Hoofdstuk 5: De kettingregel

Hoofdstuk 5:

De kettingregel.

V_1. a. h'(x) 12 d. _{f'(t) 24t} 3_3t b. _{n'(t) 7,5t} 2_{6t e. k'(p) 20p} 3_7,5p c. _g'(x) _8x3 V_2. a. f(x) 3(5 2x)  15 6x f'(x) 6 b. g(t) 2t(t 3t ) 2t  2  26t3 g'(t) 4t 18t  2 c. h(x) 2(x4 19) 2x438 h'(x) 8x3 d. k(t) (t 1)(t 1) t    21 k'(t) 2t V_3. a. df 4x 4x 3 dx b. 4x34x 4x(x 21) 0          2 4x 0 x 1 x 0 x 1 x 1 V_4. a. _f'(x) _3x2_{48x 51} b. f'(x) 0                    2 2 3x 48x 51 3(x 16x 17) 3(x 17)(x 1) 0 x 1 x 17 y 26 (minimum) en y 2890 (maximum) c. f'(1) 96            y 96x b 74 96 1 b 96 b b 22 y 96x 22 V_5. a. f'(x) 6x 270x 12 0      ABC formule x 0,17 x 11,49

b. maximum is ongeveer 1,04 en het minimum ongeveer -1449. c. f'( 1) 88 en f( 1)    49              y 88x b 49 88 1 b 88 b b 39 y 88x 39

V_6. a.   5 5 1 f(x) x x d.          5 5 5 4 1 f(x) 4 4 x x x b.      4 4 4 3 1 f(x) 3 3 x x x e.   2   1   12 f(x) 2 2 x x x c. f(x) 4 x 4 x   12 f.   1  1 4 2 2 4 4 1 1 f(x) x 2x x 1. a.      1 9 f'(1) 1 f'(2) 0,25 en f'(3) _. b.    2      2 2 1 1 f'(x) 1 x 1 x x c. ja. 2. a. b.    4   4   4 6 g'(x) 2 3x 6x x c. ja. 3.

a. De tabel met hellingen kun je in de GRM maken met y nDeriv(y , x, x)

x 1 2 3 4

4. a. b./c. h(x) x x 12   12      1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 h'(x) x x 2 x x 5. a.   7   6  7 6 1 7 g(x) x g'(x) 7x x x c.      3,7   3,7 h'(p) 2 2,7x 5,4x b. p'(x) 3  1  3 2 x 2 x d.       3  3 4  12 5  7 7 7 4 4 5 3 1 12 k(x) x k'(x) x 7x x 7x 6. a. f(x) 2₆  1₂ 2x6x2 f'(x) 12x72x3  12 2₇  ₃ x x x x b. g(t) 4 t 4t  3 g'(t) 4  1 12t2  2 12t2 2 t t c. _{h'(p) 7,2p}2,8_3,2p2,2 d.    21  1,9   121  2,9    1,9 2,9 2 4 1 7,6 k(x) 2x 4x k'(x) 1x 7,6x x x x x x 7. a. dM 1,9698 g  0,33₁ dg b. dM 0 dg        0,331  0,33 0,33 1,9698 g 1 g 0,51 g 0,51 7,8 g

c. De maximale melkproductie is ongeveer 3,84 liter extra. Bij een dagelijkse hoeveelheid preparaat van 6 gram wordt de extra melkproductie teruggebracht tot 3,77 liter. 8. a. V(0) 400 _liter h(400) 31,6 _cm. b. h 80 _0,01t2 _{400 2560} 2,5 V 80 2,5 V 6400 V 2560      2 2 0,01t 2160 t 216000   t 465  t 465 _sec.

c. 4000 400 3600  liter in 600 sec. Gemiddelde vulsnelheid is 6 liter/sec.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h'(x) 0,5 0,35 0,29 0,25 0,22 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16

f(x)

x

1

f'(x)

2 x





d. eerste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=1001001liter/sec.

laatste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=1100100 11liter/sec.

e. Op tijdstip 0 zit er 400 liter water in het reservoir. De waterhoogte is dan 31,6 cm. De waterhoogte stijgt dus 68,4 cm als er 3600 liter bij gevuld wordt. Dat is dan ₃₆₀₀68,4 0,02 cm/liter.

9.

a./b. 0,02 cm/liter en 6 liter/sec, dus 0,02 6 0,12  _cm/sec.

c. eerste 100 sec: 35,4 31,6_{500 400} 0,038 cm/liter en 1 liter/sec, dus 0,038 cm/sec. laatste 100 sec: _{4000 2900}100 85,1_  ₁₁₀₀15 0,014 _{cm/liter en 11 liter/sec, dus 0,15 cm/sec.} Dus de gemiddelde stijgsnelheid in de laatste 100 sec is groter.

d. h(t) 2,5 V(t)  2,5 (0,01t 2400) e. eerste 100 sec: h h(100) h(0) 1250 1000 0,037 t 100 0 100  _  _  _   cm/sec. laatste 100 sec: h h(600) h(500) 10000 7250 0,149 t 600 500 100         cm/sec. 10.

a. _{u(t) 3t 6 en s(u) 0,7u  } 2 _{u(p) 3p}4 _{5 en k(u)} 2

u    b. _{y u} 2_{ 8 (2x 1)} 2_8 c. _{y 2u 1 2(x  } 2_{8) 1} 11. a. u(x) x 0,5  _en y(u) 1 u  b. u(x) 1 x  _en y(u) u 0,5 

c. Door de grafiek van de standaardfunctie 0,5 naar links te verschuiven krijg je de grafiek van f. d. Als je de grafiek van de standaardfunctie 0,5 omhoog verschuift, ontstaat de grafiek van g. 12.

a. y 3u 2 3(1 2x) 2 3 6x 2         6x 1 b. y 1 2u 1 2(3x 2) 1 6x 4         6x 5 c. Het zijn beide rechte lijnen met hellingsgetal -6. d. y sinu sin( )  _x1

e. Nee, je krijgt dan y 1 sin x 

13. niet makkelijk af te lezen. a. V



10,20



V(20) V(10) 133 55 7,8 t 20 10 10  _  _  _   l/s. b. h



55,133



h(133) h(55) 56 49,5 0,08 V 133 55 78  _  _  _   cm/l. c./d. h h V 0,65 t V t  _  _ _    cm/s.

e. Op tijdstip t 10 (helling van de raaklijn): ongeveer 5,3 l/s stijgsnelheid: 0,14 5,3 0,7  _cm/s. 14. a. V



10,20



450 150 30 t 10      liter/sec





h _150,450 2 450 2 150 _0,06 V 300  _  _  cm/liter h 10,20 1,79t





   cm/sec. b. V 10;10,001 20,001_t





  liter/sec _Vh 150;150,02 0,082





   cm/liter





h 10;10,001 1,63 t  _  cm/sec. c. dV 2t dt  dh 2 1 dV 2 V  V dh₍₁₀₎ dV₍₁₀₎ dh_{(150) 20} 1 _1,6330 dt  dt dV   150  cm/l. 15. a. _{u(x) 2 3x en f(u) u  } 4 b. du 3 dx   df 4udu 3 c. df du dy 3 4u3 12u3 12(2 3x)3 dx dx du          16. a. _{u(t) 3t} 2_{8 h u} 1,5 _{h'(t) 6t 1,5u } 0,5 _{9t u 9t 3t} 2_8 b. u(x) 21x 1 f u 2 f'(x) 21 2u u  21x 1 c. u(x) 1 x  _{w u} 4 _{w'(x)  1 4u}3 _{ 4(1 x)} 3 d. _{u(t) t} 3_{7t g u} 3 _{g'(t) (3t} 2_{7) 3u} 2 _3(3t2_7)(t3_7t)2 e. u(x) 5x 12  _{k u} 6 _{k'(x) 5 6u } 5 _{30(5x 12)} 5 f. u(q) 2 q  _{p u} 5 _{p'(q)  1 5u}4 _{ 5(2 q)} 4 17. a. u(x) 2x 4  f 1₂ u 2 (2x 4) 2 u       b. f'(x) 2 2u3 _u34 _{(2x 4)}4 3         c. g(x) f(x) 7x  g'(x) f'(x) 7 4 ₃ 7 (2x 4)      

18. a. _{u(x) 3x} 1,7_{19 en p(u) u} 3 0,7 2 0,7 1,7 2 p'(x) 5,1x 3u 15,3x (3x 19) b. u(t) t2 t en w(u) 3 3u 1 u      2 2 2 2 2 6t 3 w'(t) (2t 1) 3u ( 6t 3) (t t) (t t)                c. u(x) x2 4x en h(u) 5 5u 1 u      2 2 2 2 2 5x 20x h'(x) (x 4x) 5u (x 4x)          2 2 2 5x 20x f'(x) 3 (x 4x)      19. Alex: _{f(x) (3x 5) } 2 _{(3x 5)(3x 5) 9x  } 2_{30x 25 f'(x) 18x 30 }

Mirjam: _{u(x) 3x 5 en f(u) u  } 2

f'(x) 3 2u 6(3x 5) 18x 30      20. a. g(x) 4x x 4x x  1 12 4x121 b. dg 6x 6 x12 dx  21. a. f(t) 4t3 2 4t 2 t3 12 8t221 t        b. f'(t) 20t 121 20t t 22. a. f(x) x x x 2  221 1 112 1 2 2 f'(x) 2 x 2 x x b. g(t) (t 4) t t t 4 t t      1124t21 1 1 2 2 1 1 2 2 2 g'(t) 1 t 2t 1 t t      c. p(q) 1 q 21 q    12 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 p'(q) q 2q q q         d. h(x) 4x x 4x 2  3 4x221 4x3 h'(x) 10x 121 12x2 10x x 12x 2 e. 3 12 221 3 1 k(p) p p p p p        21 1 2 3 1 1 1 2 2 3 2 3 1 1 k'(p) 2 p 2 2 p p p          f. 4 21 321 4 2 q(x) x 2x x 2x x           12 1 2 4 4 4 1 7 q'(x) 7x 7 x x x     

23. a. u(x) 3x 4 en f(u)   u b. 3x 4 0  1 3 1 3 3x 4 x 1 (1 , 0)   c. f'(x) 3 1 3 2 u 2 3x 4    

d. Dan wordt de noemer vrijwel gelijk aan 0. De helling wordt heel erg groot; de raaklijn loopt verticaal in het randpunt.

24. a. _{u(x) x} 2_{5x en g(u) u} 2 1 2x 5 g'(x) (2x 5) 2 u 2 x 5x       b. g'(x) 0 1 2 2x 5 x 2    

Maar x 2₂1 _{zit niet in het domein van g. Het domein is namelijk}  , 5 en 0,_ _  _. c. In de randpunten (-5, 0) en (0, 0) wordt de helling heel erg groot. De raaklijnen lopen daar

verticaal. 25. a. 9 x 0  b. _t2_{7t 0 c. 2x}3_{12 0} x 9 R(9, 0) 1 f'(x) 2 9 x f'(x) 0       2 t(t 7) 0 t 0 t 7 (0, 0) en ( 7, 0) 2t 7 g'(t) 2 t 7t           3 3 3 2 3 x 6 x 6 1,82 R( 6, 0) 6x h'(x) 2 2x 12      geen horizontale raaklijnen g'(t) 0 h'(x) 0

1 2 2t 7 t 3     2 6x 0 x 0   1 2

t 3 _{zit niet in het domein van g. niet in domein, dus} Dus ook geen horizontale raaklijnen. geen hor. raaklijn.

d. 3 1 0 p   2 1 p 2 1 1 p p 1 k'(p) 2 3 2p 3     1 3 p k'(p) 0

 De grafiek van k heeft geen horizontale raaklijnen.

1 3 1 3 p R( , 0) 

26.

a. In elke seconde wordt de oppervlakte van het laagje 5 cm2 _groter.

O'(t) 5 _cm2_{/sec. Klopt.}

b. _{O  R}2 _{ R}2 _O _{ R} O _ 5t

   R kan namelijk niet negatief zijn. c. _u 5t 5 _{t en R(u) u}       5 1 5 R'(t) 2 u ₂ 5t      

Als t groter wordt, wordt de noemer ook groter en de breuk dus kleiner. De straal groeit dus steeds langzamer. 27. a. _{u(x) x} 2_{6x 10 en g(u)  u} 2 2 1 2x 6 x 3 g'(x) (2x 6) 2 u _{2 x 6x 10 x 6x 10} g'(x) 0 x 3             

Er is maar één waarde voor x waarvoor de helling 0 wordt, en de grafiek een horizontale raaklijn heeft. Aan de plot kun je zien dat de grafiek een uiterste waarde heeft.

b. De uiterste waarde is g(3) 1 _. c. _x2_{6x 10 0 }

De discriminant is kleiner dan 0. De vergelijking heeft geen oplossingen. De parabool ligt in z’n geheel boven de x-as. Je kunt dus alle waarden van x invullen; domein is ¡ . De grafiek heeft geen randpunten. 28. a. dg_dx 2 2,4x_0,80,2 2 2,4x_0,80,2 2 2 3x 2x 3x 2x  _  _      0,2 0,2 5 6 5 5 6 dg ₀ dx 2,4x 2 x x ( ) 2,49        

Het maximum van g is g(2, 49) 2,23

b. g'(1) 0,4 y 0,4x b 2 0,4 1 b 0,4 b b 1,6 y 0,4x 1,6          

c. In het randpunt wordt de noemer van de afgeleide 0; de raaklijn in de randpunten loopt verticaal.

29.

a. De grafiek van g bestaat uit twee takken als _x2_{2x c 0  twee oplossingen heeft. Dit is als} 2 D 0 2 4 1 c 4 4c 0 4c 4 c 1           

Dus voor c 2 en c 0 _{bestaat de grafiek van g uit twee takken.}

b. Voor c 1 heeft de grafiek van g precies één nulpunt. De dicriminant uit opgave a moet dan gelijk zijn aan 0.

c. g'(x) 2x 2₂ 0 2 x 2x c      2x 2 0 2x 2 x 1      

dit geldt voor iedere waarde van c.

30.

a./b. H(t) 1500 6t  _{met H de hoogte in meter en t de tijd in seconde.}

Na 1 s is de hoogte 1506 m; na 2 s is de hoogte 1512 m en na 3 s is de hoogte 1518 m. c. p(H) 1013 0,095(H 1500)   _{met p de luchtdruk in millibar en H de hoogte in meter.}

Op 1506 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1012,43 mb. Op 1512 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1011,86 mb. En op 1518 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1011,29 mb.

d. p(t) 1013 0,095(1500 6t 1500) 1013 0,095 6t 1013 0,57t         e. De luchtdruk neemt per seconde af met 0,57 mb.

31.

a. Geheel langs de weg: K 7000 20 €140.000,   

Geheel door het bos: _{K 1000 5 } 2_{2 25 €134.629,}2 _{  }

Door het bos is dus goedkoper.

b. De kosten voor het stuk PC zijn dan: 4000 20 €80.000,  _{. En de kosten voor het gedeelte PH} zijn: _{1000 1} 2_{2 25 €55.902,}2 _{  . De totale kosten zijn dan ongeveer €135.902, }

c. 0 x 5000  : x moet ergens tussen C en Q liggen. d. PC: (5000 x) 20 100.000 20x    PH: ₂₀₀₀2_{x 25 25 4.000.000 x}2 _{  } 2 2 AK(x) 100.000 20x 25 4.000.000 x    e. AK'(x) 20 25 2x ₂ 20 25x ₂ 2 4.000.000 x 4.000.000 x          2 2 2 2 2 8 2 6 AK'(x) 0 25x ₂₀ 4.000.000 x 25x 20 4.000.000 x 625x 400(4.000.000 x ) 225x 16 10 x 7,1 10 x 2667            

f.

g. Er moet ongeveer 2333 meter leiding langs de weg en 3334 meter door het bos gelegd worden. De minimale aanlegkosten bedragen

€130.000,-x (in meters) AK (in euro) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -1000 50000 100000 150000

T_1. a. f'(x) 12x2 1 2 x   b. g(x) 5x 2 3 g'(x) 10x 3 10₃ x         c. _{f(x) (6 0,5x) x (6 0,5x) x     } 0,5_6x0,5_0,5x1,5 _{f'(x) 3x} 0,5_0,75x0,5 d. g(x) ( x x)(x 1) x x x x2 x g'(x) 11₂ x 1 2x 1 2 x            T_2. a. _{u(x) x} 2_{5 en f(u) u} 3 b. _{y (x )} 3 2_{ 5 x}6_5 c. _{y u} 3_{ 9 (6 3x)} 3_9 d. _{y 6 3u 6 3(x   } 3_9) T_3.

a. u(x) x 3  f(u) u 102 f'(x) 1 10u  9 10(x 3) 9 b. u(p) 2 p  2 g(u) u 3 g'(p) 4p 3u 2  12p(2 p ) 2 2 c. _{u(x) x} 2_{x h(u) }1 _u1 u             2 2 2 2 2 (2x 1) 1 2x w'(q) (2x 1) u (x x) (x x) d. u(x) 2x 3x  4 k(u) u 2 k'(x) (2 12x ) 2u 2(2 12x )(2x x )  3    3  4 e. u(t) 4t 9  m(u) 3 2u  5 m'(t) 4 10u  4 40(4t 9) 4

f. u(x) x 37 _q(u)2_2u1 u        2 2 2 3 2 6x q'(x) 3x 2u (x 7) T_4. a. 1 2 2 u(x) x 2x _f(u) _{u 1 2} 2 1 x 2 f'(x) (x 2) 2 u 2 x 2x       b. 1 2 1 2x 2x 2x(x 4) 0  x 0 x 4 (0, 0) en (4, 0)    c. f'(x) 0 x 2 0 x 2   

T_5. a. _{L 6 : O 2 6  } 2 _{72 dm}2 b. _{G 0,2 V 0,2 (0,1 6 ) 4,32 kg    } 3 _ c. _{L 14 : G 0,2 V 0,2 (0,1 14 ) 54,88 kg     } 3 _ d. _{G 0,2 V 0,2 (0,1 L ) 0,2 0,1 L    } 3 _{  } 3 _{0,02 L} 3 e. 80 0,2 V  _{400 0,1 L } 3 _{O 2 15,87 } 2 _{504 dm}2 3 V 400 dm 1 3 3 L 4000 L 4000 15,87 dm    T_6.

a. De grafiek heeft drie toppen. b. x 0, x 2 en x 4   c. _{u(x) x} 2_{4x en f(u) u} 2 2 df (2x 4) 2u 2(2x 4)(x 4x) dx      d. df(0) df(2) df(4) 0 dx dx dx  T_7. a. _{x 6,5}2_62 _2,5m.

b. Op tijdstip t 0 is de afstand 2,5 meter en wordt per seconde 1cm (= 0,01 meter) groter; u 2,5 0,01 t   c. _{h 6,5}2_u2 _{ 42,25 u} 2 d. _{h 6,5}2_{(2,5 0,01 t) } 2 _{ 42,25 (6,25 0,05t 0,0001t )  } 2 _{ 36 0,05t 0,0001t } 2 e. h 0 ABC formule 2 2 36 0,05t 0,0001t 0 36 0,05t 0,0001t 0 t 900 t 400           

Na 400 sec. komt de top van de stut op de grond. f. h'(t) 0,05 0,0002t ₂

2 36 0,05t 0,0001t

 



 

Voor t 400 wordt de noemer van de afgeleide nul, dus de afgeleide bestaat daar niet. T_8.

a. Het is een somfunctie van de kettingfunctie _{g(x) x}2_{6 en h(x) x .}

b. u(x) x en f(u) 1 u   f'(x) 1 ₂1 ₂1 u x      p q 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -2 -4