = 10 . cos l~ _~---~---~--- = _{----~--- =} 1 a = ~ V L = 0 ,1414 2 ~ ~ = 81 °

y o

. 50

5 ~

10

- Als a= 0 v b= 0 dan is a b= 0 - Als a b= 0 ~ 1) a= 0 v b= 0 2) cos = a b _ 0 _{= 0 . ~ ~ = gpo} /a/./b/ /a/./b/ o ftewel a I b Voorbeeld: a = C~~ b = C 4' a b=2. -2+1 .4=0 draai ing onder g0°

e

; Hoek tussen twee l ijnen.

a 1, b

x >y

Y '-x (,l ~~- 2i

Onder de hoek tussen twee l ijnen verstaan we de scherpe hoek d ie deze twee l ijnen met elkaar maken.

"

"`---__

d

~.~.

cos d = ~a ' b~ waarbij a en b ri-vektoren van 1 en m Zy n•

/a/ /b/ — — 1 -1 Voorbeeld: 1 x = 0 + ~ 2

0 3

- 1 1 m x= 2+,k -2

3 -4

24

Bereken de hoek waaronder 1 en m elkaar kruiden

-1 1

a = 2 b = -2

_ 3

_

-4

cos d = ~a b/ _ / -1 - 4 - 12/ _ 17 = 0

, 99~a = 88°

~a~

~b~

V14

~

294

~ UC UCC I I I~ I IC 11 V dl l IWCC C 1 Kc1 c1 1 JI 1 1 J UCI IUC I 1~ I ICI I. ~ 1

De twee deell ijnen staan loodrecht op elkaar. I

,c ,~ 2.x + 2.0 = 180°

/~ o

Voorbeeld 1 :

1e methode: p deelt de hoek tussen a en b middendoor. -Cp1~

noem p 2 p

C(1 = 0( 2 cos o(1 = cos o~ 2

a P b P

p1 + 2p2 3p1 - p2 10

25 ~10 (p1 + 2p2) _ ~ (3p1 - p2) 1f 2 (p1 + 2p2) = 3p1 - p2 ~p1 + 2 ~2p2 - 3p1 + p2 = 0. ( ~2 - 3) p1 + (21l Z + 1) p2 = 0. 1 1 K ies: p1 = 1 ~ p2 = 3 - ~ _~ - 3 -2 ~+1 p 2 ~+1

De vektorvoorstell ing van een l ijn kun je dan bepalen.

De andere deell ijn heeft een richtingsvektor die _I op p staat.

3 - 1~

Dit is de vektor _{2 ~2 + 1} - 1

2e methode:

Voorbeeld: We kiezen twee ri-vektoren die evenlang zijn. l x = 0 + ~C2! m x = -1 + k~3 )_r r i 1 a = ~Zf /a/ = V 5 r i m b 3 b = (~~ en a' _ ~ 21j 2

~ ~ /b/ = I~ /a/

De vektor p = a + b deelt de hoek tussen a' en b (dus ook tussen a en b) middendoor. (eigenschap van een ruit)

-~ +zdz - 3 + 1r2

p _ _. ._. ._ e~ ,~

- 1 + 2 ~ -3

De l ijn door een punt ~. op een gegeven l ijn of 1. op een gegeven vlak.

Inleiding: Gegeven: a ~a1_a2

26

1) b 1 a b a= 0

b1 a1 +b2.a2=0 bl = -a2 b1 = a2

b2 = a1 b2 = -a1

Dus: C a1) ~ C-a1, staat .~ op ~a2~ Voo r bee 1 d: a ~ Z~ ~ b .~ a a-~s b C ~

Voorbeeld: P (3~4) Bepaal l ijn 1 door P 1 op de l ijn

1 ~ m

ri ~ .L rim

r im = 2 ri d _ ( ~ 1

l : x = l4~ + ~ _~1/ 1

L ijn door (geg.) een punt ..~. op een vlak.

Inleiding: a a = /a/2 a b = b a (a b) = a b = a b a (b + c) = a b + a c (Bewijs zie blz. 169) A 1 s a l b ~ a 1, c ~ a J... fi b+ f,~, c a ~, b -~ a b= 0 a 1 c ~> a c= 0 a (~ . b +,u.. c) = a . ~ b + a . ~1 c = ~ (a . b) +,lt (a c) _ ~. o +~ 0 = c D u s a 1 J► b+ ,u, c Gegeven: P ( 1,3,6) 1 1 -1 oC x = 0 + ~ 2 +A. 1 1 2 Bepaa 1 v. v. 1 i j n 1 door P en -~- op a 0 lossin _{p g' —} x= 1 _{0 + ~` 3}0 _{+ ,11 0}3 -1 5 -1 a b r i d moet -~ op a en b staan. P ~ Noem ri-vektor p P2

P3

27

p 1 a ~ p P -~ b P K ies: p1 = 1 1 x = a=0 O.p1 +3~2+5p3=0 b = 0 3.p1 + Op2 - p3 = 0 p2 = -5 p3 = t3 1 1

3 + '~l - 5

6 3

Snijl ijn~ van twee gegeven vlakken.

Voorbeeld 1: d - 1

p -5

3

1 2 1 x = 0 + ~ 1 + ~ 2 -1 4 1 2 1 0 x = 1 + ^1 1 + ~ 2

7 3

Bepaal de snijl ijn van open

1 0 5 o~ x = 0 + ~ 5 + ,~. 0 1 2 9 2 2 0 '3 x= 1 +~ 0 + Q 2 ~ ~ -~ 3 ~

Voor de snijl ijn geldt:

5 l~ ~ ~ + 2 P

p2 3 p3

p 3= 3

p 1 ~v~2'

In ri-vektoren van de vlakken zoveel mogel ijk nullen proberen to krijgen.

N i er i.~.i, ~ ~ev~. vev b a vt. of ~ ks S e ~.~.

/l e,1~ .+n o~ ~ eh ~ Z o ~~.e,2

D

2 i- 2 ~ ~ - ~ ! 'F 5 /~ ~ = Z 2 2 2 2 ,~ ~ I I ~ ~ 2 3 2 2 ~ =o 2 - f1 a + 23 µ ~ c7 ~ ! ~- 23 i_{i * ~ i} `k' ~, s ~ v S h.. `.•<sub>y`: X o</sub> 2 23 l ' S , S5 X lo~l 'E X1,1, ltS~) x ~ ►ulI IIS l5/ i <sub>( ~ t4S~~i l 15</sub> +~ I`.lS~ ~~ ~ 11 x _ tu~1 ~* ~

~~,,, C Zg

23

28

Voorbeeld 2: Bepaal de v.v. van de snijl ijn van ~ en ~ als:

~c x-y+2z=3 2x+y +z = 1 x -y+2z=3 3x+3z=4 z= -x+ 4

3

2x+y+z= 1

~

-3x- 3y= 1

~

y= -x - 3

K ies: x = ~ dan y = -~ - 1/3 en z = -~1 + 4/3 _ ~_ 1 $nijl ijn: x — 3 -

_{i~ + 3}

0 x = 3 1 + a -1

4 -1

+ 3

---

---Voorbeeld 3: ac: y- z=0 ~y=z g x+ z- 1 = 0 fi x= -z + 1 f K ies: z = ~ y = ~ x = -i~+'~ - ~ + f ~nijl ijn: x = _{_ ~}~ 1 -1 x = 0 +~ 1 0 1

~~

_,

Normaalvektor.

I ndien een vektor n 1 staat op de ri-vektor van l ijn m dan heet n de normaalvektor van m.

Dit geldt ook voor een vlak. _.,ten.

Gege~~~ ~.

n x= 0 ~~ n~ x+n2 y= 0

Voorbeeld 1: 3x - y = 0 normaalvektor:

Voorbeeld 2:

(n x) = 0 Als n = ~ 3

J

dan vormen de vektoren x (yl een l ijn met als

\ / vergel ijking 2x - 3y = 0 n =1_~) l

3x

-y=5 normaalvektor: n = j~~ 1 Voorbeeld 3~ x - y + Z = 0 n = -1 1

I ndien de lengte van de normaalvektor 1 is heet de vergel ijking een normaalvergel ijking.

Voorbeel d 1 : 'Q,: x- y= 2 n — C~~ 1 Kies n

9 _

~ '~rf2) = l 2

heet 2 ~ 2x - 2 V ~y = ~ de no rmaalvergel ijking. dan

30 Voorbeeld 2: vlak 2x + y - 4z - 2 = 0 2 1 n - -4 normaalvergel ijking ; ; 2x + y - 4z - 2 _ p ~ 2 1

- Een:vergel ijking in x en y stelt in ~ 2 een l ijn voor. - Een vergel ijking in x, y en z stelt in ~ 3 een vlak voor.

conclusie: Een l ijn in ~ 3 is niet door een vergel ijking voor to stellen

A fstand van punt tot l ijn in 6~ 2 en van punt tot een vlak in ~ 3

1e Methode:

1e) Lijn door P 1 1 .

2e) Bepaal snijpunt S van m en 1 . 3e) Bereken afstand P S

2e Methode: M.b.v. de no rmaalvergel ijking. _ ~ /n/ = 1 Gevraagd l oodrecht afstand. d ~Q3 1 ) = Q~ Q2 OQ2 =n x=a O Q~ = n q _ /n.q - a/ _ /n~ q~ + n2 q2 - a/

afstand is positief: d (P,1): _; / n1 p1 + n2.p2 - a/

Voorbeeld 1 : Bereken d (P, l) als

P (3~ 1)

en 1

3x - 4y - 7 = o.

3x - 4y - 7

_{= o . of 3"}

4Y

_{~ = o .}

Normaalvergel ijking: _{g + 16 5}

Voorbeel d 2: Bereken d (Q. 1) al s Q ( 1~ - 1 )

d (Q,1) _ ! 3 '~

54

' -~ -~ I= 0 ~ ~~htQl igt op de l ijn. Voorbeeld 3: Bereken afstand P (0,1,2) tot x - y - Zz = 0.

Normaalvergel ijking x y ZZ = 0

1~6

d ~ P ~~~ _~ 0 ~1 4 + _ 1 6 +__ 6 ~. I

Voorbeeld 4: Bepaal al le punten op een afstand 2 van het vlak oC x + y - z = 4. S tel: B (bl,b2,b3) behoort tot de verzamel ing

No rmaalvergel~ king: x - y - z - 4 _ ~ V 3 d ~ B ~ ~~ _ bl

_{+b2-b3-4 _ 2}

3

b 1

_{+ b2 - b3 - 4 _ 2}

_{x + y -2 -4 - 2 1~3 = o}

b1 + b2 - b3 - 4 _ _2 X + y - z - 4 + 2 ~ 3 = 0

3

=______

32

DEELLIJN.

S tel : P (p1, p2) l igt op de deel l ijn. d (P~,1) = d (P~m) norm.verg. ~ : -x-~. ~+-- 4 ~ Y ~ m: -2-x~ —~ 0 17 d (P~1) =~P1 p2+4~ ~— / P~-P2+4/ ~1T~~ d ~ P ~ m~ _ / 2P~-P2-1/ ~— _ /2P~ - P~ - 1/ ~ ) 1~5P~ -~p + 2 4 V 5 = 2 VZp~ V~p2 -~1~ - 21T) p~ + ~1r -~5) p2 +4~5+y2=0 2) VSP~ -1~5p2 + 4V~ _ -2 ~p~ + ~ 2p2 + 1~5 + 21x2) P~ + (-~2 -1~5) p2 + 41x5 - 1J2 = o Bepaal de deel lijnen van de l ijnen:

~~

~~'

7 ) _{(~5-2~) x + (~2-~5) y + 4Vr5 +~ = 0}

z) (V 5+2 V~2) x + (- ~ -V5) y + 4Y~5 -lr = o

HOEKEN.

Onder de hoek tussen twee l ijnen verstaan we de scherpe hoek die twee ri-vektoren met elkaar maken.

- (ook de scherpe hoek tussen de twee normaal vektoren is goed !)

Voorbeeld 1: 1 x - y = 2 n~ _ (_~) m 2x - y - 4 = 0 nm - ~-1~

cos IcP = /n 1

. nm~ _ 1 .2

+ -1 . -1 = 3

_ 3

_{1 0 ~~ ~}

`/ ~-0 . ~9

/n~/./nm/

1(~Z.~

~

o

~ =±~o

I I Onder de hoek tussen twee vlakken verstaan we de scherpe hoek die

de normaatvektoren van die twee vlakken met elkaar ma ken.

Voorbeeld: Gegeven: a x - y+2 - 1 = 0.

1. Bereken de hoek tussen a en (3.

2 . Bepaal de verg. van de deelvlakken.

na = (-1 ) nQ = ( 1 )

1 -1

cos 1~ ~—cx n(3/ = 2 1 1 = _{0 g0° a 1 R}

/na.n~/ ~f3. ~f6

~ _

3~

2. _{Stel : P (p1, p2, p3) 6ehoort tot het deelvlak.}

a (P, a) = d (P, (3~ / p7 - p2 + p3 - 1 / ,~ _/ 2p1 +p2 - p3+4/ V 3 V ~'

p1 -P2+p3-

1 _2p1

+p2-~3+4

V~ V m o f p 1 - p2 + p3 - 1 _ _ 2p1

+p2 - p3 + 4

V 3 Deelvlak 1 : (~2 - 2) x + (-1 - ir2) y + (~ + 1) Z - ~ - 4 = 0 Deelvlak 2: ( ~ + 2) x + (+1 - 1/-2) y + (~ - 1) 2 - ~ + 4 = 0

DE HOEK TUSSEN EEN LIJN EN EEN VLAK: ---

---n~ ri.e

a = g0 - ~ waa rb i j lc~ de s cherpe hoek is tussen r i en n_{1 --cr, .}

cos =sin g

1 -1

Bereken de hoek die 1 x = ( 0) +,~( 2) maakt met

-1 1 2 -1 1 0 2 1 2 0 2 0 1 3 ~ y = 1 - 2I~ —► ~ = z y + Z ( z=~+3u

~5 ~. z =-2y+Z+2X-3 2z= -y+1 +3x-6 3x -y -2z -5=o

3

-1 n om = (-1) ri 1 = ( 2) -2 1 cos ~ _ ~~ r i 1 / - / -3 -2 -2/

/n

om /

/ri 1/

~4 .~6

0

a = g 0 - (c~

a

a = 90 - 3g°

a _ 5 ~0

7 _ 972 _ ~~ 76 ~ _ 39 0

84