Globaal kijken bij het oplossen van vergelijkingen
Een onderzoek naar in hoeverre in de oplossingsstrategieën van de leerlingen, volgens de
categorieën van Peter Kop en Paul Drijvers (2012), terug is te zien dat bij het oplossen van
vergelijkingen gebruikgemaakt wordt van globaal kijken.
Naam: Joanne de Jager Studentnummer: 500653852 Opleiding: Master wiskunde
Begeleider(s): Daan van Smaalen en Sonia Palha Studiejaar: 2018/2019
2
Voorwoord
De afgelopen periode heb ik met veel plezier aan dit onderzoeksverslag gewerkt. Daarnaast heeft dit onderzoek geleid tot veel nieuwe inzichten voor mijn eigen praktijk.
In het bijzonder wil ik de volgende mensen bedenken. Allereerst wil ik Peter Kop bedanken voor de tijd die hij voor mij genomen heeft bij de start van het onderzoek, zijn ideeën en de materialen die hij mij gestuurd heeft. Ten tweede wil ik mijn begeleiders Sonia Palha en Daan van Smaalen bedanken voor de motiverende gesprekken, het geduld en de feedback. Daarnaast wil ik mijn leerlingen en collega’s, in het bijzonder Abdel Emrani, bedanken voor hun deelname aan het onderzoek. Tot slot wil ik Naomi van Beek bedanken voor alle support.
3
Samenvatting
Op een middelbare school in Amsterdam worden zowel intern als extern problemen ervaren met het oplossen van vergelijkingen. De doelstelling van het onderzoek is om te onderzoeken welke
oplossingsstrategieën leerlingen gebruiken om vergelijkingen op te lossen en in hoeverre de leerlingen daarbij gebruikmaken van globaal kijken.
Als leerlingen leren om globaal te kijken dan kunnen ze zich focussen op de kenmerken van de vergelijking. Bij globaal kijken zal de leerling dan de structuur van de vergelijking doorzien en op basis daarvan de meest voor de hand liggende oplossingsstrategie kiezen (Drijvers, 2012). Om cognitieve schema’s te ontwikkelen, kan in het voortgezet onderwijs aandacht worden besteed aan
categorisering. Bij het onderscheiden van de verschillende categorieën vergelijkingen speelt globaal kijken een rol (Drijvers & Kop, 2012). Drijvers en Kop (2012) hebben een structurering aangebracht waarbij er zes categorieën samengesteld zijn met per categorie een vergelijkbare oplossingsstrategie. De hoofdvraag van dit onderzoek is: In hoeverre is in de oplossingsstrategieën van leerlingen terug te zien dat ze bij het oplossen van vergelijkingen gebruikmaken van globaal kijken? De deelvraag is: In hoeverre draagt globaal kijken bij aan het succesvol oplossen van vergelijkingen? Om deze vragen te kunnen beantwoorden, zijn de vergelijkingen uit de toetsen van twee jaren geanalyseerd en is één leerling geïnterviewd. Het instrument dat voor dit onderzoek is gebruikt, is de structurering van Drijvers en Kop (2012) waarbij er zes categorieën zijn samengesteld met per categorie een
vergelijkbare oplossingsstrategie. Het gaat om de volgende categorieën: links en rechts wegdenken, terugwerken, meerdere dezelfde ‘bordjes’ zetten (substitutie), product is nul, abc-formule en eyecatchers. Bij het onderscheiden van de verschillende categorieën vergelijkingen speelt globaal kijken een rol (Drijvers & Kop, 2012).
Van de leerlingen bij wie globaal kijken geconstateerd is, heeft iets meer dan een vierde de vergelijking niet opgelost. Van de leerlingen bij wie niet globaal kijken geconstateerd is, heeft iets minder dan een vierde de vergelijking opgelost.
Uit de totale scores kan worden geconcludeerd dat ongeveer een derde van de leerlingen de vergelijkingen oplost, waarbij duidelijk is dat er globaal is gekeken. Daarnaast kan op basis van de totale scores worden geconcludeerd dat ongeveer een negende de vergelijking oplost, waarbij duidelijk is dat er niet globaal is gekeken.
Op basis van de resultaten van dit onderzoek kan enerzijds worden geconcludeerd dat bij het oplossen van vergelijkingen in de oplossingsstrategieën van leerlingen uit 4 havo in mindere mate is terug te zien dat ze gebruikmaken van globaal kijken. De vraag die hieruit voortvloeit, is of de leerlingen hiertoe niet in staat zijn of dat er voornamelijk is gefocust op standaardprocedures. Anderzijds kan worden geconcludeerd als de leerlingen wel globaal kijken dat ze de vergelijking goed oplossen.
Op basis van dit onderzoek kan ter discussie worden gesteld of de plaatsing van de vergelijkingen in de categorieën van Drijvers en Kop (2012) wel of niet ‘eenduidig’ is. Een ander discussiepunt is dat er niet van tevoren vergelijkingen zijn geselecteerd.
4 Één van de aanbevelingen is dat er op deze middelbare school in Amsterdam naast de aandacht voor basisprocedures ook nadruk wordt gelegd op het bestaan van categorieën, zodat de leerlingen de meest voor de hand liggende oplossingsstrategie kiezen. In de methode wordt er met name aandacht besteed aan de basisprocedures. Daarnaast wordt er in de methode wat aandacht besteed aan de verschillende categorieën, maar deze worden te weinig met elkaar in verband gebracht.
5
Inhoud
Voorwoord ... 2 Samenvatting ... 3 Inhoud ... 5 1 Inleiding ... 6 1.1 Context ... 6 1.2 Aanleiding ... 6 1.3 Doelstelling ... 6 2 Probleemstelling ... 7 3 Theoretisch kader ... 10 3.1 Algebraïsche vaardigheid ... 10 3.2 Globaal kijken ... 113.3 Soorten vergelijkingen en bijbehorende oplossingsstrategieën gevat in categorieën ... 11
4 Onderzoeksaanpak en onderzoeksvragen ... 13
4.1 Typering van het onderzoek ... 13
4.2 Hoofdvraag en deelvraag ... 13
4.3 Onderzoeksgroep ... 13
4.4 Onderzoeksinstrumenten ... 13
4.5 Dataverzameling, dataverwerking en data-analyse ... 14
5 Resultaten... 16 6 Conclusies en discussie ... 22 6.1 Conclusie ... 22 6.2 Discussie ... 24 7 Aanbevelingen ... 25 Literatuur ... 26 Bijlage 1 ... 27 Bijlage 2 ... 32
6
1 Inleiding
1.1 Context
De middelbare school bestaat uit ongeveer achthonderd leerlingen. Op deze school wordt op de niveaus mavo, havo en vwo onderwezen. De school is een afspiegeling van de Amsterdamse samenleving. De visie van de school is gericht op: de karakteristieken van het montessorionderwijs, wereldburgerschap en innovatie. Sinds 2014 is de school gestart met profielklassen.
Sinds 2013 geef ik wiskunde op deze middelbare school in Amsterdam. Daarnaast ben ik sinds dit schooljaar bevoegd docent onderzoek en ontwerpen. Ik geef les aan verschillende leerjaren op het niveau havo en vwo.
1.2 Aanleiding
Het oplossen van vergelijkingen is een belangrijk aspect binnen de wiskunde. Het valt mij op dat de leerlingen in de praktijk problemen ervaren met algebraïsche vaardigheden, met name het oplossen van vergelijkingen. In de lessen lossen de leerlingen bijvoorbeeld een opgave op het bord op. Vervolgens wordt deze door de docent met de klas nabesproken, waarin de docent inzichtelijk probeert te maken wat de mogelijke procedures zijn voor het oplossen van een vergelijking. Uit de nabespreking blijkt dat de leerlingen de structuur van de vergelijkingen niet doorzien. Het gaat om het volgende praktijkvoorbeeld:
2 + 𝑥
𝑥 + 3= 2𝑥
2 + 𝑥 = 2𝑥(𝑥 + 3)
Uit de methode kennen de leerlingen 𝐴𝐵= 𝐶, dus 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐶. In dit voorbeeld kan dit niet meteen toegepast worden, vanwege de term ‘2’. De leerling heeft de vergelijking niet goed gelezen, waardoor de leerling de structuur niet doorziet.
1.3 Doelstelling
Het doel van dit onderzoek is om te onderzoeken welke oplossingsstrategieën leerlingen gebruiken om vergelijkingen op te lossen en in hoeverre de leerlingen daarbij gebruikmaken van globaal kijken. De categorieën uit het onderzoek van Drijvers en Kop (2012) vormen de basis om de strategieën te ordenen. Het doel van dit onderzoek sluit aan bij het type onderzoek dat wordt uitgevoerd, namelijk een beschrijvend onderzoek.
Dit onderzoeksverslag bestaat, naast de inleiding, uit de volgende onderdelen: probleemstelling, theoretisch kader, onderzoeksopzet, resultaten, conclusies en discussie en aanbevelingen.
7
2 Probleemstelling
Vanuit verschillende perspectieven wordt er geklaagd over het rendement van het
wiskundeonderwijs. De leerlingen op de havo en het vwo worden niet voldoende voorbereid op een vervolgopleiding. Algebraïsche vaardigheden is dan ook een belangrijker onderdeel geworden in het examenprogramma, omdat leerlingen tekortschieten in vervolgopleidingen. Tegenwoordig moet je voor het starten met een vervolgopleiding aan het hbo of de universiteit ook eerst een toets afleggen, die gericht is op algebraïsche vaardigheden.
Verschillende voorbeelden uit de literatuur laten zien dat leerlingen algebraïsche ervaring missen (Drijvers & Kop, 2012). Het gaat bijvoorbeeld om het voorbeeld van Kindt (2000):
(𝑁 − 2) ∗ 180
𝑁 = −2 ∗ 180
Het voorbeeld laat zien dat leerlingen het principe van wegdelen niet goed toepassen, omdat ze niet op de rekenvolgorde letten. Een dergelijke fout wordt ook gemaakt in het voorbeeld dat in de aanleiding staat beschreven.
Daarnaast bevestigt een aantal collega’s dat leerlingen in de praktijk problemen ervaren met algebraïsche vaardigheden. De collega’s zijn door de onderzoeker in februari gemaild en hun antwoorden hebben ze mondeling toegelicht. A. zegt: ‘’Ik herken het probleem. Ik wijs de leerlingen erop en reken bij toetsen waar alleen technische vaardigheden worden getoetst nul punten bij een goede uitkomst als de leerlingen bijvoorbeeld haakjes wegwerken waar dat niet logisch is. Ik doe dat alleen bij technische vaardighedentoetsen.’’ B. geeft aan dat hij het probleem in zijn lessen erg herkent en dat hij daarom probeert de leerlingen te wijzen op standaardvormen, bijvoorbeeld:
𝐴 𝐵=
𝐶
𝐷, dus 𝐴 ∙ 𝐷 = 𝐵 ∙ 𝐶. C. herkent het probleem ook en geeft als voorbeeld het toepassen van de
abc-formule waar dit niet nodig is en foutgevoelig en omslachtig is, terwijl ontbinden in factoren veel toepasselijker is. Als ze dan vraagt aan de leerlingen waarom ze dat doen, geven de leerlingen aan dat volgens hen de abc-formule makkelijker is.
Ook bij de leerlingen wordt dit probleem zichtbaar, zie figuur 1. In figuur 1 zijn twee verschillende uitwerkingen uit de toetsen weergegeven, die bij dit onderzoek gebruikt zijn. Leerling A doorziet de structuur van een opgave, leerling B niet. Leerlingen zetten te snel in op de ‘trucjes’ die ze kennen en nemen vaak niet de tijd om de structuur van de opgave te doorzien, waardoor ze uiteindelijk meer tijd kwijt zijn en minder inzicht getoond hebben.
Leerling A: (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 5 ∨ 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 8 ∨ 𝑥 = −2 Leerling B: (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 2𝑥 − 5 ∨ 2𝑥2− 𝑥 − 10 −𝑥2+ 6𝑥 + 16 = 0 𝑥 =−6 + √36 + 64 −2𝑎 ∨ 𝑥 =−6 − √36 + 64 −2𝑎 𝑥 = 8 ∨ 𝑥 = −2
8 Bovendien wordt dit probleem bij het bespreken van de onderstaande drie opgaven met twee leerlingen uit 5 havo in februari zichtbaar.
(𝑥2− 4)(𝑥 + 2)(𝑥 + 7) = 0
(𝑥 + 5)(𝑥 − 6) = (2𝑥 − 7)(𝑥 + 5) 23𝑥+6 = 32
Opvallend was dat ze direct op de visuele kenmerken van expressies reageerden. Bij de eerste twee opgaven is gevraagd hoe de leerlingen deze opgaven zouden oplossen. Beiden zeiden hierop: ‘’Ik ga eerst de haakjes wegwerken.’’ Daarnaast gaven ze bij de eerste opgave aan dat ze die niet
algebraïsch konden oplossen, omdat bij het wegwerken van haakjes 𝑥4 ontstaat. De laatste opgave wilden ze met behulp van logaritme oplossen. Het is eenvoudiger als de leerlingen zien dat 32 gelijk is aan 24.
In de methode Moderne wiskunde worden algebraïsche vaardigheden in verschillende hoofdstukken aangeboden. Daardoor ontstaat er een verbrokkeld beeld bij de leerlingen en het onderliggende verband en de samenhang wordt niet gezien. Dit draagt niet bij aan de opbouw van cognitieve schema’s (Van Dormolen, 1974). Voor de vorming van een veelzijdig cognitief schema is het wenselijk dat aan de schoolboeken een expliciete schematisering van de verschillende typen vergelijkingen en de bijbehorende oplossingsstrategieën wordt toegevoegd. Dit ontbreekt nu, waardoor er van een leerling wordt verwacht dat hij dit zelf integreert in een samenhangend schema (Drijvers & Kop, 2012).
In de syllabus centraal examen 2018 wiskunde A en B staat dat aspecten van algebraïsche
vaardigheden zijn: aanpak, globale strategie en het herkennen van de structuren van een expressie. In de syllabus staan algemene vormen, zie figuur 2, waarmee de leerlingen vergelijkingen moeten kunnen oplossen.
Op dezelfde manier worden de opgaven ook in de methode ingedeeld. Deze manier hoeft niet te leiden tot het doorzien van een structuur oftewel globaal kijken, omdat de leerlingen zes algemene vormen kennen waarmee ze vergelijkingen als het ware oplossen met een ‘trucje’, zie figuur 3. Het gevaar van verkokering ligt op de loer, omdat voor elk type vergelijking een aparte strategie wordt aangeleerd (Van Stiphout & Bruin-Muurling, 2018).
9 Syllabus, type 4: 𝑥 − 3 2𝑥 − 6= 3𝑥 𝑥 + 7 𝑥 ≠ 3 (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) = 3𝑥(2𝑥 − 6) 𝑥2+ 4𝑥 − 21 = 6𝑥2− 18𝑥 −5𝑥2+ 22𝑥 − 21 = 0 𝑥 =−22 + √22 2+ 20 ∙ 21 −10 ∨ 𝑥 =−22 − √22 2+ 20 ∙ 21 −10 𝑥 =−22 + 8 −10 ∨ 𝑥 = −22 − 8 −10 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 12 5 dus 𝑥 = 1 2 5 Globaal kijken: 𝑥 − 3 2𝑥 − 6= 3𝑥 𝑥 + 7 𝑥 ≠ 3 𝑥 − 3 2(𝑥 − 3)= 3𝑥 𝑥 + 7 𝑥 + 7 = 6𝑥 7 = 5𝑥 𝑥 = 12 5
Figuur 3. Uitwerking volgens syllabus, type 4 tegenover globaal kijken
Zowel in de literatuur als uit de ervaringen van collega’s en leerlingen wordt het probleem
onderkend. Ook wordt vanuit het vervolgonderwijs aangegeven dat de leerlingen die binnenkomen de algebraïsche vaardigheden onvoldoende beheersen.
Op basis van de probleemstelling is de voorlopige onderzoeksvraag:
In hoeverre is in de oplossingsstrategieën van leerlingen terug te zien dat ze bij het oplossen van vergelijkingen gebruikmaken van globaal kijken?
10
3 Theoretisch kader
3.1 Algebraïsche vaardigheid
Algebraïsche vaardigheid bestaat uit twee aspecten: basisvaardigheid en symbol sense (Drijvers & Kop, 2012), zie figuur 4. Basisvaardigheid omvat: procedureel werken, locaal kijken en algebraïsch rekenen. Binnen scholen ligt de nadruk op het oefenen van de algebraïsche basisvaardigheden, zoals haakjes wegwerken en het ontbinden in factoren. Door het oefenen wordt deze vaardigheid wel ontwikkeld, wat enerzijds van belang is. Anderzijds bestaat het risico dat de toepassing van die vaardigheid betekenisloos wordt (Drijvers & Kop, 2012). Symbol sense bestaat uit:
1. Strategische vaardigheden en heuristieken om tot een probleemaanpak te komen, het vermogen om daarop overzicht te houden, om daarbinnen handige keuzes te maken of, als een strategie vastloopt, om een andere invalshoek te zoeken.
2. Het vermogen om globaal naar expressies en formules te kijken, om de structuur van expressies en subexpressies te herkennen, om de betekenis van symbolen in de context te zien.
3. Het vermogen tot algebraïsch redeneren. Denk aan veelal kwalitatieve beschouwingen over termen en factoren in expressies, aan symmetrieoverwegingen of redeneringen met randgevallen (Drijvers & Kop, 2012, p. 66).
Figuur 4. Twee kanten van algebraïsche vaardigheid (Drijvers & Kop, 2012)
In het voorbeeld in figuur 3 syllabus, type 4 wordt de vergelijking opgelost door de
basisvaardigheden toe te passen: links en rechts vermenigvuldigen, haakjes wegwerken, herleiden op nul en de abc-formule. In de rechterkolom in figuur 3 globaal kijken wordt de vergelijking opgelost, doordat gezien wordt dat de noemer twee keer de teller is. Door dit inzicht is de uitwerking
eenvoudiger en minder foutgevoelig. Dit voorbeeld toont het vermogen om globaal naar expressies en formules te kijken, een onderdeel van symbol sense.
Volgens Drijvers en Kop (2012) staan basisvaardigheid en symbol sense niet tegenover en los van elkaar, maar zijn complementair aan elkaar.
Om het cognitieve schema bij leerlingen te ontwikkelen, wordt in dit onderzoek één aspect bekeken: de vaardigheid globaal te kijken en zo eerder een passende oplossingsmethode toe te passen, in plaats van betekenisloos een basisprocedure toe te passen (Van Schendel, 2017).
11
3.2 Globaal kijken
Algebra is meer dan het beheersen van basisvaardigheden (Drijvers, 2006). Het gaat bijvoorbeeld, zoals Drijvers (2006) beschrijft, om: ‘’globaal kijken naar expressies, formules ‘lezen’ en daarin relevante en minder relevante kenmerken onderscheiden’’. Volgens Friedlander en Arcavi (2012) gaat het bij globaal kijken om het vermogen meervoudige expressies te zien als een geheel en niet als een verzameling componenten (zoals termen, factoren en variabelen).
Globaal kijken betekent in de volgende opgave dat 2𝑧 + 1 als geheel wordt gezien. Hoe groot is 2𝑧+1
2 als 5 ∙ (2𝑧 + 1) = 10 (Wagner, Rachlin & Jensen, 1984)
Leerlingen zullen echter vaak haakjes wegwerken en vervolgens berekenen en substitueren in de eerste vergelijking.
Volgens Arcavi, Drijvers en Stacey (2017) is het gevaar van focussen op standaardprocedures, een belangrijk onderdeel van algebra, dat het inzicht kan belemmeren van de onderliggende algebraïsche betekenis en het flexibel oplossen. Een docent heeft veertienjarige leerlingen de volgende
vergelijking laten oplossen: (𝑥 − 3)2+ 5 = 30. De leerlingen gingen haakjes wegwerken, herleiden op nul en de abc-formule toepassen. Dit is een zeer foutgevoelige procedure. Toen dezelfde
vergelijking aan twaalfjarige leerlingen werd voorgelegd, zagen ze gelijk dat (𝑥 − 3)2= 25 moest zijn. Dit voorbeeld illustreert de mogelijke spanning tussen automatisatie en inzicht. De
waarschuwing van inzicht dat wordt belemmerd door automatismen kan voorkomen worden door opgaven te geven die niet alleen maar een beroep doen op de algebraïsche vaardigheden, maar de leerlingen uitlokt tot alertheid, creativiteit en denken (Arcavi, Drijvers & Stacey, 2017).
Als leerlingen leren om globaal te kijken dan kunnen ze zich focussen op de kenmerken van de vergelijking. Bij globaal kijken zal de leerling dan de structuur van de vergelijking doorzien en op basis daarvan de meest voor de hand liggende oplossingsstrategie kiezen (Drijvers, 2012).
3.3 Soorten vergelijkingen en bijbehorende oplossingsstrategieën gevat in categorieën
De verkokering, zoals genoemd in de probleemstelling, komt voort uit het aanleren van aparte strategieën voor elk type opgave (Van Stiphout & Bruin-Muurling, 2018). Wiskundig inzicht kan worden ontwikkeld door leerlingen de verschillen en overeenkomsten te laten zien van wiskundige problemen waarbij vergelijkbare en passende oplossingsstrategieën toegepast kunnen worden. Om cognitieve schema’s te ontwikkelen, kan in het voortgezet onderwijs aandacht worden besteed aan categorisering. Bij het onderscheiden van de verschillende categorieën vergelijkingen speelt globaal kijken een rol (Drijvers & Kop, 2012).
Drijvers en Kop (2012) hebben een structurering aangebracht waarbij er zes categorieën samengesteld zijn met per categorie een vergelijkbare oplossingsstrategie, zie figuur 5.
12 Categorie 1: links en rechts wegdenken
Categorie 2: terugwerken
Categorie 3: meerdere dezelfde ‘bordjes’ zetten, substitutie
Categorie 4: product is 0
Categorie 5: abc-formule
Categorie 6: eyecatchers
Figuur 5. Soorten vergelijkingen in zes categorieën (Drijvers & Kop, 2012)
In de eerste categorie, links en rechts wegdenken, vallen bijvoorbeeld vergelijkingen van de vorm 𝐴2 = 𝐵2, dus 𝐴 = 𝐵 𝑜𝑓 𝐴 = −𝐵, 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐶, dus 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 𝐶, 𝑔𝐴 = 𝑔𝐵, dus 𝐴 = 𝐵, log(𝐴) = log(𝐵), dus 𝐴 = 𝐵. In de tweede categorie, terugwerken, zit één onbekende. De vergelijkingen in deze categorie kunnen opgelost worden volgens de in de Moderne wiskunde beschreven methode: ‘bordjes leggen’. In categorie 3, meerdere dezelfde ‘bordjes’ zetten, vallen de vergelijkingen die worden opgelost door middel van substitutie, waardoor de vergelijking wordt vereenvoudigd. In categorie 4, product is nul, vallen vergelijkingen die bestaan uit het product van een aantal factoren en die gelijk is aan nul. In deze categorie vallen ook vergelijkingen die opgelost kunnen worden door indien nodig eerst te herleiden op nul en dan te ontbinden in factoren. In categorie 5, abc-formule, vallen de vergelijkingen die niet opgelost kunnen worden door te ontbinden in factoren, maar vergelijkingen waarbij de abc-formule toegepast moet worden. In categorie 6, eyecatchers, vallen vergelijkingen die niet opgelost kunnen worden volgens categorie 1 t/m 5, maar waarbij de
verschijningsvorm meteen oproept om bepaalde regels toe te passen. Het gaat bijvoorbeeld om de volgende vergelijkingen: 𝐴
𝐵= 𝐶
𝐷, dus 𝐴 ∙ 𝐷 = 𝐵 ∙ 𝐶, log(𝐴) + log(𝐵) = log(𝐶), dus 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶, √𝐴 =
13
4 Onderzoeksaanpak en onderzoeksvragen
In dit hoofdstuk worden de typering van het onderzoek, de hoofdvraag en deelvraag, de onderzoeksgroep, de onderzoeksinstrumenten en de dataverzameling; dataverwerking en data-analyse beschreven.
4.1 Typering van het onderzoek
Dit onderzoek is beschrijvend van aard. Volgens de interventiecyclus is het een diagnostisch onderzoek.
In dit onderzoek zijn er kwalitatieve gegevens verzameld. De kwalitatieve data zijn in dit onderzoek gestructureerd, omdat met behulp van de literatuur een schema is opgesteld en de data gecodeerd zijn op basis van dat schema (Swet & Munneke, 2017). Deze kwalitatieve data komen voort uit de gemaakte toetsen uit verschillende schooljaren en een interview.
4.2 Hoofdvraag en deelvraag
De hoofdvraag van dit onderzoek is: In hoeverre is in de oplossingsstrategieën van leerlingen terug te zien dat ze bij het oplossen van vergelijkingen gebruikmaken van globaal kijken?
De deelvraag is: In hoeverre draagt globaal kijken bij aan het succesvol oplossen van vergelijkingen?
4.3 Onderzoeksgroep
In totaal hebben er 38 leerlingen deelgenomen aan het onderzoek. 35 leerlingen komen uit twee verschillende 4 havo-klassen. Drie leerlingen hebben deelgenomen aan het onderzoek, omdat ze overstapten van 5 vwo naar 5 havo. Van deze 38 leerlingen zijn de toetsen bekeken. Deze leerlingen waren bij de start vijftien of zestien jaar. De klassen kregen les van twee docenten, onder wie de onderzoeker. Één van de leerlingen uit 4 havo is geïnterviewd.
In dit onderzoek wordt de anonimiteit van de respondenten gewaarborgd door de namen van de leerlingen niet te noemen in het onderzoeksverslag.
Validiteit en betrouwbaarheid zijn van belang om vooraf en achteraf te kunnen bepalen wat de kwaliteit is van het onderzoek (Swet & Munneke, 2017). De validiteit en betrouwbaarheid van dit onderzoek zijn vergroot door de categorieën van Drijvers en Kop (2012) te gebruiken. Daarnaast wordt de betrouwbaarheid vergroot door de toetsen van twee klassen van twee docenten te bekijken. Ook is de validiteit vergroot door de niet gemaakte opgaven niet mee te nemen in de resultaten. Bovendien zijn de resultaten van de leerlingen die meerdere opgaven niet hebben opgelost niet meegenomen.
4.4 Onderzoeksinstrumenten
Het instrument dat voor dit onderzoek is gebruikt, is de structurering van Drijvers en Kop (2012), waarbij er zes categorieën zijn samengesteld met per categorie een vergelijkbare oplossingsstrategie. Het gaat om de volgende categorieën: links en rechts wegdenken, terugwerken, meerdere dezelfde ‘bordjes’ zetten (substitutie), product is nul, abc-formule en eyecatchers. Bij het onderscheiden van de verschillende categorieën vergelijkingen speelt globaal kijken een rol (Drijvers & Kop, 2012).
14 Voor het interview zijn zes vergelijkingen uit meerdere toetsen van de leerling gebruikt. Van deze vergelijkingen kan in één opslag worden gezien in welke categorie deze geplaatst kunnen worden. Twee vergelijkingen zijn buiten beschouwing gelaten, omdat het voor deze vergelijkingen niet geldt. Het gaat om de volgende vergelijkingen:
1.
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)2. 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥
3. (−6𝑥 + 4)
2= 64
4. (2 − 4𝑎)
2= (2𝑎 + 8)
25. √96(4𝑥 − 5)(2𝑥 − 10) = 0
6. (𝑥 + 3√2) (
14𝑥 − 5) (2𝑥 − 7)
2= 0
4.5 Dataverzameling, dataverwerking en data-analyse
Allereerst zijn door de onderzoeker de vergelijkingen uit de toetsen van twee verschillende 4 havo-klassen gehaald. Vervolgens zijn deze vergelijkingen geplaatst in de zes categorieën van Drijvers en Kop (2012). Daarna is er geanalyseerd of de leerlingen de bijbehorende oplossingsstrategie toegepast hebben. De uitwerkingen van de leerlingen zijn geanalyseerd en in vier groepen verdeeld. De
resultaten zijn in een figuur verwerkt. In groep A is de opgave opgelost en er is globaal gekeken. In groep B is de vergelijking opgelost, maar niet met de oplossingsstrategie, die hoort bij de categorie waar de vergelijking inzit. De opgave is opgelost, maar er is niet globaal gekeken. In groep C is de passende oplossingsstrategie gekozen, die hoort bij de categorie waar de vergelijking inzit, maar de vergelijking is niet opgelost. De opgave is niet opgelost, maar er is wel globaal gekeken. In groep D is de opgave niet opgelost en er is niet globaal gekeken. In figuur 6 is de uitwerking van de vergelijking 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥 in de vier verschillende groepen te zien.
A C
B D
15 Naast de analyse van de toetsen, is er ook een leerling geïnterviewd. Deze leerling scoort over het algemeen goed bij wiskunde. De uitwerkingen van de opgaven van deze leerling zaten voornamelijk in groep B: de vergelijking is opgelost, maar niet met de oplossingsstrategie, die hoort bij de
categorie waar de vergelijking inzit. De keuze voor een leerling die voornamelijk opgaves oplost volgens groep B is om vanuit het perspectief van de leerling te kijken waarom zij deze keuze maakt en de vergelijking niet oplost volgens groep A. In dit interview kreeg de leerling vergelijkingen voorgelegd. Hierbij is gevraagd naar de oplossingsstrategie, zonder de opgave op te lossen. De analyse van de data wordt beschreven in het volgende hoofdstuk.
16
5 Resultaten
In dit hoofdstuk wordt een antwoord gegeven op de volgende hoofdvraag: In hoeverre is in de oplossingsstrategieën van leerlingen terug te zien dat ze bij het oplossen van vergelijkingen
gebruikmaken van globaal kijken? en de volgende deelvraag: In hoeverre draagt globaal kijken bij aan het succesvol oplossen van vergelijkingen? De resultaten worden besproken aan de hand van tabel 1 en 2, waarin de uitwerkingen van de zes categorieën vergelijkingen in vier groepen staan
weergegeven. Daarnaast worden de resultaten van een interview met een leerling beschreven op basis van de opdracht waarin de leerling laat zien op welke manier zij de vergelijkingen oplost. In bijlage 1 is de verdeling in vier groepen per vergelijking per leerling weergegeven.
Tabel 1. Uitwerkingen van de zes categorieën vergelijkingen in vier groepen per vergelijking
A. Opgave is opgelost, er is sprake van globaal kijken B. Opgave is opgelost, er is geen sprake van globaal kijken C. Opgave is niet opgelost, er is sprake van globaal kijken
D. Opgave is niet opgelost, er is geen sprake van globaal kijken A B C D
1 1 (4 − 𝑝)2= (5𝑝 + 16)2 3 3 10 2 2 (2𝑥 + 3)2= 2𝑥 + 3 0 6 2 7 3 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥 2 4 (2𝑥 − 5)(3𝑥 + 2) = (5 − 2𝑥)(3𝑥 − 2) 1 0 0 10 5 (−6𝑥 + 4)2= 64 11 0 1 2 6 (2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 9 2 2 1 7 (2 − 4𝑎)2 = (2𝑎 + 8)2 4 0 7 3 2 8 2√4𝑥 − 5 = 6 3 6 0 3 9 1 (4𝑥 + 3)2= 1 2 0 0 2 7 10 √1 + 𝑥2= 2 2 3 1 5 5 (−6𝑥 + 4)2= 64 3 11 (2𝑥 + 1)(3 − 2𝑥) = −12 12 4𝑥4− 25𝑥2= 0 5 1 3 3 13 (𝑥2− 11)(𝑥2+ 4) = 0 0 1 1 10 2 (2𝑥 + 3)2= 2𝑥 + 3
17 14 (1 2𝑥 + 2) 2 − 3 (1 2𝑥 + 2) + 2 = 0 0 2 1 3 4 11 (2𝑥 + 1)(3 − 2𝑥) = −12 1 12 4𝑥4− 25𝑥2= 0 13 (𝑥2− 11)(𝑥2+ 4) = 0 16 𝑥2− 3𝑥 = 2𝑥 7 3 0 2 17 √96(4𝑥 − 5)(2𝑥 − 10) = 0 12 1 0 10 3 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥 26 0 3 9 18 (2𝑥 + 2)(−0,5𝑥 + 1) = −4 3 2 2 7 19 (𝑥 + 3√2) (1 4𝑥 − 5) (2𝑥 − 7) 2 = 0 3 0 1 8 20 (2𝑥 + 2)(−0,5𝑥 + 1) = −70 5 5 1 3 5 11 (2𝑥 + 1)(3 − 2𝑥) = −12 7 0 1 4 15 𝑥(2𝑥 + 3) = 1 − 4(2𝑥 + 4) 3 0 0 9 6 21 2𝑥 − 3 𝑥 + 4 = 𝑥 − 6 9 3 4 2 22 1 − 𝑥 1 + 𝑥= 𝑥 − 4 2𝑥 + 6 3 0 3 6 23 1 2 + 2√𝑥= √𝑥 2𝑥 + 8 1 0 2 6 9 1 (4𝑥 + 3)2= 1 2
10
√1 + 𝑥2= 2In tabel 1 is per vergelijking per categorie zichtbaar hoe de leerlingen deze hebben opgelost. Dit kan op één van de vier manieren zijn: A, B, C en D. A betekent dat de opgave is opgelost en er wel globaal is gekeken. B betekent dat de opgave is opgelost en dat er niet globaal is gekeken. C betekent dat de opgave niet is opgelost en er wel globaal is gekeken. D betekent dat de opgave niet is opgelost en dat er niet globaal is gekeken.
De leerlingen die meerdere opgaven niet oplosten, zijn niet meegenomen in tabel 1, omdat deze resultaten alleen de aantallen in groep D verhogen. Sommige opgaven staan in meerdere toetsen,
18 bijvoorbeeld in een herkansing of in drie verschillende toetsen, waardoor de totalen kunnen
verschillen.
In tabel 1 staat bij een aantal vergelijkingen geen resultaten. Vergelijking 5 past in categorie 1 en 2. Of er nu het kwadraat wordt weggedacht of er een bordje wordt gelegd, in beide categorieën is de vergelijking oplosbaar volgens groep A. Zo past ook vergelijking 2 in categorie 1 en 3. De resultaten zijn één keer meegenomen. Daarom is bijvoorbeeld vergelijking 5 in categorie 2 leeg. Bij vergelijking 3 in categorie 1 staan bij groep A twee leerlingen, zie figuur 6. De overige resultaten zijn
overgenomen in categorie 4.
In de eerste categorie, links en rechts wegdenken, laat voorbeeld 6 zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Negen leerlingen, groep A, hebben gezien dat factor (𝑥 + 2) aan beide zijden staat en dat deze vergelijking van de vorm 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐶 is. De leerlingen hebben de opgave opgelost en er was sprake van globaal kijken. Twee leerlingen, groep B, hebben de haakjes weggewerkt en de vergelijking opgelost, zie figuur 7. Twee leerlingen, groep C, hebben een rekenfout gemaakt: (𝑥 + 2) = 0, dus 𝑥 = 2. Ze vertonen wel globaal kijken, maar lossen de vergelijking niet in het geheel op. Één leerling, groep D, heeft geen passende oplossingsmethode gekozen en heeft de vergelijking onjuist opgelost.
Figuur 7. Voorbeelduitwerking leerling voorbeeld 6 groep B
In de tweede categorie, terugwerken, laat voorbeeld 8 zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Drie leerlingen, groep A, hebben de vergelijking met behulp van ‘bordjes leggen’ opgelost. Zes leerlingen, groep B, hebben de vergelijking opgelost volgens categorie 6, eyecatchers. Drie leerlingen, groep D, zijn vastgelopen en hebben de vergelijking onjuist opgelost.
In de derde categorie, meerdere dezelfde ‘bordjes’ zetten, laat voorbeeld 14 zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Twee leerlingen, groep B, hebben de vergelijking opgelost door de haakjes weg te werken. Er is één leerling, groep C, die heeft gezien dat er substitutie toegepast moest worden oftewel globaal kijken, maar is vastgelopen bij het uitwerken van de vergelijking. Drie leerlingen, groep D, hebben haakjes weggewerkt en hebben de vergelijking onjuist opgelost.
In de vierde categorie, product is nul of de vergelijking zo herleiden tot product is nul laat voorbeeld 17 zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Twaalf leerlingen, groep A, hebben de vergelijking opgelost. Één leerling, groep B, heeft haakjes
weggewerkt, de abc-formule toegepast en de vergelijking opgelost. Tien leerlingen, groep D, hebben de vergelijking proberen op te lossen door haakjes weg te werken, maar zijn daarin vastgelopen. In de vijfde categorie, abc-formule, laat voorbeeld 15 zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Drie leerlingen, groep A, hebben de vergelijking opgelost
19 met behulp van haakjes wegwerken, herleiden op nul en de abc-formule. Negen leerlingen, groep D, hebben fouten gemaakt in de basisprocedures.
Voorbeeld 11 kan in drie categorieën worden geplaatst. Allereerst in categorie 3, waar geen enkele leerling de vergelijking heeft opgelost door middel van substitutie, zie figuur 8. Ten tweede in categorie 4, waar de vergelijking kan worden opgelost door ontbinden in factoren, zie figuur 8. Voorbeeld 11 is door de onderzoeker in categorie 5 geplaatst. In deze categorie hebben zeven leerlingen, groep A, de vergelijking opgelost door haakjes wegwerken, herleiden op nul en de abc-formule. Één leerling, groep C, heeft dezelfde procedure toegepast, maar heeft een fout gemaakt bij de abc-formule. Vier leerlingen, groep D, hebben fouten gemaakt bij het wegwerken van haakjes.
(2𝑥 + 1)(3 − 2𝑥) = −12 (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = 12 (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) = 12 6 ∙ 2 = 12 ∨ −2 ∙ −6 = 12 𝑎 = 5 ∨ 𝑎 = −3 2𝑥 = 5 ∨ 2𝑥 = −3 𝑥 = 21 2∨ 𝑥 = −1 1 2 (2𝑥 + 1)(3 − 2𝑥) = −12 4𝑥2− 4𝑥 − 15 = 0 𝑥2− 𝑥 −15 4 = 0 (𝑥 −5 2) (𝑥 + 3 2) = 0 𝑥 = 21 2∨ 𝑥 = −1 1 2
Figuur 8. Voorbeelduitwerkingen vergelijking 11 volgens categorie 3 en 4
Bij de meeste vergelijkingen in categorie 6, eyecatchers, is de eerste stap dat er wordt gekeken hoe de vergelijking opgelost moet worden. Daarna moet de vergelijking worden omgewerkt, totdat de vergelijking in één van de andere categorieën past. Voorbeeld 21 laat zien dat de leerlingen deze vergelijking op verschillende manieren hebben aangepakt. Negen leerlingen, groep A, hebben gezien dat 𝐴
𝐵= 𝐶, dus 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐶. Vergelijking 21 is na de formule herleid tot een vergelijking van categorie
4, zie figuur 9. Drie leerlingen, groep B, hebben de vergelijking 𝑥2− 4𝑥 − 21 = 0 opgelost met de abc-formule. Vier leerlingen, groep C, hebben een rekenfout gemaakt. Twee leerlingen, groep D, zijn vastgelopen en hebben de vergelijking onjuist opgelost. Opvallend daarbij was dat een aantal leerlingen bij het oplossen van de vergelijking 𝑥 − 6(𝑥 + 4) schreef in plaats van (𝑥 − 6)(𝑥 + 4).
2𝑥 − 3 𝑥 + 4 = 𝑥 − 6 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 4) 2𝑥 − 3 = 𝑥2− 2𝑥 − 24 𝑥2− 4𝑥 − 21 = 0 (𝑥 − 7)(𝑥 + 3) = 0 𝑥 = 7 𝑜𝑓 𝑥 = −3
20 Tabel 2. Totaaloverzicht van de uitwerkingen van de zes categorieën vergelijkingen in vier groepen
A B C D 1 30 11 22 25 2 5 9 2 15 3 5 4 4 16 4 57 11 7 39 5 10 0 1 13 6 13 3 9 14 Totaal 120 38 45 122 A+C 165 B+D 160 Goed 158 Fout 167
In tabel 2 is het totaaloverzicht van de uitwerkingen per categorie per groep weergegeven. Aan het eind is weergegeven in hoeverre er globaal is gekeken bij het oplossen van vergelijkingen. Bij 165 vergelijkingen, groep A en C, is er wel globaal gekeken. Bij 160 vergelijkingen, groep B en D, is er niet globaal gekeken. Daarnaast zijn er 158 vergelijkingen opgelost en 167 vergelijkingen zijn niet
opgelost.
In het interview en de bijbehorende opdracht kreeg de leerling de volgende vergelijkingen voorgelegd:
1. (2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
(6)
2. 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥
(3)
3. (−6𝑥 + 4)
2= 64
(5)
4. (2 − 4𝑎)
2= (2𝑎 + 8)
2(7)
5. √96(4𝑥 − 5)(2𝑥 − 10) = 0
(17)
6. (𝑥 + 3√2) (
14𝑥 − 5) (2𝑥 − 7)
2= 0
(19)
21 Op de vraag hoe de leerling vergelijking 1 en 2 oplost, zegt ze: ‘’Ik zou eerst haakjes wegwerken en daarna aan elkaar gelijkstellen. Ik ben gewend om altijd haakjes weg te werken.’’ Bij de derde vergelijking ziet ze gelijk door het kwadraat dat (
−6𝑥 + 4)
gelijk aan 8 moet zijn. Bij de vierde vergelijking geeft ze aan dat ze de haakjes weg zou werken. Bij de vijfde en zesde vergelijking zou ze geen haakjes wegwerken: ‘’Dat zou echt dom zijn, dat iets is nul of iets is nul.’’Als de leerling eerst gevraagd wordt hoe ze een vergelijking oplost, dan vindt ze het ‘dom’ van zichzelf als ze niet product is nul zou doen. Figuur 10 laat echter zien dat de leerling tijdens de toets automatisch de haakjes wegwerkt. Van de zeventien leerlingen die de vergelijking probeerden op te lossen door haakjes weg te werken, is zij de enige die de vergelijking heeft opgelost. Twaalf
leerlingen hebben de vergelijking opgelost doordat ze de vergelijking volgens categorie 4 hebben opgelost.
Figuur 10. Uitwerking vergelijking 17
Uit het interview met de leerling en de opdracht waarin de leerling laat zien op welke manier zij de vergelijkingen oplost, kwam naar voren dat het voor deze leerling niet vanzelfsprekend is om globaal te kijken, ondanks dat ze beschikt over goede oplossingsstrategieën. De nadruk ligt voor de leerling op de het algebraïsch rekenen en niet op het globaal kijken naar vergelijkingen.
22
6 Conclusies en discussie
In dit hoofdstuk wordt in de conclusie de hoofdvraag en deelvraag beantwoord. In de discussie wordt aandacht besteed aan de beperkingen van dit onderzoek.
6.1 Conclusie
De hoofdvraag van dit onderzoek is: In hoeverre is in de oplossingsstrategieën van leerlingen terug te zien dat ze bij het oplossen van vergelijkingen gebruikmaken van globaal kijken? De deelvraag van dit onderzoek is: In hoeverre draagt globaal kijken bij aan het succesvol oplossen van vergelijkingen? Om antwoord te geven op deze hoofd- en deelvraag zal allereerst per categorie een conclusie worden gegeven. Vervolgens volgt de eindconclusie.
Op basis van de eerste categorie blijkt dat van de 52 leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben dertig leerlingen de vergelijking opgelost. Van de 36 leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben elf leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat globaal kijken positief bijdraagt aan het oplossen van vergelijkingen.
Uit de tweede categorie komt naar voren dat van de zeven leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben vijf leerlingen de vergelijking opgelost. Van de 24 leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben negen leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de
leerlingen de vergelijkingen voornamelijk oplossen met de basisprocedures die ze leren in de methode, bijvoorbeeld haakjes wegwerken en wortels kwadrateren.
Op basis van de derde categorie blijkt dat van de negen leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben vijf leerlingen de vergelijking opgelost. Van de twintig leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben vier leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de basisprocedure substitutie niet voldoende wordt beheerst.
Uit de vierde categorie komt naar voren dat van de 64 leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben 57 leerlingen de vergelijking opgelost. Van de vijftig leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben elf leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat basisvaardigheden om de formule te herleiden tot het in de vorm is van categorie 4 is, worden niet beheerst of doorzien. Een andere fout die wordt gemaakt, is als er een vergelijking in de vorm van 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 0 𝐴 = 0, 𝐵 = 0 of 𝐶 = 0 staat dat de leerlingen daar haakjes wegwerken en de vergelijking niet meer op kunnen lossen. Dit wordt voornamelijk in vergelijking 17 en 19 zichtbaar.
Op basis van de vijfde categorie blijkt dat van de elf leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben tien leerlingen de vergelijking opgelost. Van de dertien leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben nul leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de leerlingen bij een complexe opgave zien dat ze de abc-formule moeten gebruiken.
Uit de zesde categorie komt naar voren dat van de 22 leerlingen die globaal hebben gekeken, hebben dertien leerlingen de vergelijking opgelost. Van de zeventien leerlingen die niet globaal hebben gekeken, hebben drie leerlingen de vergelijking opgelost. Hieruit kan worden geconcludeerd dat het een complexe categorie is, omdat er in verschillende stappen fouten gemaakt kunnen worden.
23
Totaaloverzicht
opgelost A opgelost B niet opgelost C niet opgelost D
Niet globaal kijken
opgelost niet opgelost
Globaal kijken
opgelost niet opgelost
Op basis van het interview met de leerling en de toets die ze heeft gemaakt, is het opvallend dat ze in het interview op de vraag: hoe pak je deze vergelijking aan? de juiste oplossingsstrategie kiest, terwijl ze in de toets terugvalt op het toepassen van de basisprocedures, zie figuur 10.
Van de leerlingen bij wie globaal kijken geconstateerd is, heeft iets meer dan een vierde de vergelijking niet opgelost. Van de leerlingen bij wie niet globaal kijken geconstateerd is, heeft iets minder dan een vierde de vergelijking opgelost, zie figuur 11.
C B
A D
Figuur 11. Totaaloverzicht wel of niet globaal kijken
Uit de totale scores kan worden geconcludeerd dat ongeveer een derde van de leerlingen de vergelijkingen oplost, waarbij duidelijk is dat er globaal is gekeken. Daarnaast kan op basis van de totale scores worden geconcludeerd dat ongeveer een negende de vergelijking oplost, waarbij duidelijk is dat er niet globaal is gekeken, zie figuur 12.
D A
C B
Figuur 12. Totaaloverzicht van de vier verschillende groepen
Op basis van de resultaten van zowel de analyse van de toetsen als het interview kan enerzijds worden geconcludeerd dat bij het oplossen van vergelijkingen in de oplossingsstrategieën van
24 leerlingen uit 4 havo in mindere mate is terug te zien dat ze gebruikmaken van globaal kijken. De vraag die hieruit voortvloeit, is of de leerlingen hiertoe niet in staat zijn of dat er voornamelijk wordt gefocust op standaardprocedures. Anderzijds kan worden geconcludeerd als de leerlingen wel globaal kijken dat ze de vergelijking goed oplossen.
Als leerlingen leren om globaal te kijken dan kunnen ze zich focussen op de kenmerken van de vergelijking. Bij globaal kijken zal de leerling dan de structuur van de vergelijking doorzien en op basis daarvan de meest voor de hand liggende oplossingsstrategie kiezen (Drijvers, 2012.).
6.2 Discussie
De plaatsing van de vergelijkingen in de categorieën van Drijvers en Kop (2012) is niet altijd ‘eenduidig’. Hiermee wordt bedoeld dat een vergelijking niet altijd in één categorie kan worden geplaatst. Daarnaast komen er, bij het herleiden, verschillende vaardigheden uit andere categorieën voorbij. Dat een vergelijking niet altijd in één categorie kan worden geplaatst, wordt zichtbaar in het volgende voorbeeld: 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥 3𝑥 = 0 𝑜𝑓 𝑥 − 7 = 3 𝑥 = 0 𝑜𝑓 𝑥 = 4 3𝑥(𝑥 − 7) = 9𝑥 3𝑥2− 21𝑥 = 9𝑥 3𝑥2− 12𝑥 = 0 3𝑥(𝑥 − 4) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑓 𝑥 = 4
Figuur 13. Uitwerking vergelijking 3
Vergelijking 3, zie figuur 13, kan worden geplaatst in categorie 1. In categorie 1 is de linkerkant groep A en de rechterkant groep B. Daarnaast kan deze vergelijking worden geplaatst in categorie 4. In die categorie is de rechterkant groep A. De uitwerking in de methode is volgens categorie vier. De uiteindelijke plaatsing van deze vergelijking is in categorie 4.
Op basis van vergelijking 21 wordt duidelijk dat er verschillende vaardigheden uit andere categorieën voorbijkomen. Vergelijking 21, zie figuur 9, begint in categorie 6, zie de uitwerking van het bovenste deel. Vervolgens gaat de vergelijking verder in categorie 4, zie het onderste deel.
Een ander discussiepunt is dat er niet van tevoren vergelijkingen zijn geselecteerd. De vergelijkingen komen voort uit de toetsen van twee jaren. De vergelijkingen waar de abc-formule toegepast moest worden, zijn complexer, omdat er haakjes instaan. Een deel van de leerlingen beheerst de
basisprocedures niet en maakt al fouten bij het wegwerken van haakjes. Met zulke vergelijkingen wordt niet getest of de leerling ziet dat hij de abc-formule moet toepassen.
Tot slot had de betrouwbaarheid vergroot kunnen worden door een collega de vergelijkingen te laten categoriseren. Daarnaast had bij ‘lastige gevallen’ de plaatsing van de uitwerking van de leerlingen besproken kunnen worden.
25
7 Aanbevelingen
In dit hoofdstuk worden aanbevelingen gegeven voor de onderwijspraktijk en methodologische aanbevelingen voor verder onderzoek.
Het is van belang dat er op deze middelbare school in Amsterdam naast de aandacht voor
basisprocedures ook nadruk wordt gelegd op het bestaan van categorieën, zodat de leerlingen de meest voor de hand liggende oplossingsstrategie kiezen. In de methode wordt er met name aandacht besteed aan de basisprocedures. Daarnaast wordt er in de methode wat aandacht besteed aan de verschillende categorieën, maar deze worden te weinig met elkaar in verband gebracht.
Om leerlingen bewuster te laten worden van de verschillende categorieën kunnen ze zelf categorieën opstellen door vergelijkingen te classificeren. Bij dit onderzoek zijn de opgaves geselecteerd op basis van de gemaakte toetsen. In een vervolgonderzoek kan de docent zelf de vergelijkingen selecteren. In een vervolgonderzoek kan worden onderzocht of globaal kijken aangeleerd kan worden door de leerlingen bewust te maken van de categorieën. De leerlingen kunnen zelf vergelijkingen in
categorieën plaatsen. Een voorstel voor vergelijkingen, die kunnen worden gebruikt, is te vinden in bijlage 2. De vergelijkingen kunnen als kaartjes geprint en geknipt worden en door de leerlingen verdeeld worden op basis van de oplossingsstrategie. De vergelijkingen zijn te verdelen in: logisch, uitdagend, discussieopwekkend en out of the box.
Op basis van dit onderzoek is de onderzoeker zich bewust geworden van hoe automatisch de leerlingen vergelijkingen oplossen. Door deze bewustwording kan de onderzoeker de leerlingen op een andere wijze lesgeven. Het laten categoriseren van vergelijkingen door leerlingen is daar een onderdeel van. Naar het categoriseren kan altijd verwezen worden als de docent de leerling vraagt naar hun aanpak. Ook is het van belang om goede voorbeeldopgaves te geven en de leerling bewust te maken van de oplosstrategieën.
Voor de school levert dit op dat één collega al bewust hiermee aan de slag is gegaan. Hij geeft de leerlingen de tijd om na te denken welke oplossingsstrategie het best is. Een andere collega gaf als reactie: ‘’Wauw, super! Dit is waar het om gaat. Dit moeten we de leerlingen bijbrengen!’’
26
Literatuur
Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2017) The Learning and Teaching of Algebra. Ideas, Insights, and Activities. London and New York: Routledge Taylor & Francis Group.
Dormolen, J. van (1974). Didactiek van de wiskunde. Utrecht: Oosthoek. Drijvers, P. (2006). Context, abstractie en vaardigheid in schoolalgebra.
Drijvers, P. (2012). Wat bedoelen ze toch met … symbol sense? Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor
Nederlands wiskundeonderwijs, 31(3), 39-42.
Drijvers, P., & Kop, P. (2012). Variabelen en Vergelijkingen. In P. Drijvers, A. Streun, van & A. Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek, 53-83.
Friedlander, A., & Arcavi, A. (2012). Algebraic skills: A conceptual approach. Mathematics Teacher,
105(8), 608-614.
Kindt, M. (2000). Discrete algebra. Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs,
19(4), 31-36.
Schendel, C. van (2017). Samen meer symbol sense. Euclides, 93(2), 13-14.
Stiphout, I. van, & Bruin-Muurling, G. (2018). Stappenplannen: handig of toch niet?
Swet, J., & Munneke, L. (2017). Praktijkgericht onderzoeken in het onderwijs. Amsterdam: Boom uitgevers.
Wagner, S., Rachlin, S., & Jensen, R. (1984). Algebra learning project, final report. Athens GA: University of Georgia.
27
Bijlage 1
32
