H5: Goniometrische functies

Hoofdstuk 5:

Goniometrische formules.

b. De grafiek van k is een rechte lijn.

c. _{k x( ) (1 x)}2_{ (1 x)}2_{ (1 2x x} 2_{) (1 2  x x} 2_{) 1 2  x x} 2_{ 1 2x x} 2 _{ 4x}

V_2.

a. Ze zijn gelijk!

b. _{f x( ) (1 sin )(1 sin ) 1 sin  x  x  } 2 _x

c. Voor alle waarden van x geldt: _sin2_xcos2_x1

Dus _{f x( ) 1 sin } 2_x(sin2_{xcos ) sin}2_{x } 2 _xcos2 _{x g x ( )}

V_3. Nee, bijvoorbeeld _{f( ) sin } 2_{ 0 en g( ) sin( )  }2 _{ 0, 43}

V_4.

a./b. _{f x( ) (sin xcos )x} 2_{(sinxcos )x} 2 _(sin2_{x2sin cosx xcos )}2_{x }

2 2 2 2 2 2

(sin x 2sin cosx x cos ) 2sinx x 2 cos x 2(sin x cos ) 2x

       

V_5. _{h x( ) sin} 3_{xsinxcos}2_{xsinx(sin}2 _{xcos ) sin}2 _{x  x k x ( )}

V_6. a. f x( ) 0 2 1 cos cos 0 ABC formule x x    

De discriminant is kleiner dan nul; er zijn geen oplossingen.

b. _{p x( ) (1 cos  xcos )(1 cos ) 1 cos}2 _{x  x   xcos}2_{xcosxcos}2_xcos3_{x 1 cos}3_x c. De eerste term is altijd positief en ook 1 cos x0. Het product p(x) is dus ook groter of

gelijk aan 0; raakt de x-as.

V_7.

a./c. v x( ) (1 sin ) (1 sin ) 2sin  x   x  x; een periodieke functie. b. De periode van v is 2 .

d. 2 2 1 1

2 2

( ) (1 sin ) (1 sin ) 1 sin cos cos 2

p x   x   x   x x x : de periode is  .

V_8.

a. _{h x( ) (1 cos  xsin )(1 sinx  xcos ) 1 sinx   xcosxcosxsin cosx xcos}2_{x sinxsin}2 _{xsin cosx x 1 2sin cosx x(sin}2_{xcos ) 2sin cos}2_{x  x x} b. h x( ) 0 1 1 2 2 sin 0 cos 0 0 1 x x x x  x  x           

1.

a. De grafiek van f heeft symmetrieassen: 1 2

x  k . En bij g zijn dat x k  b. sin(  a) sina

c. cos(a) cosa d. sin(a) sin a

e. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as: cos(   t) cost

2.

a. f t( ) sin(7  t) sin(   t) sint b. g t( ) cos( 2   t) cos( ) cos t t c. h t( ) sin( 3   t) sin( t) sint d. k t( ) sin(  t 23 ) sin(   t ) sin t

3.

a.

b. Bijspiegeling in de lijn y x worden de x-en de y-coördinaat omgedraaid.

(cos , sin ) (sin , cos )

P t t  Q t t c. xP  yQ 1 2 costsin(  t) 4. a. b. In de lijn y x c. 1 2 cos(1   t) sint en 1 2 sin(1    t) cost 5.

a. Ze vallen alle vier samen.

b. t 0 :K0(2, 0) L0( 2, 0) M0(2, 0) N0( 2, 0) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 : (0,1) (0,1) (0,1) (0, 1) t   K _ L_ M _ N _  K en M zijn identiek.

Uit de eenheidscirkel volgt: cos( ) cos t t en sin( t) sint

c. Het startpunt kan ergens anders zijn of de draairichting is tegengesteld.

6. a. x0 1 1 5 1 1 5 6 2 6 6 2 6 1 1 2 2 1 1 2 6 2 3 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 cos3 0 3 3 1 ( : ) (0, ), (0,1), (0, ), (0, ), (0, 1) (0, ) t t t t t periode P_ P_ P_ P _ P _ en P _               

b. cos(3t a ) cos 3( ta3). Dan kan a3 een willekeurig aantal (k) keer de periode zijn (k23 )

a en b kunnen veelvouden van 2 zijn. 7. a. f en h zijn gelijk. x y 1 -1 1 -1 t 1 2 t

t

 

1

 

t

t

 

t

 

8.

a. f x( ) sin( x0, 2) sin xcos 0, 2 cos xsin 0, 2

( ) cos( 1) cos cos1 sin sin1 ( ) sin( 7) sin cos 7 cos sin 7

g x x x x

h x x x x

     

     

b. f x( ) cos( x) cos cosxsinsinx cosx

9. cos(u t ) cos(u  t) cosucos( ) sin t usin( ) cos t ucostsinusint

cos cos sin sin

sin( ) sin( ) sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin

u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t                         10. a. y x

b. sin 2tsin(t t ) sin cost tcos sint tsin cost tsin cost t 2sin cost t c. _{cos 2tcos(t t ) cos cost tsin sint t cos}2_tsin2_t

d. _{cos 2tcos}2_tsin2_{t (1 sin ) sin}2_{t } 2_{t 1 2sin}2_t

2 2 2 2 2 2 2

cos 2tcos tsin tcos t (1 cos ) cost  t 1 cos t2cos t1

11. a. 2 cos 2x2 cos x1 2 2 1 1 2 2 2cos cos 2 1 cos cos 2 x x x x     b.





cos x dx ( cos 2x )dx sin 2x x

 

 

    





12. Hoe heeft iemand dit kunnen verzinnen?

a./b. _{sin(3 ) sin(2t  t t ) sin 2 cost tcos 2 sint t2sin cos cost t t (1 2sin ) sin}2_{t  t}

2 3 2 3

3 3 3

2sin cos sin 2sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 3sin 4sin

t t t t t t t t

t t t t t t

         

     

13. Maar het kan nog erger!

a. Nee, dat is niet zo.

b. sin 4tsin(2t2 ) sin 2 cos 2t  t tcos 2 sin 2t t2sin 2 cos 2t t

2 2 3 3

2 2sin cos (cost t t sin ) 4sin cost t t 4sin t cost

       

14.

a. sin 2t2cost b. sin 2t2sint

1 1

2 2

2sin cos 2cos 2sin cos 2cos 0 2cos (sin 1) 0 cos 0 sin 1 1 t t t t t t t t t t t  t               

2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 0 2sin (cos 1) 0 sin 0 cos 1 0 0 t t t t t t t t t t t t  t                

15. a. y0 2 2 2 2 1 1 2 2 4sin cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 0 1 t t t t t t t t  t  t                

Voor al deze t-waarde is de kromme in het punt (2, 0). b. dx cos2t 0

dt  

2 3

4sin 2cos sin 4 2sin cos

dy t t t t t dt        1 1 2 2 3 1 4 4 2t 2t 1 t t           3 3 2 2

8 sin cos 8 sin cos 8sin cos (cos sin ) 8sin cos cos2

t t t t t t t t t t t              Je kunt nu dy 0

dt  oplossen of de gevonden waarden van t in dy

dt invullen om te kijken of

de afgeleide ook 0 wordt: 1 4 1 2 (2 ,1) P_ 3 4 1 2 (1 ,1) P_ c. 2 2 2

4sin tcos t4sin sin cos cost t t t2sin cos 2sin cost t t tsin 2 sin 2t tsin 2t

d. 2 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

4sin cos (sin 2 ) (2 sin 2 ) (2 (2 sin 2 2) (2 (2 sin 2 ) 4)

y t t t   t    t    t   _(2x4)2 e.





a. P0(1, 0) ligt het dichts bij de oorsprong en P( 3, 0) het verst van de oorsprong.

Alle punten op de rand van de eerste euro liggen even ver van de oorsprong (r1). P0 ligt

op deze rand, dus het dichtste bij. De maximale afstand tot de oorsprong is 2r2 en dat is halverwege op tijdstip  .

b. Het middelpunt van de tweede euro ligt altijd 1 2

1 van de oorsprong af: 1 2 1 cos  x t en 1 2 1 sin  y t 17.

a. h is ook periodiek. De gemeenschappelijke periode van f (2

3 ) en g ( ) is 2 . b. Nee, bijvoorbeeld de toppen zijn niet alle even hoog.

c. Nu is de somfunctie periodiek met periode 2 . De grafiek is een sinusoïde. 18.

a. 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) sin sin( 1) 2sin ( 1) cos ( ( 1)) 2sin (2 1) cos

f t  t t  t t   t t  t   1 2 1,76sin(t )   1 1 1 1 2 2 2 2

( ) cos 2 cos( 1) 2sin (2 1) sin (2 ( 1)) 2sin (3 1) sin ( 1)

g t  t t   t t   t t   t  t

b. De grafiek van f is een sinusoïde.

19.

a. 1 1

2 2

sintsint2sin (t t ) cos (t t ) 2sint

1 1

2 2

1 1

2 2

sin sin 2sin ( ) cos ( ) 0 cos cos 2 cos ( ) cos ( ) 2cos

t t t t t t

t t t t t t t

     

b. sintsin 0 2sin ( 2 t 0) cos (2 t 0) 2sin2tcos2t 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

sin sin 0 2sin ( 0) cos ( 0) 2sin cos

cos cos 0 2cos ( 0) cos ( 0) 2cos cos cos 1 2cos cos cos 0 2sin ( 0) sin ( 0) 2sin sin cos 1 2sin

t t t t t t t t t t t t t t t t t t t                              

Voor u0 krijg je de verdubbelingsformules.

20.

a. 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2(cos cos 2 ) 2( 2sin (3 ) sin ( )) 4sin1 sin( ) 4sin1 sin

dy t t t t t t t t dt             b. dy 0 dt  1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 2 1 3 3 4sin1 sin 0 sin1 0 sin 0 1 0 1 0 0 ( :1 ) 0 2 ( : 4 ) 0 1 2 t t t t t t t t t t periode t t periode t t t t                                    Echter op de tijdstippen t0 en t2 is dx

dt ook gelijk aan 0. Op die tijdstippen heeft de

kromme een keerpunt, maar wel weer met een horizontale raaklijn.

c. 2 1 3 3 1 1 1 1 0(1, 0), ( 2, 12 3), 1 ( 2, 12 3) P P_  P _   d. 1 1 1 1 2 2 2 2

2sin 2sin 2 2(sin 2 sin ) 2(2sin cos1 ) 4sin cos1

dx t t t t t t t t dt          1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 1 1 1 1 2 2 1 2 2 4sin cos1 0 sin 0 cos1 0 0 1 1 1 0 2 ( : 4 ) ( :1 ) 0 1 2 (1 , 3), ( 3, 0), (1 , 3) t t t t t t t t t t periode t t periode t t t t t P P P                                            21. a. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4

1 sin 1 sin1 1 (sin sin1 ) 1 2sin1 cos( ) 3sin1 cos

dy t t t t t t t t dt               1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 4 2 3 4 5 5 3 4 2 1 5 5 5 5 3sin1 cos 0 sin1 0 cos 0 1 0 1 1 0 ( :1 ) 2 6 ( : 8 ) 0 1 2 2 3 t t t t t t t t t t periode t t periode t t t t t t                                             b. 4 3 2 5 5 5 1 1 0(0, 2 ),2 (0,59; 2,02), 1 ( 0,95; 0,77), 2 (0, ),2 2 (0,95; 0,77), P P  P   P P  1 5 3 ( 0,59; 2,02) P _  

c. dx cost 0 dt   1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 ( : 2 ) (1, 2), ( 1, 2), (1, 2), ( 1, 2) t t periode P_ P _ P _ P _           22. a. 2 2 (0) dx(0) dy(0) 0 v dt dt      _{ } _{ }      en 2 2 2 2 ( ) dx( ) dy( ) 0 ( 4) 4 v dt dt   _  _ _  _        

b. Stel in het window de Tstep heel klein in en laat de kromme tekenen. In (1, 0) is de snelheid het grootst en in (-3, 0) het kleinst.

c. Je mag hopen dat je niet zoiets op het examen krijgt.

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( 2sin 2sin 2 ) (2cos 2cos 2 ) 4sin 8sin sin 2

dx dy t t t t t t t t t dt dt   _  _{        }         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4sin 2 4cos 8cos cos 2 4cos 2 4(sin cos ) 4(sin 2 cos 2 ) 8(sin sin 2 cos cos 2 ) 8 8(sin 2sin cos cos (1 2sin )) 8

8(cos (2sin 1 2sin )) 8 8cos

t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t                           

d. v is maximaal als 8 8cos t maximaal is. En die is maximaal als cost  1. cos 1 ( 3, 0) t t P_      23. a. 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 sin ( 2sin ) ( ) y t  t  x  x

b.  2 2sinx2 Dus domein:





24. 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 4

4sin (2sin ) ( 4sin ) ( )

x t t   t  y  y

25. De kromme heeft de vorm van een parabool:

2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 4 2

cos 2 1 2sin 1 2( 2sin ) 1 2( ) 1 2 1

y t  t    t   x    x   x

26. De kromme heeft de vorm van een parabool: _{y cos2t 2cos t 1 2x } 2 _{ } 2_1

27.

a. periode van x is 2 en de periode van y is  ; de periode van K is 2 .

b. x1 x 1 1 2 sint 1 t    1 2 sin 1 1 t t     Dus bijvoorbeeld:





28. a. 1 2 sin( ) cos( ) y   t   t x b. 2 2 1 2 2 sin ( ) cos ( ) y  t   t x c. 2 2 2

cos 2 1 2sin 1 2sin ( ) 1 2( sin( ))

x t  t     t t 

2

1 2y  

d. 2 2 2

cos ( ) 1 sin ( ) 1 ( sin( ))

y   t     t t  2 1 sin (t ) 1 x      29. a.   6 x 6 en   3 y 3 b. 1 6 cos t x en 1 3 sin t y c. _sin2_tcos2_t1 2 2 1 1 3 6 2 2 1 1 36 9 2 2 ( ) ( ) 1 1 4 36 y x x y x y       30.

a. _{f x( ) sin} 3_{xsinxsin}2_{xsinx (1 cos ) sin}2_{x  xsinxcos}2 _x

b. 3 2 1 3 2 2 4

3 ₀ 3 3 3

0 0

sin x dx (sinx sinx cos x dx cosx cos x

         _  _    









sin x dx ( cos 2 )x dx x sin 2x

        





2( ) 1 sin cos 2 1 (2 2cos 2 ) cos 2 12 2cos 2

f x   x x   x  x  x

b. 2 1 1 1 1

4( ) 1 sin cos 4 1 (2 2cos 2 ) cos 4 12 2cos 2 cos 4

f x   x x   x  x  x x

32.

a. De positie op de grote cirkel wordt beschreven door de parametervoorstelling: 2 5 5cos x_ t en 2 5 5sin

y_ t_{. En die op de kleine cirkel is:} 2 2 2 cos x_ t _en 2 2 2sin y_ t b. dx 5 0, 4 sin 0, 4 t 2 sin t 2 (sin 0, 4 t sin t)

dt              

5 0, 4 cos 0, 4 2 cos 2 (cos 0, 4 cos )

(0) 0 (0) 4 dy t t t t dt dx dy en dt dt               

De helling is verticaal en de snelheid 4 m/s.

c. (2) 1,203,69 0,32 dy dx     en 2 2 (2) 1, 20 ( 3, 69) 1,16 v     m/s. t -t 1 2 t t   t  

d. _{v t( ) 4 (sin 0, 4}2 _{tsin )t} 2_{4 (cos 0, 4}2 _{tcos )t} 2 _

2 2 2 2

2 sin 0, 4 2sin 0, 4 sin sin cos 0, 4 2cos 0, 4 cos cos 2 2sin 0, 4 sin 2cos 0, 4 cos 2 2 2cos( 0, 4 )

2 2 2 cos 0,6 t t t t t t t t t t t t t t t                                  

Bij de laatste stap is gebruik gemaakt van de verschilformule van de cosinus. e. 2 2 0,6 sin 0,6 1, 2 sin 0,6 '( ) 2 0 2 2 2cos 0,6 2 2cos 0,6 t t v t t t                 2 1 3 3 sin 0,6 0 0,6 0 0,6 0 1 ( : 3 ) t t t t t periode            Maximum is 4 m/s 45, 2 km/u. 33. a. y x 3 3 3 3 4 4 2 3 3 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 3 3 4 _{2 3 3 1 1} 4 _{1 1} 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 3sin ( ) cos( ) 3 2 3 2 ( ) 1 (1 ) 1 3cos ( ) sin( ) 3 2 3 2 x x x x x x y y en x x                       _{  }  _{ }            b. 1 4 1 1 2 2 ( 2, 2) P_{ en} 1 4 1 1 4 4 ( 2, 2) Q_

Het snijpunt van PQ met de lijn door de punten (0, 1) en (1, 0) is M(1 1 2, 2) . 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 1 2 ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 PM QM PM                  c. Lijn PQ: 3 3 sin sin cos cos y t t x t t  _    en de raaklijn in Q aan A: 2 2 3sin cos 3cos sin dy t t dx t t    

De lijnen staan loodrecht op elkaar als het product van de hellingen –1 is:

3 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

sin sin 3sin cos sin (1 sin ) 3sin cos cos 3sin

1 cos cos 3cos sin cos (1 cos ) 3cos sin sin 3cos

t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t

 _  _     _  _{ }

       

d. _{( 3cos sin )} 2_{t t} 2_{(3sin cos )}2_{t t} 2 _{ 9 cos sin}4_t 2_{t9sin cos}4_t 2_{t }

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

9cos sin cos 9sin cos sin 9sin cos (cos sin ) 9sin cos 3 | sin cos |

t t t t t t t t t t t t t t           e. Een primitieve is 1 2 2

T_1.

a. Voor beide krommen geldt:   1 x 1 en   2 y 2

b. 1

2

sin(  t) cost en sin(t) sint De coördinaten zijn gelijk maar tegengesteld. c. Op de eerste ligt 1

2

t  in het punt (0, -2) en op de tweede kromme in het punt (0, 2).

d. zie b.

T_2.

a. periode van x is 2 en de periode van y is  ; de

periode van K is 2 .

b. De keerpunten zijn (2, -2) en (-2, -2).

c. 2 1 2

2

2 cos 2 2(1 2sin ) 2(1 (2sin ) )

y t  t   t  1 2 2 2 2(1 x ) 2 x     d. D_f : 2, 2





a. In de keerpunten zijn de x-waarden maximaal/minimaal:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 4cos 0 1 (4,1) ( 4,1) dx t dt t t P_ en P _        

b. _{ycos 4tcos(2 2 ) 1 2sin (2 ) 1 2(2sin cos ) t  } 2 _{t   t t} 2 _{ 1 8sin cos}2_t 2_{t  1 8sin (1 sin ) 1 8sin}2_{t } 2_{t  } 2_t8sin4_t

c. 1 4 sin t x 2 4 2 4 2 4 1 1 1 1 1 1 4 4 16 256 2 32 1 8( ) 8( ) 1 8 8 1 y  x  x    x   x   x  x d. 1 3 8 ' 0 y   x x  2 1 8 2 ( 8 ) 0 0 8 0 2 2 2 2 (0,1), ( 2 2, 1), (2 2, 1) x x x x x x x                T_4. a. De periode van f is 2 3 .

b. Het maximum is 4 en het minimum 0: A2 en D2

2 3 2 ₃ ( ) 2 2cos3 B f x x      

c. _{f x( ) (sin xsin 4 )x} 2_{(cosxcos 4 )x} 2 _sin2 _{x2sin sin 4x xsin 4}2 _xcos2_x

_{2cos cos 4x xcos 4}2 _{x 2 2(sin sin 4x xcos cos 4 ) 2 2cos(4x x   x x ) 2 2 cos3  x} Hierbij is gebruik gemaakt van de verschilformule voor de cosinus.

x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 x y 1 -1 1 -1

t  

T_5. a. dx 15sin15t 2sin 2t dt    en 15cos15 2cos 2 dy t t dt   2 2 (0) 0 17 17 v    b. 1 1 1 1 2 2 2 2

cos15 cos 2 2cos (17 ) cos (13 ) 2cos8 cos 6

x t t t  t  t t

1 1 1 1

2 2 2 2

sin15 sin 2 2sin (17 ) cos (13 ) 2sin 8 cos 6

y t t t  t  t t c. x0 en y0 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 4 13 13 13 3 5 7 9 6 8 10 1 11 2 4 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 cos 6 0 6 6 1 ( : ) : , , , , , , , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 t t t t t periode Dus                         

Hij gaat 13 keer door de oorsprong.

T_6.

a. h heeft 10 snijpunten met de x-as.

b. 1 1

2 2

( ) cos3 cos5 2cos( 8 ) cos( 2 ) 2cos 4 cos

h x  x x  x   x  x x c. h x( ) 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 8 8 2 2 2 3 5 7 3 1 1 8 8 8 8 8 8 5 7 1 1 8 8 2 2 2cos 4 cos 0 cos 4 0 cos 0 4 4 1 1 ( : ) 1 ( : 2 ) ( , 0), ( , 0), ( , 0), ( , 0), (1 , 0), (1 , 0), (1 , 0), (1 , 0), ( , 0) (1 , 0) x x x x x x en x x x x per en x x per en                                      T_7. a. dx 3cost 3cos3t dt   en 3sin 3sin 3 dy t t dt    b. 2 2 (0) 0 0 0 v    en 2 2 ( ) 0 0 0 v     c. 1 1 2 2

3(cos cos3 ) 3 2sin( 4 ) sin( 2 ) 6sin sin 2

dx

t t t t t t

dt         

1 1

2 2

3(sin sin 3 ) 3 2sin( 2 ) cos( 4 ) 6sin cos 2

dy

t t t t t t

dt           

d. _{v t( ) 36sin}2_{tsin 2}2 _t36sin2_{tcos 2}2 _{t  36sin}2_{t(sin 2}2 _{tcos 2 )}2 _{t   36sin}2_{t 6 | sin |t} e. v is maximaal 6 als 1 1 2 2 1 1 2 12 : (4, 0) 1 ( 4, 0) t   t  P_ en P _  f. dx 6sin sin 2t t 0 dt    6sin cos 2 0 dy t t dt    1 1 2 2 sin 0 sin 2 0 0, , 2 0, 2 0, , , 1 t t t t t t t t t t                 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 4 4 sin 0 cos 2 0 0, , 2 , 2 1 0, , , , 1 , 1 t t t t t t t t t t t t                     

Horizontale raaklijn in: P ( 2, 2 2), P ( 2, 2 2), P ( 2, 2 2), P ( 2, 2 2)

x y 0,5  1,5 2 1 2 -1 -2