Vaardigheden 4

Vaardigheden 4.

Differentiëren 1. a. f x'( ) 3 b. 1 4 '( ) g x   c. h x'( )p d. _{k x( ) 7 (3 x x) 21 x7x}2 _{k x'( ) 21 14  x} e. _{m x( ) 4( x3)}2_2(3x)2 _4(x2_{6x9) 2(9 6  x x} 2_{) 2 x}2_36x18 '( ) 4 36 m x  x 2. a. 1 2 1 2 2 4 ( ) (2 ) 4 2 f x   x   x x 1 2 '( ) 2 f x    x f'( 2)  3 b. g x'( ) 0 g'( 2) 0  c. 1 1 7 2 3 3 9 ( ) (4 2 )(4 2 ) 18 4 h x   x  x   x h x'( ) 8x h'( 2) 16  d. _{k x( ) ( 3  x 7)( 3 x 7) 3 x}2_{49 k x'( ) 6 x k'( 2)  12} e. m x( ) 78 33  x ( 34 33 ) 112 66 x   x m x'( ) 66 m'( 2)  66 f. _{n x( ) (4 ) x} 3 _43_x3 _64x3 _{n x'( ) 192 x}2 _{n'( 2) 768 } 3. a. _{f x'( ) 60 x}3_12x2_48x b. f x'( ) 0 3 2 2 4 5 60 12 48 12 (5 4) 12 (5 4)( 1) 0 0 1 x x x x x x x x x x x x                c. d. f'(1) 24 en f(1) 5 24 5 24 1 24 29 24 29 y x b b b b y x             4. a. _{h x'( ) 5 x}4_60x2 4 2 2 2 2 2 5 60 5 ( 12) 0 5 0 12 0 0 (0, 0) x x x x x x x           

b. h x'( ) 0 voor x 0 en h x'( ) is voor geen enkele waarde van x kleiner dan 0. c.

d. Omdat de helling niet van teken verandert. De afgeleide is altijd positief en dus de

functie stijgend. x y 1 -1 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 f'(x)

5.

a. _4x3 _12x2 _{4 (x x}2 _{3) 0}

0 3

x  x 

b.

c. De grafiek is stijgend voor x3.

d. e. _{g x( )x}4_4x3_{4, dus a1, b 4 en c 4} f. Ja! Goniometrie 6. a. b. c. 1 2 sin(137 ) 1 1 1 4 2 sin( 1 ) 2 5 1 6 2 sin(1 )  2 1 3 2 sin( 3 ) 3 d. e. 1 2 cos( 137 ) 0 3 1 4 2 cos(3 ) 2 2 1 3 2 cos(2 )  5 1 6 2 cos( 1 ) 3 7. a. 1 2 sin( x) 1 b. 1 2 3cos(2 ) 1x  3 1 1 2 2 ( : 4 ) , 5 , 9 , 13 x x periode x x x x              1 2 5 1 6 6 1 11 12 12 cos(2 ) 3 2 2 1 ( : ) x x x x x periode             1 11 1 11 12 , 12 , 112 , 112 x   x   x  x  c. 1 1 3 2 1 sin( x ) 1 d. 1 4 3 2cos( x ) 2 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 6 2 1 1 2 6 sin( ) ( : 2 ) 1 , 2 x x x x x periode x x                           1 1 4 2 1 2 1 1 4 3 4 3 11 7 12 12 5 1 12 12 cos( ) 1 1 ( : 2 ) 1 x x x x x periode x x                           8. a. , 3 1 13 1 1 3 3 3

( ) sin( ) Vy as sin( ) naar rechts ( ) sin( ( )) f x  x   y x  g x  x 

b. 4 1 1 , 2 1 1

3 3 3 3

( ) omlaag sin( ( )) 4 Vx as ( ) 2sin( ( )) 8

g x  y x     h x   x  

c. evenwichtsstand: y 8 amplitude: 2 periode: 1

3 2 _6 9. a. maximum: 50 minimum: -10 b. evenwichtsstand: 50 10 2 20 d _  _{ amplitude:} 50 10 2 30 a_  _

c. een halve periode is 10 . De periode is 20 .

d. a30, d 20 en 2 1

20 10 b 



 

e. De grafiek is  naar rechts verschoven, dus c  .

x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 10 -5 -10 -15 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 5 10 -5 -10 -15 -20 -25 g'(x) x 0 1 6 41 31 12 sin(x) 0 1 2 21 2 21 3 1 cos(x ) 1 21 3 21 2 1 2 0

Exponenten en logaritmen

10. 1

3

( ) log( )

f x  x en _{h x( )} 3_{log( )x zijn logaritmische functies met een verticale}

asymptoot x 0. f(x) is een dalende functie ( 1

3 1

g   ) en h(x) is een stijgende

functie. De vierde grafiek hoort bij f x( ) 13log( )x en de eerste grafiek bij

3 ( ) log( ) h x  x . ( ) 3x g x  en 1 3 ( ) 3 x ( )x

k x _  _{ zijn exponentiële functies. Zij hebben een horizontale}

asymptoot y 0. De grafiek van g(x) is stijgend (g  3 1) en de grafiek van k(x) is

dalend. De tweede grafiek hoort bij _{g x}( ) 3_ x _{en de derde grafiek bij k x( ) 3} x_.

11. a. 2x _8 2 _b. 1 2 3 ( ) x _1 c. 1 2 4t _ 2 1 1 2 32 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 x x x  _{  }     2 0 1 1 3 3 ( ) ( ) 2 0 2 x x x  _    1 2 2 1 1 2 1 4 (2 ) 2 2 2 t t t        d. 1 8 (0,5) 4 p   e. _(0,1)3a _{ 1000 f.} 1 1 27 3x _ 5 (0,5) 32 2 2 5 p p p      1 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 1 2 (10 ) (10 ) 10 10 3 1 a a a a         1 2 1 3 1 2 (3 ) 3 ( 1) 3 1 6 5 x x x x  _          g. ₂2x _{5 h.} 1 0,5 5 3 400 p   2 2 1 2 2 log(5) log(5) x x      0,5 3 3 3 2000 0,5 log(2000) 2 log(2000) p p p     12.

a. 2_{log( )p }2_{log(5) 3 b. log(t3) 2 log(5) 0  }

2 2 3 5 log(5 ) log(8) 5 8 1 p p p   

log( 3) log(25) log(25 75) log(1)

25 75 1 25 76 t t t t         1 25 3 t  c. 1 1

3log( )a  3log(a  1) 4 d. 0,25log(4 )b 0,25log( )b  3log(81)

1 1 1

3 3 3

1 80

log( ) log(81) log( 1)

81( 1) 81 81 80 81 1 a a a a a a a          0,25 2 0,25 1 256 2 1 256 2 1 1024 1 1 32 32 log(4 ) 4 log( ) 4 b b b b b         13. a. 1 2 2 x y  1 4 2x 4 x3 1 2 2 2 4 y x y x     3 4 1 7 4 x x   (4, 4)

b. y x 2 _{x 2 2(x1)}2 _2(x2_{2x 1) 2x}2_4x2 2 y  x _2x2_{5x x x(2 5) 0} 1 2 1 1 2 2 0 2 (0, 2) (2 , 4 ) x x en    c. _x2_{(2 )x}2 2 _x2_4x4 _3 4 2 2 2 2 2 2 3 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 3 (4 3)( 1) 0 4 3 1 3 3 ( 3, 1 ) ( 3,1 ) x x x x x x x x x en                  14. a. _{x x}2₍ 2_{2) 24 b.} 3 2 1 2sin( ) (sin( ))x  x  2 4 2 2 2 2 2 24 0 2 24 ( 6)( 4) 0 6 4 6 4 2 2 x x p p p p p p x x x x                       2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 5 1 1 2 6 6 (sin( )) 1 sin( ) 0 1 ( 1)( ) 0 1 sin( ) 1 sin( ) x x p p p p p p x x x  x  x                      c. 4x _2x _6 _{d. 3(log( ))x} 2_{log( ) 1x}2 _ 2 2 2 (2 ) 2 6 0 6 ( 3)( 2) 0 3 2 2 3 2 2 log(3) x x x x p p p p p p x                    1 3 2 2 1 3 1 3 3(log( )) 2log( ) 1 0 3 2 1 (3 1)( 1) 0 1 log( ) log( ) 1 10 10 x x p p p p p p x x x  x                     e. 3 2₂ 9 x  x  2 2 1 2 1 1 2 3 9 0 2 3 9 (2 3)( 3) 0 1 3 x x p p p p p p   _{ }                 1 2 2 1 3 3 1 1 1 3 x x x x         15. a. 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 3( ( 2) ) 3( 2 ) 7 y   x    x    x b. 1 2 1 1 2 1 2 2 2 4 4 (4 ) 2(4 ) 16 4 8 3 8 y   x   x   x x   x x  x c. _{y (4 x2)}2_{ 4 16(x2) 4 16  x28} d. 4 12 12 2 2 2 2 ( 2) 1 4 x x y x x          16. a. _{y 3}2x1_32x_31_{(3 ) 3}2 x _ 1_{ 3 9}x b. 2(21 4) 8 8 1 8 1 1 64 2 4 2 x 4 2 x 4 2 x 2 4 (2 ) 2x ( )x y _{ }   _{ }   _{ }  _  _{ }  _  _{ }

17.

a. _{y } 2_log(x3_{  1 1)} 2_{log( ) 3x}3 _{ }2_{log( )x}

b. _{y  2} 3_{log(2 ) 2 ( log(2)x  } 3 _ 3_{log( )) 2x  }3_{log( ) 2x  }3_log(2)

18. 2 1 2 2 1 1

2 2 2

log( ) log( ) log( ) ( 2) x (2 ) x (2 x )

y     x  x

19. 12 3 12 1 1 3 12 1 3

2 2

log(2x ) log((( ) )x ) log(( ) x ) 3

y _  _   _   _{  }x

Extra oefening Basis.

B-1. B-2. a. b. 1 2 sin(17 ) 1 5 1 6 2 sin( 1 ) 3 1 4 2 sin(1 )  2 1 1 3 2 sin( 1 ) 3 B-3. a. 1 1 6 2 ( ) 3 g   3 1 4 2 ( ) 2 g    2 1 3 2 (1 ) g   b. 1 2 cos( )x   1 2 cos( )x  2 cos( ) 1x  1 2 cos( )x   3 2 1 3 13 x   x   1 2 3 13 x   x  x 0  2 5 1 6 16 x   x   B-4. a. amplitude: 5 evenwichtsstand: y 3 b. periode: 1 3 2 _6 amplitude: 2 c. (4 3 , 0)  B-5. a. maximum: 10 en minimum: -6 10 6 2 2 d _  _ b. 10 6 2 8 a_  _  in graden 20,05 30 77 135 210 13178,03  in radialen 0,35 1 6 1,34 34 116 230 radialen 0 1 6 14 13 12 sinus 0 1 2 12 2 12 3 1

c. De periode is 8 , dus 2 1 8 4 b     d. 1 4 ( ) 8 sin( ( )) 2 f x  x  B-6. a. 1 3 2sin(x ) 2 b. 1 5cos(3 ) 2 x  1 1 3 2 3 1 1 1 3 4 3 4 7 1 12 12 7 1 12 12 sin( ) 2 1 ( : 2 ) 1 x x x x x periode x x                        1 5 2 3 5cos(3 ) 1 cos(3 ) 3 1,37 3 4,91 0,46 1,64 ( : ) x x x x x x periode          0.46, 1.64, 2.55, 3.73, 4.65, 5.83 x x  x  x x  x  c. 1 1 2 2 6 sin( x) 5 1 1 2 2 5 1 1 1 2 6 2 6 1 2 3 3 1 2 3 3 sin( ) 1 ( : 4 ) 1 x x x x x periode x x                  1 1 2 2 6 sin( x) 5 voor 1 2 3 , 13 x   B-7. a. 5 1 5 2 12 5 121 1 25 2

log( 5)_ log(5 _5 )_ log(5 ) _{ }1

b. 2 1 2 3 12 2 212 1

8 2

log( 2) log(2 2 ) log(2 ) 2

c. 3 15 3 2 15 3 145 4

9 5

log( 3)_ log(3 _3 )_ log(3 ) _{ }1

d. 4 3 4 3 13 4 331 1

3 log(64 4) log(4 4 )  log(4 ) 3

B-8. a. 7_{log(243) 2,82 c.} 12 6 131 log( ) 1,24 e. 5 1 625 log( ) 4 b. 12log(150) 7,23 d. 0,4 1 13 log( ) 2,80 f. 125_{log(1) 0} B-9. a. 12 3 x 0 b. 4x28 0 c. 5x 0 d. _x2_{100 0} 3 12 4 x x     4 728 x x   x0 2 ₁₀₀ 10 10 x x en x     B-10.

a. _{2 log(3) log(5) log(3 ) log(5) log(45)  } 2 _{ }

b. 31 13 1 2 31 31 31 31

3

2 log(4) log(( ) ) log(4) log(9) log(4) log(36)

      

c. 3 3 3 3 3 3 2 3 7 3 3

5 5

log(7) log(5) 2  log(2) log(7) log(5) log(2 ) log( 4)  log(5 )

d. 0,2 0,2 0,2 0,2 3 0,2 0,2 3 8 0,2

0,2

B-11. a. 2_log(3x2 _{7) 3 b.} 1 1 2log(x3) 2log( )x  2 2 3 2 2 3 7 2 8 3 15 5 5 5 x x x x x          1 1 2 2 2 2 2 log( 3 ) log(4) 3 4 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x x x x x x x x x x              

c. _1 2_log(x2_{ 1)} 2_{log(5 )x d. 2}3_{log(4x  1) 2} 3_log(x7)

2 2 2 2

2 2

1 2

log(2) log( 1) log(5 )

2( 1) 5 2 5 2 (2 1)( 2) 0 2 x x x x x x x x x x               3 2 3 3 2 2 15 16

log((4 1) ) log(9) log( 7)

16 8 1 9 63 16 62 (16 31)( 2) 0 1 2 x x x x x x x x x x x                   B-12. 3 4 3 a  , 1 2 1 3 b en 3 4 2 3 c 

Extra oefening Gemengd.

G-1.

a. 2 1

24 12 b_  _{ }

b. amplitude is 3

c. Op 1 periode snijdt de grafiek van f de x-as twee keer. In het interval



0 , 6000



passen 6000

24 250 periodes. De x-as wordt dus 500 keer gesneden.

d. (0, -3), (12, 3) en (24, -3) G-2. a. f: periode: 6 en amplitude: 1 2 1 g: periode:  en amplitude: 1 2 2 b. 1 1 2 3 ( ) 1 cos( ) f x  x en 1 2 ( ) 2 sin(2 ) g x  x

G-3. a. b. 1 6 9,5 10,5cos( x) 5 1 6 1 6 1 1 6 6 10,5cos( ) 4,5 cos( ) 0,43 1,13 5,16 2,15 9,85 x x x x x x            

Het groeiseizoen duurt ongeveer 7,7 maanden.

c. 1 6 9,5 10,5cos( x) 6 1 6 1 1 6 3 1 1 6 6 10,5cos( ) 3,5 cos( ) 1,23 5,05 2,35 9,65 x x x x x x            

Het groeiseizoen voor dit gewas duurt ongeveer 7,3 maanden. Dat is ongeveer

0,4 30 12  dagen korter. G-4. a. b. amplitude: 4 en periode:  4 a en _b 2 ₂    c. g x( ) 4cos(2 )x G-5. a. _{ 2} 3_{log(2x 1)} 3_{log(10x) b.} 1 2log(x27) 3 3 1 3 3 9 1 9 3 11

log( ) log(2 1) log(10 )

(2 1) 10 2 1 90 9 11 91 8 x x x x x x x x             2 1 3 2 2 7 ( ) 8 15 15 15 x x x x         

c. 2_log(16x2_{) 2 d.} 2_{log( )x } 2_{log(3x 1) 1} 2 2 16 4 12 2 3 2 3 4 , 2 3 2 3 , 4 x x x x            _{ } 2 2 3 1 3 (3 1) 2 3 2 (3 2)( 1) 0 1 , 1 x x x x x x x x             G-6. a. _{27 12 x x} 2 _0 2 _{12 27 ( 3)( 9) 0} 3 9 x x x x x x          domein: 3 , 9 b. g x'( ) 12 2  x '( ) 0 6 g x x 

 Het maximum van g is g(6) 9

c. Het maximum van f is dan ook bij x6: _f(6) 3_{log(9) 2}

x T (in graden) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -2 -4 x y 0,5  -0,5 - 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6

G-7. a. D(5) 43 D(7) 40 D(10) 37 D(20) 31 b.





5 5 2 2 4,9 10

10 log 10 log 4,9 10 10 log( ) 56,9 20 log( )

D r r r      _{ }          56,9 A en B  20 c. 20 log( ) 56,9 r  D 1 1 20 20 1 20 2,85 2,85 0,05 log( ) 2,85 10 D 10 10 D 700 10 D r D r           G-9. a. 3_{log( )x } 9_log(x12) 1 1

log(3)log( )x  log(9)log(x12)

b. log(x12)log(9)_log(3)log( ) 2 log( ) log( )x   x  x2

c. _x2 _{ x 12} 2 _{12 ( 4)( 3) 0} 4 3 x x x x x x          

Extra oefening Vaardigheden.

Logaritmen

V-1.

a. 2_{log(7) 3 }2_log(5) 2_log(7) 2_{log(5 )}3 _ 2_log(875)

b. _23_log(4)3_log(10) 3_{log(4 )}2 _3_log(10)3_log(1,6)

c. 1 1 4 13

2 2 16

log(26) 4 log( ) log(2) log(26) log(( ) ) log(2) log( )      

d. 1 4 4 21 4 4

2 log(25) 1  log(25 ) log(4) log(20)

V-2.

a. 1

2log(2x4) 1 b. 2 log(3 x) 0 c. 3log(2 ) 3x   3log(7)

1 1 2 2 4 ( ) 2 2 6 3 x x x       2 3 10 100 97 x x      3 2 3 7 2 7 1 2 log( ) 3 log(27) 27 94 x x x    

d. 5_{log(x4)}5_{log(10 2 ) 1 x  e.} 2_{log( )x } 2_{log(3x 1) 1} 4 10 2 10 11 5 4 5(10 2 ) 11 54 4 x x x x x x         2 2 2 3 3 2 3 2 (3 2)( 1) 0 1 x x x x x x x x             f. _23_{log( )x }3_{log(6) 2} 3 2 3 3 3 2

log( ) log(9) log(6) log(54)

54 3 6 3 6 x x x x         V-3. a. ₆x5 _{100 b.} 1 1 4 4 3 ( )_{ } x _25 6 6 5 log(100) 5 log(100) x x      1 1 4 1 1 4 3 ( ) 21 ( ) 7 x x      1 4 1 4 1 log(7) 1 log(7) x x    

V-4. f x( ) 2log 6 2log(6) 2log( )x

x  

 _{ } 

 

De grafiek van _{y } 2_{log( )x is een stijgende functie. Dus f(x) is dalend.}

Rekenmachine V-5.

a. k(1) 10

b. k'(1) 1,25

c. Voer in: y₁5 x 3 20 zero: x 13

Wortels V-6. a. 72  36 2 6 2 b. 1 25 5 1 2 2 2 2 12   2 2 c. 1 4 2 75 48 10 3  3 9 3 d. 1 2 1 2 1 1 3 10  5  ₁₀  ₅ 10 105 10 10 10 e. 2 1 2 27 2 54 3 6 3 132  3 2 3 2  3  6 f. 1 1 1 1 1 1 3 3 8  32  8 8 2 8  8 816 8  16 2 2 8 2 V-7. a. m2 k b. m3 k4 c. 1 2 2 5 m k  1 2 2 1 4 k m k m   1 3 2 1 9 4 4 k m k m     1 2 2 5 2 2 10 k m k m     2 1 9 4 k  m  _{2k (2m10)}2 2 1 2(2 10) k  m d. m k 6 e. 1 2 4 2 m k  _  2 6 (6 ) k m k m     2 2 2 8 10 2 (10 2 ) k m k m k m        Afgeleide functie V-8. a. _{f x'( ) 24x}11_12 b. _{g x'( ) 4x}9_9x2 c. _{h x( ) ( x2)(4x7) 4 x}2_{15x14 h x'( ) 8 x15} d. _{k x( ) (5 x6)}2 _25x2_{60x36 k x'( ) 50 x60} e. _{m x( ) 4 x}3_{ 9x}4 _{ 36x}7 _{m x'( ) 252x}6 V-9. a. 1 4 '( ) f x   x '(4) 1 2 1 4 4 6 f y x b b b b              Raaklijn in (4, 2): y   x 6 b. f x( ) 0 c. f x'( ) 2 2 1 8 2 4 0 32 4 2 4 2 '( 4 2) 2 '(4 2) 2 x x x x f en f            1 4 2 8 (8, 4) x x     

Stelsels vergelijkingen V-10. a. 3(y6) y 7 b. y 10x 1 1 2 2 3 18 7 2 25 12 6 y y y y en x       3 (10 ) 8 3 10 8 4 18 x x x x x        1 1 2 2 4 5 x  en y  c. 4x2y  8 3x5(2x4) 7 2 4 8 2 4 y x y x     133 101320 7 x x x      x  1 en y 2 d. 1 2y 6x21 231x1 (1231 x42) 1 12 42 12 42 y x y x     1 3 1 3 2 16 56 1 18 55 x x x      x  3 en y 6 V-11. a. ax5y 10 1 5 5 10 2 y ax y ax      

Het stelsel heeft geen oplossing als de lijnen evenwijdig lopen: 1

5a 2   Dus als a 10 b. 3 1 5  y  2 7 1    a 1 4 5 5 1 y y     7 3 4 a a    